牛顿几何三大定理及证明
牛顿拉格朗日定理
牛顿拉格朗日定理牛顿-拉格朗日定理是微积分中的一项重要定理，它是关于函数的微分和积分之间的关系，被广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在本文中，我将介绍牛顿-拉格朗日定理的基本原理、应用场景以及一些实际问题的解决方法。
牛顿-拉格朗日定理是由英国物理学家艾萨克·牛顿和法国数学家约瑟夫·拉格朗日独立提出的。
它描述了一个函数在一定区间内的微分和积分之间的关系。
具体而言，对于一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果在(a, b)内f(x)是连续的，且在(a, b)内具有n 阶连续导数，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
这个定理的几何意义是：在函数曲线上，至少存在一点的切线与连接起点和终点的直线平行。
牛顿-拉格朗日定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来解决运动学和动力学问题。
考虑一个质点在一维空间内运动的问题，我们可以利用牛顿-拉格朗日定理来推导出质点的速度和加速度之间的关系。
在工程学中，该定理可以用来求解最优化问题，例如确定最小耗能路径或最大效益的设计方案。
在经济学中，它可以用来研究供求关系、市场均衡和边际效应等问题。
为了更好地理解牛顿-拉格朗日定理的应用，让我们考虑一个具体的实例。
假设有一辆汽车以恒定速度行驶，我们想要计算汽车行驶过程中所经过的总距离。
根据牛顿-拉格朗日定理，我们可以将汽车行驶的时间区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间内汽车的速度近似为常数。
然后，我们可以使用定积分公式来计算每个小区间内汽车行驶的距离，并将它们累加起来得到总距离。
除了求解函数的微分和积分之间的关系外，牛顿-拉格朗日定理还可以用于证明其他数学定理。
例如，它可以用来证明泰勒级数的余项公式和柯西中值定理等重要结果。
这些定理在数学分析和实际应用中都具有重要的意义。
牛顿-拉格朗日定理是微积分中一项重要的定理，它描述了函数的微分和积分之间的关系。
牛顿的三大运动定律包括
牛顿的三大运动定律包括：一切物体在不受外力的情况下，总保持静止或匀速直线运动状态（惯性定律）；物体运动的加速度与物体所受合外力成正比，与物体质量成反比，加速度方向与合外力方向相同（加速度定律）；两个物体间的作用力与反作用力在同一条直线上，大小相等，方向相反（作用力与反作用力定律）。
运动三定律虽以英国著名物理学家、天文学家、数学家牛顿（I.Newton ，1643－1727）的名字命名，但它是历史上许多科学家长期探索的结晶。
1684年，牛顿集成并发展了前人的研究成果，科学、系统地定义了惯性定律、加速度定律、作用力与反作用力定律，合称运动三定律。
快速导航∙ 关系表外文名 Newton's laws of motion 提出者 艾萨克·牛顿 中文名 牛顿运动定律提出时间 17世纪后期 应用学科 物理学目录∙1概况 ∙2内容 ∙ 第一定律 ∙ 第二定律 ∙ 第三定律 ∙3适用范围 ∙4创立意义 ∙5守恒定律 ∙ 6牛顿简介1 概况物理泰斗艾萨克·牛顿。
在应用牛顿定律之前，必需先将物体理想化为质点。
所谓“质点”是指物理学中理想化的模型，在考虑物体的运动时，将物体的形状、大小、质地、软硬等性质全部忽略，只用一个几何点和一个质量来代表此物体。
质点模型适用的范围是当与分析所涉及的距离相比较，物体的尺寸显得很微小，或我们只考虑物体受的外力，物体本身的内部结构、形变、旋转、温度等对于分析并不重要。
举例而言，在分析行星环绕恒星的轨道运动时，行星与恒星都可以被理想化为质点。
原初版本的牛顿运动定律只适用于描述质点的动力学，不具有足够功能来描述刚体与可变形体的运动。
1750年，欧拉在牛顿定律的基础上，推导出能够应用于刚体的欧拉运动定律。
后来，这定律又被应用于假定为连续介质的可变形体。
假若用一群离散质点的组合来代表物体，其中每一个质点都遵守牛顿定律，则可以从牛顿定律推导出欧拉运动定律。
不论如何，欧拉运动定律可以直接视为专门描述宏观物体运动的公理，与物体内部结构无关。
物理知识点总结：牛顿第一、第二、第三定律
牛顿第一定律1．历史上对力和运动关系的认识过程：①亚里士多德的观点：力是维持物体运动的原因。
②伽利略的想实验：否定了亚里士多德的观点，他指出：如果没有摩擦，一旦物体具有某一速度，物体将保持这个速度继续运动下去。
③笛卡儿的结论：如果没有加速或减速的原因，运动物体将保持原来的速度一直运动下去。
④牛顿的总结：牛顿第一定律2．伽利略的“理想斜面实验”程序内容：①(事实) 两个对接的斜面，让静止的小球沿一个斜面滚下，小球将滚上另一个斜面②(推论) 如果没有摩擦，小球将上升到释放的高度。
③(推论) 减小第二个斜面的倾角，小球在这个斜面上仍然要达到原来的高度。
④(推论) 继续减小第二个斜面的倾角，最后使它成水平，小球沿水平面做持续的匀速直线运动。
⑤(推断) 物体在水平面上做匀速运动时并不需要外力来维持。
此实验揭示了力与运动的关系：①力不是．．维持物体运动的原因，而是．．改变物体运动状态的原因，物体的运动并不需要力来维持。
②同时说出了一切物体都有一种属性(运动状态保持不变．．．．的属性)只有受力时运动状态才改变。
这种运动状态保持不变．．．．的属性就称作惯性。
即：一切物体具都有保持．．原来匀速直线运动状态或静止状态的性质，这就是惯性。
3．对惯性的理解要点：①惯性是物体的固有属性，即：保持原来运动状态不变的属性，不能克服，只能利用。
与物体的受力情况及运动状态无关。
任何物体,无论处于什么状态,不论任何时候，任何情况下都具有惯性。
②惯性不是力，惯性是物体的一属性(即保持原来运动不变的属性)。
不能说“受到惯性”和“惯性作用”。
力是物体对物体的作用，惯性和力是两个绝然不同的概念。
③物体的运动状态并不需要力来维持，因此惯性不是维持运动状态的力.④惯性的大小：体现在运动状态改变的难易程度，(即是保持原来运动状态的体领强弱)，,其大小由质量来决定。
质量是惯性大小的唯一量度。
质量大，运动状态较难改变，即惯性大。
⑤惯性与惯性定律的区别：惯性：是．保持原来运动状态不变的属性．．惯性定律：(牛顿第一定律)反映．．物体在一定条件下(即不受外力或合外力为零)的运动规律．．．．牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了三条运动定律(称为牛顿三大定律)奠定了力学基础4．牛顿第一定律内容：一切物体总保持匀速直线运动或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。
牛顿和他的力学三大定律
由于速度是向量，每个向量有三个自由度，这样 解一般的碰撞问题的过程可等效为已知四个方程 （x,y,z方向的动量守恒方程和一个动能不变方程} 确定6个未知量的过程。而这种方程是有无穷多种 解的，而实际的碰撞问题的解是唯一的。 这时我们就发现，我们丢失的两个因素导致了 我们解不出碰撞问题，现在让我们想想我们丢失 的两个因素有何物理意义。
牛顿和他的力学三大定律
1642年，伽利略逝世。
———一个伟大时代的结束
1642年，牛顿出生。
———另一个伟大时代的开始
牛顿给我们带来了万有引力定律，
牛顿让我们看到微积分的巨大能量， 牛顿向我们揭示了自然的规律 ——力学三大定律
现在就让我们一起进入力学的世界， 一起感受牛顿的力量。
在此我不再叙述大家熟得不能再熟的三大 定律，我只想用牛顿定律解决一件自然界中最 简单，最常见的一个问题——碰撞。
让我们分析一下用牛顿三大定律解碰撞问题会遇 到什么问题，我们可得到如下的受力分析图：
F12 F21
m1
m2
.. m r1 f12 (t ) .. m r2 f 21 (t )
不难发现式中f ,f 的大小 很难求出，更不用说其与时 间的函数了。
12 21
可以说直接用牛顿定律解碰撞 问题是很难成功的。
然后再用两大定理确定其在一维上的运动。
动量守恒和动能定理是自然基本法则之一，它 们为我们揭示自然的规律指明了方向。然而它 们都可以由牛顿运动定律推出。牛顿运动定律 在揭示自然规律上所起的巨大威力可见一斑。
.. m r2 f 21 (t )
' m1v1 f12 (t )dt m1v1 ' m2 v2 f 21 (t )dt m2 v2
牛顿运动定律10
意义:质点运动学——描述一个质点的运动;
质点动力学——解释质点为什么,或者说 在什么条件下做这样和那样的运动.
立足点:力
动力学问题主要围绕力的瞬时效应;时空累 积效应展开,涉及相应的守恒定律.
牛顿定律
动力学的基本定律
一 牛顿定律的理解 二 牛顿定律的应用
内容 结构
要求：1 能用牛顿运动微分方程 求解质点在变力 作用下做直线运动的简单题目。 2 能用微元法求解有质量绳子的平动转动问题
2 2 解: 合外力: F ma m r m (a cos wti b sin wtj )
∴ 合力的冲量为： / 2 / 2 2 I F dt m (a cos wti b sin wtj )dt
0 0
ma sin ti mb costj
v
代入法向方程
N 3mg cos
v an 2 g cos R
2
体会: 用牛顿定律求解单个质点运动的两个重要技巧:
1 运动微分方程式 2 运动数学的变量迭换思想.
质点组题目不单独 做要求！
附1:有质量绳子 平动转动问题 例1 质量为 m 、长为 l 的柔软细绳，一端系着放在光 滑桌面上质量为 m＇ 的物体，在绳的另一端力F ．设绳 的长度不变，质量分布是均匀的．求：(1)绳作用在物 体上的力；(2)绳上任意点的张力．
F F
(1) 它们总是成对出现。它们之间一一对应。 (2) 它们分别作用在两个物体上。绝不是平衡力。 (3) 它们一定是属于同一性质的力。
(四) 惯性系与非惯性系 问 题
( 了解)
假如：车厢地面是光滑的： a=0时 小球的状态符合牛顿定律 a≠0时 小球的状态为什麽不符合牛顿定律？ 结论：在有些参照系中牛顿定律成立，这些系称为惯 性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。 而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。
牛顿三大定律特点及其公式
牛顿三大定律特点及其公式牛顿第一运动定律：一切物体在没有受到外力作用的时候，总保持匀速直线运动或静止状态，也就是惯性定律了。
说明一切物体都有惯性。
牛顿第二运动定律：物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。
也就是公式，F合=ma（这是高中学的）而，牛顿发表的原始公式：F=dmv/dt，即微分形式。
对时间求积分可以得到动量定理。
牛顿第三运动定律：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等，方向相反。
1、牛顿运动定律中的各定律互相独立，且内在逻辑符合自洽一致性。
其适用范围是经典力学范围，适用条件是质点、惯性参考系以及宏观、低速运动问题。
牛顿运动定律阐释了牛顿力学的完整体系，阐述了经典力学中基本的运动规律，在各领域上应用广泛。
2、牛顿运动定律是力学中重要的定律，是研究经典力学甚至物理学的基础，阐述了经典力学中基本的运动规律。
该定律的适用范围为由牛顿第一运动定律所给出惯性参考系，并使人们对物理问题的研究和物理量的测量有意义。
3、牛顿运动定律只适用宏观问题。
当考察的物体的运动线度可以和该物体的德布罗意波相比拟时，由粒子运动不确定性关系式可知，该物体的动量和位置已不能同时准确获知，故牛顿动力学方程缺少准确的初始条件而无法求解，即经典的描述方法由于粒子运动不确定性关系式已经失效或者需要修改。
1、牛顿第一定律惯性定律 :物体总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态为止。
2、牛顿第二定律公式:F合=ma或a=F合/ma由合外力决定,与合外力方向-致。
3、牛顿第三定律公式:F= -F'负鳄表标方向相板, F、F'为- 对作用力与反作肋,各自作用在对方。
4 、共点力的受力平衡公式:F合=0二功平衡则满足公式F1=-F2请注意,二力平衡与作力与版作用力是不一样的。
二功平衡的研究对象,同一个物体;而作用力与反作力,研究对象是两个不同的物体。
数值分析3-牛顿迭代法
§3 牛顿迭代法Newton Iteration————切线法牛顿迭代法是最著名的方程求根方法。
已经通过各种方式把它推广到解其他更为困难的非线性问题。
【例如】非线性方程组、非线性积分方程和非线性微分方程。
虽然牛顿法对于给定的问题不一定总是最好的方法，但它的简单形式和快的收敛速度常常使得解非线性问题的人优先考虑它。
迭代一般理论告诉我们，构造好的迭代函数可使收敛速度提高。
然而迭代函数的构造方法又各不相同，方法多样。
牛顿法是受几何直观启发，给出构造迭代函数的一条重要途径。
牛顿迭代的基本思想:方程f(x)=0的根，几何意义是曲线y=f(x)与ox轴y=0的交点。
求曲线与y=0的交点没有普遍的公式，但直接与0x 轴的交点容易计算。
用直线近似曲线y=f(x)，从而用直线方程的根逐步代替f(x)=0的根。
即把非线性方程逐步线性化。
方法：设x k是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在x k处作一阶Taylor 展开，得到))(()()(k k k x x x f x f x f -'+≈ （19）设)(k x f '≠0，由于0)())(()(=≈-'+x f x x x f x f k k k所以求得解记为1+k x ，有牛顿迭代公式：（20） 按牛顿迭代计算称为牛顿迭代法。
牛顿法的几何意义：选初值x k 以后，过))(,(k k x f x p 点，作曲线y=f(x)的切线，其切线方程为))(()()(k k k x x x f x f x f -'+= (21)切线与ox 轴的交点，为1+k x ，则)(/)(1k k k k x f x f x x '-=+（22）牛顿迭代法也称为切线法。
迭代法的收敛性：如果取)(/)()(k k x f x f x x g '-=，则有x=g(x)，从而牛顿迭代公式就是)(1k k x g x =+因此就可以由考察g(x)的性质，来讨论迭代法的收敛性及收敛速度。
动量守恒,角动量守恒,动能守恒,牛顿第三定律
动量守恒动量守恒，是最早发现的一条守恒定律，它渊源于十六、七世纪西欧的哲学思想，法国哲学家兼数学、物理学家笛卡儿，对这一定律的发现做出了重要贡献。
如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。
动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，它既适用于宏观物体，也适用于微观粒子；既适用于低速运动物体，也适用于高速运动物体，它是一个实验规律，也可用牛顿第三定律和动量定理推导出来。
简介动量守恒定律，是最早发现的一条守恒定律，它渊源于十六、七世纪西欧的哲学思想，法国哲学家兼数学、物理学家笛卡儿，对这一定律的发现做出了重要贡献。
观察周围运动着的物体，我们看到它们中的大多数终归会停下来。
看来宇宙间运动的总量似乎在养活整个宇宙是不是也像一架机器那样，总有一天会停下来呢？但是，千百年对天体运动的观测，并没有发现宇宙运动有减少的现象，十六、七世纪的许多哲学家都认为，宇宙间运动的总量是不会减少的，只要我们能够找到一个合适的物理量来量度运动，就会看到运动的总量是守恒的，那么，这个合适的物理量到底是什么呢？法国的哲学家笛卡儿曾经提出，质量和速率的乘积是一个合适的物理量。
速率是个没有方向的标量，从第三节的第一个实验可以看出笛卡儿定义的物理量，在那个实验室是不守恒的，两个相互作用的物体，最初是静止的，速率都是零，因而这个物理量的总合也等于零；在相互作用后，两个物体都获得了一定的速率，这个物理量的总合不为零，比相互作用前增大了。
后来，牛顿把笛卡儿的定义略作修改，即不用质量和速率的乘积，而用质量和速度的乘积，这样就得到量度运动的一个合适的物理量，这个量牛顿叫做“运动量”，现在我们叫做动量，笛卡儿由于忽略了动量的矢量性而没有找到量度运动的合适的物理量，但他的工作给后来的人继续探索打下了很好的基础。
动量守恒定律通常在高考中会和能量守恒一同出现，伴随的物理模型有弹簧、斜面、子弹木块、人船模型以及圆形或者半弧形轨道等。
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牛顿三大定理
牛顿定理1：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。
这条直线叫做这个四边形的牛顿线。
证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N。
取BE中点P,BC 中点R,PN∩CE=Q
R,L,Q共线，QL/LR=EA/AB，M,R,P共线。
RM/MP=CD/DE，N,P,Q共线，PN/NQ=BF/FC 三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅劳斯定理
QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1
由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共线
故牛顿定理1成立
牛顿定理2圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。
证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。
显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。
注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S △BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD。
即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S △CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。
证毕。
牛顿定理3圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。
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证明设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H. 首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.显然∠AHI‘=∠BFI '
因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'
故 AI'/CI'=AH/CF.同样可证:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG.故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'. 从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点.同理可证:直线BD,EG,FH交于一点.因此直线AC,BD,EG,FH交于一点.。