2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷002

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题 号 一 二 总 成 绩13 14 15 16得 分评 卷 人复 核 人考生注意:1.本试卷共三大题(16小题),全卷满分150分. 考试时间:120分钟.2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题(本题满分36分,每小题6分)得 分 评卷人 本题共有6小题,每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填 在题的括号内. 每小题选对得6分;不选、选错或选出的 字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分. 1. 已知函数2sin y x =,则 答:[ ] (A )有最小正周期2π (B )有最小正周期π (C )有最小正周期2π(D )无最小周期 2. 关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9,则a 的最大值与最小值 的和是 答:[ ] (A ) 2 (B ) 1 (C ) 0 (D ) 1-3. 已知向量a 、b ,设AB =a 2+b ,5BC =-a 6+b ,7CD =a 2-b ,则一定共线的 三点是 答:[ ] (A ) A 、B 、D (B ) A 、B 、C (C ) B 、C 、D (D ) A 、C 、D全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第1页(共6页) 4. 设α、β、γ为平面,m 、n 为直线,则m β⊥的一个充分条件是 答:[ ] (A )αβ⊥,n αβ=,m n ⊥ (B )m αγ=,αγ⊥,βγ⊥(C )αβ⊥,βγ⊥,m α⊥ (D )n α⊥,n β⊥,m α⊥5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+,其中{}1234567i a ∈,,,,,,,012i =,,,并且636m n+=,则实数对(,)m n表示平面上不同点的个数为答:[ ](A)60个(B)70个(C)90个(D)120个6. 已知()122007122007f x x x x x x x=+++++++-+-++-(x∈R),且2(32)(1),f a a f a-+=-则a的值有答:[ ] (A)2个(B)3个(C)4个(D)无数个二、填空题(本题满分54分,每小题9分)得分评卷人本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.7. 设nS为等差数列{}n a的前n项和,若510S=,105S=-,则公差为 .8. 设()log()af x x b=+(0a>且1)a≠的图象经过点(21),,它的反函数的图象经过点(28),,则a b+等于 .9. 已知函数()y f x=的图象如图,则满足22221()(lg(620))021x xf f x xx x--⋅-+≤-+的x的取值范围为 .2页(共6页)10. 30x y-+=的离心率是 .11. 在ABC∆中,已知tan B=sin3C=,AC=ABC∆的面积为.12. 设命题P:2a a<,命题Q: 对任何x∈R,都有2410x ax++>. 命题P与Q中有且仅有一个成立,则实数a的取值范围是 .三、解答题(本题满分60分,共4小题,每题各15分)得分评卷人13. 设不等式组x yx y+>⎧⎨-<⎩,表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与 曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切,求直线l 的斜率.全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第3页(共6页)14. 如图,斜三棱柱111ABC A B C -中,面11AAC C 是菱形,160ACC ∠=︒,侧面11ABB A ⊥11AAC C ,11A B AB AC ===.求证:(1)1AA ⊥1BC ;(2)求点1A 到平面ABC 的距离.全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第4页(共6页)15. 已知数列{}n a 中,11a =,33n n a a +≤+,22n n a a +≥+. 求2007a .全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第5页(共6页)16. 已知平面上10个圆,任意两个都相交. 是否存在直线l ,与每个圆都有公共点?证明你的结论.全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第6页(共6页)B 1BA 1C 1AC高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{1,}A =2,3,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ,则AB =(A ){1}(B ){12},(C ){0123},,,(D ){10123}-,,,, (2)已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是(A )(31)-,(B )(13)-,(C )(1,)∞+(D )(3)∞--, (3)已知向量(1,)(3,2)m =-,=a b ,且()⊥a +b b ,则m= (A )-8(B )-6 (C )6 (D )8(4)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a= (A )43-(B )34-(C )3(D )2(5)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(A )24 (B )18 (C )12 (D )9(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A )20π(B )24π(C )28π(D )32π(7)若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度,则评议后图象的对称轴为(A )x=kπ2–π6 (k ∈Z) (B )x=kπ2+π6 (k ∈Z) (C )x=kπ2–π12 (k ∈Z) (D )x=kπ2+π12 (k ∈Z)(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a 为2,2,5,则输出的s= (A )7 (B )12 (C )17 (D )34 (9)若cos(π4–α)=35,则sin 2α=(A )725(B )15(C )–15(D )–725(10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,nx ,1y ,2y ,…,ny ,构成n 个数对()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(A )4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n(11)已知F1,F2是双曲线E 22221x y a b-=的左,右焦点,点M 在E 上,M F1与x 轴垂直,sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 (AB )32(CD )2(12)已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑(A )0 (B )m (C )2m (D )4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=. (14)α、β是两个平面,m 、n 是两条直线,有下列四个命题:(1)如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β. (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n.(3)如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β. (4)如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题001

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(时间:4月20日上午8:00—10:00)一、选择题(本题满分30分,每小题6分)1. 如果实数m ,n ,x ,y 满足a n m =+22,b y x =+22,其中a ,b 为常数,那么mx+ny 的最大值为 []A. 2b a +B. abC. 222ba + D. 222b a +2. 设)(x f y =为指数函数xa y =. 在P(1,1),Q(1,2),M(2,3),⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21N 四点中,函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 []A. PB. QC. MD. N3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么z y x ++的值为答:[] A. 1 B. 2C. 3D. 44. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值,那么 []A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形,222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形,222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形5. 设a ,b 是夹角为30°的异面直线,则满足条件“α⊆a ,β⊆b ,且βα⊥”的平面α,β[] A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对二、填空题(本题满分50分,每小题10分)6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和,其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数,则A B =___________________.7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =__________(结果要求写成既约分数).8. 已知点O 在ABC ∆内部,022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为____________. 9. 与圆0422=-+x y x 外切,且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________.10. 在ABC ∆中,若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB ,则 222c b a +=______________.三、解答题(本题满分70分,各小题分别为15分、15分、20分、20分)11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1,n m <<0,并且[]n m x ,∈时,)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ,n 的值.1 2 0.5 1 xyz12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点,满足0=⋅OB OA 。
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全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一.选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =-+,则{}n a 的最大项是( )()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a2.函数3log 3xy =的图象是( )()A ()B ()C ()D3.已知抛物线22y px =,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的点P 共有( )()A 0个()B 2个()C 4个()D 6个4.设()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数.若120x x +>,230x x +>,310x x +>,则( )()A ()()()1230f x f x f x ++>()B ()()()1230f x f x f x ++< ()C ()()()1230f x f x f x ++=()D ()()()123f x f x f x +>5.过空间一定点P 的直线中,与长方体1111ABCD A B C D -的12条棱所在直线成等角的直线共有( )()A 0条()B 1条()C 4条()D 无数多条6.在△ABC 中,1tan 2A =,310cos B =.若△ABC 的最长边为1,则最短边的长为( )()A ()B ()C ()D 二.填空题(本题满分54分,每小题9分)7.集合{}3,,010A x x n n N n ==∈<<,{}5,,06B y y m m N m ==∈≤≤,则集合A B 的所有元素之和为. 8.设cos 2ϑ=,则44cos sin ϑϑ+的值是. 9.()323x x-的展开式中,5x 的系数为.10.已知030330y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩,则22x y +的最大值是.11.等比数列{}n a 的首项为12020a =,公比12q =-.设()f n 表示这个数列的前n 项的积,则当n =时,()f n 有最大值.12.长方体1111ABCD A B C D -中,已知14AB =,13AD =,则对角线1AC 的取值范围是. 三.解答题(本题满分60分,第13题、第14题各12分,第15题16分,第16题20分) 13.设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭,21a B xx a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭.若A B ≠∅,求实数a 的取值范围.14.椭圆22194x y +=的右焦点为F ,1224,,,P P P 为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中1P 是椭圆的右顶点,并且122334241PFP P FP P FP P FP ∠=∠=∠==∠.若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ,求2S 的值.15.△ABC 中,AB AC <,AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线,且BAD EAC ∠=∠. 证明BAC ∠是直角.16.设p 是质数,且271p +的不同正因数的个数不超过10个.求p . 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷【参考答案】1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D7.2258.11189.27 10.9 11.1212.()4,513.解:{}13A x x =-≤<,()(){}30B x x a x a =--<. 当0a >时,{}03B x a x a =<<<,由A B ≠∅得03a <<; 当0a <时,{}30B x a x a =<<<,由A B ≠∅得1a >-;当0a =时,{}20B x x =<=∅,与A B ≠∅不符.综上所说,()()1,00,3a ∈-.B14.解:椭圆中,3a =,2b =,故c =)F,e =设i FP 与x 轴正向的夹角为i ϑ,i d 为点i P 到右准线的距离.则()2cos 1i i a d e c cϑ+=-.即()21cos 1i i c e d b ϑ=+.同理()()1222121cos 1cos 1i i i c c e d b bϑϑ++=+=-+. 所以2121122i i c d d b ++==. 从而2411i id ==∑ 2180S =. 15.如图,取AB 中点I ,连ID 、IE .则IE 为中位线,所以//IE AC ,且IEA EAC ∠=∠.而BAD EAC ∠=∠,所以IEA BAD ∠=∠.…………①在直角△ADB 中,I 为斜边中点,所以ID IA =,从而BAD IDA ∠=∠.…………②联合①、②得A 、I 、D 、E 四点共圆.所以BAD IEB C ∠=∠=∠,∴90B C ∠+∠=︒,即90BAC ∠=︒.16.解:当2p =时,22717535p +==⨯,有()()11216++=个正因数; 当3p =时,24718025p +==⨯,有()()411110++=个正因数.所以2p =、3p =满足条件.当3p >时,()()2711172p p p +=-++.其中p 为奇质数,所以()1p -与()1p +是相邻的两个偶数,从而必然有一个2的倍数和4个倍数,还必然有一个3的倍数,从而()()11p p -+是24的倍数. 设23712423p m m +=⨯=⨯⨯,其中4m ≥.若m 中有不同于2、3的质因数,则271p +的正因数个数()()()31111110≥+++>;若m 中含有质因数3,则则271p +的正因数个数()()312110≥++>;BC若m 中仅有质因数2,则271p +的正因数个数()()511110≥++>.所以3p >不满足条件.综上所说,所求得的质数p 是2或3.高考数学(文)一轮:一课双测A+B精练(四十四) 直线、平面垂直的判定与性质1.(·杭州模拟)设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是( )A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂βC.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α2.设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列命题①若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ;②若l上两点到α的距离相等,则l∥α;③若l⊥α,l∥β,则α⊥β;④若α∥β,l⊄β,且l∥α,则l∥β.其中正确的命题是( )A.①②B.②③C.②④D.③④3.给出命题:(1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行;(2)设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;(3)已知α,β表示两个不同平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;(4)a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.其中正确命题个数是( )A.0B.1C.2D.34.(·济南模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部5.(·曲阜师大附中质检)如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是( )A.①②B.①②③C.①D.②③6.(·济南名校模拟)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下面命题正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)8.(·忻州一中月考)正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点,动点P在四棱锥的表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的长为________.9.(·蚌埠模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列四个命题:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________.10.如图所示,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且△PMB为正三角形.(1)求证:DM∥平面APC;(2)求证:平面ABC⊥平面APC.11.(·北京海淀二模)如图所示,PA⊥平面ABC,点C在以AB为直径的⊙O上,∠CBA=30°,PA=AB=2,点E为线段PB的中点,点M在AB 上,且OM∥AC.(1)求证:平面MOE∥平面PAC;(2)求证:平面PAC⊥平面PCB.12.(·珠海摸底)如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是梯形,AB ∥CD ,四边形ACFE 是矩形,平面ACFE ⊥平面ABCD ,AD =DC =CB =AE =a ,∠ACB=π2.(1)求证:BC ⊥平面ACFE ;(2)若M 是棱EF 上一点,AM ∥平面BDF ,求EM 的长.1.如图,在立体图形D -ABC 中,若AB =CB ,AD =CD ,E 是AC 的中点,则下列正确的是( )A .平面ABC ⊥平面ABDB .平面ABD ⊥平面BDCC .平面ABC ⊥平面BDE ,且平面ADC ⊥平面BDED .平面ABC ⊥平面ADC ,且平面ADC ⊥平面BDE2.如图所示,b ,c 在平面α内,a ∩c =B ,b ∩c =A ,且a ⊥b ,a ⊥c ,b ⊥c ,若C ∈a ,D ∈b ,则△ACD 是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形3.(·莆田模拟)如图,在三棱锥P -ABC 中,△PAC ,△ABC 分别是以A ,B 为直角顶点的等腰直角三角形,AB =1.(1)现给出三个条件:①PB =3;②PB ⊥BC ;③平面PAB ⊥平面A BC.试从中任意选取一个作为已知条件,并证明:PA ⊥平面ABC ;(2)在(1)的条件下,求三棱锥P -ABC 的体积. [答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________答 案高考数学(文)一轮:一课双测A+B 精练(四十四)A级1.C2.D3.B4.A5.选B对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径,∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC;对于②,∵点M为线段PB的中点,∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC,∴OM∥平面PAC;对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确.6.选D在平面图形中CD⊥BD,折起后仍有CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD⊥AB,又AB⊥AD,故AB⊥平面ADC,所以平面ABC⊥平面ADC.7.解析:由定理可知,BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.解析:如图,设AC∩BD=O,连接SO,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG,设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF,GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,∴AC⊥GH,∴AC⊥平面EFG,故动点P的轨迹是△EFG,由已知易得EF=2,GE=GF=62,∴△EFG的周长为2+6,故动点P的轨迹长为2+ 6.答案:2+69.解析:连接BD交AC于O,连接DC1交D1C于O1,连接OO1,则OO1∥BC1.∴BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,∴三棱锥P-AD1C的体积不变.又VP-AD1C=VA-D1PC,∴①正确.∵平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,∴A1P∥平面ACD1,②正确.由于DB不垂直于BC1显然③不正确;由于DB1⊥D1C ,DB1⊥AD1,D1C ∩AD1=D1, ∴DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1, ∴平面PDB1⊥平面ACD1,④正确. 答案:①②④10.证明:(1)由已知,得MD 是△ABP 的中位线,所以MD ∥AP. 又MD ⊄平面APC ,AP ⊂平面APC , 故MD ∥平面APC.(2)因为△PMB 为正三角形,D 为PB 的中点, 所以MD ⊥PB.所以AP ⊥PB.又AP ⊥PC ,PB ∩PC =P ,所以AP ⊥平面PBC. 因为BC ⊂平面PBC ,所以AP ⊥BC.又BC ⊥AC ,AC ∩AP =A ,所以BC ⊥平面APC. 因为BC ⊂平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面APC.11.证明:(1)因为点E 为线段PB 的中点,点O 为线段AB 的中点, 所以OE ∥PA.因为PA ⊂平面PAC ,OE ⊄平面PAC , 所以OE ∥平面PAC. 因为OM ∥AC ,且AC ⊂平面PAC ,OM ⊄平面PAC , 所以OM ∥平面PAC.因为OE ⊂平面MOE ,OM ⊂平面MOE ,OE ∩OM =O , 所以平面MOE ∥平面PAC.(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上,所以∠ACB =90°,即BC ⊥AC. 因为PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以PA ⊥BC. 因为AC ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC , PA ∩AC =A , 所以BC ⊥平面PAC. 因为BC ⊂平面PCB , 所以平面PAC ⊥平面PCB.12.解:(1)证明:因为∠ACB =π2,所以BC ⊥AC.又因为BC ⊂平面ABCD ,平面ACFE ∩平面ABCD =AC ,平面ACFE ⊥平面ABCD ,所以BC ⊥平面ACFE.(2)记AC ∩BD =O ,在梯形ABCD 中,因为AD =DC =CB =a ,AB ∥CD ,所以∠ACD =∠CAB=∠DAC.所以π=∠ABC +∠BCD =∠DAB +∠ACD +∠ACB =3∠DAC +π2,所以∠DAC =π6,即∠CBO =π6.又因为∠ACB =π2,CB =a ,所以CO =33a.连接FO ,由AM ∥平面BDF 得AM ∥FO ,因为四边形ACFE 是矩形, 所以EM =CO =33a. B 级1.选C 要判断两个平面的垂直关系,就需固定其中一个平面,找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.因为AB =CB ,且E 是AC 的中点,所以BE ⊥AC ,同理有DE ⊥AC ,于是AC ⊥平面BDE.因为AC 在平面ABC 内,所以平面ABC ⊥平面BDE.又由于AC ⊂平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDE.2.解析:选B ∵a ⊥b ,b ⊥c ,a ∩c =B , ∴b ⊥面ABC ,∴AD ⊥AC ,故△ACD 为直角三角形. 3.解:法一:(1)选取条件① 在等腰直角三角形ABC 中, ∵AB =1, ∴BC =1,AC = 2. 又∵PA =AC ,∴PA = 2. ∴在△PAB 中,AB =1,PA = 2. 又∵PB =3, ∴AB2+PA2=PB2.∴∠PAB =90°,即PA ⊥AB. 又∵PA ⊥AC ,AB ∩AC =A , ∴PA ⊥平面ABC.(2)依题意得,由(1)可知PA ⊥平面ABC ,V 三棱锥P -ABC =13PA ·S △ABC =13×2×12×12=26.法二:(1)选取条件② ∵PB ⊥BC ,又AB ⊥BC ,且PB ∩AB =B ,∴BC⊥平面PAB.∵PA⊂平面PAB,∴BC⊥PA.又∵PA⊥AC,且BC∩AC=C,∴PA⊥平面ABC.(2)依题意得,由(1)可知PA⊥平面ABC.∵AB=BC=1,AB⊥BC,∴AC=2,∴PA=2,∴V三棱锥P-ABC=13PA·S△ABC=13×12AB·BC·PA=13×12×1×1×2=26.法三:(1)选取条件③若平面PAB⊥平面ABC,∵平面PAB∩平面ABC=AB,BC⊂平面ABC,BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB.∵PA⊂平面PAB,∴BC⊥PA.∵PA⊥AC,且BC∩AC=C,∴PA⊥平面ABC.(2)同法二.高考数学(文)一轮:一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1.(·青岛摸底)如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A.②③④B.①②③C.①③④D.①②④2.有下列四个命题:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.43.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图,那么△ABC是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形6.(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为( )A.2+3B.1+3C.2+23D.4+37.(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,且体积为1,则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________.(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形;②直角三角形;③四边形;④扇形;⑤圆8.(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.9.正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为3,其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形,则正视图的周长为________.10.已知:图1是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图2是某几何体的三视图,试说明该几何体的构成.11.(·银川调研)正四棱锥的高为3,侧棱长为7,求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少?12.(·四平模拟)已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示.(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求出侧视图的面积.1.(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2,当其正视图有最大面积时,其侧视图的面积为( )A.23B.3C.3D.42.(·深圳模拟)如图所示的几何体中,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面ABE,已知AB=2,AE=BE=3,且当规定正视方向垂直平面ABCD时,该几何体的侧视图的面积为22.若M,N分别是线段DE,CE上的动点,则AM+MN+NB的最小值为________.3.一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示,其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形.(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图;(2)若多面体底面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;(3)求该多面体的表面积.[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学(文)一轮:一课双测A+B精练(四十)A级1.A2.A3.C4.B5.选B由斜二测画法知B正确.6.选D依题意得,该几何体的侧视图的面积等于22+12×2×3=4+ 3.7.解析:如图1所示,直三棱柱ABE-A1B1E1符合题设要求,此时俯视图△A BE是锐角三角形;如图2所示,直三棱柱ABC-A1B1C1符合题设要求,此时俯视图△ABC是直角三角形;如图3所示,当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时,所得直四棱柱ABCD-A1B1C1D1符合题设要求,此时俯视图(四边形ABCD)是正方形;若俯视图是扇形或圆,体积中会含有π,故排除④⑤.答案:①②③8.解析:结合三视图可知,该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分,其直观图如图所示,故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2-13×12×2×2sin60°×1=533.答案:5339.解析:由题意知,正视图就是如图所示的截面PEF ,其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点,连接AO ,易得AO =2,而PA =3,于是解得PO =1,所以PE =2,故其正视图的周长为2+2 2.答案:2+2210.解:图1几何体的三视图为:图2所示的几何体是上面为正六棱柱,下面为倒立的正六棱锥的组合体. 11.解:如图所示,正四棱锥S -ABCD 中, 高OS =3,侧棱SA =SB =SC =SD =7, 在Rt △SOA 中,OA =SA2-OS2=2,∴AC =4. ∴AB =BC =CD =DA =2 2. 作OE ⊥AB 于E ,则E 为AB 中点. 连接SE ,则SE 即为斜高, 在Rt △SOE 中,∵OE =12BC =2,SO =3,∴SE =5,即侧面上的斜高为 5.12.解:(1)三棱锥的直观图如图所示. (2)根据三视图间的关系可得BC =23, ∴侧视图中VA =42-⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232=12=23,∴S △VBC =12×23×23=6.B 级1.选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积,可以按如图所示位置放置,此时侧视图的面积为2 3.2.解析:依题意得,点E 到直线AB 的距离等于32-⎝ ⎛⎭⎪⎫222=2,因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2=22,所以BC =1,DE =EC =DC =2.所以△DEC 是正三角形,∠DEC =60°,tan ∠DEA =AD AE =33,∠DEA =∠CEB =30°.把△DAE ,△DEC 与△CEB 展在同一平面上,此时连接AB ,AE =BE =3,∠AEB =∠DEA +∠DEC +∠CEB =120°,AB2=AE2+BE2-2AE ·BEcos120°=9,即AB =3,即AM +MN +NB 的最小值为3.答案:33.解:(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图,得到俯视图如下:(2)证明:如图,连接AC ,BD ,交于O 点,连接OE. ∵E 为AA1的中点,O 为AC 的中点, ∴在△AA1C 中,OE 为△AA1C 的中位线. ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ,A1C ⊂平面A1C1C , ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面,SABCD =a2, SA1B1C1D1=a22,S △ABA1=S △B1BC =S △C 1DC =S △ADD1=a22,S △AA1D1=S △B1A1B =S △C1B1C =S △DC1D1 =12×2a 2×32a 4=3a28, ∴该多面体的表面积S =a2+a22+4×a22+4×3a28=5a2.。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分,要求直接将答案写在横线上。
)1.已知点P(4,1)在函数$f(x)=\log_a(x-b)$($b>0$)的图像上,则$ab$的最大值是______。
解:由题意知,$\log_a(4-b)=1$,即$a+b=4$,且$a>0$,$a\neq 1$,$b>0$,从而$ab\leq 4$。
当$a=b=2$时,$ab$的最大值是4.2.函数$f(x)=3\sin(2x-\frac{\pi}{4})$在$x=\frac{3\pi}{4}$处的值是______。
解:$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$,所以$f(\frac{3\pi}{4})=3\sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=-\frac{3}{\sqrt{2}}$。
3.若不等式$|ax+1|\leq 3$的解集为$\{x|-2\leq x\leq 1\}$,则实数$a$的值是______。
解:设函数$f(x)=|ax+1|$,则$f(-2)=f(1)=3$,故$a=2$。
4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球,第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球,从两个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是______。
解:有两类情况:同为白球的概率是$\frac{3}{25}\times\frac{10}{25}=\frac{6}{125}$,同为红球的概率是$\frac{7}{25}\times\frac{6}{25}=\frac{42}{625}$,所求的概率是$\frac{6}{125}+\frac{42}{625}=\frac{72}{625}$。
5.在平面直角坐标系$xOy$中,设焦距为$2c$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$有相同离心率$e$,则$e$的值是______。
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)

2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)1.2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解2.填空题1.已知向量$\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$,$\overrightarrow{PB}=\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$,则向量$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角等于$\frac{\pi}{4}$。
2.已知集合$A=\{x| (ax-1)(a-x)>0\}$,且$a\in A$,$3\notin A$,则实数$a$的取值范围是$1\leq a<2$或$2<a\leq 3$。
3.已知复数$z=\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3})$,则$z^3+z^2=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$。
4.在平面直角坐标系$xOy$中,设$F_1$,$F_2$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点,$P$是双曲线右支上一点,$M$是$PF_2$的中点,且$OM\perp PF_2$,$3PF_1=4PF_2$,则双曲线的离心率为$5$。
5.定义区间$[x_1,x_2]$的长度为$x_2-x_1$。
若函数$y=\log_2x$的定义域为$[a,b]$,值域为$[0,2]$,则区间$[a,b]$的长度的最大值与最小值的差为$3$。
6.若关于$x$的二次方程$mx^2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)$的两个互异的根都小于$1$,则实数$m$的取值范围是$\left(\frac{3+\sqrt{7}}{4},+\infty\right)$。
7.若$\tan4x=\frac{3\sin4x\sin2x\sinx}{\cos8x\cos4x\cos4x\cos2x\cos2x\cos x\cos x}$,则$\sin^2x+\sin^24x+\sin^28x=3$。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷1

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题的括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.1.已知数列{an}的通项公式an =,则{an}的最大项是 ( ) A .a1 B .a2 C .a3 D .a42.函数y =3 |log 3x|的图象是 ( ) A .B .C .D .3.已知抛物线y2=2px ,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的P 点共有 ( ) A .0个 B .2个 C .4个 D .6个4.设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数,若x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则( )A .f(x1)+f(x2)+f(x3)>0B .f(x1)+f(x2)+f(x3)<0C .f(x1)+f(x2)+f(x3)=0D .f(x1)+f(x2)>f(x3)5.过空间一定点P 的直线中,与长方体ABCD -A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 ( ) A .0条 B .1条 C .4条 D .无数多条6.在△ABC 中,tanA =,cosB =,10).若的最长边为1,则最短边的长为 ( ) A .,5)B .,5)C .,5)D .,5)二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本小题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.7.集合A ={x|x =3n ,n ∈N ,0<n <10},B ={y|y =5m ,m ∈N ,0≤n≤6}则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________.8.设cos2θ=,3),则cos4θ+sin4θ的值是__________________. 9.(x -3x2)3的展开式中,x5的系数为__________________.10.已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0,3x -y≥0,x +3y -3≤0,则x2+y2的最大值是__________________.11.等比数列{an}的首项为a1=,公比q =-,设f(n)表示这个数列的前n 项的积,则当n =_________________时,f(n)有最大值.12.长方体ABCD -A1B1C1D1中,已知AB1=4,AD1=3,则对角线AC1的取值范围是______________________________.三、解答题(本题满分60分,第13题,第14题各12分,第15题16分,第16题20分)13.设集合A ={x|log 12(3-x)≥-2},B ={x|≥1},若A∩B =,求实数a 的取值范围.14.椭圆+=1的有焦点为F ,P1,P2,…,P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中P1是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1,若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ,求S 的值.15.△ABC 中,AB <AC ,AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线,且∠BAD =∠EAC .证明是直角.16.设p 是质数,且p2+71的不同正因数的个数不超过10个,求p .全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题的括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.1.已知数列{an}的通项公式an =,则{an}的最大项是 ( ) A .a1 B .a2 C .a3 D .a4解:an =1(n -2)2+1,当n =2时,an 取最大值,故选B .2.函数y =3的图象是 ( )A .B .C .D .解:由于|log3x|≥0,故y≥1,只有A 满足此条件,故选A .A B C D Ex Oy x O y x O y xO y3.已知抛物线y2=2px ,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的P 点共有 ( ) A .0个 B .2个 C .4个 D .6个解:作垂直于x 轴的焦点弦交抛物线于点P1、P2,则△P1OF 、△P2OF 是直角三角形.对于抛物线上异于O 、P1、P2的点Q ,显然∠QFO≠90˚,∠QOF≠90˚,从而若△QOF 为直角三角形,则只能是∠FQO =90˚.设点Q 坐标为(y22p,y)(y≠0,±p),则有y22p (y22p -p2)+y2=0, 由y≠0得,y22p +3p2=0,此方程无实解,从而这样的点P 只能2个,选B .4.设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数,若x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则( )A .f(x1)+f(x2)+f(x3)>0B .f(x1)+f(x2)+f(x3)<0C .f(x1)+f(x2)+f(x3)=0D .f(x1)+f(x2)>f(x3)解:则x1>-x2,知f(x1)<f(-x2)=-f(x2)f(x1)+f(x2)<0; 同理,f(x2)+f(x3)<0,f(x3)+f(x1)<0; 所以,f(x1)+f(x2)+f(x3)<0.选B .5.过空间一定点P 的直线中,与长方体ABCD -A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 ( ) A .0条 B .1条 C .4条 D .无数多条解:首先,过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角(或其外角)的平分线.故若以长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系,则方程|x|=|y|=|z|共有8解,此8解共组成4条直线,故选C .6.在△ABC 中,tanA =,cosB =,10).若的最长边为1,则最短边的长为 ( ) A .,5)B .,5)C .,5)D .,5)解:作辅助图如右:取高CD =a ,则AD =2a ,BD =3a ,最短边AC =5a ;由5a =1,得a =,故选D .二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本小题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.7.集合A ={x|x =3n ,n ∈N ,0<n <10},B ={y|y =5m ,m ∈N ,0≤n≤6}则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________.解:A∩B ={15};故所求和=(3+6+…+27)+(0+5+…+30)-15=225. 8.设cos2θ=,3),则cos4θ+sin4θ的值是__________________. 解:已知即cos2θ-sin2θ=,3)cos4θ+sin4θ-2cos2θsin2θ=; ① 又,cos2θ+sin2θ=1cos4θ+sin4θ+2cos2θsin2θ=1. ② (①+②)÷2: cos4θ+sin4θ=.9.(x -3x2)3的展开式中,x5的系数为__________________. 解:(x -3x2)3=x3-3x2×3x2+3x×9x4-27x6.x5 的系数=27.10.已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0,3x -y≥0,x +3y -3≤0,则x2+y2的最大值是__________________.A B D C3a 2a a1321Oyx解:满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界.其中点(3,0)与原点距离最大,故(x2+y2)max =9.11.等比数列{an}的首项为a1=,公比q =-,设f(n)表示这个数列的前n 项的积,则当n=_________________时,f(n)有最大值. 解:由于f(4k)>0,f(4k +1)>0,(k ∈N*).f(4k)=a 4k 1 q2k(4k -1);f(4k +1)=a 4k +11q2k(4k +1).故=a1q4k .于是f(12)>f(13),且当k≥3时,f(4k +1)<f(4k);又=a 31q30,有f(9)<f(12); =a 41q2(8k +3), 故f(8)<f(12),且k≥3时,f(4k +4)<f(4k), 从而f(12)最大.12.长方体ABCD -A1B1C1D1中,已知AB1=4,AD1=3,则对角线AC1的取值范围是______________________________.解:设长方体的三度分别为x ,y ,z ,对角线AC =d .则可得x2+z2=16,y2+z2=9.d2=x2+y2+z2=25-z2,但0<z <3,从而16<d2<254<d <5所求取值范围为(4,5).三、解答题(本题满分60分,第13题,第14题各12分,第15题16分,第16题20分)13.设集合A ={x|log 12(3-x)≥-2},B ={x|≥1},若A∩B =,求实数a 的取值范围.解:由log 12(3-x)≥-20<3-x≤4-1≤x <3.由≥1(x -a)(x -3a)≤0.① 当a >0时,解为a <x <3a ; ② 当a =0时,解为;③ 当a <0时,解为3a <x <a .若A∩B≠,则当a <0时,有a >-1-1<a <0;当a >0时,有3a <30<a <1. 所以,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,1).14.椭圆+=1的有焦点为F ,P1,P2,…,P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中P1是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1,若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ,求S 的值. 解法一:已知椭圆的a =3,b =2,c =5,e =53,p =b2c =45. 对于椭圆上任一点P ,|FP|=r ,P 到准线的距离|PH|=d ,FP 与Ox 正向夹角为θ,则有rcosθ+d =p ,rd=e .于是, d(1+ecosθ)=p ,1d =1p(1+ecosθ).pF P OxyH r d所以, S =i =1∑241di =1p i =1∑24(1+ecosθ)=24p +e p i =1∑24cosθ=24p .故 S2=242p2=180.解法二:设过焦点且斜率为k 的直线交椭圆于A 、B 两点.则有⎩⎨⎧y =k(x -c), ①4x2+9y2=36. ②①代入②: 4x2+9k2(x -5)2-36=0.即, (4+9k2)x2-185xk2+45k2-36=0.所以, x1+x2=185k24+9k2,x1x2=45k2-364+9k2.而点P 到准线距离d =a2c -x =9-5x 51d =59-5x ,故直线①与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为59-5x1+59-5x2=5[18-5(x1+x2)]81-95(x1+x2)+5x1x2=5[18-5·185k24+9k2]81-95·185k24+9k2+545k2-364+9k2=185(4+9k2)-905k281(4+9k2)-810k2+225k2-180=725+725k2144+144k2=52.而过焦点且倾斜角θ=90˚时,两交点到准线的距离=a2c -c =45,故θ=90˚及270˚的两个点到准线距离倒数和也=52. 所以,S =12×52=65;S2=180.解法三:令⎩⎨⎧x =5+tcosθ,y =tsinθ.代入椭圆方程得,t2(4cos2θ+9sin2θ)+85tcosθ-16=0.同上.15.△ABC 中,AB <AC ,AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线,且∠BAD =∠EAC .证明是直角.证明一:延长AE 到F ,使EF =AE ,延长AD 到K ,使DK =AD .连FK ,FB .因FB ∥AC ∠AFB =∠EAC .又BD 垂直平分AK ,故∠AKB =∠BAD ,因∠BAD =∠EAC ,所以∠AKB =∠AFB .所以A 、F 、K 、B 四点共圆. FK ∥BC ∠FKA =90˚.故AF 为该圆直径.E 为此圆圆心.A B C D E FK故EA =EB =EC ,即点C 在此圆上.此圆为△ABC 的外接圆,BC 为圆的直径. 所以∠BAC 为直角.证明二:取△ABC 的外接圆,延长AE 交圆于点F ,连FB ,则∠CBF =∠CAF =∠BAD ,但∠BAD +∠ABD =90˚,从而∠FBC +∠ABC =90˚,即∠ABF =90˚. 从而AF 为圆的直径.若E 不是圆心,则AF ⊥BC ,AB =AC .与已知矛盾.故E 为外心.从而∠BAC =90˚.证明三:作△ABC 的外接圆,作EF ⊥BC ,交外接圆于点F ,连AF .则EF 是BC 的垂直平分线,故F 为⌒BC 的中点,于是AF 是∠BAC的平分线.由∠BAD =∠EAC ,得∠DAF =∠EAF .又,EF ∥AD ,故∠DAF =∠EFA ∠EAF =∠EFA .EA =EF .故AF 的垂直平分线经过点E .由于△ABC 的外接圆圆心应是弦AF 、BC 的垂直平分线的交点,故E 为△ABC 的外心.从而△ABC 为直角三角形,得,∠BAC 为直角.证明四:取AC 中点F ,连DF 、EF , 由EF ∥AB ∠AEF =∠EAB =∠BAD +∠DAE =∠EAC+∠DAE =∠DAC ,由AD 为高,故∠DAC =∠ADF ,所以,∠ADF =∠AEF A 、D 、E 、F 四点共圆.于是有∠EFA =90˚,从而∠BAC =90˚,故证.证明五:以D 为原点,BC 所在直线为x 轴建立坐标系.设点A 、B 、C 的坐标分别为A(0,a),B(b ,0),C(0,c).设AB 到AD 的角为α,则tanα=-ba .kAC =-a c ,kAE =-2ab +c ,tan ∠EAC =-a c +2a b +c 1+2a2c(b +c)=a(c -b)2a2+bc +c2.由tan ∠EAC =tanα-ba =a(c -b)2a2+bc +c2.化简得a2=-bc .即|AD|2=|DB|·|DC|.故△ABC 为直角三角形.证明六:设BC =a ,BD =p ,AD =h ,则tanB =hp ,tan ∠AEB =h 12a -p =2ha -2p .FED CBAxyA (0,a )B (b ,0)C (c ,0)D EahpABCEDFD E C B A∠BAE =∠DACtan ∠BAE =tan ∠DAC =a -ph.在△ABE 中,有h p +2ha -2p +a -p h =h p ·2h a -2p ·a -p h =2h(a -p)p(a -2p).即h2(a -2p)+2ph2+p(a -p)(a -2p)=2h2(a -2p).h2=p(a -p).从而|AD|2=|DB|·|DC|.故△ABC 为直角三角形.得证.证明七:设∠BAD =∠EAC =α,则AD =ABcosα=ACsinC , ①∠BAE =∠DAC =90˚-C .而S △BAE =S △CAE AB·AEsin(90˚-C)=AC·AEsinαABcosC =ACsinα.②①×②:sin2α=sin2C α+C =90˚或α=C .若α+C =90˚,则D 、E 重合,与AC >AB 矛盾,α=C .则有∠BAC =90˚,得证.16.设p 是质数,且p2+71的不同正因数的个数不超过10个,求p . 解 p =2时,p2+71=75=3×52,d(75)=2×3=6<10,故p =2是本题的解; p =3时,p2+71=80=24×5,d(80)=5×2=10≤10,故p =3是本题的解; 若质数p >3,则p2≡1(mod 8)p2+71≡0(mod 8),故23|p2+71; p2≡1(mod 3)p2+71≡0(mod 3),故3|p2+71.所以,p2+71=2α×3β×t .其中α、β∈N*,且α≥3.当α=3,β=1,t 若有大于3的质因子,则d(p2+71)≥4×2×2,故t =1.此时无质数p 满足题意;当α=4,β=1,必有t =1,此时有d(p2+71)≥5×2=10.此时无质数p 满足题意; 当α≥4,β≥1,且等号不同时成立时,d(p2+71)>10. 综上可知,解为p =2,3.高考数学(文)一轮:一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1.(·青岛摸底)如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A.②③④B.①②③C.①③④D.①②④2.有下列四个命题:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.43.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图,那么△ABC是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形6.(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为( )A.2+3B.1+3C.2+23D.4+37.(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,且体积为1,则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________.(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形;②直角三角形;③四边形;④扇形;⑤圆8.(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.9.正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为3,其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形,则正视图的周长为________.10.已知:图1是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图2是某几何体的三视图,试说明该几何体的构成.11.(·银川调研)正四棱锥的高为3,侧棱长为7,求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少?12.(·四平模拟)已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示.(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求出侧视图的面积.1.(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2,当其正视图有最大面积时,其侧视图的面积为( )A.23B.3C.3D.42.(·深圳模拟)如图所示的几何体中,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面ABE,已知AB=2,AE=BE=3,且当规定正视方向垂直平面ABCD时,该几何体的侧视图的面积为22.若M,N分别是线段DE,CE上的动点,则AM+MN+NB的最小值为________.3.一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示,其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形.(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图;(2)若多面体底面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;(3)求该多面体的表面积.[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学(文)一轮:一课双测A+B精练(四十)A级1.A2.A3.C4.B5.选B由斜二测画法知B正确.6.选D依题意得,该几何体的侧视图的面积等于22+12×2×3=4+ 3.7.解析:如图1所示,直三棱柱ABE-A1B1E1符合题设要求,此时俯视图△A BE是锐角三角形;如图2所示,直三棱柱ABC-A1B1C1符合题设要求,此时俯视图△ABC是直角三角形;如图3所示,当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时,所得直四棱柱ABCD-A1B1C1D1符合题设要求,此时俯视图(四边形ABCD)是正方形;若俯视图是扇形或圆,体积中会含有π,故排除④⑤.答案:①②③8.解析:结合三视图可知,该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分,其直观图如图所示,故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2-13×12×2×2sin60°×1=533.答案:5339.解析:由题意知,正视图就是如图所示的截面PEF ,其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点,连接AO ,易得AO =2,而PA =3,于是解得PO =1,所以PE =2,故其正视图的周长为2+2 2.答案:2+2210.解:图1几何体的三视图为:图2所示的几何体是上面为正六棱柱,下面为倒立的正六棱锥的组合体. 11.解:如图所示,正四棱锥S -ABCD 中, 高OS =3,侧棱SA =SB =SC =SD =7, 在Rt △SOA 中,OA =SA2-OS2=2,∴AC =4. ∴AB =BC =CD =DA =2 2. 作OE ⊥AB 于E ,则E 为AB 中点. 连接SE ,则SE 即为斜高, 在Rt △SOE 中,∵OE =12BC =2,SO =3,∴SE =5,即侧面上的斜高为 5.12.解:(1)三棱锥的直观图如图所示. (2)根据三视图间的关系可得BC =23, ∴侧视图中VA =42-⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232=12=23,∴S △VBC =12×23×23=6.B 级1.选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积,可以按如图所示位置放置,此时侧视图的面积为2 3.2.解析:依题意得,点E 到直线AB 的距离等于32-⎝ ⎛⎭⎪⎫222=2,因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2=22,所以BC =1,DE =EC =DC =2.所以△DEC 是正三角形,∠DEC =60°,tan ∠DEA =AD AE =33,∠DEA =∠CEB =30°.把△DAE ,△DEC 与△CEB 展在同一平面上,此时连接AB ,AE =BE =3,∠AEB =∠DEA +∠DEC +∠CEB =120°,AB2=AE2+BE2-2AE ·BEcos120°=9,即AB =3,即AM +MN +NB 的最小值为3.答案:33.解:(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图,得到俯视图如下:(2)证明:如图,连接AC ,BD ,交于O 点,连接OE. ∵E 为AA1的中点,O 为AC 的中点, ∴在△AA1C 中,OE 为△AA1C 的中位线. ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ,A1C ⊂平面A1C1C , ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面,SABCD =a2, SA1B1C1D1=a22,S △ABA1=S △B1BC =S △C 1DC =S △ADD1=a22,S △AA1D1=S △B1A1B =S △C1B1C =S △DC1D1 =12×2a 2×32a 4=3a28, ∴该多面体的表面积S =a2+a22+4×a22+4×3a28=5a2.高考数学(文)一轮:一课双测A+B精练(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系1.(·人大附中月考)设m>0,则直线2(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为( )A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切2.(·福建高考)直线x+3y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度等于( )A.25B.23C.3D.13.(·安徽高考)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( )A.[-3,-1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)4.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )A.2B.3C.2D.35.(·兰州模拟)若圆x2+y2=r2(r>0)上仅有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围为( )A.(2+1,+∞) B.(2-1, 2+1)C.(0, 2-1) D.(0, 2+1)6.(·临沂模拟)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )A.2B.21 2C.22D.27.(·朝阳高三期末)设直线x-my-1=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为23,则实数m的值是________.8.(·东北三校联考)若a,b,c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边),则圆C:x2+y2=4被直线l:ax+by+c=0所截得的弦长为________.9.(·江西高考)过直线x +y -22=0上点P 作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是________.10.(·福州调研)已知⊙M :x2+(y -2)2=1,Q 是x 轴上的动点,QA ,QB 分别切⊙M 于A ,B 两点.(1)若|AB|=423,求|MQ|及直线MQ 的方程;(2)求证:直线AB 恒过定点.11.已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ,2t (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ,与y 轴交于点O 、B ,其中O 为原点.(1)求证:△AOB 的面积为定值;(2)设直线2x +y -4=0与圆C 交于点M 、N ,若|OM|=|ON|,求圆C 的方程. 12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x2+y2-12x +32=0的圆心为Q ,过点P(0,2),且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B.(1)求k 的取值范围;(2)是否存在常数k ,使得向量OA +OB 与PQ ―→共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.1.已知两圆x2+y2-10x -10y =0,x2+y2+6x -2y -40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为________________;公共弦长为________.2.(·上海模拟)已知圆的方程为x2+y2-6x -8y =0,a1,a2,…,a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长,若数列a1,a2,…,a11成等差数列,则该等差数列公差的最大值是________.3.(·江西六校联考)已知抛物线C :y2=2px(p >0)的准线为l ,焦点为F ,圆M 的圆心在x 轴的正半轴上,圆M 与y 轴相切,过原点O 作倾斜角为π3的直线n ,交直线l 于点A ,交圆M 于不同的两点O 、B ,且|AO|=|BO|=2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程;(2)若P 为抛物线C 上的动点,求PM ―→,·PF ―→,的最小值;(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线,切点分别为S 、T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.[答 题 栏] A 级1._________2._________3._________4._________5B 级1.______2.______.__________6._________7.__________8.__________9.__________答 案高考数学(文)一轮:一课双测A+B 精练(四十八)A 级1.C2.B3.C4.C5.选A 计算得圆心到直线l 的距离为22= 2>1,如图.直线l :x -y -2=0与圆相交,l1,l2与l 平行,且与直线l 的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2+1.6.选D 圆心C(0,1)到l 的距离 d =5k2+1,所以四边形面积的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×d2-1=2, 解得k2=4,即k =±2. 又k >0,即k =2.7.解析:由题意得,圆心(1,2)到直线x -my -1=0的距离d =4-3=1, 即|1-2m -1|1+m2=1,解得m =±33.答案:±338.解析:由题意可知圆C :x2+y2=4被直线l :ax +by +c =0所截得的弦长为24-⎝⎛⎭⎪⎫c a2+b22,由于a2+b2=c2,所以所求弦长为2 3.答案:239.解析:∵点P 在直线x +y -22=0上,∴可设点P(x0,-x0+22),且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°, ∴∠OPM =30°.故在Rt △OPM 中,有OP =2OM =2.由两点间的距离公式得OP =x20+-x0+222=2,解得x0= 2.故点P 的坐标是( 2,2).答案:( 2, 2)10.解:(1)设直线MQ 交AB 于点P ,则|AP|=223,又|AM|=1,AP ⊥MQ ,AM ⊥AQ ,得|MP|=12-89=13,又∵|MQ|=|MA|2|MP|,∴|MQ|=3.设Q(x,0),而点M(0,2),由x2+22=3,得x =±5, 则Q 点的坐标为(5,0)或(-5,0).从而直线MQ 的方程为2x +5y -25=0或2x -5y +25=0.(2)证明:设点Q(q,0),由几何性质,可知A ,B 两点在以Q M 为直径的圆上,此圆的方程为x(x -q)+y(y -2)=0,而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦,相减可得AB 的方程为qx -2y +3=0,所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32. 11.解:(1)证明:由题设知,圆C 的方程为 (x -t)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -2t 2=t2+4t2, 化简得x2-2tx +y2-4t y =0,当y =0时,x =0或2t ,则A(2t,0); 当x =0时,y =0或4t ,则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,4t , 所以S △AOB =12|OA|·|OB|=12|2t|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t =4为定值.(2)∵|OM|=|ON|,则原点O 在MN 的中垂线上,设MN 的中点为H ,则CH ⊥MN , ∴C 、H 、O 三点共线,则直线OC 的斜率 k =2t t =2t2=12,∴t =2或t =-2. ∴圆心为C(2,1)或C(-2,-1),∴圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5或(x +2)2+(y +1)2=5,由于当圆方程为(x +2)2+(y +1)2=5时,直线2x +y -4=0到圆心的距离d >r ,此时不满足直线与圆相交,故舍去,∴圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5.12.解:(1)圆的方程可写成(x -6)2+y2=4,所以圆心为Q(6,0).过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y =kx +2,代入圆的方程得x2+(kx +2)2-12x +32=0,整理得(1+k2)x2+4(k -3)x +36=0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ=[4(k -3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0,解得-34<k<0,即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,0. (2)设A(x1,y1)、B(x2,y2) 则OA +OB =(x1+x2,y1+y2), 由方程①得x1+x2=-4k -31+k2.②又y1+y2=k(x1+x2)+4.③因P(0,2)、Q(6,0),PQ =(6,-2),所以OA +OB 与PQ 共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2),将②③代入上式, 解得k =-34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,0,故没有符合题意的常数k. B 级1.解析:由两圆的方程x2+y2-10x -10y =0,x2+y2+6x -2y -40=0,相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x +y -5=0.圆心(5,5)到直线2x +y -5=0的距离为105=25,弦长的一半为50-20=30,得公共弦长为230.答案:2x +y -5=02302.解析:容易判断,点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的弦最短,因此,过(3,5)的弦中,最长为10,最短为46,故公差最大为10-4610=5-265. 答案:5-2653.解:(1)易得B(1,3),A(-1,-3),设圆M 的方程为(x -a)2+y2=a2(a >0),将点B(1,3)代入圆M 的方程得a =2,所以圆M 的方程为(x -2)2+y2=4,因为点A(-1,-3)在准线l 上,所以p2=1,p =2,所以抛物线C 的方程为y2=4x.(2)由(1)得,M(2,0),F(1,0),设点P(x ,y),则PM ,=(2-x ,-y),PF ,=(1-x ,-y),又点P 在抛物线y2=4x 上,所以PM ,·PF ,=(2-x)(1-x)+y2=x2-3x +2+4x =x2+x +2,因为x ≥0,所以PM ,·PF ,≥2,即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明:设点Q(-1,m),则|QS|=|QT|=m2+5,以Q 为圆心,m2+5为半径的圆的方程为(x +1)2+(y -m)2=m2+5,即x2+y2+2x -2my -4=0,①又圆M 的方程为(x -2)2+y2=4,即x2+y2-4x =0,② 由①②两式相减即得直线ST 的方程3x -my -2=0,显然直线ST 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23,0.。
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案一、填空题(本题共10小题,每小题7分,共70分)1.已知向量((),AP PB ==u u u r u u u r ,则向量AP u u u r 与AB u u u r的夹角等于 .答案:4π 2.已知集合()(){}|10A x ax a x =-->,且,3a A A ∈∉,则实数a 的取值范围是 . 答案:(]11,2,3.32⎡⎫⎪⎢⎣⎭U3.已知复数2cos sin33z i ππ2=+,其中i 是虚数单位,则32z z += .答案:1.24.在平面直角坐标系xOy 中,设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左,右焦点,P是双曲线右支上一点,M 是2PF 的中点,且212,34OM PF PF PF ⊥=,则双曲线的离心率为 .答案:5.5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ,值域为[]0,2,则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 . 答案:3.6.若关于x 的二次方程()()221200mx m x m m +--+=>的两个互异的根都小于1,则实数m 的取值范围是 .答案:.⎫+∞⎪⎪⎝⎭7.若tan 4x sin 4sin 2sin sin cos8cos4cos4cos2cos2cos cos x x x xx x x x x x x+++= .8.棱长为2的正方体ABCD -1111A B C D 在空间坐标系O -xyz 中运动,其中顶点A 保持在z 轴上,顶点1B 保持在平面xOy 上,则OC 长度的最小值是 .9.设数列12321,,,,a a a a L 满足:()111,2,3,,20n n a a n +-==L ,1721,,a a a 成等比数列.若1211,9a a ==,则满足条件的不同的数列的个数为 .答案:15099.10.对于某些正整数n ,分数2237n n ++不是既约分数,则n 的最小值是 .答案:17. 二、解答题:(本大题共4小题,每小题20分,共80分) 11.设数列{}n a 满足:①11a =,②0n a >,③2*11,.1n n n na a n N na ++=∈+ 求证:(1)数列{}n a 是递增数列;(2)对如图任意正整数n ,111.nn k a k=<+∑证明:(1)因为2111111,11n n n n n n n na a a a a na na ++++++-=-=++且0n a >, 所以10n n a a +->.所以*1,.n n a a n N +>∈ 所以数列{}n a 是递增数列. (2)因为111111,1n n n n n n a a a a na na n+++++-=<=+所以当2n ≥时,()()()112211111111122111.n n n n n nk a a a a a a a a n n k ---==-+-++-+<+++++--<+∑L L又1111,a =<+所以对任意正整数n ,111.nn k a k=<+∑12.在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>,直线:30.l x y a +-=若椭圆E,原点O 到直线l的距离为 (1)求椭圆E 与直线l 的方程;(2)若椭圆E 上三点()(),0,,,0P A b B a 到直线l 的距离分别为123,,d d d , 求证:123,,d d d 可以是某三角形三条边的边长.解:(1)由题设条件得222,ca b c a =⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩,从而2,1.a b =⎧⎨=⎩故所求的椭圆22:14x E y +=.直线:60.l x y +-=(2)设()2cos ,sin P θθ,则16d θϕ-+=其中tan 2.ϕ=1d ≤≤又23d d === 故21.d d>因为231,d d d +=+>≥131.d d d +≥= 所以123,,d d d 可以是某个三角形的三条边的边长.13.如图,圆O 是四边形ABCD 的内切圆,切点分别为,,,,P Q R S OA 与PS 交于点1,A OB 与PQ 交于点1B ,OC 与QR 交于点1C ,OD 与SR 交于点1D .求证:四边形1111A B C D 是平行四边形.证明:连接,.PR QS因为圆O 是四边形ABCD 的内切圆,所以OA 是SAP ∠的平分线,且.AP AS = 在△ASP 中,由三线合一,点1A 是线段PS 的中点. 同理点1B 是线段PQ 的中点,所以11//A B SQ .OD 1C 1B 1A 1SRQPDCBAOD 1C 1B 1A 1SRQPDCBA同理1111//A D B C .所以四边形1111A B C D 是平行四边形. 14.求满足373x x y y -=-的所有素数x 和.y 解:满足题设条件的素数只有5, 2.x y == 假设5,y ≥则()736365365436543265206706152015611.y y y y y y y y y y y y y y y y y y -≥-≥+-≥++->++++++=+ 所以,()633731,x x x y y y >-=->+即()21.x y >+又因为()()()37332|111x x x y y y y y y -=-=-++,且x 为素数, 而()221111,y y y y y x -<<+<+<+<从而()()()32\|111,x y y y y -++ 这与73|x y y -矛盾.所以 5.y <因为y 是素数,所以2,y =或 3.y =当2y =时,3120x x -=,即()()255240,x x x -++=所以 5.x = 当3y =时,343216023 5.x x -==⋅⋅ 所以2,x =或3x =,或 5.x =经检验,2x =,或3x =,或5x =时,34323 5.x x -≠⋅⋅ 所以满足条件的素数只有5, 2.x y ==。
2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案

36t2(t2+12) 1 , 不妨设 k>0, 令 t=k+ ,则 t≥2,可化得 PQ2= k (3t2+4)2 6t t2+12 . 即 PQ= 3t2+4 设 B(x0,y0),则切点弦 PQ 的方程是 x0x+3y0y=3. k2-1 1 x- 上,所以 y0=-2. 又 P,Q 在 l:y= 2 4k 3(k2-1) . 从而 x0= 2k k2-1 2 3( ) +12 k 3t2 所以 B 到 PQ 的距离 d= = . 2 k -1 2 2 t2+12 2 ( ) +16 k 6t t2+12 1 9t3 1 3t2 因此△BPQ 的面积 S= ×d×PQ= × × = . 2 2 2 t2+12 2(3t2+4) 3t2+4 ……………………………… 16 分 1 1 9 令 u= ,则 0<u≤ ,化得 S= . t 2 2(4u3+3u) 1 当 0<u≤ 时,4u3+3u 递增. 2 9 1 所以 0<4u3+3u≤2,即 S≥ ,当且仅当 u= ,即 t=2,k=1 时,等号成立. 4 2 9 . 故△BPQ 的面积 S 的取值范围是 [ ,+∞) 4 四、解答题(本题满分 20 分) 1 1 设函数 fn(x)=1+x+ x2+…+ xn. 2! n! (1)求证:当 x∈(0,+∞) ,n∈N* 时,ex > fn(x); (2)设 x>0,n∈N*.若存在 y∈R 使得 ex = fn(x)+ 解: (1)用数学归纳法证明如下: (i) 当 n=1 时,令 f(x)=ex-f1(x)=ex-x-1,则 f ′(x)=ex-1>0,x∈(0,+∞)恒成立, 所以 f(x)在区间(0,+∞)为增函数. 又因为 f(0)=0,所以 f(x)>0,即 ex>f1(x). ……………………………… 5 分 1 xn+1ey,求证:0<y<x. (n+1)! ………………………… 20 分
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2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题:(本大题共10个小题,共70分,每小题7分.)
1.已知向量()1,3AP =uu u r ,()
3,1PB =-uu r ,则AP uu u r 和AB uu u r 的夹角等于 . 2.已知集合()(){}10A x ax a x =-->,且2A ∈,3A ∉,则实数a 的取值范围是 .
3.已知复数22cos sin 33
z i =+ππ,其中i 为虚数单位,则32z z += . 4.在平面直角坐标系xOy 中,设1F ,2F 分别是双曲线22
221x y a b
-=(0a >,0b >)的左、右焦点,P 是双曲线右支上一点,M 是2PF 的中点,且2OM PF ⊥,1234PF PF =,则双曲线的离心率为 .
5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ,值域为[]0,2,则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 .
6.若关于x 的二次方程()22120mx m x m +--+=(0m >)的两个互异的根都小于1,则实数m 的取值范围是 .
7.若3tan 43
x =,则sin 4sin 2cos8cos 4cos 4cos 2x x x x x x ++sin sin cos 2cos cos x x x x x += . 8.棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -在空间直角坐标系O xyz -中运动,
其中顶点A 保持在z 轴上,顶点1B 保持在平面xOy 上,则OC 长度的最小值是 .
9.设数列12321,,,,a a a a L 满足:11n n a a +-=(1,2,3,,20n =L ),1a ,7a ,21a 成等比数列.若11a =,219a =,则满足条件的不同数列的个数为 .
10.对于某些正整数n ,分数2237
n n ++不是既约分数,则n 的最小值是 . 二、解答题 (本大题共4小题,每小题20分,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
11.设数列{}n a 满足:
①11a =;②0n a >;③2111
n n n na a na ++=+,*n ∈N . 求证:(1)数列{}n a 是递增数列;
(2)对任意正整数n ,111n
n k a k =<+∑. 12.在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆E :22
221x y a b
+=(0a b >>),直线l :30x y a +-=.若椭圆E 的离心率为32
,原点O 到直线l 的距离为32. (1)求椭圆E 与直线l 的方程;
(2)若椭圆E 上三点P ,()0,A b ,(),0B a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,3d . 求证:1d ,2d ,3d 可以是某三角形三条边的边长.
13.如图,圆O 是四边形ABCD 的内切圆,切点分别为P ,Q ,R ,S ,OA 与PS 交于点1A ,OB 与PQ 交于点1B ,OC 与QR 交于点1C ,OD 与SR 交于点1D ,求证:四边形1111A B C D 是平行四边形
.
14.求满足373
x x y y -=-的所有素数x 和y .
2017年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛参考答案与评分细则
一、填空题
1.4π 2.(]11,2,332⎡⎫⎪⎢⎣⎭
U 3.13i 22- 4.5 5.3 6.37,4⎛⎫++∞
⎪ ⎪⎝⎭
7.3 8.62- 9.15099 10.17
二、解答题
11.证明:(1)因为11n n n a a a ++-=-2111111
n n n n na a na na ++++=++,且0n a >, 所以10n n a a +->,所以1n n a a +>,*n ∈N ,
所以数列{}n a 是递增数列.
(2)因为1111n n n n a a a na +++-=
<+111n n a na n
++=, 所以当2n ≥时, ()()112n n n n n a a a a a ---=-+-()211a a a ++-+L
111111221
n n <+++++--L 111n k k
=<+∑.
又1111a =<+,
所以对任意正整数n ,111n
n k a k =<+∑. 12.解:(1)由题设条件得222332,
23,2,a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩
从而2,1.a b =⎧⎨=⎩ 故所求的椭圆E :2
214
x y +=,直线l :60x y +-=.
(2)设()2cos ,sin P θθ,则12cos sin 6
2d +-==θθ()
65sin 2-+θϕ,其中tan 2=ϕ, 所以16210621022
d -+≤≤. 又2016
5222d +-==,3206222
d +-==, 故23d d >. 因为2352222d d +=+=192621022
d +>≥, 136210222d d -+≥+2102105222
d -=>=. 所以1d ,2d ,3d 可以是某个三角形的三条边的边长.
13.证明:连接PR ,QS .
因为圆O 是四边形ABCD 的内切圆,
所以OA 是SAP ∠的平分线,且AP AS =.
在ASP ∆中,由三线合一,点1A 是线段PS 的中点.
同理点1B 是线段PQ 的中点,
所以11A B SQ ∥.
同理11DC SQ ∥.
所以1111A B D C ∥.
同理1111A D B C ∥.
所以四边形1111A B C D 的平行四边形.
14.解:满足题设条件的素数只有5x =,2y =.
假设5y ≥,则73635y y y y -≥-65320y y y ≥+-
65436670y y y y y ≥++->5432615201561y y y y y ++++++ ()6
1y =+.
所以()653731x x x y y y >-=-+,即()21x y >+. 又因为3733x x x y y y -=-=()()()2111y y y -++,且x 为素数,
而2111y y y y -<<+<+()21y x <+<,从而()()()32111x y y y y -++Œ
, 这与73x y y -矛盾.
所以5y <.
因为y 是素数,所以2y =,或3y =.
当2y =时,3120x x -=,即()()
255240x x x -++=,所以5x =. 当3y =时,3432160235x x -==⋅⋅. 因为343
235x x x -=⋅⋅,且x 为素数,
所以2x =,或3x =,或5x =.
经检验,2x =,或3x =,或5x =时,343235x x -≠⋅⋅, 所以满足条件的素数只有5x =,2y =.。