高中数学选修2-2 北师大版 1.2综合法与分析法分析法1 教案
2018-2019学年北师大版选修2-2 1.2综合法和分析法 学案1
高手支招3综合探究1.综合法和分析法综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法,其简捷之处就在于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题.当然,要想运用定理、不等式,必须具备相应的条件,另外,在证题过程中,要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析,制定出合理的解题策略,并加以实施.分析法是证明不等式的一种常用的方法,通常情况下,当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时,可以采用这一方法.这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效.2.用“分析——综合法”证明问题既然是分析——综合法,所以既有分析法又有综合法,两者应有机地结合起来.“分析——综合法”又叫混合型分析法,是同时从已知条件与结论出发,寻求其间的联系而沟通思路的方法.具体来说,一方面从问题的已知条件出发,用前进型分析法经逻辑推理导出中途结果;另一方面从问题的结论出发,用追溯型分析法回溯到中间,即导出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.由于其兼有分析综合的双重性质,因而称为“分析——综合法”,其方法结构如图所示.高手支招4典例精析【例1】设a ＞0,b ＞0,a+b=1.求证:a 1+b 1+ab1≥8. 思路分析：要证不等式是在已知条件下,从不等式的结构及其与已知条件间的关系来观察,可用综合法证之.证明：∵a ＞0,b ＞0,a+b=1,∴1=a+b≥2ab ,∴ab ≤21,∴ab 1≥4. ∴a 1+b 1+ab 1=(a+b)(a 1+b 1)+ab 1≥2ab ·2ab1+4=8, ∴a 1+b 1+ab1≥8. 【例2】已知α、β≠kπ+2π(k ∈Z ),且sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin 2β. 求证:)tan 1(2tan 1tan 1tan 12222ββαα+-=+-. 思路分析：比较已知条件和结论,发现结论中没有出现角θ,所以首先要消去它.然后由式子的结构特点,将切化弦统一函数名后分析比较不难得到结论.证明：因为(sinθ+cosθ)2-2sinθ·cosθ=1,将已知代入上式得:4sin 2α-2sin 2β=1.①另一方面,要证)tan 1(2tan 1tan 1tan 12222ββαα+-=+-,即证)cos sin 1(2cos sin 1cos sin 1cos sin 122222222ββββαααα+-=+-, 即证cos 2α-sin 2α=21(cos 2β-sin 2β), 即证1-2sin 2α=21(1-2sin 2β),即证4sin 2α-2sin 2β=1. 由于上式与①式相同,于是问题得证.【例3】 已知x+y+z=1,求证:x 2+y 2+z 2≥31. 思路分析：可由条件x+y+z=1,联想到通过直接对所要证明的结论左边的代数式的变式,再利用条件x+y+z=1,得到结果.若不能发现本题的特点,可以利用分析法来加以证明.证法一(综合法):∵x 2+y 2+z 2=31［3(x 2+y 2+z 2)］ =31［x 2+y 2+z 2+(x 2+y 2)+(y 2+z 2)+(z 2+x 2)］≥31(x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx)=31(x+y+z)2=31, ∴x 2+y 2+z 2≥31. 证法二(分析法):∵x+y+z=1,为了证明x 2+y 2+z 2≥31, 只需证明3x 2+3y 2+3z 2≥(x+y+z)2,即3x 2+3y 2+3z 2≥x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx,即2x 2+2y 2+2z 2≥2xy+2yz+2zx,即(x 2-2xy+y 2)+(y 2-2xy+z 2)+(z 2-2zx+x 2)≥0,即(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0.∵(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0成立,∴x 2+y 2+z 2≥31成立. 【例4】已知正方形ABCD,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将△ADE 沿DE 折起,如图所示.记二面角A-DE-C 的大小为θ(0＜θ＜π).(1)证明BF ∥平面ADE;(2)若△ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.思路分析：本题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识,考查空间想象能力和思维能力.(1)解：证明：E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、CD 的中点,∴EB ∥FD,且EB=FD.∴四边形EBFD 是平行四边形.∴BF ∥ED.∵ED ⊂平面AED,而BF ⊄平面AED.∴BF ∥平面AED.(2)解法一:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,过点A 作AG ⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC 、GD.∵△ACD 为正三角形,∴AC=AD.∴GC=GD.∴G 在CD 的垂直平分线上.又∵EF 是CD 的垂直平分线,∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.过G 作GH ⊥ED,垂足为H.连结AH,则AH ⊥DE,∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD 的边长为2a,连结AF.在折后图的△AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,∴△AEF 为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=23a. 在Rt △ADE 中,AH·DE=AD·AE.∴AH=52a.∴GH=52a.∴cosθ=AH GH =41. 解法二:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,连结AF,在平面AEF 内过点A 作AG′⊥EF,垂足为G′.∵△ACD 为正三角形,F 为CD 的中点.∴AF ⊥CD.又∵EF ⊥CD,∴CD ⊥平面AEF.∵AG′⊂平面AEF,∴CD ⊥AG′.又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD ⊂平面BCDE,EF ⊂平面BCDE.∴AG′⊥平面BCDE.∴G′为A 在平面BCDE 内的射影G.∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.过G 作GH ⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH ⊥DE.∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD 的边长为2a,在折后图的△AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,∴△AEF 为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=23a. 在Rt △ADE 中,AH·DE=AD·AE,∴AH=52a.∴GH=52a.∴cosθ=41=AH GH . 解法三:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.连结AF ，在平面AEF 内过点A 作AG′⊥EF,垂足为G′.∵△ACD 为正三角形,F 为CD 的中点,∴AF ⊥CD.又∵EF ⊥CD,∴CD ⊥平面AEF.∵CD ⊂平面BCDE,∴平面AEF ⊥平面BCDE.又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF,∴AG′⊥平面BCDE,即G′为A 在平面BCDE 内的射影G.∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.过G 作GH ⊥DE,垂足为H,连结AH,则AH ⊥DE.∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD 的边长为2a.在折后图的△AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,∴△AEF 为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=23a. 在Rt △ADE 中,AH·DE=AD·AE.∴AH=52a.∴GH=52a.∴cosθ=41=AH GH . 【例5】如图1,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B 、C 两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.图1 图2(1)证明A,P,O,M四点共圆;(2)求∠OAM+∠APM的大小.思路分析：利用四点共圆的判定定理即四边形对角互补,可证明出四点共圆,再利用圆中同弧所对角相等,找到角的相等关系,即可求得结果.(1)证明:如图2，连结OP,OM，因为AP与⊙O相切于点P,所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°,由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆.(2)解:由(1)得A,P,O,M四点共圆,所以∠OAM=∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°.所以∠OAM+∠APM=90°.高手支招5思考发现1.用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证的不等式,但要注意防止在推证中盲目套用公式和错用性质,要保证不等号的方向始终如一.2.综合法是“由因导果”,分析法则是“执果索因”,这两种方法是对应统一的.解题时往往是综合法和分析法联合使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.3.在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此,从最后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略.4.分析法是从结论出发,不断探寻,直到判定一个明显成立的条件.应用分析法,容易找到解题途径,但叙述较繁琐,不及综合法简明,这是它的缺点.5.分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛.。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 教材解读：综合法与分析法
《综合法与分析法》教材解读一、重点知识梳理1、综合法是把整个不等式看成一个整体，从某一个或几个不等式出发经过变形、运算推导出欲证的不等式。
综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法，其简捷之处就再于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题。
当然，要想运用定理、不等式，必须具备相应的条件，另外，在证题的过程中，要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析，制定出合理的解题策略，并加以实施。
常用的关系有：①若ab ＞0，则b a ＋a b≥2(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)；②若t ＞0，则t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1时取“＝”号)；若t ＜0，则t ＋1t≤－2(当且仅当t ＝－1时取“＝”号)；③若a ，b ∈R ，则ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 222、分析法实质上是从欲证的不等式出发，去寻找使之成立的充分条件。
在证明的过程中，要保证变形的每一步都是可逆的，即分析得到的每一步都是上一步成立的充分条件。
分析法是证明不等式的一种常用的方法，通常情况下，当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时，可以采用这一方法。
这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效。
分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法。
综合法与分析法是对应统一的，证题时常将两种方法交替使用。
在证明不等式时，对于复杂的不等式，直接运用综合法证明往往难以确定解决问题的策略，通常要分析、探索证题途径，然后再运用综合法加以证明，即用分析法探路，用综合法叙述。
综合法和分析法的推证过程如下：综合法——已知条件⇒∙∙∙⇒∙∙∙⇒ 分析法—— ⇐∙∙∙⇐∙∙∙⇐已知条件二、疑、难点解析这部分的难点是分析法证明过程的书写以及两种方法在证题中选择和使用。
结论结论例1、设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ≤3，求证：11＋a ＋11＋b ＋11＋c ≥32. 证明：注意到上述不等式当a ＝b ＝c ＝1时取等号，由二元均值不等式可得：11＋a ＋1＋a 4≥211＋a ·1＋a 4＝1，同理11＋b ＋1＋b 4≥1，11＋c ＋1＋c 4≥1， 三式累加，得11＋a ＋11＋b ＋11＋c ＋3＋a ＋b ＋c 4≥3， ∴11＋a ＋11＋b ＋11＋c ≥3－3＋a ＋b ＋c 4， ∵a ＋b ＋c ≤3，－(a ＋b ＋c)≥－3， ∴11＋a ＋11＋b ＋11＋c ≥32. 点评：由于本题所证不等式为轮换对称式(交换任意两个字母不等式不发生改变)，具有这种规律的不等式常常采用综合法证明.本题证明中涉及到了三个不等式相加，这种方法称为累加法，是证明不等式的一种基本而又重要的方法，在使用这一方法时，如能根据所证不等式取等号的条件，灵活应用平均值不等式，往往能直接推得所需结论.注意：（1）综合法是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。
1.2 综合法与分析法 课件1 (北师大选修2-2)
练习2:求证：
3- 2>
6- 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明： 1 + 1 > 4
a b
变题： 已知 a, b, c R ，且 a b c 1
1 求证：(1)a b c ; 3 (2) a b c 3.
2 2 2
例2.如图，四棱锥 P ABCD 中，
2.分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的 条件和已知条件吻合为止.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
2 2
证: 求
直接证明
π 1 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
2 2
证: 求
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E, CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF C D E F A B
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形 ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
CM // 面PAD; （1）求证：
面PAB 面PAD. （2）求证：
例3.已知数列 {an }的通项 an 为3,公差为1的等差数列.
高二北师大数学选修22第四课时1.2.2综合法与分析法——分析法导学案
第四课时 1.2.2综合法与分析法——分析法一、学习目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
二、学习重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。
难点：分析法的思考过程、特点三、学习方法：探析归纳，讲练结合四、学习过程(一)、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。
（二）、引入新课分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。
分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有……这只需要证明命题2B 为真，从而又有…………这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故命题B 必为真（三）、例题讲解：例1：如图、已知BE ，CF 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的高，G 为EF 的中点，H 为BC 的中点.求证：HG ⊥EF.例2、已知：a ，b 是不相等的正数。
求证：2233ab b a b a +>+。
例3、求证5273<+在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。
北师大版选修2-2高考数学1.2《综合法与分析法》ppt课件
§2 综合法与分析法
探究一
探究二
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典例提升 2
设 a>0,b>0 且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 思路分析:分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件.
∵a,b,c 是不相等的正实数,
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高中数学北师大版选修2-2学案：1.2.2 分析法 Word版含解析
2.2分析法1.了解分析法的思维过程、特点.(重点)2.会用分析法证明数学问题.(难点)[基础·初探]教材整理分析法阅读教材P9～P11，完成下列问题.1.分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法.2.分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3.综合法和分析法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知.()(2)分析法的推理过程要比综合法优越.()(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明.()【解析】(1)错误.分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程.(2)错误.分析法和综合法各有优缺点.(3)正确.一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明.【答案】(1)×(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]已知a>b>0，求证：8a<2－ab<8b.【精彩点拨】本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件.【自主解答】要证（a－b）28a<a＋b2－ab<（a－b）28b，只需证（a－b）28a<（a－b）22<（a－b）28b.∵a>b>0，∴同时除以（a－b）22，得（a＋b）24a<1<（a＋b）24b，同时开方，得a＋b2a<1<a＋b2b，只需证a ＋b <2a ，且a ＋b >2b ， 即证b <a ，即证b <a . ∵a >b >0，∴原不等式成立， 即（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b.1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式.2.分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.[再练一题]1.(2016·合肥高二检测)已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.【导学号：94210013】【证明】 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋2， 即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4， 只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2.上述不等式显然成立，故原不等式成立.的圆必与直线x ＝－p2相切.【精彩点拨】【自主解答】 如图所示，过点A ，B 分别作AA ′，BB ′垂直准线于点A ′，B ′，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线于点M ′.要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |.由抛物线的定义有|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|).根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y 2＝2px 焦点的弦为直径的圆必与直线x ＝－p2相切.1.分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法.2.分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等.[再练一题] 2.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α).【导学号：94210014】【证明】 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12. ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证.[探究共研型]【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1).【精彩点拨】 可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来.【自主解答】由已知条件得⎩⎨⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c 2b ， 且a >0，b >0，c >0.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)， 只需证a ＋1≥（b ＋1）（c ＋1），因（b ＋1）（c ＋1）≤（b ＋1）＋（c ＋1）2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12， 即证2a ≥b ＋c . 由于2a ＝b 2c ＋c 2b ，故只需证b2c＋c2b≥b＋c，只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.[再练一题]3.已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：1a＋b ＋1b＋c＝3a＋b＋c.【证明】要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2.∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.∵c2＋a2－b2＝2ac cos B，∴c2＋a2－b2＝ac，∴c2＋a2＝ac＋b2，∴1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c成立.[构建·体系]1.要证明2＋7>23，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.比较法D.归纳法【解析】由分析法和综合法定义可知选B.【答案】 B2.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A.a≤12 B.ab≥12C.a2＋b2≥2D.a2＋b2≤3 【解析】∵a＋b＝2≥2ab，∴ab≤1.∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.【答案】 C3.3a－3b<3a－b成立的充要条件是()A.ab(b－a)>0B.ab>0且a>bC.ab<0且a<bD.ab(b－a)<0【解析】3a－3b<3a－b⇔(3a－3b)3<(3a－b)3⇔a－b－33a2b＋33ab2<a－b⇔3ab2<3a2b⇔ab2<a2b⇔ab(b－a)<0.【答案】 D4.设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________.【导学号：94210015】【解析】因为a＋b＋c＝1，且a>0，b>0，c>0，所以1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2ca·ac＋2cb·bc＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立.【答案】95.已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. 【证明】法一：(分析法)要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0成立.所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立.法二：(综合法)因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若a，b∈R，则1a3>1b3成立的一个充分不必要条件是()A.ab>0B.b>aC.a<b<0D.ab(a－b)<0【解析】由a<b<0⇒a3<b3<0⇒1a3>1b3，但1a3>1b3不能推出a<b<0，∴a<b<0是1a3>1b3的一个充分不必要条件.【答案】 C2.求证：7－1>11－ 5.证明：要证7－1>11－5，只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11，∵35>11，∴原不等式成立.以上证明应用了()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法配合使用D.间接证法【解析】该证明方法符合分析法的定义，故选A.【答案】 A3.(2016·汕头高二检测)要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A.2ab －1－a 2b 2≤0 B.a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D.(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D4.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A.a 2<b 2＋c 2B.a 2＝b 2＋c 2C.a 2>b 2＋c 2D.a 2≤b 2＋c 2【解析】 由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0， ∴b 2＋c 2－a 2<0， 即b 2＋c 2<a 2. 【答案】 C5.分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A.a －b >0B.a －c >0C.(a －b )(a －c )>0D.(a －b )(a －c )<0 【解析】 由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2 ⇐b 2＋a (a ＋b )<3a 2⇐b 2＋a 2＋ab <3a 2 ⇐b 2＋ab <2a 2⇐2a 2－ab －b 2>0⇐a 2－ab ＋a 2－b 2>0⇐a (a －b )＋(a ＋b )(a －b )>0 ⇐a (a －b )－c (a －b )>0⇐(a －b )(a －c )>0，故选C. 【答案】 C二、填空题6.(2016·烟台高二检测)设A＝12a＋12b，B＝2a＋b(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________.【解析】∵A－B＝a＋b2ab－2a＋b＝（a＋b）2－4ab2ab（a＋b）＝（a－b）22ab（a＋b）≥0，∴A≥B.【答案】A≥B7.(2016·西安高二检测)如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是________.【导学号：94210016】【解析】要使a a>b b成立，只需(a a)2>(b b)2，只需a3>b3>0，即a，b 应满足a>b>0.【答案】a>b>08.如图1-2-5，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写出一个条件即可).图1-2-5【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)三、解答题9.设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】法一：分析法要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立.而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证.法二：综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，∴a3＋b3>a2b＋ab2.10.(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥43S.【证明】要证a2＋b2＋c2≥43S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2ab cos C)≥23ab sin C，即证a2＋b2≥2ab sin(C＋30°)，因为2ab sin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立，所以a2＋b2＋c2≥43S.[能力提升]1.已知a，b，c，d为正实数，且ab<cd，则()A.ab<a＋cb＋d<cdB.a＋cb＋d<ab<cdC.ab<cd<a＋cb＋dD.以上均可能【解析】先取特殊值检验，∵ab<c d，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，则a＋cb＋d＝25，满足ab<a＋cb＋d<cd.∴B，C不正确.要证ab<a＋cb＋d，∵a，b，c，d为正实数，∴只需证a(b＋d)<b(a＋c)，即证ad<bc.只需证ab<cd，而ab<cd成立，∴ab<a＋cb＋d.同理可证a＋cb＋d<cd.故A正确，D不正确.【答案】 A2.(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是()A.a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b>a＋b(a>0，b>0)C.a－a－1<a－2－a－3(a≥3)D.2＋10>2 6【解析】对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对于B，∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，∴a＋b>a＋b；对于C，要证a－a－1<a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3 <a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2a（a－3）<2a－3＋2（a－2）（a－1），即a（a－3）<（a－2）（a－1），两边平方得a2－3a<a2－3a＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10 <26，故D错误.【答案】 D3.使不等式3＋22>1＋p成立的正整数p的最大值是________.【导学号：94210017】【解析】由3＋22>1＋p，得p<3＋22－1，即p<(3＋22－1)2，所以p<12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.【答案】124.(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0<x<1，求证：log x a＋b2＋log xb＋c2＋log xa＋c2<log x a＋log x b＋log x c.【证明】要证明log xa＋b2＋log xb＋c2＋log xa＋c2<log x a＋log x b＋log x c，只需要证明log x⎝⎛⎭⎪⎫a＋b2·b＋c2·a＋c2<log x(abc)，而已知0<x<1，故只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2>abc.∵a，b，c是不全相等的正数，∴a＋b2≥ab>0，b＋c2≥bc>0，a＋c2≥ac>0，∴a＋b2·b＋c2·a＋c2>a2b2c2＝abc，即a＋b2·b＋c2·a＋c2>abc成立，∴log xa＋b2＋log xb＋c2＋log xa＋c2<log x a＋log x b＋log x c成立.。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 分析法和综合法在生活中的运用
分析法和综合法在生活中的运用所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件或某些已经证明过的结论出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．所谓分析法，是指“执果索因”的思想方法，即从结论出发，不断地去寻找须知，直至达到已知事实为止的方法．例1：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，试证明当20x =时一年的总运费与总存储费用之和最小。
（综合法）证明：由题意得总费用40044y x x=⋅+， 由均值不等式有：4004480(y x x =⋅+≥当且仅当40044x x⋅=即20x =时取“=”） 故当20x =时一年的总运费与总存储费用之和最小。
评述：本题考查了不等式在实际生活中的应用,考查了均值不等式等号成立的条件.运用的方法是综合法，从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论．例2：某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即10x ，0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的 z 倍. (1)设y=ax ，其中a 是满足31≤a ＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值；(2)若y=32x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围.（分析法） 解：(1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p(1+10x )元、n(1－10y )元、npz 元，因而 )10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=，在y=ax 的条件下，z=1001［－a ［x －a a )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］.由于31≤a ＜1，则0＜a a )1(5-≤10.要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x=a a )1(5 .（此处用分析法） (2)由z=1001 (10+x)(10－32x)＞1，解得0＜x ＜5. 评述：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力.函数定义域通常都是解不等式得到，利用不等式方法可以求出函数值的取值范围.如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，本题利用最值这个“结果”去索“等号成立的条件”这个因，避免了不必要的错误.。
「精品」高中数学第一章推理与证明1.2综合法与分析法分析法1教案北师大版选修22
分析法一、教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：分析法；2、了解分析法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解分析法的思考过程、特点；难点：分析法的思考过程、特点。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、复习：综合法的思考过程、特点（二）、引入新课在数学证明中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等。
特点：执果索因。
即：要证结果Q ，只需证条件P（三）、例题探析例1、已知：a ，b 是不相等的正数。
求证：2233ab b a b a +>+。
证明：要证明2233ab b a b a +>+只需证明 )())((22b a ab b ab a b a +>+-+，只需证明 0)())((22>+-+-+b a ab b ab a b a ，只需证明 0)2)((22>+-+b ab a b a ，只需证明 0))((2>-+b a b a ，只需证明 0)(0)(2>->+b a b a 且。
由于命题的条件“a ，b 是不相等的正数”，它保证上式成立。
这样就证明了命题的结论。
例2、求证：10578+>+。
证明：要证明 10578+>+，只需证明 22)105()78(+>+，即 50210556278++>++，只需证明 5056>，即 56>50，这显然成立。
这样就证明了10578+>+ 例3、求证：函数16122)(2+-=x x x f 在区间（3，+∞）上是增加的。
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分析法
一、教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：分析法；2、了解分析法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解分析法的思考过程、特点；难点：分析法的思考过程、特点。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习：综合法的思考过程、特点
（二）、引入新课
在数学证明中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等。
特点：执果索因。
即：要证结果Q ，只需证条件P
（三）、例题探析
例1、已知：a ，b 是不相等的正数。
求证：2
233ab b a b a +>+。
证明：要证明2233ab b a b a +>+
只需证明 )())((22b a ab b ab a b a +>+-+，
只需证明 0)())((22>+-+-+b a ab b ab a b a ，
只需证明 0)2)((22>+-+b ab a b a ，
只需证明 0))((2>-+b a b a ，
只需证明 0)(0)(2>->+b a b a 且。
由于命题的条件“a ，b 是不相等的正数”，它保证上式成立。
这样就证明了命题的结论。
例2、求证：10578+>+。
证明：要证明 10578+>+，
只需证明 22)105()78(+>+，
即 50210556278++>++，
只需证明 5056>，
即 56>50，这显然成立。
这样就证明了10578+>+
例3、求证：函数16122)(2+-=x x x f 在区间（3，+∞）上是增加的。
证明：要证明函数16122)(2+-=x x x f 在区间（3，+∞）上是增加的，
只需证明 对于任意1x ，2x ∈（3，+∞），且1x >2x 时，有0)()(21>-x f x f ，
只需证明 对任意的1x >2x >3，有
)6)((2)
(12))((2)
1212(22)
16122)(16122()()(212121212121222122212121>-+-=--+-=---=+-+-=-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f
∵1x >2x >3
∴1x -2x >0，且1x +2x >6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数16122)(2+-=x x x f 在区间（3，+∞）上是增加的。
（四）、小结：分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件。
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（五）、练习：课本11P 练习1：1、2。
（六）、作业：课本12P 习题1-2 4、5。
五、教后反思：。