周期函数的定义(老黄学高数第41讲)
概周期函数和概周期方程介绍
概周期函数又称殆周期函数,周期函数的一种推广,具有某种近似周期性的有界连续函数。
概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的。
三角多项式以及三角多项式序列的极限都是周期函数。
而三角和(сj为复数,λj为实数)序列的极限却未必是周期函数。
但这类极限函数的特征可以用某种近似周期性来刻画。
考虑最简单的情形，两个连续周期函数ƒ(x)及g（x）的和函数S(x)=ƒ(x)+g(x)，设F为ƒ(x)的周期，G为g(x)的周期。
如果F 和G是可公度的,即存在正整数n1和n2，使得n1F=n2G,那么S(x)也为一周期函数，而且以n1F=n2G为周期。
但当F和G是不可公度时,虽然不存在整数n1和n2，满足,但由有理数集的稠密性原理可知:存在正整数n1和n2，使得|n1F－n2G|<δ,这里，δ是事先任给的正数。
从而，存在数τ满足|n1F－τ|<δ及|n2G－τ|<δ。
还可以进一步证明更强的结论：对任给的δ>0,存在着正数l(δ)，使得在每一个长为l(δ)的区间内至少有一数τ满足上式。
这样，由ƒ(x)和g(x)的连续性、周期性以及上述事实便得到：对任给的ε>0,存在着正数l(ε)，使得在每一个长为l(ε)的区间内至少有一数τ，满足│S(x+τ)-S(x)│<ε。
上式虽然并不说明S(x)为周期函数，但它具有近似的周期性。
一般来说，可以给出如下的精确描述：设ƒ(x)为定义于实轴上的复值连续函数，如果τ满足，就称τ为ƒ（x）的属于ε的平移数。
若对任一ε>0，存在l(ε)>0,使得长度为l(ε)的区间内至少包含一个ƒ(x)的属于ε的平移数,则称ƒ(x)为概周期函数。
任一周期函数必为概周期函数；由上可知，任意有限个周期函数的和函数也必为概周期函数。
因而，复值三角和必为概周期函数。
概周期函数理论中的一个重要结果是：ƒ(x)为概周期函数当且仅当ƒ(x)可以用上述的三角和序列来一致逼近。
(函数的周期性)：周期函数的定义
（函数的周期性）：周期函数的定义周期函数是高中阶段需要掌握的一种重要函数类型，最常见的为三角函数，而除去三角函数，还有很多具有周期性的函数，今天我们就借助几个例子一起来看一看。
同学们要着重思考的是：如何通过定义判断一个函数是周期函数？周期函数有哪些性质？先看例题：例1：设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，242,10(),01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩ ，则3()2f =__________.由题意有：(2)()f x f x +=23111()(2)()4()212222f f f =-+=-=-⨯-+= 所以3()12f =注意：分段函数中，要注意函数的取值范围。
再看一个例题： 例2：设函数3,05()(),55f x f x x x x ⎧≤<=⎨≥-⎩，则(2015)()f =解：当x ≥5 ()(5)f x f x =-，即T =5(2015)(5403)(0)f f f =⨯=所以(2015)0f =总结：1.周期函数性质()()x T f x f +=()()x T f x f -=2.若()()()f x a f x b a b ++≠＝则f (x )是周期函数，其中一个周期是.||T a b ＝－3.对比：若()()f x a f x b -＋＝＋则函数f (x )图象的对称轴2a b x +=同号看周期，异号看对称练习：1.设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数 则下列结论错误的是( )A.D (x )的值域为{0,1}B. D (x )是偶函数C. D (x )不是周期函数D. D (x )不是单调函数。
函数的周期ppt课件
例3：求函数y 3 sin2 x sin x cosx的周期， 并求函数取得最小值时x的值。
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励志名言
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世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
练：（1）函数f (x)的周期为2，且f (1) 1,
则f (3) ？ (2)证明f (x) sin x cosx的一个周期是
2
2、最小正周期的定义 对于一个周期函数 f (x) 如果在它所
有的周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小的正数就叫做 f (x)的
最小正周期。
说明： （1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别
非零常数 T 叫做这个函数的周期。
说明： (1)T必须是常数，且不为零；
(2)对周期函数来说 f (x T ) f (x) 必须对定义域内的任意 x都成立。
思考：
（1）对于函数y sin x, x R,有sin( 2 ) sin ,
63
6
能否说 2 是y sin x的周期。
3
（2）函数y sin x, x R,是不是周期函数？
0 呢？？？
例2．求下列函数的周期：
（1） y sin( x)
32
（2）y cos 3x cos x sin 3x sin x
22
22
（3） y cos2 x sin2 x
高中数学知识点精讲精析 三角函数的周期性
1.3.1 三角函数的周期性（一）、周期函数定义1、我们先看函数周期性的定义．定义 对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．2、需要注意的几点：①T 是非零常数.②任意x D ∈，都有x T D +∈，0T ≠，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件.③任取x D ∈，就是取遍D 中的每一个x ，可见周期性是函数在定义域上的整体性质. 理解定义时，要抓住每一个x 都满足),()(x f T x f =+成立才行周期也可推进，若T 是)(x f y =的周期，那么2T 也是)(x f y =的周期.这是因为 )()()]([)2(x f x t f x T T f x T f =+=++=+，若T 是)(x f y =的周期，,0≠∈k Z k 且则kT 也是f(x)的周期.即2π是函数x y x y cos sin ==和的周期，那么x y x y k Z k k cos sin )0(2==≠∈和也是且π的周期. 如：),4sin()24sin(πππ=+ ),43sin()243sin(πππ=+ 但,6sin )26sin(πππ≠+x y sin 2=∴不是π的周期. （二）、最小正周期的概念.对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.例如函数x y sin =的周期中，2π，－2π，4π，－4π，…，存在最小正数2π，那么，2π就是x y sin =的最小正周期.函数x y cos =的最小正周期也是2π，今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期，不是每个周期函数都有最小正周期.1. 求下列函数的最小正周期T.（1）x x f sin 3)(=（2）x x f 2sin )(=（3）)421sin(2)(π+=x x f 【解析】 解：（1）πππ2)2()2sin(3sin 3)(=+=+==T x f x x x f（2）)()(2sin )22sin(2sin )(πππ+=+=+==x f x x x x f ∴函数的最小正周期为π.（3）)4(]4)4(21sin[2)2421sin(2)421sin(2)(ππππππ+=++=++=+=x f x x x x f 函数的最小正周期为4π.总结一般规律：)cos(),sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 的最小正周期是||2ωπ.令 z x ωϕ=+，由sin ,y A z z R =∈的周期是2π，则 ()222z x x ππωϕπωϕω⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭因而自变量x 只要并且至少要增加到2x πω+，即2T πω=.2. 求证：（1）x x y sin 2cos +=的周期为π；（2）.2|cos ||sin |π的周期为x x y += 【解析】证明：（1）)22sin()22cos()(2sin )(2cos )(x x x x x f +++=+++=+πππππ π的周期是x x y x f x x 2sin 2cos )(2sin 2cos +=∴=+=（2）)(|cos ||sin ||sin ||cos |)2cos(||)2sin(|)2(x f x x x x x x x f =+=-+=+++=+πππ ∴.2|cos ||sin |π的周期是x x y +=（一般不要求证明是最小正周期）总结：（1）一般函数周期的定义 （2）)cos(),sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 周期求法3. 研究一下函数的周期性（1）x sin 2； （2）x sin【解析】（1）x sin 2的定义域为R ，值域为]2,21[，作图可知，它是最小正周期为π2的周期函数. （2）x sin 的定义域为]2,2[πππ+k k ，值域为【0，1】，作图可知，它是最小正周期为π2的周期函数.【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，)sin(sin ,sin 1,sin ,log x x x x a 都是最小正周期π2的周期函数.。
高一数学142-1函数的周期性课件新人教版必修
周期函数的判定方法二
利用特殊值法判断一个函数是否为周期函数。具体来说，就是取定义域内的某些 特殊值，例如0、1、2等，看这些特殊值是否满足f(x+T)=f(x)。如果满足，则可 以初步判断该函数是周期函数。
选项A：$pi$ B：$2pi$ C：$frac{pi}{2}$ D： $frac{3pi}{2}$
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答案：B
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题目：函数$f(x) = cosfrac{1}{x}$的周期为( )
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选项A：$pi$ B：$2pi$ C：$frac{pi}{2}$ D： $frac{3pi}{2}$
高一数学142-1函数的 周期性课件新人教版必 修
CONTENTS
目录
• 函数的周期性定义 • 常见周期函数类型 • 周期函数的应用 • 周期函数的习题及解析
CHAPTER
01
函数的周期性定义
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于定义域内的每一个x，函数f(x)满足f(x+T)=f(x) ，那么就把函数f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
三角函数的周期计算
三角函数的周期可以通过公式 T=2π/ω来计算，其中ω是角频率。 对于正弦函数和余弦函数，ω=1， 因此它们的周期T=2π。
除了正弦函数和余弦函数，还有其他 形式的三角函数，如tan(x)、cot(x)等 。这些函数的周期也可以通过公式 T=π/ω来计算。
其他周期函数类型
01
周期函数课件
余弦函数的单调性
y=cosx (xR) y
1
x
-
5 -
3
3
2 2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
3 7 2
4
-1
x ··· ··· 0
2
cosx -1
0
1
···
2
0
···
-1
增区间为[ 2k , 2k ], (k Z ) 减区间为[2k , 2k ], (k Z )
现在学习的是第19页，共27页
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
y=sinx
-π π
3π 5π x
O
2π
4π
6π
-1
所有的对称中心坐标为(k , 0)
所有的对称轴方程为x k (k Z )
2
现在学习的是第14页，共27页
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2
所有对称中心坐标(k , 0)
2
（2）y=sin2x，x∈R；
(3) y 2sin(1 x ), x R
26
4
现在学习的是第7页，共27页
课堂练习： 求下列函数的周期 （1）y sin 3x，x R
（2）y 3 sin（1 x ），x R
24
现在学习的是第8页，共27页
练：求证(1) y=cos2x+sin2x的周期为
证明：f (x ) cos 2(x ) sin 2(x cos(2x 2) sin(2x 2
浅谈周期性
浅 谈 周 期 性河南省鹿邑县高中 刘福朕周期性是三角函数最重要的性质之一，虽然教科书中给出了周期函数的定义，但我们对周期函数的有关问题确实是知之甚少，本文对有关周期函数的有关问题进行简要的概述.首先,我们来看普通高中课程标准实验教科书数学(必修4)中的概念:”对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定定义域内的每一个值时,都有()()f x T f x +=,那么函数()f x 就叫做周期函数(periodic function).非零常数T 叫做这个函数的周期(period).”这个定义是采用内涵定义法定义的,要正确理解周期函数的定义,应从定义的内涵(性质)和外延(对象)两个方面来分析,应注意以下几点:(1)在周期函数与周期的定义中,有”当x 取定义域内的每一个值时”这一词语,这里要特别注意”每一个值”四字,如果只是”个别的x 值”或”某些个x 值” 满足()()f x T f x +=,都不能说T 是()f x 的周期.例如:分别取12,,46x x ππ==则由sin sin ,424πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin sin 626πππ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭可知,2π虽然是一个非零常数,但对于正弦函数来说,不是当x 取定义域内的”每一个值”时都有sin sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以2π不是正弦函数的周期.(2)从等式()()f x T f x +=来看,周期应该是对”x ”而言的,即是自变量x 本身加的常数才是周期.例如:由()sin 2sin ,33x x k k Z π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭是否可以说sin 3π的周期为2k π呢?不能!因为()()1sin 2sin 6sin 333x x k x k k Z ππ⎛⎫+=+=∈ ⎪⎝⎭,所以sin 3x的周期是6k π,而不是()2k k Z π∈. (3)周期函数不一定都存在最小正周期.比如常数函数()f x C =(C 是常数),显然任何一个正数T 都是()f x 的周期,由于正数中不存在最小的数,所以周期函数()f x C =无最小正周期.又如狄立克莱(Dirichlet)函数1,()0,,D x x ⎧=⎨⎩当x 是有理数,当是无理数 设r 是任意一个有理数，当x 是有理数时,x r +也是有理数,而当x 是无理数时,x r +也是无理数,即()D x 与()D x r +或者都等于1,或者都等于0,因此在两种情况下都有()()D x r D x +=.所以()D x 是周期函数,任何非零有理数r 都是()D x 的周期,然而因为正有理数集合中没有最小的元素,所以()D x 也没有最小正周期.(4)周期函数的周期不止一个,设T 是()()f x x R ∈的周期,那么(),0kT k Z k ∈≠且也一定是()f x 的周期,定义规定了T 为一个实常数,而不是一个变数;同时也规定了T 的取值范围,只要求不为零,不要误认为T 一定是π的倍数.众所周知,函数()sin y A x ωϕ=+的周期即最小正周期是2T πω=,函数()cos y A x ωϕ=+的周期也是2T πω=,函数()tan y A x ωϕ=+的周期是T πω=,不难看出,上述各函数的周期中都含有”π”,而且同学们所见到的课本例题及习题中的周期函数的周期中也都含有”π”,于是,有的同学认为:周期函数的周期一定含”π”.事实上,这种看法是错误的,实际上,有很多周期函数的周期中是不含”π”的,如下面几例:例1函数sin y x π=的周期是22T ππ==.例2函数tan 2y x π=的周期是122T ππ==. (5)周期函数必须是函数,但不一定必须是三角函数.即周期性不是三角函数所独有的性质.例如:已知函数y x =,(]21,21x k k ∈-+就是一个周期为2的函数.(6)在周期函数()y f x =中,T 是周期,若x 是定义域内的一个值,则x kT +(,0)k Z k ∈≠且也一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限集,而且定义域一定无上界或无下界.(7)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在一个最小的正数,就称它为最小正周期.一个周期是否是函数的最小正周期，一般要用反证法进行严格的证明比如2π是y ＝sin x ，x ∈R ；y ＝cos x ，x ∈R 的最小正周期，π是y ＝tan x ，x ∈R ，x ≠2π＋ｋπ，ｋ∈Z 的最小正周期，2π是y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期等.例1 证明f (x )=sin x ，x ∈R 的最小正周期是2π 证明：（1）f （x ＋2π）＝sin （x ＋2π）＝sin x ＝f （x ） (2)假设存在0＜Ｔ＜2π使ｆ（x ＋Ｔ）＝f （x ） 即sin （x ＋Ｔ）＝sin x ，x ∈R 令x ＝0则sin Ｔ＝0又0＜Ｔ＜2π 则Ｔ＝π 令x ＝4π，sin （4π＋Ｔ）＝sin4π即sin 45π＝sin 4π此为矛盾由(1)(2)两步可知2π为f (x )=sin x 的最小正周期 例2 证明f （x ）＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期为2π， 证明：（1）f （x ＋2π）＝｜sin （x ＋2π）｜＋｜cos （x ＋2π）｜＝｜cos x ｜＋｜sin x ｜＝f （x ） (2)假设存在0＜Ｔ＜2π使f （x ＋Ｔ）＝f （x ）即｜sin （x ＋Ｔ）｜＋｜cos （x ＋Ｔ）｜＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜ 令x ＝0得sin Ｔ＋cos Ｔ＝1 即sin （Ｔ＋4π）＝22又0＜Ｔ＜2π，4π＜Ｔ＋4π＜43π∴sin （Ｔ＋4π）＞22此为矛盾由(1)(2)两步可知2为f （x ）＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.上述有关最小正周期的证明都是采用了反证法. 对于确定函数的最小正周期的确是比较困难，教科书也只要求能化为y ＝A sin （ωx ＋φ）形式的函数，或者根据函数的图象直观地求出它们的最小正周期.浅谈周期性河南省鹿邑县高中刘福朕2009年4月25日。
周期函数怎么判断
周期函数怎么判断三角函数的周期根据公式：弦函数的2π/w，切函数的π/w（w为正）；一般的函数根据定义来判断，除了三角函数外，没有给出解析式的函数是周期的函数。
推知周期，常见的周期情况有f(x+T)=f(x)，周期为T，f(x+a)=-f(x)，周期为2a。
扩展资料周期函数的判定方法1、根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的`，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。
例：f(X)=cosx 是非周期函数。
2、一般用反证法证明。
(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。
例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。
证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T(≠0)，使true ，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)=sinx2是非周期函数证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(>0)，使之true，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有s in(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴(+1)2T2=Lπ(L∈Z+)，∴与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。
必修4-周期现象与周期函数
变式训练：已知奇函数f(x)的定义域为R，f(1)＝1且f(x)是以3为周期的周期函数， 求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)． 点拨：先求出一个周期内各项之和，再利用周期性求解．
解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)是以3为周期的周期函数且f(1)＝1， ∴f(－1)＝－f(1)＝－1， 又f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－1， f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0 ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝1－1＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015) ＝671×0＋f(2014)＋f(2015) ＝f(3×671＋1)＋f(3×671＋2) ＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(－1)＝1－1＝0.
2 已知 是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则
又根据奇函数的性质，
章节一
例 已知定义在R上的奇函数f(x)是以2为周期的周期函数，求f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
解：∵f(x)为奇函数，且以2为周期， ∴f(0)＝f(2)＝0， f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)， ∴f(1)＝0， 又f(3)＝f(2＋1)＝f(1)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.
01
自主测评
01
D
01
A
2．今天星期六，再过21天是( )
A．星期六 B．星期日 C．星期五 D．星期一
变式训练1：今天是星期日，则500天后是星期几？
解：由于星期具有周期性，7是一个周期， 而500＝7×71＋3， ∴500天后是星期三．
某港口在某一天水深与时间的对应关系表
t/h
f(0)= ；
f(1)= ；
……
f( )= ；
周期函数课件
图像法判定周期性
总结词
通过观察函数的图像来判断其周期性。
详细描述
图像法是一种直观的判定函数周期性的方法。通过观察函数的图像，如果函数图像呈现规律性的重复 ，则说明该函数具有周期性。同时，图像法还可以用于确定函数的周期长度。
对称轴
01
对于一些周期函数，如正弦函数和余弦函数，存在垂直于x轴的
对称轴。
对称中心
02
有些周期函数存在关于某点的对称中心，源自正弦函数和余弦函数的零点。
对称轴和对称中心的应用
03
对称性在解决与周期函数相关的问题时具有重要作用，如求函
数的最大值和最小值、判断函数的奇偶性等。
PART 05
周期函数的应用实例
半角函数的周期性
例如，半正弦函数sin(θ/2)和半余 弦函数cos(θ/2)等半角函数也具 有周期性。
双角函数的周期性
例如，二倍角函数 sin2θ=2sinθcosθ和余二倍角函 数cos2θ=cos²θ-sin²θ等双角函 数也具有周期性。
PART 03
函数周期性的判定
REPORTING
WENKU DESIGN
正弦、余弦、正切等三角函数是周期函数，它们在解决数学问题 中有着广泛的应用。
傅里叶分析
傅里叶分析是研究周期函数的重要工具，它在信号处理、图像处理 等领域有着广泛的应用。
调和分析
调和分析是研究函数和信号的分解与合成的一门学科，其中周期函 数是重要的研究对象之一。
THANKS
感谢观看
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第41讲 周期函数的定义
设f为定义在D上的函数。若存在T>0，使得 对一切x∈D有f(x±T)=f(x)，则称f为周期函数， T为f的一个周期。 在所有正周期中最小的周期，称为基本周期， 或最小正周期，简单称为周期。 常量函数没有基本周期。 三角函数是最常见的周期函数。
设f是定义在R上的以h为周期的函数，a为实数.
1、若周期函数在一个周期内有界，则在整个定义域 上也有界，而且确界也是一致的；
2、若周期函数在任一周期内有增减性，则在其它周 期内也会有相同的增减性，但在整个定义域内没有增 减性；
3、若周期函数在原点所在的周期内有奇偶性，则在 整个定义域内也有相同的奇偶性.
求下列函数的周期：
(1)cos2x；(2)tan3x；(3)cos(x/2)+2sin(x/3). 解：(1)cos2x= (1+cos2x)/2. ∵cos2x的周期为π，∴cos2x的周期为π. 若f(x)以T为周期，则f(ωx)以T/ω为周期(ω≠0). (2)∵tanx的周期为π ，∴tan3x的周期为π/3. (3)∵cos(x/2)的周期为4π，sin(x/3)的周期为6π， ∴cos(x/2)+2sin(x/3)的周期为12π.
证明：若f在[a,a+h]上有界，则f在R上有界. 证：∵f在[a,a+h]上有界， ∴对任意的x0∈[a,a+h]，存在M>0，使|f(x0)|≤M， 对任意的x∈R，一定存在整数k，使x=kh+x0， 于是|f(x)|=|f(kh+x0)|=|f(x0)|≤M， ∴f在R上有界.
周期函数在每个周期内的图象性状相同.
设周期函数f, f1, f2的周期分别为T, T1, T2, 若f=f1±f2，T是T1和T2的最小公倍数.