2020南京市高三一模(数学)含答案
江苏省南京市、盐城市2020届高三第一次模拟考试(1月)数学参考答案
1 南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．23 8．3 9．23 10．7 11．3 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分 又由6cosC =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分 故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C AB AC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分 （2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ， 由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ，又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AO PC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C . 因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分 因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分。
2020高考一模联考数学试卷原卷及解析卷完整版
南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．9．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长；（2）若()sin 10A B -=，求tan B 的值．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．ED B 1A 1C 1CBAB xy OPA M NlCB AD东北如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式．南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S = 故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________． 解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „2，解可得：a ，即a 的取值范围[；故答案为：[．13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得PO =22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以9232PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当2PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =， 故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()10sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()2310cos 1sin ()A B A B -=--=， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点， 所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．ED B 1A 1C 1CBA（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点3(,5)4e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==， 联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)mm ≠±（， 则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， B xy O PAM NlCB AD东北故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=， 故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=，则点T λ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ； （2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功． 19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围． 解：（1）xe x x x xf y )23()()(2+-=⋅=ϕ， 所以xe x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根， 故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， Ⅰ若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或， 当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-， 解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+， 由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-， 将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<， 又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分）等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0， 因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134，解得a 1＝12，d ＝12，于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4．（2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212}当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3kT k＝3，舍去；当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q ，所以T 3kT k ＝1＋q k ＋q 2k ，因为q ⅠN *且q ≠1，所以q ≥2， 因此T 3kT k ≥1＋2＋4＝7，于是T k ＝32，T 3k ＝212，因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去）， 从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q 得b 1＝32所以b n ＝3×2n－2（3）因为S n ＝n 2＋n4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ⅠN *当n ＝4k －1，k ⅠN *时，S n ＝k (4k －1)； 当n ＝4k ，k ⅠN *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }， 且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]， 所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12；当n 为偶数时，c n ＝n2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2；所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n2，n 为偶数．。
南京市南师附中2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
z南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 A. B. C. D.2. 已知复数z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3. 已知函数值域为，则a 的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 5. 已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A.B.C.D.2{|230}A x x x =--<2{|log 2}B x x =<A B Ç=(1,4)-(1,3)-(0,3)(0,4)2i3iz +=-()222,0,0x x x f x x a x ì-+>=í-+£î的[)1,+¥()()cos 0,2f x x p w j w j æö=+><ç÷èø()fx ,03p æöç÷èø,03p æ-öç÷èø5,06p æöç÷èø5,06p æö-ç÷èø()222210x y a b a b+=>>()1,0F -A B y C C F AB 22165x y +=22154x y +=22132x y +=22143x y +=z6. 如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数，，若直线与曲线，都相切，则实数的值为（ ） A.B.C.D.8. 已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（ ） A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.9. 教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则( ) A.B.C.D.10. 已知动点M 到点的距离M 的运动轨迹为，则（ ）P ABCD -t E PD PB CE ()()ln e f x x x =+()()2131a g x x -=--2y xb =+()y f x =()y g x =a 54171617817e8G ()222210,0x y a b a b-=>>F y kx =G A B A AF P O OA OF=2OP =G 4--3--3-4-+()()11,2,,i i z x x i n s=-=L i x x s 115x =10.8s =m s 115m =0m =10.8s =1s =(2,1)N k k -GA. 直线把分成面积相等的两部分B. 直线与没有公共点C. 对任意的，直线被截得的弦长都相等D. 存在，使得与x 轴和y 轴均相切 11. 已知等比数列满足，公比，且，则（ ）A.B. 当时，最小C. 当时，最小D. 存在，使得 12 已知函数，则（ ）A. 曲线在点处的切线方程为B. 曲线的极小值为C. 当时，仅有一个整数解 D 当时，仅有一个整数解三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 若，则______． 14. 某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为______．15. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为___________.16. 有一张面积为矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为，为圆柱的一条母线（与，不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外12xy =-G 230x y -+=G k ÎR 2xy =G k ÎR G {}n a 10a >1q >1220211220221,1a a a a a a <>!!20221a >2021n =12n a a a !1011n =12n a a a !1011n <12n n n a a a ++=()e xf x x =()y f x =()0,0y x =()y f x =e -2213e 2ea £<()()1f x a x <-223e 2e 2a £<()()1f x a x <-π0,2a æöÎç÷èøsin 1a a -=cos 2=a []1,4x Î234x x a x x ->-+a ABCD O AB 1O CD ABCD 1OO 1OO M BC AM O 4EF AD BC A EFM -A EFM -z接球的表面积为___________.四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在.中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.18. 已知数列的前n 项和.（1）求的通项公式；（2）若数列满足对任意的正整数n ，恒成立，求证：. 19. 随着生活节奏加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.（1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）（2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.ABC !A B C a b c 2cos cos b c Ca A-=3a =A D AC 1233BD BA BC =+"""BCD △{}n a 22n n nS +={}n a {}n b 2312123(1)n nb b b b n a a a a ××××××××=+4n b ³的yx y x y xz参考数据：，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.20. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，设经过直线且与直线平行的平面为，平面平面为，平面平面为.（1）证明：； （2）若求二面角的正弦值.21. 已知椭圆的离心率为，且点在C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设，为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若内切圆的半径求直线l 的方程. 22. 已知函数． （1）证明：当时，；（2）记函数，判断在区间上零点的个数．()510.06 1.34+»()610.06 1.42+»()710.06 1.50+»!!y abx =+!()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-åå!a y bx =-$$ABCD ,1,2AB AC AB BC ^==ACD △AC D P PB AC a a !PAC m =a !ABC n =//m n PB =A PBC --()2222:10x y C a b a b +=>>22P æççèø1F 2F 2F 1ABF !()sin cos f x x x x =-()0,x p Î()0f x >()()g x f x x =-()g x ()2,2p p -南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】AC三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.【13题答案】 【答案】【14题答案】 【答案】【15题答案】【答案】 【16题答案】 【答案】四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】 【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】【答案】（1）；（2）预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 【20题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【21题答案】7916()(),16,-¥-È+¥412p 3pn a n =11.460.24y x =+$5【答案】（1）（2）或. 【22题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）个零点2212x y +=10x +-=10x -=5。
江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考数学试题(word版有答案)
江苏省南京市 2020 届高三年级第一学期期初联考考试数学试题2019．9一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合{}21≤<-=x x A ，{}0≤=x x B ，则=B A ．2. 已知复数ii z +-=13（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 3. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 1600，检测结果的频率分布 直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ．4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个 三位数，则该三位数是偶数的概率是 ．5. 函数x y 2log 1+=的定义域为 ．6. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 C ：)0(116222>=-a y a x 的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为354 ，则双曲线 C 的方程为 ． 8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．9. 函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示.若函数)(x f y =在区间],[n m 上的值域为]2,2[-，则m n -的最小值是 ．10. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和.若211q a =，且725+=S S ，则首项1a 的值为 ．11. 已知是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当0<x 时，)1()(-=x x x f ．已知m 满足不等式0)1()1(2<-+-m f m f ，则实数m 的取值范围为 ．12. 已知圆O ：422=+y x 和圆O 外一点),(00y x P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点 C(8，0)和点 P 满足 PO ＝λPC ，则 的范围是 ．13. 如图，已知梯形ABCD ，AB// BC ，32=AD BC ，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若⋅=⋅2，则=ADAB ．14. 已知函数11,2121,ln 1)(<≥⎪⎩⎪⎨⎧++=x x x x x f ，若21x x ≠，且2)()(21=+x f x f ，则21x x +的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面 ABCD ，且 PA ＝AD ， 点 F 是棱 PD 的中点，点 E 为 CD 的中点．（1）证明：EF ∥平面 PAC ；（2）（2）证明：AF ⊥PC ．16．（本小题满分 14 分）在ABC ∆中，43π=A ，6=AB ，23=AC . （1）求 sinB 的值；（2）若点 D 在 BC 边上，AD ＝BD ，求△ABD 的面积．17．（本小题满分 14 分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是 由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形 的宽和长都分别为 x ，y （单位：dm ）且 x ＜y ，若剪去的正十字形部分面积为 4dm 2．（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当 x 取何值时，所用到的圆形纸 片面积最小，并求出其最小值．18．（本小题满分 16 分）已知椭圆 C ：12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为 F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为21，过点 P(4，0)的直线l 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 B 是 AP 的中点，求直线l 的方程；（3）若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点．19．（本小题满分 16 分）在数列{}n a 中，已知 21=a ，)(31n f a a n n +=+ ．（1）若 k n f =)(（k 为常数）， 143=a ，求 k ；（2）若12)(-=n n f ．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记n a b n n )1(λ-+=,且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．20．（本小题满分 16 分）已知函数 2ln )(--=x x x f ．（1）求曲线)(x f y = 在 x ＝1 处的切线方程；（2）函数)(x f 在区间(k ，k ＋1)(k ∈N)上有零点，求k 的值；（3）记函数 )(221)(2x f bx x x g ---=，设 )(2121x x x x <⋅是函数)(x g 的两个极值点，若 23≥b ，且k x g x g ≥-)()(21恒成立，求实数 k 的最大值．参考答案一、填空题1.]0,1(-2.2-3.2004.315.)21[∞+，6.177.1162022=-y x8.239.3 10.41 11.)1,0( 12.131≤≤λ 13. 33 14.),2ln 23[+∞-二、解答题15. 略16. （1）1010sin =B ；（2）3=∆ABD S . 17. （1）)2,0(；（2）当x 取554，所用到的圆形纸片面积最小，最小值为π215+. 18. （1）13422=+y x ；（2）05465=--y x 或05465=-+y x ；（3）略. 19. （1）1-=k ；（2）①略；②4819≤≤λ. 20. （1）切线方程为1-=y ；（2）3=k ；（3）k 的最大值为2ln 2815-.。
2020届江苏省南京市秦淮区高三数学一模试题答案
一、填空题1．{1，2}．2．1﹣i．3．（1，+∞）．4．35．5．75%．6．√2．7．4√2 3．8．1 49．x2+（y+1）2＝13．10．2 3．11．1 12．3n+1．13．π2−4 4．14．7 4．二、解答题15．（1）在△ABD中，已知B=π4，AB＝3，AD为边BC上的中线，设∠BAD＝α，若cosα=2√55．所以sinα=√5 5，利用正弦定理ABsin(α+π4)=BDsinα，整理得3√1010=√55=√22，解得BD=√2，AD=√5，（2）利用（1）的结论，解得BC＝2√2，利用余弦定理AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos π4，解得AC=√5，利用正弦定理：ABsinC =ACsinπ4，解得sin C=3√1010．16．证明：（1）如图，取P A中点G，连接BG，FG，∵F为PD的中点，∴FG∥AD，且FG=12 AD，∵E为BC的中点，∴BE∥AD，且BF=12AD，∴FG ∥BE ，FG ＝BE ，则四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG ，又BG ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB ；（2）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵BD ＝CD ，E 为BC 的中点，∴DE ⊥BC ， 又PD ∩DE ＝D ，∴BC ⊥平面PDE ， 而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面EFD ．17．（1），由题意知ca=12，a 2c−c ＝3，b 2＝a 2﹣c 2，解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，由（1）知F （1，0），设直线l 的方程为x ＝my +1，P （x ，y ），Q （x '，y '），联立直线l 与椭圆的方程整理得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0， y +y '=−6m 2，yy '=−92，所以|PQ |=√1+m 2√(y +y′)2−4yy′=√1+m 2√36m 2(3+4m 2)2+363+4m 2=12(1+m 2)3+4m 2，圆O ：x 2+y 2＝4到l 的距离d =√1+m ，被圆O ：x 2+y 2＝4截得的弦长为√14得：14＝4（4−11+m2），解得m 2＝1， 所以d =√22，|PQ |=247，所以S △OPQ =12⋅|PQ|⋅d =12⋅√22⋅247=6√27．18．（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，过O 作OM 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，由题设得A （6，0），直线ON 的方程为y ＝﹣3x ，Q （x 0，3），（x 0＞0）， 由0√10=6√105，解得x 0＝3，∴Q （3，3）， ∴直线AQ 的方程为y ＝﹣（x ﹣6），由{y =−3x x +y −6=0，得{x =−3y =9，∴B （﹣3，9），∴|AB |=√(−3−6)2+92=9√2．（2）将喷泉记为圆P ，由题意得P （3，9）， 生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC =√2t ，0≤t ≤9，∴C （﹣3+t ，9﹣t ），若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立， 即PC 2＝（6﹣t ）2+t 2＝2t 2﹣12t +36＞4at ， 当t ＝0时，上式成立，当t ∈（0，9）时，2a ＜t +18t −6，(t +18t −6)min =6√2−6， 当且仅当t ＝3√2时，取等号，∵a ∈（0，1），∴r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．19．（1）当λ＝3时，有a n +1＝3a n +2×3n ， ∴a n+13n+1=a n3n +23，即b n+1−b n =23，又∵b 1=a13=1，∴数列{b n }是首相为1，公差为23的等差数列，∴b n =2n+23； （2）证明：当λ＞0且λ≠1且λ≠3时，c n ＝a n +2λ−3×3n =λa n−1+2×3n−1+2λ−3×3n =λa n−1+2λ−3×3n−1(λ−3+3)=λ(a n−1+2λ−3×3n−1)=λ•c n ﹣1， 又∵c 1=3+6λ−3=3(λ−1)λ−3≠0， ∴数列{c n }是首相为3(λ−1)λ−3，公比为λ的等比数列；（3）当λ＝4时，a n +1＝4a n +2×3n ， ∴a n+14=a n 4+12×(34)n ，设p n =a n 4n ，∴p n+1−p n =12×(34)n， ∴p 2−p 1=12×(34)1， p 3−p 2=12×(34)2， p 4−p 3=12×(34)3， ……，∴p n+1−p n =12×(34)n ，以上各式累加得：p n+1−p 1=12×34[1−(34)n]1−34=32−32×(34)n，又∵p 1=a 14=34， ∴p n+1=94−32×(34)n ， ∴p n =94−32×(34)n−1，∴a n =4n ×p n =94×4n −2×3n ，显然数列{a n }是递增数列， ∴最小项为a 1＝3，∵对任意的n ∈N *，都有a n ≥M ，∴a 1≥M ，即M ≤3， ∴实数M 的最大值为3．20．（1）f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ﹣e x +ax 2+ax ＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx （x ＞0），①f′(x)=2ax +(a −2)−1x =2ax 2+(a −2)x−1x =(2x+1)(ax−1)x（x ＞0），（i ）当a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上递减；（ii ）当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＞1a ；令f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1a ， ∴函数f （x ）在(0，1a )递减，在(1a ，+∞)递增；综上，当a ≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，函数f （x ）在(0，1a )上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增；②由①知，若a ≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，不可能有两个不同的零点，故a ＞0；且当x →0时，f （x ）→+∞；当x →+∞时，f （x ）→+∞；故要使函数f （x ）有两个不同的零点，只需f(x)min =f(1a )=a ⋅(1a )2+a−2a −ln 1a ＜0，即lna −1a+1＜0，又函数y =lnx −1x +1在（0，+∞）上为增函数，且ln1−11+1=0，故lna −1a +1＜0的解集为（0，1）．故实数a 的取值范围为（0，1）；（2）证明：g ′（x ）＝e x﹣2ax ﹣a ，依题意，{e x 1−2ax 1−a =0e x 2−2ax 2−a =0，两式相减得，2a =e x 1−e x 2x 1−x2(x 1＜x 2)，要证x 1+x 2＜ln(4a 2)，即证x 1+x 22＜ln2a ，即证e x 1+x 22＜ex 1−e x 2x 1−x 2，两边同除以ex 2，即证(x 1−x 2)e x 1−x 22＞e x 1−x 2−1，令t ＝x 1﹣x 2（t ＜0），即证te t2−e t +1＞0，令ℎ(t)=te t2−e t +1(t ＜0)，则ℎ′(t)=−e t2[e t2−(t2+1)]， 令p(t)=e t2−(t 2+1)，则p′(t)=12(e t 2−1)， 当t ＜0时，p ′（t ）＜0，p （t ）在（﹣∞，0）上递减， ∴p （t ）＞p （0）＝0， ∴h ′（t ）＜0，∴h （t ）在（﹣∞，0）上递减，∴h （t ）＞h （0）＝0，即te t2−e t +1＞0，故x 1+x 2＜ln(4a 2)．。
2020江苏南京高三一模数学试卷详解
一、填空题
（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 已知集合
，全集
，则
．
【答案】
【解析】 集合 集合 故答案为
，
，
．
．
2. 设复数
，其中 为虚数单位，则
．
【答案】
【解析】
，
，
∴
． 故答案为： ．
3. 学校准备从甲，乙，丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为
平面
，
与四棱锥
的
/
∴无论 位于何处， 到底面 的面积设为 ，
∴
，
而
．
∴
故答案为 ．
的距离都一样，不妨设为 ，将底面
10. 设函数 个最低点的横坐标为 ，则 的值为
的图象与 轴交点的纵坐标为 ．
， 轴右侧第一
【答案】
【解析】 由函数
函数过
，
的图象与 轴交点的纵坐标为 ，
，
，
．
由 轴右侧第一个最底点的横坐标为 ，
中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙ 与⊙ 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形
做圆柱的侧面
（接缝忽略不计）， 为圆柱的一条母线，点 ， 在⊙ 上，点 、 在⊙ 的一条直径
上，
，⊙ 、⊙ 分别与直线 、 相切，都与⊙ 内切．
（ 1 ） 求圆形铁皮⊙ 半径的取值范围． （ 2 ） 请确定圆形铁皮⊙ 与⊙ 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）
小值为四分之一图的切线与双曲线渐近线之间的距离，正好为四分之一图的半径 ．
第一象限：
切线方程为：
．
/
第二象限： 第四象限：
南京盐城2020年高三一模数学试卷及答案
把答案写在答题卡的指定区域内．
15．(本小题满分 14 分)
已知△ABC 满足 sin(B＋π)＝2cosB． 6
（1）若 cosC＝ 6，AC＝3，求 AB；
3
（2）若 A∈(0，π)，且 cos(B－A)＝4，求 sinA．
3
5
16．(本小题满分 14 分)
如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，已知底面 ABCD 是正方形，点 P 是侧棱 CC1 上的一点．
方法二：由点 A ， B 不重合可知直线 PA 与 x 轴不重合，故可设直线 PA 的方程为 x my 1 ，
联立
x2 2
y2
1
，消去
x
得 (m2
2) y2
2my
1
0 （☆），
x my 1
设 A(x1, y1) ，则 y1 与 y0 为方程（☆）的两个实根，
高三数学答案 第 2 页 共 7 页
数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
1． (, 0]
2． 5
3．
2 3
4．真
8． 3
9．
2 3
10． 7
11．
3 3
5． 6
12．10
6． 2 13． 4
7． 2 3
14．
1 2
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内.
又由
x02 2
y02
1得
y02
1
x02 2
，代入（＃）式得 ( x0
2020届江苏南京市、盐城市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 理 试 题2020．01(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝ ． 答案：(-∞，0] 考点：集合及其补集解析：∵集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝(-∞，0]． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝ ． 答案：5 考点：复数解析：∵2z i =+，∴2(2)(2)45z z i i i ⋅=+-=-=．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ． 答案：23考点：等可能事件的概率解析：所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为23． 4．命题“θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 答案：真 考点：命题的否定解析：当θπ=-时，cos θ＋sin θ＝﹣1＜1，所以原命题为假命题，故其否定为真命题． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．答案：6考点：算法（伪代码）解析：第一遍循环 S ＝0，I ＝1，第二轮循环S ＝1，I ＝2 ，第三轮循环S ＝3，I ＝3，第四轮循环S ＝6，I＝4，第五轮循环S ＝10，I ＝5，第六轮循环S ＝15，I ＝6，所以输出的 I ＝6． 6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 ． 答案：2考点：平均数，方差解析：依题可得x ＋y ＝21，不妨设x ＜y ，解得x ＝10，y ＝11，所以方差为22222210(1)(2)5+++-+-＝2．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ．答案：考点：抛物线及其性质解析：抛物线的准线为x ＝−1，所以P 横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，±)，所以OP＝8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为 ． 答案：3考点：等差中项，等差数列的通项公式 解析：∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，∴2152a a a =，故2111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，∴21111133a a d a a a a +===． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则21V V ＝ ． 答案：23考点：棱柱棱锥的体积解析：1111121123C ABB A C A B C V V V V V ==-=——，所以2123V V =．10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ． 答案：7考点：三角函数的图像与性质解析：∵()f x 的图象与y轴交点的纵坐标为2，∴sin ϕ=，又0＜ϕ＜2π，∴3πϕ=， ∵y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π， ∴3632ππωπ+=，解得ω＝7． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，则 cos ∠BAC 的值为 ．考点：平面向量解析：∵H 是△ABC 的垂心， ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，∵11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，∴1131BH AH AB AB AC AB AB AC 4242=-=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r则11AH BC (AB AC)(AC AB)042⋅=+⋅-=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，31BH AC (AB AC)AC 042⋅=-+⋅=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，即22111AC AB AC AB 0244--⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，231AC AB AC 042-⋅+=u u ur u u u r u u u r ，化简得：22111cos BAC 0244b c bc --∠=，231cos BAC+042bc b -∠=则2222 cos BAC3b c bbc c-∠==，得3b c=，从而3cos BAC∠=．12．若无穷数列{}cos()nω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为．答案：10考点：等差数列解析：若等差数列公差为d，则cos()cos(1)n d nωω=+-，若d＞0，则当1cos1ndω->+时，cos()1nω>，若d＜0，则当1cos1ndω-->+时，cos()1nω<-，∴d＝0，可得cos2cosωω=，解得cos1ω=或1cos2ω=-（舍去），∴其前10项的和为10．13．已知集合P＝{}()16x y x x y y+=，，集合Q＝{}12()x y kx b y kx b+≤≤+，，若P⊆Q，则1221b bk-+的最小值为．答案：4考点：解析几何之直线与圆、双曲线的问题解析：画出集合P的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为y x=-，所以k＝−1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以1b=，2y kx b=+与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径4，所以最小值为4．14．若对任意实数x∈(-∞，1]，都有2121xex ax≤-+成立，则实数a的值为．答案：12-考点：函数与不等式，绝对值函数解析：题目可以转化为：对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2211xx ax e -+≥成立，令221()x x ax f x e -+=，则(1)[(21)]()xx x a f x e --+'=，当211a +≥时，()0f x '≤，故()f x 在(-∞，1]单调递减，若(1)0f ≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(1)0f >，要使()1f x ≥恒成立，则(1)f =121a e -≥，解得12ea ≤-与211a +≥矛盾．当211a +<时，此时()f x 在(-∞，21a +)单调递减，在(21a +，1)单调递增，此时min ()(21)f x f a =+，若(21)0f a +≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(21)0f a +>，要使()1f x ≥恒成立，则min 2122()(21)a a f x f a e ++=+=1≥． 接下来令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤， 设()1tg t e t =--，则()1tg t e '=-，则()g t 在(-∞，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t ＝0时，()g t 有最小值为0，即()0g t ≥，又我们要解的不等式是()0g t ≤，故()0g t =，此时210a +=，∴12a =-． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6π+=．（1）若cosC AC ＝3，求AB ； （2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝45，求sinA ．解：16．（本题满分14分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点． （1）若A 1C//平面PBD ，求1PC PC的值； （2）求证：BD ⊥A 1P ．证明：17．（本题满分14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）解：18．（本题满分16分）设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，0y ) 在椭圆C上运动．当PF 2⊥x 轴时，0x ＝1，0y ＝e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r，求λμ+的最小值．解：19．（本题满分16分）定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得4039404020192019mn b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由． 解：20．（本题满分16分）若函数()x xf x e aemx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：附加题，共40分21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆C ′：2213x y +=，求实数a 的值． 解：B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．解：C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数 a ，b ，c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值． 解：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值；（2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为3，求母线AA 1的长．解：23．（本小题满分10分）设22201221(12)n i n n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L ．（1）求n S ；（2）记123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立． 解：。
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南京市2020届高三第一次模拟考试（数学）2020.01n参考公式：1.样本数据X I ,X 2,L ,X n 的方差s 2 - （x i X ）2，其中x 是这组数据的平均 n i i 数。
2. 柱体、椎体的体积公式：v 柱体ShV 椎体Ish ，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h3是高。
一、填空题：（5分X 14=70分）1.函数 y V2X ―X 2 的定义域是 _______ . _______2. 已知复数z 满足（z 2）i 1 i （ i 为虚数单位），则z 的模 为 _______ . _____X y 20,3. 已知实数x,y 满足X y 0, 则z 2X y 的最小值X 1, 是 .4. 如图所示的流程图，若输入的X 9.5，则输出的结果 为5. 在集合A 2,3中随机取一个元素m ，在集合B 1,2,3中随机取一个元素n ，得到 点P （m, n ），则点P 在圆X 2 y 2 9内部的概率为 .6. 已知平面向量a,b 满足|a| 1,|b| 2，a 与b 的夹角为_，以a,b 为邻边作平行四边3形，贝吐匕平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为l|47g3 7. 为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在 6」场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差I 为 .8. 在厶ABC 中,角A B C 所对的边分别为a 、b 、c ,若1 业冬，则角A 的大小 tanB b为 .2 29. 已知双曲线C:务与1（a 0,b 0）的右顶点、右焦点分别为 A F,它的左准线与Xa b轴的交点为B ,若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为二雪）10. 已知正数数列a n对任意p,q N，都有a p q a p a q，若a? 4，则a g= .11. 已知l,m是两条不同的直线，，是两个不同的平面。
下列命题：①若1,m,l|| ,m||,则|| ；②若 1 ,l|| ,I m,则l || m ；③若||,l ||,则l|| ；④若1 ,m|H,|| ,则m .其中真命题是（写出所有真命题的序号）.12.已知f(x)log2(x 2)，若实数m,n满足f (m) f (2n)3，贝U m n的最小值是_. __13. 在厶ABC中，已知BC=2 AB AC 1,则厶ABC面积的最大值是14. 若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f（x）的图象上；②P、Q 关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数f（x）的一个“友好点对”（点对（P，Q）与22x 4x 1,x 0,（Q P）看作同一个“友好点对”）.已知函数f（x）2则f（x）的“友好飞，x 0,e点对”有____ 个.二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）.15. （本题满分14分）已知函数f（x） 2sin（ x ）（0,0 ）的最小正周期为，且f（—） . 2.4（1）求，的值；（2）若f（3）6（0 ），求COS2 的值。
16. （本题满分14分）如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA3G 中，D、D1 分别是BC和B1C1的中点.（1）求证：Ad //平面ABQ ;（2）若平面ABCL平面BCC1B1，BBC 60O，求三棱锥B ABC的体积。
17. （本题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母A卜线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎 /样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求（, _______最大面积•. -18. （本题满分16分）在直角坐标系xOy中，中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点（2」21）到两焦点的距离之和为4.3.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线I与椭圆C分别交于A、Buuu uuu两点，其中点A在x轴下方，且AF 3FB .求过O A、B三点的圆的方程•19. （本题满分16分）将数列a n中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：印a? 83 a435 87 a g a gL已知表中的第一列数a1,a2,a5丄构成一个等差数列，记为0 ,且b? 4b 10.表中每一行正中间一个数印㈡彳㈡了丄构成数列q，其前n项和为（1）求数列b n的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a i3 1.①求S n;②记M n|(n 1)c n,n N ，若集合M的元素个数为3,求实数的取值范围.20. (本题满分16分)已知函数f(x) x 1 a In x(a R).(1)若曲线y f(x)在x 1处的切线的方程为3x y 3 0,求实数a的值；(2)求证：f(x) >0恒成立的充要条件是a 1 ;1 1(3)若 a 0,且对任意X1,X2 (0,1］，都有|f(xj f(x2)| 4|—— |，求实数x! x2a的取值范围.南京市2020届高三第一次模拟考试数学附加题2020.0121. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20 分.A. 选修4-1 :几何证明选讲如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B),过C作圆O的切线I，过A作直线I的垂线AD,垂足为D, AD交半圆于点E.求证：CB=CE.0BB. 选修4-2 :矩阵与变换1 a在平面直角坐标系xOy中，直线x y 2 0在矩阵M b 4对应的变换作用下得到直线m:x y 40，求实数a,b 的值.C. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C: 10cos 和直线l :3 cos 4 sin 30 0相交于A 、B 两点，求线段AB 的长. D. 选修4-5:不等式选讲 解不等式|2x 4| 4 |x|.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22. 如图，在直三棱柱 ABC ABQ ,中， ACB M 是CG 的中点. （1） 求证：AB AM !;（2） 求二面角B AM C 的平面角的大小.S n i 3n 1 S nn23.已知等比数列a n 的首项ab 2，公比q 90°,3，高三效学答案第1页（共6页）2011.011. 本解答给出的解法供妙考•如果考生的解法与本解答不Ph 可根据试题的主要考査内容比黒评 分标准制订相应的评分细则・2. 对计算题・当考生的解答在某一步出现错误时•如杲后续部分的解答未改变该題的内容和难度• 可視形响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分歆的一半）如果后续部分的解答 有枝严Jt 的储溟•飲不再给分.3. 解善右烤所注分th 表示考生正确做到这一步应得的累加分数・4. 只分数•填空題不给中间分数.一、填空■（水大■共14小魁.毎小題5分■共70分） 1.[0>2]2.>/103. —14.1 517.59. V7+110. 51211•②④ 12.714.2二、解答■，本大AR 共6小AL 共计90分•解答时应耳出文字说明、证明过程或演算步9L15.（本小題満分14分）«.<1）由函效的周期为畛可知所以・・2・ .......................................................................... 2分a又由/（y ）—>/T ■得2sin （于+p ）=»>/T •所以cos 厂冷远•又^6《0・用）•所以厂于• ........................................ 5分 （2”方法一〉由/<f> = —§ •得血“+于）■一春 ............................ 7分因为 aG<0,r>t 所以又sin(a+y) = —y<0>所以°+于€&普九所以8sG»+于)=« — *・ ........... 10分 lfUcos2<r=sin(y+ 2a) = 2sin(a+y)cos(a+-^)・||・ ...................................................... 14 分 (方法二)由/X 亍)=—"|■•得sin3+予) ................................ 7 分 因为<€<0>ir)t 所以卄于W 叶考人又•inCa+y)——1-<0»所以卄于WX 平儿所以8s(o+于)=—壬・ ............. 10分 所以cos<r"cot[(<r+y) —yj —cos(a+y)cos 中+・in(a+于)sin 于所以 cos2a ・2cos'a —1«=2X (• -喺I 噜 ......................... ...... 14分 (方法三)由/(y) ——得sin(<r+于)■—咅・ ............................. 7分南京市2011届高三第一次模拟考试数学盖考答案及评分标准所以sina+cosaN —3 2 .所以l+$in2a=|| •艮卩sin2a=-吉. ......................................因为a€ （OtMr）t所以卄于G （于者人又sin（a+于）■ —gyO.所以a+于W《斤科〉.即«€ <y• 所以co$2a n Vl—sin^a ™ 券16・（本小題満分14分）解"】）证明：如图，连结DDi.在三棱柱ABC-A X B X C X中.因为D.D分别是SC与5G的中点•所以B4HBD、且BiD=BD.所以四边形B'BDD为平行四边形. 所以BBJ/ DD.•且BB L DD X.又因为AA x//BBx.AAx^BB x.所以AA\// DD\ ^AA\ B DD\•所以四边形AA.D^D为平行四边形•所以A X DJ/AD.又4D0平面AB X D9AD U平面AB X D.故A4H平面AB X D.（2）（方法一）在AABC中■因为AB=AC.D为BC的中点，所以AQ丄BC・因为平面ABC丄平面®GCB•交线为BC.ADU平面ABC.所以AD丄平面B.C.CB•即AD是三梭儀A-B.BC的高. ..................在ZSABC 中■由4B-XC-BC-4 得AD-2 后.在△B】BC 中•B l B=SC=4,ZB l BC=60\所以△B】BC的面枳$»血=于X4' = 4>/亍.所以三棱僱B L ABC的体积•即三梭链A-BtBC的体积V-yX5A>1M：• 4D-yX4 ^7X2^?=& ................................................................................................. . ...............（方法二〉在△BBC 中•因为BjB-BCtZBiBC-SOS所以△BifiC为正三角形■因ftBiD丄BC.因为平面ABC丄平面BxCxCB.交线为BC.BiDd平面BCCB • 所以5D丄平面ABC.即ED是三梭锥Bx-ABC的高. ...................................在△ABC 中•由AB-AC=BC= 4 得△ABC 的面积Sz=孕X4—后. 在△B|BC 中•因为B1B=BC«4，ZB I BC=60%所以民£>“2后・所以三梭^Bx—ABC的体积U ・*XSsc • B,D-|X4 JTx2 O厂亍=&10分10分14分10分•••14 分14分4分6分高三数学答案第2页（共6页）高三数学答案第3页(共6页)17,本小题満分14分) W ：d )(方法一)连结OC ・设BC=z •矩形AfiCD 的面枳为S.R'MB = 2 V900-x :•其中 0V JT V30・ ........................ 2 分 所以 S-2x >/900_,工2 "(900-—)«2 + (900—P) = 900. .. 4 分 当且仅当”匸900—+・即工・15 ^2时』取最大值为900cm x .答:取BC 为】5J?cm 时■矩形ABCD 的面积最大•最大值为900cm 《方法二)连结OC •设ZBOC ■仇矩形ABCD 的面积为S ・则BC ・3Osin0QB ・3OcoM ■其中0V0V 》・ ............................ 2分所以 S = AB • BC=2OB • BC=900sin2^. ............................................................................. 4 分 所以当sin20=l,即0■于时.S 取杲大值为900cm 1.此时BC-15 皿. 答:取BC 为15m 时•矩形ABCD 的面积最大•最大值为900cm*・ ............... 6分(2)(方法一)设圆柱底面半径为r 高为工•体积为匕 由 AB=2 V900—x* = 2arr,得「=—~•所以 V^KT^h =丄(900X-X 3),其中 0Vx<30・ .................................................................. 10 分 由 W = 2(900-2) = 0.得R =10>/T ・因此V-^(900r-x ,)在(OtloVT )上是增函数.<E(10 VT t 30)上是减函数. ................. 12分 所以当x-10>/3时卍的竝大值为警洱.答，取BC 为IOJI C m 时■做出的同柱形績子体积帰大•最大值为警戶 cn?・................... .. ................................................................................................................. U 分 (方法二)连结OC •设ZBOC-^.M 柱底面半径为八高为几体积为V. 则圆柱的底面半径为r=警^高— 30siM,其中0V0V 承所以 V=rr 1 A = ^^sintfcos^ =-(sin^-sin^). ..................................................... 10 分设"sin 。