乘法公式的几何背景
乘法公式的几何背景
• 图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形， 用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状 和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一 个正方形，则中间空的部分的面积是（ ） 2 2 2 2 m n m n • A、mn B、m n C D
• 如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片 是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分 别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸 片4张，则应至少取丙类纸片 _________ 张 才能用它们拼成一个新的正方形．
• 如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1 张，边长分别为a、b的矩形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方 形，则这个正方形的边长为 _________ ．
• 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公 式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平 方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能 得到的数学公式是 _________ ．
• 阅读材料并回答问题： • 我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际 上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示， 2a ba b 2a 2 3ab b 2 ，就可以用图（1）或图 如： （2）等图形的面积表示 （1）请写出图（3）所表示的代数恒等式： _________ ； （2）试画一个几何图形，使它的面积表示： 2a ba b 2a 2 3ab b 2
乘法公式的几何背景
如图4-3剪两张边长均为x的正方形纸片，再剪三张 长为x,宽为1的长方形纸片和一张边长为1的正方形 纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形？ 由此你发现了什么？
• 图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用 剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和 大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个 正方形，则中间空的部分的面积是（ ） 2 2 2 2 a b • A．ab B． C． a b D． a b
2014中考总复习第3讲整式的乘除与因式分解
3. (2010·湖州中考)将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置, 你能 根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 .
【解析】 图甲的面积= ( a+b) ( a-b) , 图乙的面积=a( a-b) +b( a-b) =a2-ab+ab-b2=a2-b2. 【答案】 ( a+b) ( a-b) =a2-b2
第一部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
1. 已知 a2+2ab+b2=0, 求代数式 a( a+4b) -( a+2b) ( a-2b) 的值.
2 【解析】 ∵a2+2ab+b2= ( a+b) =0
∴a+b=0 a( a+4b) -( a+2b) ( a-2b) =a2+4ab-a2+4b2=4ab+4b2=4b( a+b) =0. 【答案】 0
(3)分解
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知识考点 01 整式的乘除 1.单项式的乘法:积的系数等于各因式系数的积,这是数的乘法,应先确 定符号,再计算绝对值;相同的字母相乘,是同底数幂的乘法,底数不变,指 数相加;只在一个单项式里出现的字母,要连同它的指数写在积里,千万 不要把这个因式丢掉;单项式乘以单项式的结果仍是一个单项式. 2.单项式乘多项式: (1)单项式与多项式相乘,根据分配律,用单项式乘多项式的各项,再 将其转化为单项式的乘法,不可漏乘.
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5.多项式除以单项式:(am+bm+cm)÷m= 三、乘法公式 1.平方差公式:(a+b)(a-b)= 2.完全平方公式:(a±b)2= 四、因式分解 1.概念:把一个多项式化成几个 的因式分解. . .
三角形式乘除的几何意义
三角形式乘除的几何意义（实用版）目录1.引言：介绍三角形式乘除的概念2.三角形式乘除的概念及其运算规则3.三角形式乘除的几何意义4.应用举例5.结论：总结三角形式乘除的重要性正文【引言】在数学中，三角形式乘除是一种特殊的运算方式，其具有深厚的几何背景。
在解决一些复杂的数学问题时，三角形式乘除能够提供一种直观且简洁的解决方案。
本文将从三角形式乘除的概念入手，探讨其几何意义及应用。
【三角形式乘除的概念及其运算规则】三角形式乘除是一种基于三角形的运算方式。
给定一个三角形，我们可以通过三角形的三个顶点来表示它的面积。
设三角形 ABC 的三个顶点分别为 A(x1, y1)，B(x2, y2) 和 C(x3, y3)，那么三角形 ABC 的面积S 可以通过下列公式计算：S = 0.5 * |(x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2))| 类似地，我们可以通过三角形的三个顶点来表示向量。
设向量 A = (x1 - x3, y1 - y3)，向量 B = (x2 - x3, y2 - y3)，那么向量 C = A * B。
这里，"*"表示三角形式乘法。
三角形式乘法的逆运算称为三角形式除法。
【三角形式乘除的几何意义】三角形式乘除在几何上具有直观的含义。
三角形式乘法表示的是两个向量之间的“缩放”。
具体来说，如果我们将向量 A 看作是从原点出发到点 A 的向量，那么向量 B 就是从点 A 出发到点 B 的向量。
三角形式乘法就是将向量 A“缩放”到向量 B 的过程。
而三角形式除法则表示的是向量的“还原”。
【应用举例】假设我们在平面直角坐标系中有两个向量 A = (2, 3) 和 B = (4, 6)。
首先，我们可以通过三角形式乘法计算它们的乘积：A *B = (2 * 4 - 3 * 6, 2 * 6 - 3 * 4) = (-6, 6)然后，我们可以通过三角形式除法计算向量 A 除以向量 B 的结果：A /B = (2 / 4, 3 / 6) = (0.5, 0.5)可以看到，向量 A 经过三角形式乘法后得到了一个新的向量，而通过三角形式除法，我们又可以将这个新向量“还原”回向量 A。
乘法公式
a 11, b 9,
所以这两个正方形的面积分别为121 cm2,81 cm2.
评述：本题依据题设条件，建立二元一次方程 组．解题过程运用乘法公式，缩短解答过程．
(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y= ； (2)已知ax+by=3,ay‒bx=5，则(a2+b2) (x2+y2)的值为
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2； (a–b)2=a2–2ab+b2
.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它 们的积的2倍. 会推导：(a+b)2= (a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2= a2+2ab+b2. (a‒b)2= (a‒b)(a–b)=a2–ab–ba+b2= a2–2ab+b2. 几何解释 公式结构特点 ①左边都是一个二项 式 的完 全 平方 ； 右边 都 是二次三项式．
计算或化简 (1)(‒2m+5n)(2m‒5n)； (2) (a+3b‒2c)(a‒3b+2c). (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) (4) (a+b‒c)2 (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) = ‒ (m+n) (m ‒n) (m2+n2)( m4+n4) = ‒ (m2‒n2) (m2+n2)( m4+n4) = ‒ ( m4‒n4) ( m4+n4) = ‒ ( m8‒n8) = n8‒m8.
初中数学精品教学设计： 乘法公式与面积问题
《0205 乘法公式与面积问题》微设计学习目标:1.通过利用图形面积计算来验证平方差公式和完全平方公式的进一步研究，学会利用图形的面积计算得到相应的乘法公式；2.学会根据乘法公式设计相应的图形利用面积验证公式；3.体会几何直观和数形结合的数学思想方法的应用。
学习重点：会利用图形的面积计算验证相应的乘法公式；1 学习难点：利用乘法公式设计对应的图形，并进行验证。
教学过程： 一、背景问题教材利用如图1，和如图2，分别验证了： 平方差公式:()()22a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 完全平方公式:()222+2a b a ab b +=+两数和的平方,等于这两个数的平方和加上它们的积的2倍.你能设计不同的方法来验证平方差公式吗？ 又能通过怎样的图形来验证()2222a b a ab b -=-+呢？二、数学解决 平方差公式的验证： 方法1： 方法2：图 1图2方法3：方法4：我们还可以利用下图验证两数差的完全平方公式：分析：如图可知，大正方形的面积为2a ，左上角正方形的面积为()2a b -，则其面积还可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积2ab ，再加上右下角一个小正方形的面积2b ，即()2222a b a ab b -=-+.例：图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是( )A ． ()()224m n m n mn +--= B.()()222+2m n m nmn +-=C ．()2222m n mn m n -+=+ D ．()()22m n m n m n +-=-分析：此例题也可以作为完全平方公式的验证。
练习：阅读材料并解答问题：我们已经知道，公式()222+2a b a ab b +=+可以用平面图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：()()2222+3a b a b a ab b ++=+就可以用图1或图2的面积表示.(1)请写出图3中所表示的代数恒等式:_______________.图①图②ab ab ab ab b 2b 2b 2b bbbaa 2a（2）试画一个几何图形，使它的面积能表示: ()()223+43a b a b a ab b ++=+ （3）小明用2张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 、b 的长方形重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为_____________ .（1）分析：观察图形可知这个长方形的长为()2a b +，宽为()2a b +，根据长方形的面积为长乘以宽，得左边为()()22a b a b ++，又长方形的面积等于各部分的面积的和，所以右边为()22252a ab b ++， 从而得恒等式为()()2222=252a b a b a ab b ++++。
专题1.6乘法公式的几何背景专项训练(30道)(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题1.6 乘法公式的几何背景专项训练（30道）【北师大版】1．（2021秋•无为市期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−120202)(1−120212)．2．（2021秋•商城县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝，S2＝（直接用含a，b的代数式表示）（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．3．（2021秋•长春期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．4．（2021春•奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是．（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b 的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．5．（2021秋•东莞市期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×⋯×(1−120202)×(1−120212)．6．（2021秋•黔西南州期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．7．（2021秋•科左中旗期末）探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．8．（2021秋•西城区校级期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题．构图一，小函同学从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（1）），然后拼成一个平行四边形（如图（2）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）．A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）构图二、小云同学在数学课上画了一个腰长为a的等腰直角三角形，如图3，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为b（a＞b）的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于a、b的等式．9．（2021秋•思明区校级期末）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）图3可以解释为等式；（2）要拼出一个两边长为a+b，2a+b的长方形，需要图1中的三种纸片各多少块？请先画出图形，再利用整式乘法验证你的结论．10．（2021春•东海县期末）如图1，是边长分别为a和b的两种正方形纸片．（1）若用这两种纸片各1张按照如图2方式放置，其未叠合部分（阴影部分）面积为S1，则S1＝；（用含a，b的代数式表示）（2）在（1）中图2的基础上，再在大正方形的右下角摆放一张边长为b的小正方形纸片（图3），两个小正方形叠合部分（阴影部分）面积为S2，试求S2．（用含a，b的代数式表示）11．（2021秋•孝义市期末）完全平方公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中，p＝a，q＝b的特殊情形．完全平方公式可以用图形表示说明．知识再现如图1，大正方形的面积有两种表示方法．方法一：大正方形可以看作是边长为（a+b）的正方形，则大正方形的面积可以表示为；方法二：大正方形的面积还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的和，即S1，S2，S3，S4的和，则大正方形的面积可以表示为；所以图1中大正方形的面积可以说明的公式是；经验总结完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图1，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：解：∵a+b＝3，即大正方形的面积为9，∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．应用迁移如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝13，求△BCD的面积．（用两种方法解答）12．（2021秋•章贡区期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为．（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．13．（2021秋•龙岩期末）（1）【观察】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出（a+b）2，（a ﹣b）2，ab之间的等量关系：．（2）【应用】若m+n＝6，mn＝5，则m﹣n＝；（3）【拓展】如图3，正方形ABCD的边长为x，AE＝5，CG＝15，长方形EFGD的面积是300，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．14．（2021秋•巧家县期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．方法1：；方法2：．（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．15．（2021秋•花都区期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．方法1：；方法2：；请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：．（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．16．（2021秋•上蔡县期末）利用平面图形中面积相等的等量关系可以得到某些数学公式．例如：根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）根据图②，可以得到的数学公式是；（2）根据图③，请写出（a+b）、（a﹣b）、ab的等量关系是．（3）根据图④，请写出一个等式：；（4）小明同学使用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，恰好拼成一个面积为（3a+b）（a+3b）的长方形，则可得x+y+z的值为；（5）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．现请你根据图⑥，写出一个等式：．17．（2021秋•西峰区期末）阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．18．（2021秋•宽城区期末）【教材呈现】图①、图②、图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式：，．（2）图③是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之间的等量关系：．【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：（3）当m+n＝5，mn＝4时，求m﹣n的值．（4）当A=m+34，B＝m﹣3时，化简（A+B）2﹣（A﹣B）2．19．（2021秋•南昌县期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长为a、b的长方形纸片．请解答下列问题：（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝；（2）请写出图3中所表示的数学等式：；（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝；（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b=12，求2a+b的值．20．（2021秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．21．（2021秋•永春县期中）发现与探索：小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是棱长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（1）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为；（2）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．22．（2021春•盐湖区校级期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2来表示．（1）上述的方法体现了一种数学思想方法，这种数学思想方法是．A、转化思想B、方程思想C、数形结合思想D、分类讨论（2）请写出图3中所表示的整式乘法的等式．（3）试画出一个几何图形，使它的面积能够表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．（4）请仿照上述方法写出另一个含有a、b的等式，并画出与之对应的几何图形．23．（2021春•龙华区期末）阅读下面的材料，然后解答后面的问题：在数学中，“算两次”是一种常用的方法．其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．理解：（1）运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是；应用：（2）七（1）班某数学学习小组用8个直角边长为a、b的全等直角三角形拼成如图3所示的中间内含正方形A1B1C1D1与A2B2C2D2的正方形ABCD，运用“算两次”的方法计算正方形A2B2C2D2的面积，可以得到的等式是；拓展：如图4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是AB上一动点．求CD的最小值．24．（2021春•靖江市月考）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系：；（2）利用（2）中的结论，若x+y＝4，xy=94，则（x﹣y）2的值是；（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：；（4）如图④，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n时，试求S2021﹣S2020的值．25．（2020秋•天河区期末）某地产公司为了吸引年轻人购房，推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米（0＜9b＜a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题：（1）设两种户型的主房面积差为M，入户花园的面积差为N，试比较M和N的大小．（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型单价较低，并说明理由．26．（2021春•临渭区期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式．（2）用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，完成下列问题：①当a+b＝5，ab＝﹣6时，则a﹣b的值为．②设A=x+2y−34，B＝x﹣2y﹣3，计算：（A+B）2﹣（A﹣B）2的结果．27．（2021秋•延边州期末）（1）在数学中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．若a﹣b＝3，ab＝2，则a2+b2＝；（2）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和CBF，已知，EF＝2，△ACF的面积为6，设AC＝a，BC＝b，求△ACE与△CBF的面积之和；（3）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝7，CN＝3，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为60，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为．28．（2021秋•二道区期末）例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；（3）如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝2，长方形EMFD的面积是12，分别以MF、DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，则x的值为．29．（2021秋•朝阳区校级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张两边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）的长方形，则x+y+z＝．30．（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足时，S为定值，且定值为．（用含a或b的代数式表示）。
乘法公式(第2课时)(课件)七年级数学下册课件(苏科版)
新知探索
借助几何图形证明：
a
a
a-b
a-b
a
b
a-b
a2-b2
b
b
(a+b)(a-b)
两个相同的梯形的面积和_________;
a2-b2
大正方形面积与小正方形的面积差_______.
(a+b)(a-b)
新知归纳
平方差公式
(a+b)(a－b)= a2－b2
文字表述：
两数和与这两数差的积,等于 这两数的平方差.
你也没有吃亏，你看如何？” 张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了 ，回到家中，
他把这件事对邻居讲了，邻居一听，说：“张老汉你吃亏了！”，张老汉
非常吃惊.同学们，你知道为什么吗？
a米
2米
a米
a米
a2
(a-2)米
？
(a+2)(a-2)
新知探索
计算下列多项式的积
a2-2a+2a-4 a2－4
(1) (a+2)(a-2)=___________=______；
(2) (m+2n)(2n－m);
解:原式= (5x)2 - y2
原式=(2n+m)(2n－m)
=25x2 - y2
=(2n)2－m2
=4n2－m2
例题讲解
例1
用平方差公式计算：
(3) (3y-x)(-x-3y).
原式= (-x+3y)(-x-3y)
=(-x)2－(3y)2
= x2－9y2
完全平方公式、平方差
相同项
相反项
特征:
两个二项式
相乘
新知应用
(a+b)(a－b)= a2－b2
八年级数学上册《乘法公式》专项训练带解析,给孩子期末复习!
八年级数学上册《乘法公式》专项训练带解析，给孩子期末复习！专题一乘法公式1．下列各式中运算错误的是（D）A．a²+b²=(a+b)²－2abB．(a－b)²=(a+b)²－4abC．(a+b)(－a+b)=－a²+b²D．(a+b)(－a－b)=－a²－b²解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)²－2ab=a+2ab+b²－2ab=a²+b²，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)²=a²－2ab+b²，(a+b)²－4ab=a²+2ab+b²－4ab=a²－2ab+b²，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b²－a²=－a²+b²，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)²=－a²－2ab－b²，故D错误．2．代数式(x+1)(x－1)(x²+1)的计算结果正确的是（A）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4 D．(x+1)4解析：原式=(x²－1)(x²+1)=(x²)²－1=x4－1．3．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)²－2(2x²－xy)（其中x=2，y=3）．解：原式=4x²－y²+x²+2xy+y²－4x+2xy=x²+4xy，当x=2，y=3时，原式=2²+4×2×3=4+24=28．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ B ）A．（a+b）（a－b）=a²－b²B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a－2ab+b²D．（a+b）²=a²+ab+b²解析：这个图形的整体面积为(a+b)²；各部分的面积的和为a²+2ab+b²；所以得到公式（a+b）²=a²+2ab+b²．故选B．5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（C）A．a²－b²=（a+b）（a－b）B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a²－2ab+b²D．a（a+b）=a²+ab解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）²和b²，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）²，∴（a－b）²=a²－2ab+b²，故选C．6．我们在学习完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）²”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）²吗？解：（a+b+c）²的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）²，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．。
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学案三、乘法公式的几何背景
1. 通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，下图可表示的代数恒等式是：（ ）
A ．()2222——b ab a b a +=
B ．()2222b ab a b a ++=+
C ．()ab a b a a 2222+=+
D ．()()22——b a b a b a =+
2.在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下部分拼成一个矩形，计算面积，验证
了一个等式（ ）
A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2
B ．a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）
C ．（a-b ）2=a 2-2ab+b 2
D ．a 2-ab=a （a-b ）
3. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再沿虚线剪开，如图（1），然后拼成一个梯形，如图（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（ ）
A.a 2-b 2=（a+b ）（a-b ） B ．（a+b ）2=a 2+2ab+b
2 C ．（a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D ．a 2-b 2=（a-b ）
2
第1题图 第2题图 第3题图
4. 如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（ ）
A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2
B ．（a-b ）2=a 2-2ab+b 2
C ．a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）
D ．（a+b ）2=（a-b ）2+4ab
5. 如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a 、b （a ＞b ），则这两个图形能验证的式子是（ ）
A ．（a+b ）2-（a-b ）2=4ab B.（a 2+b 2）-（a-b ）2=2ab
C ．（a+b ）2-2ab=a 2+b 2
D ．（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2
6.如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形．
第4题图 第5题图 第6题图
7.如下图，把正方形的方块，按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式．
按图1所示划分，计算面积，
便得到一个乘法公式：
若按图2那样划分，，通过计算图中的面积，
得到一个公式：
8.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②我们知道：同一个长方形的面积是确定的数值．
由此，你可以得出的一个等式为：
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图并说明推出的过程．
9.如图：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，利用此图证明平方差公式．
10.阅读材料并回答问题：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．
（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：；
（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；
（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．。