部分课外平面几何定理证明
平面几何-五大定理及其证明
平面几何定理及其证明梅涅劳斯定理1 .梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G. 因为 CG // AB ，所以 CG CF --------------------- （ 1）AD FA因为 CG // AB ，所以 EC （ 2） DB BEC F ，即得 AD C FEC FA DB EC FA2.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在 ABC 的边AB BC 上各有一点 D E ,在边 AC 的延长线上有一点 F ,若二、 塞瓦定理3 .塞瓦定理及其证明定理：在ABC 内一点P,该点与ABC 的三个顶点相连所在的 三条直线分别交 ABCE 边AB BC CA 于点D E 、F ,且D E 、F 三点均不是 ABC不是ABC 的顶点，则有AD BECF 1DB EC由（1）宁（2） DB可得兀AD BE CF DB EC FA1，那么，D E 、F 三点共线.证明：设直线EF 交AB 于点D ，则据梅涅劳斯定理有AD /BE CF 丽EC FA因为AD Bl CF DB EC FA1，所以有誥段AB 上，所以点D 与D 重合.即得D鴿.由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.证明：运用面积比可得 ADDB S ADP S BDPS ADC S BDC根据等比定理有S ADP S ADCSADC S ADP S APCSSBDPBDCSBDCSBDPS的顶点，则有AD BE CF “1 DB EC FA .所以AD S A PC .同理可得BE SDB S BPCAPB, CFEC S APC FA SBPCS APB三式相乘得竺吏 DB EC CF i FA 4.塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在 ABC 三边AB BC CA 上各有一点 H 1，那么直线CD AE BF 三线共点. DE 、F ,且 D E 、 F 均不是 ABC 的顶点,AD BE若 DB EC证明：设直线AE 与直线BF 交于点P,直线CP 交AB 于点D ,则 据塞瓦定理有 AD Z DBBE EC CA1 -1,所以有 段AB 上，所以点D 与D 重合.即得 因为竺 DB EC CF FA AD DB D DDB •由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.三、西姆松定理 5.西姆松定理及其证明 定理：从 ABC 外接圆上任意一点 F ,则D E 、F 三点共线. 证明：如图示，连接PC ,连接EF P 向BC CA AB 或其延长线引垂线, 垂足分别为DE、交BC 于点D ，连接P D• 因为PE 因为A 、 所以， 共圆. 所以， 即 PD BC 由于过点 F D E 、 四、 6 AE,PF AF,所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得B 、P 、C 四点共圆，所以 FEP = BCP 即 DEP = CDP + CEP = 180°。
十大高中平面几何几何定理汇总及证明
高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q,AB与PQ的连线交于点M,则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况,分别作三角形高,由相似三角形可证S△PAB=S△PAM-S△PMB=S△PAM/S△PMB-1×S△PMB=AM/BM-1×S△PMB等高底共线,面积比=底长比同理,S△QAB=AM/BM-1×S△QMB所以,S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM等高底共线,面积比=底长比定理得证特殊情况：当PB∥AQ时,易知△PAB与△QAB的高相等,从而S△PAB=S△QAB,反之,S△PAB=S△QAB,则PB∥AQ;2.正弦定理在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=Rr为外接圆半径,R为直径证明：现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O;我们考虑∠C及其对边AB;设AB长度为c;若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c= 2r;∵特殊角正弦函数值∴若∠C为锐角或钝角,过B作直径BC`交⊙O于C`,连接C'A,显然BC'= 2r=R; 若∠C为锐角,则C'与C落于AB的同侧,此时∠C'=∠C同弧所对的圆周角相等∴在Rt△ABC'中有若∠C为钝角,则C'与C落于AB的异侧,BC的对边为a,此时∠C'=∠A,亦可推出;考虑同一个三角形内的三个角及三条边,同理,分别列式可得;3.分角定理在△ABC中,D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点,连结AD,则有BD/CD=sin∠BAD/sin∠CADAB/AC;证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD………… 1.1S△ABD/S△ACD=1/2×AB×AD×sin∠BAD/1/2 ×AC×AD×sin∠CAD= sin∠BAD/sin∠CAD ×AB/AC…………1.2由1.1式和1.2式得BD/CD=sin∠BAD/sin∠CAD ×AB/A C4.张角定理在△ABC中,D是BC上的一点,连结AD;那么;证明：设∠1=∠BAD,∠2=∠CAD由分角定理,S△ABD/S△ABC=BD/BC=AD/ACsin∠1/sin∠BAC→ BD/BCsin∠BAC/AD=sin∠1/AC 1.1S△ACD/S△ABC=CD/BC=AD/ABsin∠2/sin∠BAC→ CD/BCsin∠BAC/AD=sin∠2/AB 1.21.1式+1.2式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD5.帕普斯定理直线l1上依次有点A,B,C,直线l2上依次有点D,E,F,设AE,BD交于G,AF,DC交于I,BF,EC交于H,则G,I,H共线;6.蝴蝶定理设S为圆内弦AB的中点,过S作弦CF和DE;设CF和DE各相交AB于点M和N,则S 是MN的中点;证明：过O作OL⊥ED,OT⊥CF,垂足为L、T,连接ON,OM,OS,SL,ST,易明△ESD∽△CSF∴ES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2,FT=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O,S,N,L四点共圆,一中同长同理,O,T,M,S四点共圆∴∠STM=∠SOM,∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS7.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线,则三垂足共线;此线常称为西姆松线;证明：若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、L、P、N和P、M、C、L分别四点共圆,有∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP.故A、B、P、C四点共圆;若A、P、B、C四点共圆,则∠NBP= ∠MCP;因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆,有∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.故L、M、N三点共线;西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上;证明：PM⊥AC,PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圆8.清宫定理设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点,P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F,则D、E、F在同一直线上.证明：A、B、P、C四点共圆,因此∠PCE=∠ABP点P和V关于CA对称所以∠PCV=2∠PCE又因为P和W关于AB对称,所以∠PBW=2∠ABP从这三个式子,有∠PCV=∠PBW另一方面,因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角,所以∠PCQ=∠PBQ两式相加,有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ即∠QCV=∠QBW即△QCV和△QBW有一个顶角相等,因此但是,,所以同理,于是根据梅涅劳斯定理的逆定理,D、E、F三点在同一直线上;9.密克定理三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O,而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点;设A为C1的点,直线MA交C2于B,直线PA交C3于C;那么B, N, C这三点共线;逆定理：如果是三角形,M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上,那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O;完全四线形定理如果ABCDEF是完全四线形,那么三角形的外接圆交于一点O,称为密克点;四圆定理设C1, C2,C3, C4为四个圆,A1和B1是C1和C2的交点,A2和B2是C2 和C3的交点,A3和B3是C3和C4的交点,A4和B4是C1和C4的交点;那么A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆;证明：在△ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N,对AMN,△BWN和△CWM分别作其外接圆,则这三个外接圆共点;该定理的证明很简单,利用“圆内接四边形对角和为180度”及其逆定理;现在已知U是和的公共点;连接UM和UN,∵四边形BNUW和四边形CMUW分别是和的内接四边形,∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度∴∠UWB=∠UNA;同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度∴∠UWB=∠UMC;∵∠UMC+∠UMA=180度∴∠UNA+∠UMA=180度,这正说明四边形ANUM是一个圆内接四边形,而该圆必是,U必在上;10.婆罗摩笈多定理圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足为M;EF⊥BC,且M在EF上;那么F是A D 的中点;证明：∵AC⊥BD,ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°,同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF,即F是AD中点逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直,则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边;证明：∵MA⊥MD,F是AD中点∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD,∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°∴∠CBD+∠BME=90°∴EF⊥BC11.托勒密定理圆内接四边形中,两条对角线的乘积两对角线所包矩形的面积等于两组对边乘积之和一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．圆内接四边形ABCD,求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．证明：过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP,AC·BP=AD·BC ①;又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP,AC·DP=AB·CD ②;①+②得ACBP+DP=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．12.梅涅劳斯定理当直线交三边所在直线于点时,;证明：过点C作CP∥DF交AB于P,则两式相乘得梅涅劳斯逆定理：若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上,且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,则F、D、E三点共线;证明：先假设E、F、D三点不共线,直线DE与AB交于P;由梅涅劳斯定理的定理证明如利用平行线分线段成比例的证明方法得：AP/PBBD/DCCE/EA=1;∵ AF/FBBD/DCCE/EA=1;∴ AP/PB=AF/FB ；∴ AP+PB/PB=AF+FB/FB ；∴ AB/PB=AB/FB ；∴ PB=FB；即P与F重合;∴ D、E、F三点共线;13.塞瓦定理在△ABC内任取一点O,延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则BD/DC×CE/EA×AF/FB=1;∵△ADC被直线BOE所截,∴CB/BDDO/OAAE/EC=1①∵△ABD被直线COF所截,∴BC/CDDO/OAAF/FB=1②②/①约分得：DB/CD×CE/EA×AF/FB=114.圆幂定理相交弦定理：如图Ⅰ,AB、CD为圆O的两条任意弦;相交于点P,连接AD、BC,由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角,因此由圆周角定理知：∠B=∠D,同理∠A=∠C,所以;所以有：,即：;割线定理：如图Ⅱ,连接AD、BC;可知∠B=∠D,又因为∠P为公共角,所以有,同上证得;切割线定理：如图Ⅲ,连接AC、AD;∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角,因此有∠PBC=∠D,又因为∠P为公共角,所以有,易证图Ⅳ,PA、PC均为切线,则∠PAO=∠PCO=90°,在直角三角形中：OC=OA=R,PO为公共边,因此;所以PA=PC,所以;综上可知,是普遍成立的;弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数;点对圆的幂P点对圆O的幂定义为点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；点P在圆O上→P对圆O的幂为0;三角形五心：内心：三角形三条内角平分线的交点外心：三角形三条边的垂直平分线中垂线的相交点重心：三角形三边中线的交点垂心：三角形的三条高线的交点旁心：三角形的旁切圆与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆的圆心九点圆心：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆的圆心15.根心定理三个两两不同心的圆,形成三条根轴,则必有下列三种情况之一：1 三根轴两两平行；2 三根轴完全重合；3 三根轴两两相交,此时三根轴必汇于一点,该点称为三圆的根心;平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线,则三条根轴相交于一点,这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行;根轴定义：A与B的根轴L1：到A与B的切线相等的点;B与C的根轴L2：到B与C的切线相等的点;证明设A、B、C三个圆,圆心不重合也不共线;考察L1与L2的交点P;因为P在L1上,所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离;因为P在L2上,所以：P到B的切线距离=P到C的切线距离;所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离=P到C的切线距离;也就是：P到A的切线距离=P到C的切线距离;所以：P在A与C的根轴上; 所以：三个根轴交于一点;16.鸡爪定理设△ABC的内心为I,∠A内的旁心为J,AI的延长线交三角形外接圆于K,则KI=KJ=KB=KC;证明：由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2,∠JBC=180°-∠ABC/2∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ同理,∠ICJ=90°∵∠IBJ+∠ICJ=180°∴IBJC四点共圆,且IJ为圆的直径∵AK平分∠BAC∴KB=KC相等的圆周角所对的弦相等又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB∴KB=KI由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是IJ的中点∴KB=KI=KJ=KC逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K;在AK及延长线上截取KI=KB=KJ,其中I在△ABC的内部,J在△ABC的外部;则I是△ABC的内心,J是△ABC 的旁心;证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理;取△ABC的内心I'和旁心J’,根据定理有KB=KC=KI'=KJ'又∵KB=KI=KJ∴I和I'重合,J和J’重合即I和J分别是内心和旁心17.费尔巴哈定理三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切设△ABC的内心为I,九点圆的圆心为V;三边中点分别为L,M,N,内切圆与三边的切点分别是P,Q,R,三边上的垂足分别为D,E,F;不妨设AB>AC;假设⊙I与⊙V相切于点T,那么LT与⊙I相交,设另一个交点为S;过点S作⊙I的切线,分别交AB和BC于V,U,连接AU;又作两圆的公切线TX,使其与边AB位于LT的同侧;由假设知∠XTL=∠LDT而TX和SV都是⊙I的切线,且与弦ST所夹的圆弧相同,于是∠XTL=∠VST因此∠LDT=∠VST则∠UDT+∠UST=180°这就是说,S,T,D,U共圆;而这等价于：LU×LD=LS×LT又LP²=LS×LT故有LP²=LU×LD另一方面,T是公共的切点,自然在⊙V上,因此 L,D,T,N共圆,进而有∠LTD=∠LND由已导出的S,T,D,U共圆,得∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB=∠AVU-∠B而∠LND=∠NLB-∠NDB=∠ACB-∠NBD=∠C-∠B这里用了LN∥AC,以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半所以,就得到∠AVU=∠C注意到AV,AC,CU,UV均与⊙I相切,于是有∠AIR=∠AIQ∠UIS=∠UIP∠RIS=∠QIS三式相加,即知∠AIU=180°也即是说,A,I,U三点共线;另外,AV=AC,这可由△AIV≌△AIC得到;这说明,公切点T可如下得到：连接AI,并延长交BC于点U,过点U作⊙I的切线,切点为S,交AB于V,最后连接LS,其延长线与⊙I的交点即是所谓的公切点T;连接CV,与AU交于点K,则K是VC的中点;前面已得到：LP²=LU×LD而2LP=BL+LP-CL-LP=BP-CP=BR-CQ=BR+AR-CQ+AQ=AB-AC=AB-AV=BV即 LP=BV然而LK是△CBV的中位线于是 LK=BV因之 LP=LK故LK²=LU×LD由于以上推导均可逆转,因此我们只需证明：LK²=LU×LD;往证之这等价于：LK与圆KUD相切于是只需证：∠LKU=∠KDU再注意到 LK∥ABLK是△CBV的中位线,即有∠LKU=∠BAU又AU是角平分线,于是∠LKU=∠CAU=∠CAK于是又只需证：∠CAK=∠KDU即证：∠CAK+∠CDK=180°这即是证：A,C,D,K四点共圆由于 AK⊥KC易得,AD⊥DC所以 A,C,D,K确实共圆;这就证明了⊙I与⊙V内切;旁切圆的情形是类似的;证毕另略证：OI2=R2-2RrIH2=2r2-2Rr'OH2=R2-4Rr'其中r‘是垂心H的垂足三角形的内切圆半径,R、r是三角形ABC外接圆和内切圆半径FI2=1/2OI2+IH2-1/4OH2=1/2R-r2FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切九点圆半径为外接圆半径一半;F是九点圆圆心,I为内心18.莫利定理将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形证明：设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c,三内角为3α,3β,3γ,则α+β+γ=60°;在△ABC中,由正弦定理,得AF=csinβ/sinα+β;不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AF=sin3γsinβ/sin60°-γ= sinβsinγ3-4sin²γ/1/2√3cosγ-sinγ= 2sinβsinγ√3cosγ+sinγ= 4sinβsinγsin60°+γ.同理,AE=4sinβsinγsin60°+β∴AF:AE=4sinβsinγsin60°+γ：4sinβsinγsin60°+β=sin60°+γ:sin60°+β=sin∠AEF:sin∠AFE∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得,∠CED=60°+α∠FED=180°-CED-AEF-α-γ=180°-60°-α-60°+α=60°∴△FED为正三角形19.拿破仑定理若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为60°的等腰三角形,则它们的中心构成一个等边三角形;在△ABC的各边上向外各作等边△ABF,等边△ACD,等边△BCE;。
平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理
平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理:定理1：若直线l 不经过 ABC 的顶点，并且与的延长线分别交于 P 、Q 、R,贝U BP CQ AR 1 PC QA RB证：设h A 、h B 、h C 分别是A 、B 、C 到直线l 的垂线的长度，贝u ：BP CQ AR h B h C hu 』 1PC QA RB h C h A h B注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件;例1：若直角 ABC 中，CK 是斜边上的高， 在AK 上，D 是AC 的中点， F 是DE 与CK的交点，证明:KF BK ——=—— FC BE KF BK ——=一 KC KE FKB CKE BF //CECE 是 ACK 的平分线， E 点BF // CE 。
证：在 则：EBC 中，作 B"分线BH EBC ACK HBC ACEHBC HCB ACE HCB 90即：BH CEEBC 为等腰三角形作BC 上的高EP,则:对丁 ACK 和三点D 、 CK EPE 、F 依梅涅劳斯定理有:CD AE KF , 1 DA EK FC匚曰KF EK CK 『是——=一 一FC AE ACEP BP BK AC BC BE依分比定理有: ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们【练习1从点K 引四条直线，另两条直 -一 一 、…AC和 A 1、B 1、C 1、D 1,试证： ------- 1 1 1BC线分别交这四条直线丁 A 、B 、C 、DAD BD定理2：设P 、Q 、R 分别是 ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上或它们的延长线上的 P 、Q 、R 三点中，位于 ABC 边上的点的个数为 0或2,这时若 既 PC 三点，并且 CQ AR QA RB 1, 求证：P 、Q 、R 三点共线; 证：设直线PQ 与直线AB 交丁 R ', 丁是由定理 BP CQ AR _ __ ' PC QA R B乂 BP CQ AR PC QA RB 由丁在同一直线上的 _ ' ____ AR AR1,则：^―=—— R B RB P 、Q 、R '三点中，位丁 ABC 边上的点的个数也为 0或2,因此R 与R '或者同在AB 线段上，或者同在 AB 的延长线上； 若R 与R '同在AB 线段上，则R 与R '必定重合，不然的话， 设AR AR ', AR AR BR BR 这时AB AR AB AR ',即BR BR ',丁是可得 _ ____ ' 这与AR =竺 矛盾 BR BR 类似地可证得当 R 与R '同在AB 的延长线上时,综上可得：P 、Q 、R 三点共线； 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 R 与R '也重合再相乘;例2点P 位丁 ABC 的外接圆上；A 1、B 1、C 1是从点P 向BC 、CA 、AB 引的垂线的垂足, 证明点A 1、B 1、 BA 1BP cos PBC CA 1 CP cos PCB CB 1 CP cos PCA AB 1 AP cos PAC AC 1AP cos PABBC 1 PB cos PBAC i 共线; 证：易得: 将上面三条式子相乘， 且 PAC PBC , PAB PCB , 十曰 BA 1 CB 1 AC 1可得 一111= 1 ,CA 1 AB 1 BC 1依梅涅劳斯定理可知 A 1、B 1、C 1三点共线;PCA PBA 180A 1C 1 A 1D 1B 1C ； :BD【练习2设不等腰 ABC 的内切圆在三边 BC 、CA 、AB 上的切点分别为 D 、E 、F,则EF 与BC , FD 与CA , DE与AB 的交点 X 、Y 、Z 在同一条 直线上；【练习&已知直线 AA i, BB i, CC i 相交于O,直线AB 和A 1B 1的交点为C 2,直线 BC 与B 1C 1的交点是 A 2,直 线AC 与A i C i 的交点是B 2,试证：A 2、B 2、C 2三点共线;【练习M 在一条直线上取点 E 、C 、A,在另一条上取点 B 、F 、D,记直线AB 和ED , CD 和AF ,CD 和AF , EF 和BC 的交点依次为 L 、M 、N,证明：L 、M 、N 共线练习i 的证明练习2的证明乂 AE AF 代人上式可得：BXXC FB =—— CE CY DC AZ EA同理口」彳寸： — —YA AFZB BD将上面三条式子相乘可 得：乳CY J i XC YA ZB 乂 X 、Y 、Z 都不在 ABC 的边上，由定理 2可得X 、Y 、 证： ABC 被直线XFE 所截，由定理 Z 三点共线 证：若AD // A i D^,结论显然成立;若AD 与A i D i 相交与点 AD LD LD BD LD 〔 A i K A i D i AK BK BQ B i K LDi L,则把梅涅劳斯定理分 LC AK A 。
平面几何定义定理及相关证明
目录一、平面几何定理 (2)1、三角形 (2)（1）、重心 (2)（2）、垂心 (5)（3）、内心 (10)（4）、外心 (16)（5）、基本定理及其它性质 (23)○1、正弦定理 (23)○2、余弦定理 (23)○3、正切定理 (23)○4、半角定理 (24)○5、面积公式 (24)○6、三角函数 (24)2、圆 (25)垂径定理、圆周定理、切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、割线定理、切割线定理3、重要的几何定理（1）、托勒密定理 (26)（2）、塞瓦定理 (27)（3）、梅涅劳斯定理 (28)（4）、斯特瓦尔特定理 (29)（5）、张角定理 (29)二、反演变换 (29)三、数形结合 (33)一、平面几何定理1、三角形（1）三角形的重心三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部 [1]。
在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心。
三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。
3/4。
这样就构成了由中线组成的三角形，两个三角形共同的元素为○7.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明：S△AMB= S△BMC= S△CMA△AMB和△BMC以BM为底边，分别以AD、CE为高，易知AD＝CE∴S△AMB= S△BMC同理S△BMC= S△CMA○8.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
证明（物理法）由平方和联想到转动惯量I＝mr2(其中m是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离),根据转动惯量平行轴定理，可知质元绕过形心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
而对于密度相同的平面来说，形心与重心重合，所以重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
证明（代数法）建立直角坐标系,为了方便,三角形的A顶点作为坐标原点（0,0）,AB边在X轴上,B点坐标（b,0）好算,然后设出C点的坐标(m,n)；再设三角形内的任意一点为（x,y）(x2+y2)+[(x-b)2+y2]+[(x-m)2+(y-n)2]=3x2+3y2-2bx-2mx-2ny+b2+m2+n2=3x2-2(b+m)x+3y2-2ny+b2+m2+n2=3[x-(b+m)/3]2+3(y-n/3)2+ b2+m2+n2-(b+m)2/3-n2/3 只有当2个平方项全等于0时，才最小。
平面几何基本定理
定义：通过构造新的图形或对象来证明定理的方法 特点：直观、易于理解，能够将复杂问题转化为简单问题 应用：在平面几何中广泛应用于证明各种定理和性质 示例：通过构造辅助线来证明三角形的一些性质和定理
定义：通过代 数运算和逻辑 推理来证明平 面几何定理的
方法
特点：基于代 数方程和不等 式的推导，可 以证明一些较 为抽象和复杂
欧几里得几何定理 非欧几里得几何定理 解析几何定理 射影几何定理
计算机图形学：用于生成二 维图形和动画
物理学：用于描述物体运动 轨迹和力的作用
航空航天：用于设计和分析 飞行器的结构和性能
建筑学：用于设计和分析建 筑物的结构和稳定性
平行线性质： 平行线之间的
距离相等
角平分线性质： 角平分线将一 个角分为两个
计算机图形学中的应用：平面几何定理在计算机图形学中也有着重要的应用，例如在绘制二维图形、三维 模型等方面，需要利用平面几何定理进行计算和推导。
经济学中的应用：在经济学中，平面几何定理也被广泛应用，例如在分析市场供需关系、预测商品价格走 势等方面，需要利用平面几何定理进行数据分析和模型构建。
生物学中的应用：在生物学中，平面几何定理也被应用于一些领域，例如生态学中研究生物种群分 布、行为学中研究动物运动轨迹等方面，需要利用平面几何定理进行数据分析和模型构建。
的几何定理、三 角形的余弦定
理等
实例：通过代 数方法证明勾 股定理的过程
欧几里得几何定理：公元前300年左右，欧几里得在《几何原本》中提出了平面几何 的基本定理，奠定了平面几何的基础。
非欧几里得几何定理：19世纪，高斯、黎曼等数学家提出了非欧几里得几何，突破 了欧几里得几何的限制，进一步推广了平面几何定理。
定理在计算机图形学 中的应用：在制作动 画、游戏等计算机图 形学领域中，平面几 何定理被广泛应用。
高中数学的归纳平面几何基本定理与证明总结
高中数学的归纳平面几何基本定理与证明总结在高中数学中，平面几何是一个非常重要的分支，它研究了平面内各种图形之间的关系和性质。
而在学习平面几何时，归纳法是一个常用的证明方法。
本文将对高中数学中的归纳平面几何基本定理与证明进行总结。
一、线段中点定理线段中点定理是平面几何中的基本定理之一，它指出：在一条线段的中点上，可以作一条平行于这条线段的直线。
换句话说，如果在线段AB的中点M上作一条直线l，那么l与AB平行。
证明：连接AM、BM。
由于M是线段AB的中点，所以AM=BM，且由中点连线定理可知，AM∥BM。
根据平行线的性质可知，l∥AB。
二、角平分线定理角平分线定理是另一个重要的平面几何定理，它指出：一条角的平分线将这个角分成两个相等的小角。
证明：设∠AOB为一锐角，其中OC是∠AOB的平分线。
要证明∠AOC=∠BOC，我们可以利用三角形AOB和COA的相似性来进行证明。
由于OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC。
又因为∠AOB是个锐角，所以∠COA也是个锐角，故∆COA和∆AOB是相似三角形。
根据相似三角形的性质可知，AO/CO=BO/CO，即AO=BO。
因此，∠AOC=∠BOC。
三、垂直平分线定理垂直平分线定理也是平面几何中的重要定理，它指出：一条线段的垂直平分线上所有点到线段的两个端点的距离相等。
证明：设线段AB上的垂直平分线为l，垂直平分线上的一点为M。
要证明AM=BM，我们可以利用三角形AMO和BMO的全等性来进行证明。
由于l是线段AB的垂直平分线，所以AM=BM，且∠AMO=∠BMO=90°。
又因为OM是l的一部分，所以MO=MO，自反性成立。
故∆AMO和∆BMO是全等三角形。
根据全等三角形的定义，可知AM=BM。
四、角的外角定理角的外角定理指出：一个三角形的外角等于它的两个不相邻内角的和。
证明：设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，对于∠A，其外角为∠D。
我们可以利用∆ABC和∆ACD的相似性来进行证明。
平面几何-五大定理及其证明
平面几何 定理及其证明一、 梅涅劳斯定理1．梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线和∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有．证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ． 因为CG // AB ，所以 ————（1） 因为CG // AB ，所以 ————（2）由（1）÷（2）可得，即得． 2．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线上有一点F ，若，那么，D 、E 、F 三点共线． 证明：设直线EF 交AB 于点D /，则据梅涅劳斯定理有．因为 ，所以有．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 和D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．二、 塞瓦定理3．塞瓦定理及其证明定理：在∆ABC 内一点P ，该点和∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有．证明：运用面积比可得．根据等比定理有 ADC ADC ADP APCADP BDP BDC BDC BDP BPCS S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===-， 所以．同理可得，． 三式相乘得．4．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，若，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 和直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有．因为 ，所以有．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 和D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 三、 西姆松定理5．西姆松定理及其证明 定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．ABCDEFPA B C DEFD / A B CD E F G证明：如图示，连接PC ，连接 EF 交BC 于点D /，连接PD /．因为PE ⊥AE ，PF ⊥AF ，所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得∠FAE =∠FEP ．因为A 、B 、P 、C 四点共圆，所以∠BAC =∠BCP ，即∠FAE =∠BCP ． 所以，∠FEP =∠BCP ，即∠D /EP =∠D /CP ，可得C 、D /、P 、E 四点共圆．所以，∠CD /P +∠CEP = 1800。
部分课外平面几何定理证明
部分课外平面几何定理证明一.四点共圆很有用的定理，下面的定理证明中部分会用到这个，这也是我把它放在第一个的原因。
这个定理根据区域的不同，在中考有的地方能直接用，有的不能，据笔者所知，北京中考是可以直接用的。
其余的还是问问老师比较好。
起码在选择题是大有用处的。
二.三角形三垂线交于一点四点共圆的一次运用。
很多人都知道三垂线交于一点，在这里给出证明三．三角形垂心是连接三垂直所得到新三角新的内心由三角形的三垂线可得多组四点共圆，一般有垂心的题都离不开四点共圆。
估计这个结论在中考是不能直接用的，如果地区允许四点共圆的话稍微证一下就行了。
四．圆幂定理（在这里只是一部分）·为割线定理、切割线定理于相交弦定理的总称。
这个应该是很多地方都允许用的，如果不能用的话也是稍微证一下就行了。
五．射影定理（欧几里得定理）什么也不说了，初中几何里应该是比较常用的。
目测考试随便用六．三角形切线长公式·已知三角形三边长可求内切圆切点到顶点距离可能是做的题比较少吧，很少见有这样的中考题。
推导也是很简单的。
七．广勾股定理估计中考允许用的地方不多，除非你那允许“引理”这货八．弦切角定理很简单，估计每个地方都允许的。
就算不把它当定理，自己也能发现这个结论九．燕尾定理（共边比例定理）面积法思想，出现中点时可以用来证线段相等（例如下一个，重心），另外用于比例也是挺好使的。
中考的时候，直接用的话估计老师会认为你跳跃度太大，考虑的时候想到这个，证明的时候用面积法就行了。
十．海伦公式已知三角形三边可求其面积，可用余弦定理和正弦求面积公式推导，但余弦定理是高中知识（在后面会放出来）所以不用在这里。
另外公式里带根号，若三边中有根号的配凑一下应该可以开根。
这里是海伦公式的一个探讨，推广至n边形面积。
在第五页有海伦公式的各种变形，其中变形⑤的个边带有平方，可以解决边长带根号的问题，缺点是过于冗繁。
吧友可以根据自己的情况进行探讨。
中考嘛，一直不是很喜欢，过多的限制，不能发挥自己的能力。
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部分课外平面几何定理证明
一.四点共圆
很有用的定理，下面的定理证明中部分会用到这个，这也是我把它放在第一个的原因。
这个定理根据区域的不同，在中考有的地方能直接用，有的不能，据笔者所知，北京中考是可以直接用的。
其余的还是问问老师比较好。
起码在选择题是大有用处的。
二.三角形三垂线交于一点
四点共圆的一次运用。
很多人都知道三垂线交于一点，在这里给出证明
三．三角形垂心是连接三垂直所得到新三角新的内心
由三角形的三垂线可得多组四点共圆，一般有垂心的题都离不开四点共圆。
估计这个结论在中考是不能直接用的，如果地区允许四点共圆的话稍微证一下就行了。
四．圆幂定理（在这里只是一部分）
·为割线定理、切割线定理于相交弦定理的总称。
这个应该是很多地方都允许用的，如果不能用的话也是稍微证一下就行了。
五．射影定理（欧几里得定理）
什么也不说了，初中几何里应该是比较常用的。
目测考试随便用
六．三角形切线长公式
·已知三角形三边长可求内切圆切点到顶点距离
可能是做的题比较少吧，很少见有这样的中考题。
推导也是很简单的。
七．广勾股定理
估计中考允许用的地方不多，除非你那允许“引理”这货
八．弦切角定理
很简单，估计每个地方都允许的。
就算不把它当定理，自己也能发现这个结论
九．燕尾定理（共边比例定理）
面积法思想，出现中点时可以用来证线段相等（例如下一个，重心），另外用于比例也是挺好使的。
中考的时候，直接用的话估计老师会认为你跳跃度太大，考虑的时候想到这个，证明的时候用面积法就行了。
十．海伦公式
已知三角形三边可求其面积，可用余弦定理和正弦求面积公式推导，但余弦定理是高中知识（在后面会放出来）所以不用在这里。
另外公式里带根号，若三边中有根号的配凑一下应该可以开根。
这里是海伦公式的一个探讨，推广至n边形面积。
在第五页有海伦公式的各种变形，其中变形⑤的个边带有平方，可以解决边长带根号的问题，缺点是过于冗繁。
吧友可以根据自己的情况进行探讨。
中考嘛，一直不是很喜欢，过多的限制，不能发挥自己的能力。
这个公式就不推荐考试的时候用了。
十一．重心
三中线交于一点。
同垂心
十二．重心定理：重心把中线分为2:1两部分。
总的来说这些定理考试能用否得问老师，不能用的话，作平行线把推导过程代进证明过程就算是侧面使用定理了，肯定不会扣分的。
十三．欧拉线
由重心定理简单得出
估计中考题都不会考共线神马的（起码广东这地方是不会考的）。
十四．托勒密定理
很好用的一个竞赛定理。
中考填空就能用这个解，作垂线设方程就得出来了，其他人还向外做了正三角形神马的。
所以个人感觉了解多点知识对于考试或对于兴趣都是挺好的
十五．余弦定理
十六．正弦定理
十七．赛瓦定理（ceva定理）
十八．梅涅劳斯定理（简称梅氏定理menelaus定理）
如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
十九．调和点列
二十．中线定理
·表述了三角形三边与中线长的关系
三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：
AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2
或作AB^2+AC^2=1/2BC^2+2AI^2
二十一．角平分线定理·角平分线的比例性质
二十二．九点共园定理（欧拉圆、费尔巴赫圆）
三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这九点共圆
二十三．张角定理
在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。
那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。
逆定理：如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三点共线。
定理的推论：
在定理的条件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，则 B D C共线的充要条件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC
二十四．蝴蝶定理
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
二十五．清宫定理
设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上
二十六．西姆松定理（cave定理）
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
二十七．角元塞瓦定理
设P为平面上一点（不在AB、BC、AC三条直线上），且（sinBAP/sinPAC）（sinACP/sinPCB）
（sinCBP/sinPBA）=1则AD、BE、CF三线共点或互相平行．推论若所引的三条线段都在△ABC 内部，则这三条直线共点。
【暂时缺图】
二十八．莫利定理
将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。
这个三角形常被称作莫利正三角形。
二十九．斯坦纳定理
如果三角形中两内角平分线相等，则必为等腰三角形
三十．斯台沃特定理（斯氏定理）
任意三角形ABC中，D是底边BC上一点，联结AD，则有：AB^2×CD+AC^2×BD=(AD^2+BD×DC)×BC
也可以有另一种表达形式：设BD=u，DC=v，则有：AD^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv
三十一．笛沙格定理
平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一
点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
三十二．牛顿定理
牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。
这条直线叫做这个四边形的牛顿线。
牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。
牛顿定理3 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。
．。