江苏省南京市2020高三数学上学期期初联考试题(含解析)
江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题
2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A ．[]1,5B ．()2,3C ．[)1,2D ．(]3,5 2．已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i -+=+，其中,ab R ∈，则a b +的值为（ ）A ．75B ．75-C ．15D ．51-3．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ）A ．20种B ．50种C ．80D ．100种4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛減一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是（ ）A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里5．若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)ay x x =>在同—个坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．a b c d >>> B ．d c b a >>>C ．b a c d >>>D ．b a d c >>>7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A ．8B ．16C ．4D ．8．设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[0,)+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()0x f x +>的解集是（ ） A ．(3,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(3,)-∞-+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ）A ．(1,)+∞B ．(,0)-∞C ．(,)-∞+∞D ．(0,)+∞10．若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ）A ．43πB ．23π C ．23π-D ．43π-11．设0a >，0b > ，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b + B ．21a b +的最小值为2C ．12a b +的最小值为94D ．111b a a b +≥++12．设常数a R ∈，*n N ∈，对于二项式(1n+的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A ．若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B ．若各项系数随着项数增加而增大，则a n > C ．若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D ．若a =7n =，则所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为l 的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为_______．14．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是_______元．（四舍五入，精确到整数）15．数学家研究发现，对于任意的x R ∈，()357211*sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n N n --=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近似值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为______米．（精确到1米）16．如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，AB DC ∥，HG DE ∥且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为______．四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设函数2()4sin cos 1f x x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC △中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a = ，求ABC △周长的取值范围．18．（本小题满分12分）读本题后面有待完善的问题在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的______处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a = ，对任意的*n N ∈都有______；等比数列{}n b 中，对任意的*n N ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =问是否存在*k N ∈使得对任意的*n N ∈都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求P A 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步硏究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，试写出X 的分布律；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒″的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象I （有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：有22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．临界值表（部分）为21．（本小题满分12分）设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数()f x '满足()01f x '<<． （1）试判断函数sin ()24x xf x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质:对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n x ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解；（3）设1x 是方程()0f x x =的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，31x x -1<时，有()()322f x f x -<．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为 （1）求椭圆E 的方程（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1-5BDBDC6-8CBA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．AB 10．AC 11．BC 12．BCD三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上． 13．3± 14．367209 15．86 16．108四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）因为1cos2()2sin 212xf x x +=-+2sin 21x x =-+4cos 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==．因为1cos 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以34cos 2156x π⎛⎫-+≤++≤+ ⎪⎝⎭所以，函数()f x的值域为区间[3-++．（2）由()1f A =，得cos 262A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 因为A 为锐角，所以72666A πππ<+<， 所以5266A ππ+=，即3A π=．因为A B C π++=，所以23C B π=-．由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin 3b B =，2sin 333c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以21sin sin 3a b c B B π⎤⎛⎫++=++- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦11sin cos sin 322B B B ⎫=+++⎪⎝⎭31sin 12sin 26B B B π⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 因为ABC △为锐角三角形， 所以02B π<<，02C π<<，即02262032B B B πππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-<⎪⎩所以2363B πππ<+<，所以sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，112sin 36B π⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭． 所以ABC △周长的取值范围为区间1,3]．18．解：设等比数列{}n b 的公比为q ．因为对任意的*n N ∈，都有2123n n n b b b ++=+，所以223q q =+，解得1q =-或32． 因为对任意的*n N ∈，都有0n b >，所以0q >，从而32q =． 又11b =，所以132n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭．显然，对任意的*n N ∈，0n b >．所以，存在*k N ∈，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤， 即n k n k a a b b ≤．记n n nac b =，*n N ∈． 下面分别就选择①②③作为条件进行研究． 选①：因为对任意的*n N ∈，都有1112n n a a +=+， 即()11222n n a a +-=-． 又12a =，即1210a -=-≠， 所以20n a -≠，从而12122n n a a +-=-，所以数列{}2n a -是等比数列，公比为12， 得1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以1213n n n n n a c b --==，从而()1121321n n n n c c ++-=-． 由()1211221321n nnn +-≤⇔≥⇔≥-，得：12c c =， 当1n ≥时，1n n c c +<所以，当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n N ∈，都有2121n n a a a b b b ≤=， 即11n n a b a b ≤，22n n a b a b ≤，所以存在1,2k =，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤． 选②：因为对任意的*n N ∈，都有12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为2． 又11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-，所以12(21)03n n n n a c n b -⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，从而12(21)3(21)n n c n c n ++=-． 由2(21)51253(21)2n n n n +≤⇔≥⇔≥-，得：当2n ≤时，1n n c c +>； 当3n ≥时，1n n c c +<．所以，当3n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n N ∈，都有33n n a a b b ≤，即33n n a b a b ≤． 所以存在3k =，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤． 选③：因为对任意的*n N ∈，都有21n n S a =-， 所以1121n n S a ++=-，从而()1111212122n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-， 即12n n a a +=．又110a =>， 所以0n a >，且12n na a +=， 从而数列{}n a 是等比数列，公比为2，得12n n a -=．所以1304n n n n a c b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，从而1314n n c c +=<，所以1n n c c +<， 所以，当1n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n N ∈，都有11n n a a b b ≤，即11n n a b a b ≤， 所以存在1k =，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤．19．解：方法一：设PA a =．在四棱锥P ABCD -中，因为底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,)P a ．因为M 是侧棱PC 的中点，所以M 的坐标为11,,222a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以11,,222a AM ⎛⎫=⎪⎝⎭，(1,1,0)BD =-，(1,0,)BP a =-． （1）因为AM ⊥平面PBD ，即AM ⊥平面PBD ， 所以0AM BD AM BP ⋅=⋅=．所以21022a -+=，解得1a =． 所以1PA =．（2）设平面AMD 的法向量为(,,)n x y z =．因为(0,1,0)AD =，111,,222AM ⎛⎫=⎪⎝⎭， 由00010()002y n AD y x z x y z n AM ⎧=⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+=++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩， 取1z =，得1x =-，从而得到平面AMD 的一个法向量(1,0,1)n =-． 又(1,1,1)CP =--，所以cos ,||||2n CP n CP n CP ⋅〈〉===⋅ 设PC 与平面AMD 所成角的为θ， 则6sin |cos ,|3n CP θ=〈〉=因此，PC 与平面AMD 方法二：（1）设PA a =．连结AC ，交BD 于点O ．连结PO ，与AM 交于点G ．在四棱锥P ABCD -中，因为底面ABCD 是边长为1的正方形，所以AC BD ==O 是AC 的中点，所以2AO =． 因为PA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PA AC ⊥．所以PC ==PO ==因为M 是侧棱PC 的中点，所以12AM PC == 因为AM ⊥平面PBD ，PO ⊂平面PBD ， 所以AM PO ⊥，即AG OG ⊥．又AM ，PO 分别是PAC △的两条中线，所以G 是PAC △的重心．所以23AG AM ==13OG PO == 在AOG △中，由222AG OG AO +=， 得()22111129922a a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得1a =． 即1PA =．（2）取侧棱PB 的中点N ，连结MN ，AN ．由（1）知PA PB =，所以AN PB ⊥． 由M 是侧棱PC 的中点，得MN BC ∥．因为BC AD ∥，所以MN AD ∥，即M ，N ，A ，D 四点共面．因为PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又在正方形ABCD 中，有AD AB ⊥， 而AB ⊂平面P AB ，PA ⊂平面P AB ，且AB PA A =，所以AD ⊥平面P AB ．又PB ⊂平面P AB ，所以AD ⊥平面P AB ． 因为AN ⊂平面AMD ，AD ⊂平面AMD ，且AN AD A =，所以PB ⊥平面AMD ，即PN ⊥平面AMD ． 所以PMN ∠就是PB 与平面AMD 所成的角． 因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以PA AB ⊥．因为1PA AB ==，所以PB =PN =． 由（1）知122PM PC ==．所以sin 3PN PMN PM ∠==． 因此，PC 与平面AMD20．解：（1）因为使用血清的人中感冒的人数为3，末使用血清的人中感冒的人数为6，一共9人，从这9人中选4人，其中使用血清的人数为X ，则随机变量X 的可能值为0，1，2，3．因为0436495(0)42C C P X C ===，13364910(1)21C C P X C ===， 2236495(2)14C C P X C ===，3136491(3)21C C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为（2）将题中所给的2×2列联表进行整理，得提出假设0H ：是否使用该种血清与感冒没有关系．根据2χ公式，求得2240(176314) 1.29032020319χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． 因为当0H 成立时，“20.708χ≥”的概率约为0.40，“21.323χ≥”的概率约为0.25，所以有60%的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒”，得到这个结论的把握不到75%．由于得到这个结论的把握低于90%，因此，我的结论是：没有充分的证据显示使用该种皿清能预防感冒，也不能说使用该种血清不能预防感冒．21．解：（1）函数sin ()24x xf x =+是集合M 中的元素．理由如下： ①方程()0f x x -=，即sin 042x x-=．显然0x =是方程sin 042x x-=的实数解，因此，方程()0f x x -=有实数解．②由于1cos ()24xf x '=+，又1cos 1x -≤≤， 即11cos 32244x ≤+≤，所以()01f x '<<． 综上，函数sin ()24x xf x =+是集合M 中的元素．（2）（反证法）由条件知方程()0f x x -=有实数解．假设方程()0f x x -=有两个不相等的实数解α，β， 不妨设αβ<，则()f αα=，()f ββ=． 由函数()f x 的性质知，存在0[,]x αβ∈， 使得()0()()()f f f x βαβα'-=-， 即()0()f x βαβα'-=-．又由条件②知0()1f x '<<，所以0βα-=， 即αβ==，这与αβ<矛盾． 因此，方程()0f x x =有唯一实数解．（3）对任意的23,x x R ∈，当211x x -<，且311x x -<时，不妨设23x x ≤，则123111x x x x -<≤<+． 因为0()1f x '<<，所以()f x 在R 上是增函数，所以()()23f x f x ≤．令()()g x f x x =-，则()()10g x f x ''=-<， 所以()()g x f x x =-是R 上的减函数，所以()()23g x g x ≥，即()()2233f x x f x x -≥-， 所以()()()()3232110112f x f x x x x x ≤-≤-<+--=． 因此，对任意的23,x x R ∈，当211x x -<，且311x x -<时， 有()()322f x f x -<．22．解：（1）因为椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线， 所以设椭圆E 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>．令c =2a c =，得2a =，22b c =-．由双曲线C 的方程2213612y x -=得双曲线C的渐近线的方程为y =． 根据对称性，不妨设椭圆E与渐近线y =的交点为()11,A x y ，()22,B x y ．由221y ==⎩消去y ，整理得22x =．所以12x x -=，所以12AB x ==-=．由=2110c -+=， 解得c =所以椭圆E 的方程为22196y x +=或2231248y x +=． （2）方法一：对于椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>，设过点(0,)P m 的两条互相垂直的直线中一条的斜率为k ，方程为y kx m =+．由22221y x a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得22222221210k mkx m x a b a b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭． 由22222222222222114140mk k m k m a a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-+⨯-=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2222m a k b-≥．① 当0k ≠时，同理得22221m ak b -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即22221m a k b -≥．② 当2220m a b -≤，即||m a ≤时，满足①②的k 存在， 所以||m a ≤满足条件．当2220m a b ->，即||m a >时， 满足①②的k 存在22201m a b -⇔<<，即||a m <≤． 当0k =时，2220m a b -≤，即||m a ≤，满足条件．综上，||m m的取值范围是区间．若椭圆C 的方程为22196y x +=， 则实数m的取值范围是区间[；若椭圆C 的方程为，2231248y x +=， 则实数m的取值范围是区间33⎡-⎢⎣⎦．方法二：对于椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>，设过点(0,)P m 的两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，如果其中的一条斜率为0，那么另一条一定垂直于x 轴；反之亦然．由平面几何知识知道：[,]m a a ∈-满足条件．当||m a >时，设其中一条的斜率k ，显然0k =不满足条件，所以0k ≠， 那么另一条的斜率为1k-． 设其中一条直线的方程为y kx m =+．由22221y x a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ， 整理得22222221210k mkx m x a b a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭． 由22222222222222114140mk k m k m a a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-+⨯-=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2222m a k b-≥．① 同理得22221m ak b -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即22221m a k b -≥．② 因为2220m a b->， 所以，满足①②的k 存在22201m a b-⇔<<，即||a m <≤综上，||m m的取值范围是区间⎡⎣．若椭圆C 的方程为22196y x +=， 则实数m的取值范围是区间[；若椭圆C 的方程为2231248y x +=， 则实数m的取值范围是区间33⎡-⎢⎣⎦． 方法三：对于椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>，由于点(0,)P m 在椭圆E 的长轴所在的y 轴上，所以，当点P 在椭圆E 的长轴上，即||m a ≤时，显然满足条件． 当点P 不在椭圆E 的长轴上，即||m a >时，根据椭圆的几何性质可以知道，当椭圆E 的过点()0,P m 的两条切线（线段）所成的角大于或等于直角时，过点P 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点．当椭圆存在过点P 的两条互相垂直的切线时，PQ 与y 轴的夹角为45︒， 从而与x 轴的夹角也为45︒． 设一条切线的方程为y x m =+．由22221y x a by x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得22222211210mx m x a b a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭． 由222222211410m ma ab a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得22222110m a b a b++=，解得m =．由椭圆的平面几何性质知道，当||a m <≤时，满足条件． 综上，m的取值范围是区间⎡⎣．若椭圆C 的方程为22196y x +=， 则实数m的取值范围是区间⎡⎣；若椭圆C 的方程为2231248y x +=，则实数m 的取值范围是区间33⎡-⎢⎣⎦．。
2020届江苏省南京十校上学期12月高三联合调研数学试题(解析版)
2020届江苏省南京十校上学期12月高三联合调研数学试题一、填空题1．已知集合{}1,2A =，{}1,2,3B =-，则集合A B =U ______. 【答案】{}1,1,2,3-【解析】利用并集定义直接求解． 【详解】∵集合{}1,2A =，{}1,2,3B =- ∴集合{}1,1,2,3A B ⋃=-. 故答案为：{}1,1,2,3-． 【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数21iz i=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 . 【答案】1【解析】试题分析：22(1)=112i i i z i i -==++，所以实部为1 【考点】复数概念3．根据如图所示的伪代码，则输出I 的值为______.【答案】10【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S ，I 的值，直到S 不满足条件跳出循环，输出I 的值即可． 【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1I =.满足条件12S ≤，执行循环体，2S =，4I =； 满足条件12S ≤，执行循环体，6S =，7I =； 满足条件12S ≤，执行循环体，13S =，10I =； 不满足条件12S ≤，退出循环，输出I 的值为10. 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S ，I 的值是解题的关键，属于基础题．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3:3:2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，若抽取的高一年级人数为45人，则抽取的样本容量为______. 【答案】120【解析】设样本容量为n ，由抽取的高一年级人数为45人，利用分层抽样的性质能求出抽取的样本容量． 【详解】某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3：3：2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，设样本容量为n . ∵抽取的高一年级人数为45人 ∴332451203n ++=⨯=. 故答案为；120. 【点睛】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．函数f(x)=ln(1)x +____________. 【答案】(]1,2-.【解析】由题意得到关于x 的不等式组，解不等式组可得函数的定义域． 【详解】 由题意得21040x x +>⎧⎨-≥⎩，解得12x -<≤， 所以函数的定义域为(]1,2-． 【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，可根据解析式的特征得到关于自变量x 的不等式（组），解不等式（组）后可得函数的定义域．6．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为______. 【答案】13【解析】先求出基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=，由此能求出两人均未抽到标有数字3的卡片的概率． 【详解】甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=，则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===. 故答案为：13． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】y x = 【解析】利用双曲线的离心率求出a ，b 关系，然后求解渐近线方程即可． 【详解】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =. ∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即2y x =±.故答案为：y x =. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 8．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()y f x ϕ=-（02πϕ<<）是偶函数，则ϕ=______. 【答案】512π 【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的对称性的应用求出结果． 【详解】∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭∴函数()sin 223y f x x πϕϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭∵函数()y f x ϕ=-（02πϕ<<）是偶函数∴232k ππϕπ-+=+，k Z ∈ ∴212k ππϕ=--，k Z ∈ ∵02πϕ<<∴当1k =-时，512πϕ=. 故答案为：512π. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．已知数列{}n a 是首项为1，公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，若2a ，6a ，22a 成等比数列，则10S =______.【答案】145【解析】设等差数列的公差为d ，0d >，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d ，由等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >. ∵2a ，6a ，22a 成等比数列∴26222a a a =，即()()()2111521a d a d a d +=++.∴133d a ==∴101104510453145S a d =+=+⨯=. 故答案为：145． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省. 【答案】12【解析】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，根据容积为128π个立方单位可得2128r h ππ=，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值． 【详解】设圆柱的高为h ，底面半径为r .∵该圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位 ∴2128r h ππ=，即2128h r =. ∴该圆柱形的表面积为222212825622222S r rh r r r r rππππππ=+=+⋅=+. 令()22562g r r r ππ=+，则()22564g r r r ππ'=-. 令()0g r '>，得4r >； 令()0g r '<，得04r <<.∴()g r 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增. ∴当4r =时，()g r 取得最小值，即材料最省，此时12r h =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：30xy m +-=，点()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=.若P 点到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围______. 【答案】()9,3-【解析】设(),P x y ，由已知列式求得点P 的轨迹方程，可得P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上，把P 点到直线l 的距离恒小于8，转化为圆心到直线的距离小于3列式求解，即可得到m 的取值范围． 【详解】 设(),P x y .∵()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=∴()()2222237x y x y ⎡⎤+--+=⎣⎦，即()22325x y ++=.∴P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上 ∵P 点到直线l ：30x y m +-=的距离恒小于8∴()223313m--<+，解得93m -<<.故答案为：()9,3-. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 12．如图，在ABC ∆中，3AB =，2AC =，2BD DC =u u u r u u u r，E 为AC 的中点，AD 与BE 交于点F ，G 为EF 的中点.AG CF ⋅=u u u r u u u r______.【答案】34-【解析】根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r ，再根据B ，F ，E 三点共线，设()112AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即可求出λ，从而得出AF u u u r，CFuuu r，进而求出AG CF ⋅u u u r u u u r 的值. 【详解】根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r∵F ，E ，B 三点共线∴设()112AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴23132λμλμ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得34λ=∴1124AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，11132448AG AF AE AB AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1324CF CA AF AB AC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴2211313119224242416AG CF AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∵AB =2AC =，∴11933424164AG CF ⎛⎫⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r故答案为：34-. 【点睛】本题考查了向量数乘的几何意义，向量减法的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算和推理能力，属于中档题．13．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 【答案】19【解析】将不等式两边同乘以31a b+，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】∵0a >，0b >，且31126a b a b++≤+∴()23131126a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()31361863631126312156b a b a a b a b a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴()313131126156276a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当6a b =时取等号.令()310t t a b+=>，原不等式转化为2276t t +≤，解得9t ≥. ∴1113139ab a b t a b ==≤++故答案为：19.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当[]0,4x ∈时，()()xxf x =，关于x 的不等式()()20fx af x +>在区间[]400,400-上有且仅有400个整数解，则实数a 的取值范围______.【答案】31223e ,e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】由已知条件可知函数()f x 关于直线4x =对称，周期为8，故不等式()()20f x af x +>在区间[]0,8上有且仅有4个整数解，作出函数图象，进而得解．【详解】∵()f x 满足()()44f x f x +=- ∴函数()f x 关于直线4x =对称 ∵函数()f x 为偶函数∴()()()8f x f x f x +=-=∴()f x 周期为8，则在区间[]400,400-上有100个周期 ∵()()20f x af x +>在[]400,400-上有且仅有400个整数解 ∴()()20fx af x +>在[]0,8有且仅有4个整数解当04x ≤≤时，()()xxf x e=，则()()112xx f x e -'=.∴令()0f x '>，则02x ≤<，()f x 在[)0,2上单调递增；令()0f x '<，则24x <≤，()f x 在(]2,4上单调递减，其中()22f e=. 做出函数在区间[]0,8上的图象如图所示：∵()1f e =，()()31f f e e=>，()()20f x af x +>在[]0,8上有4个整数解，则()f x a >-在[]0,8上有4个整数解.a e e e ≤-<∴a e ee<≤. 故答案为：31223e ,e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数性质的运用及导数在解决函数问题中的应用，考查数形结合思想及转化能力，属于较难题目．二、解答题15．已知分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，且3tan 4A = （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin A B -=，求tan B 的值 【答案】（1）85c =；（2）13【解析】（1）由正切值可得0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而可求得sin A 与cos A ，再由余弦定理即可求得边c 的值； （2）根据()sin 10A B -=，求得()cos A B -，进而求得()tan A B -，从而可求出tan B 的值.【详解】（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =. （2）由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()0,B π∈，得,2A B ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭. 又()sin 010A B -=>，则0,2A B π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则()cos 0A B ->. 所以()cos A B -==，所以()()()sin 1tan cos 3A B A B A B --==-所以()() ()31tan tan143tan tan311tan tan3143A A BB A A BA A B---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅.【点睛】考查余弦定理及两角差的正弦公式，给出一个角的三角函数值，求其他三角函数值，属于简单题．16．如图，在斜三棱柱111ABC A B C-中，已知ABC∆为正三角形，D，E分别是AC，1CC的中点，平面11AA C C⊥平面ABC，11A E AC⊥.（1）求证：//DE平面11AB C；（2）求证：1A E⊥平面BDE.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据D，E分别是AC，1CC的中点，即可证明1//DE AC，从而可证//DE平面11AB C；（2）先根据ABC∆为正三角形，且D是AC的中点，证出BD AC⊥，再根据平面11AA C C⊥平面ABC，得到BD⊥平面11AAC C，从而得到1BD A E⊥，结合11A E AC⊥，即可得证．【详解】（1）∵D，E分别是AC，1CC的中点∴1//DE AC∵DE⊄平面11AB C，1AC⊂平面11AB C∴//DE平面11AB C.（2）∵ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点 ∴BD AC ⊥∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C I 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ∴BD ⊥平面11AAC C ∵1A E ⊂平面11AAC C ∴1BD A E ⊥∵11A E AC ⊥且1//DE AC ∴1A E DE ⊥∵DE ，BD ⊂平面BDE ，且DE BD D ⋂= ∴1A E ⊥平面BDE . 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题． 17．如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点到相应准线的距离为3，离心率为12，过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB ，CD 的中点分别为M 、N .（1）求椭圆的标准方程；（2）若弦AB ，CD 的斜率均存在，且OMF ∆和ONF ∆的面积分别为1S ，2S ，试求当12S S 最大时的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）10x y +-=或10x y --= 【解析】（1）直接根据椭圆的几何性质得到a ，b 的值；（2）设出直线AB 的方程与椭圆方程联立，求出OMF ∆的面的表达式，同理求出ONF ∆的面积不等式，从而可求出12S S ，利用基本不等式即可求其最大值，从而得解.【详解】（1）由题意：23a c c-=，12c e a ==，则2a =，1c =，b =为22143x y +=.（2）由题意可得()1,0F .∵AB ，CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：()1y k x =-（0k ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴由()221,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()22223484120kxk x k +-+-=.∴2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，则22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ∴同理可得2243,3434k N k k ⎛⎫⎪++⎝⎭∴()12312234M k S OF y k =⋅⋅=+，()22312234Nk S OF y k =⋅⋅=+ ∴()21242229911441225121225k S S k k k k ==⋅⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，∵2212k k +≥，当且仅当221k k =即1k =±时取等号 ∴当1k =±时，12S S 最大，此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值等，考查函数最值，重要不等式，属于难题.18．如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：AB CD ∥，AB BC ⊥，75DAB ∠=︒，AD 长1千米，AB千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，B ，D 点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ -线段QP -弧PD，其中Q在线段BC上（异于线段端点），QP与弧DE相切于P点（异于弧端点］根据市场行情BQ，OP段的建造费用是每千米10万元，湖岸段弧PD的建造费用是每千米()20213+万元（步行道的宽度不计），设PAE∠为θ弧度观光步行道的建造费用为w万元.（1）求步行道的建造费用w关于θ的函数关系式，并求其走义域；（2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？【答案】（1）()1cos251021sin312wθπθθ⎡-⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，定义域：5,412ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3πθ=时，步行道的建造费用最低.【解析】（1）以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，可得»DE 所在圆的方程为221x y+=，可得()cos,sinPθθ，从而求得PQ所在直线方程，与BC 所在直线方程联立求得Q坐标，即可得到BQ与PQ，再由弧长公式求»DP的长，再根据QP与»DE相切于P点（异于弧端点）与512DABπ=∠，即可求得函数关系式与其定义域；（2）令()1cos25sin312fθπθθθ-⎛⎫=+-⎪⎝⎭，利用导数求使步行道的建造费用最低时的θ值．【详解】（1）以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：则»DE所在圆的方程为221x y +=，()cos ,sin P θθ，)2,0B ，直线PQ ：cos sin 1x y θθ+=.∵直线BC 的方程为2x =∴122,sin Q θθ⎫⎪⎪⎭. 所以12sin BQ θθ-=，2cos sin PQ θθ=，弧PD 长512πθ=-， 所以)202112cos 2cos 510312w θθπθ--⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得)1cos 251021sin 312w θπθθ⎡-⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∵QP 与»DE 相切于P 点（异于弧端点），512DAB π=∠ ∴定义域：5,412ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （2）令()1cos 25sin 312fθπθθθ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求导得()21cos 2sin 3f θθθ-'=-，令()21cos 20sin 3f θθθ-'=-=， cos 1θ=（舍去），1cos 2θ=，3πθ=，θ,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3π5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f θ'-+所以当3πθ=时，()fθ最小，即w 最小，当3πθ=时，步行道的建造费用最低.【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查直线与圆位置关系的应用，利用导数求最值，是中档题．19．已知函数()3232f x x x x =-+，()g x tx =，t R ∈.（1）求函数()()x f x e x xϕ⋅=的单调增区间；（2）令()()()h x f x g x =-，且函数()h x 有三个彼此不相等的零点0，m ，n ，其中m n <.①若12m n =，求函数()h x 在 x m =处的切线方程； ②若对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，求实数t 的去取值范围.【答案】（1）单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭；（2）①1y x =-+，②124t -<<或211t <≤ 【解析】（1）先求得函数()()xf x e x xϕ⋅=，对函数()x ϕ求导，令()x ϕ'大于零，解不等式即可求得单调增区间；（2）易知3m n +=，2mn t =-，①求出m ，n 的值，进而求得切线方程；②由对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，可得()max 16h x t ≤-，分302m n <<<与0m n <<两种情况讨论，从而可求得t 的取值范围．【详解】（1）∵()()x f x e x xϕ⋅=，()3232f x x x x =-+∴()()232xx x x e ϕ=-+∴()()21xx x x e ϕ'=--，令()0x ϕ'>，得x <x >∴()x ϕ的单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （2）由方程()0h x =，得m ，n 是方程()2320x x t -+-=的两实根，故3m n +=，2mn t =-，且由判别式得14t >-.①若12m n =，得1m =，2n =，故22mn t =-=，得0t =，因此()11h '=-，故函数()h x 在1x =处的切线方程为1y x =-+. ②若对任意的[],x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以()max 16h x t ≤-. 因为3m n +=，m n <，所以302m n <<<或0m n <<. 当302m n <<<时，对[],x m n ∈有()max 0h x =，所以016t ≤-，解得16t ≤.又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<；当0m n <<时，()()2362h x x x t '=-+-，则存在()h x 的极大值点()1,0x m ∈，且211362t x x =-+.由题意得()()3211113216h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥进而得到()3118x -≥-，得110x -≤<. 又因为211362t x x =-+，得211t <≤.综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查导数的几何意义，考查运算求解能力及分类讨论思想，属于中档题．本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．20．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足23a =，2420S S +=，数列{}n b 是首项为2，公比为q （0q ≠）的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若11k r r k a b a b a b +=+=+，求实数q 的最大值；（3）若数列{}n c 满足,21,2k n k a n k c b n k=-⎧=⎨=⎩，k *∈N ，其前n 项和为n T ，当3q =时，是否存在正整数m ，使得221mm T T -恰好是数列{}n c 中的项？若存在，求岀m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21n a n =-；（2）12-；（3）存在，1m =或2m = 【解析】（1）根据等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足23a =，2420S S +=，可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据k ，t ，r 成等差数列与11k r r k a b a b a b +=+=+，推导出2t k r q q q +=，从而得出()2r k t k -=-，令t k n -=，则2210n nq q --=，从而可得q 的最大值；（3）根据题设条件可得()2221212212131333131m m m m m m T m T m m ----+-==-≤+-+-，再利用221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项，可得只能为1c ，2c ，3c ，利用分类思想，即可求出m 的值． 【详解】（1）等差数列中，23a =，2420S S +=，111324620a d a d a +=⎧∴⎨+++=⎩解得11a =，2d =，21n a n ∴=-. （2）正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若k t t r r k ab a b a b +=+=+，111212212212t r k k q t q r q ---∴-+=-+=-+，11t r t k q q --∴-=-，11r k r t q q ---=-又t k r t -=-1111t r r k qq q q ----∴-=-整理可得2t k r q q q +=.210r k t k q q --∴--=.又t k r t -=-，()2r k t k ∴-=-，令t k n -=，则2210n nq q --=，12n q ∴=-或1.又1q ≠±，12nq ∴=-.∴n 为奇数，10q -<<，112n q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为递减数列∴当1n =时，q 取最大值12-.（3）由题意得()()2221312131213mmmm m Tm -+-=+=+--，2112212312331m m m m m m T T c m m ---=-=+--⋅=+-.()2221212212131333131m m m m m m T m T m m ----+-∴==-≤+-+- 若221mm T T -恰好是数列{}n c 中的项只能为1c ，2c ，3c ， 第一类：若21211mm T c T -==，则130m -=，所以m 无解； 第二类：若221212mm T c b T -===，则12310m m --+=.由题意1m =不符合题意，2m =符合题意.当3m ≥时，令()1231x f x x -=-+（3x ≥），则()13ln32x f x x -'=-，设()13ln32x g x x -=-，则()()213ln320x g x -'=->，即()f x ¢为增函数，故()()30f x f ''≥>，()f x \为增函数.故()()310f x f ≥=>， 即当3m ≥时，12310m m --+=无解，即2m =是方程唯一解.第三类：若232213mm T c a T -===，则21m =，即1m = 综上所述，1m =或2m =. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．21．已知点()2,2P ，在矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为点()4,6Q . （1）求a 和b 的值；（2）若直线l 在M 对应的变换作用下变为直线20x y +=，求直线l 的方程. 【答案】（1）0a =，2b =；（2）30x y +=【解析】（1）由矩阵的点变换可得a ，b 的方程组，解方程可得a ，b 的值； （2）设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为(),P x y '''，由点变换可得方程，即可得到所求直线l 的方程． 【详解】 （1）224126a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，424226a b +=⎧⎨+=⎩解得02a b =⎧⎨=⎩，∴0a =；2b =. （2）由（1）知2021M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，M T ：202212x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为(),P x y '''，则00022x x y x y ='=+'⎧⎨⎩.∵20x y ''+=，∴()0002220x x y ++=即0030x y +=， ∴直线l 的方程为30x y +=. 【点睛】本题考查矩阵的点变换，考查方程思想和运算能力，属于基础题．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1,22,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求线段AB 的长.【答案】（1）l20y -+=，C ：()()22228x y -+-=；（2）【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）由（1）可得曲线C 是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得AB 的长. 【详解】（1）由题意可得直线l20y -+=，由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得24cos 4sin ρρθρθ=+，即2244x y x y +=+，所以曲线C ：()()22228x y -+-=.（2）由（1）知，圆()2,2C，半径r =∴圆心到直线l 的距离为：d ==∴AB ===【点睛】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题．23．设函数()22f x x x =-++，若不等式242a b a b a --+≤()f x 对任意a ，b R ∈，且0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】52x ≤-或52x ≥ 【解析】先由()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=，可得()5f x ≥，从而可得实数x 的范围. 【详解】()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=Q又0a ≠Q0a ∴>，由题意，得()5a a f x ≤.∴()5f x ≥，则225x x -++≥，解得52x ≤-或52x ≥. ∴x 的取值范围是52x ≤-或52x ≥ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的几何性质及求解方法，考查学生对基础知识的掌握情况. 24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP EF P . 【答案】（1）24y x =；（2）见解析【解析】（1）根据抛物线的焦点在直线10x y +-=上，可求得p 的值，从而求得抛物线的方程；（2）法一：设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，可得A ，B ，D ，E 的坐标，进而可得直线AB 的方程，根据F 在直线AB 上，可得4ab =-，再分别求得AP k ，EF k ，即可得证；法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据直线AB 的斜率不为0，设出直线AB 的方程为1x my -=，联立直线AB 和抛物线C 的方程，结合韦达定理，分别求出AP k ，EF k ，化简AP EF k k -，即可得证. 【详解】（1）抛物线C 的焦点F 坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且该点在直线10x y +-=上， 所以102p-=，解得2p =，故所求抛物线C 的方程为24y x = （2）法一：由点F 在线段AB 上，可设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，则2,4a A a ⎛⎫⎪⎝⎭，2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,D a -，()1,E b -.∴直线AB 的方程为222444b a a y a x b a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，即()40x a b y ab -++=.又点()1,0F 在线段AB 上，∴4ab =-. ∵P 是DE 的中点，∴1,2a b P +⎛⎫- ⎪⎝⎭∴224224142APa ba a a k a a a ++-===++，4222EFAP b a k k a -====--. 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB 的方程为1x my -= 联立直线AB 和抛物线C 的方程214x my y x-=⎧⎨=⎩，得2440y my --= 又1y ，2y 为该方程两根，所以124y y m +=，124y y =-，()()112121112121AP y y y y y k x x -+-==++，22EF y k =-. ()()()()()211121122112111114144021111AP EFy y y y y y y y x y y x k k x x x x -++-+++-=====++++，EF AP k k = 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．25．甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望； （2）求第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率.【答案】（1）分布列见解析，()7427E ξ=；（2）2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭【解析】（1）分别求出点数不大于4的概率和大于4的概率，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4，进而可得甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，进而得出()1121133n n n P P P --=⋅+-⋅，从而可得1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，根据213P =，结合等比数列，即可得到n P . 【详解】（1）由已知，掷出的点数不大于4的概率为23，大于4的概率为13，抛掷4次，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4.()1224133327P ξ==⋅⋅=，()2121111217233333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()2212111128333333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()2228433327P ξ==⋅⋅=，分布列：则()47887412342727272727E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅= （2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件， 所以，()111211113333n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=+（3n ≥）， 所以，1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=（3n ≥），又213P =，所以，21126P -=-所以，当2n ≥，n *∈N 时，12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则2111263n n P -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以，2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识点是随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，关键是对题意的理解，是难题.。
2020届江苏省南京市高三数学上学期期初学情调研考试试题Word版含解析
2020届江苏省南京市高三上学期期初学情调研考试数学试题一、填空题1．若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P ∩Q =__________. 【答案】{0，2}【解析】因为交集就是由两个集合的公共元素组成的集合，集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，所以{}0,2P Q ⋂=，故答案为{}0,2.2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________． 【答案】7【解析】()()()()i 34i 3434i=25a b a b b a +-=++-， 34253{{ 3404a b a b a b +==∴⇒-==， 7a b +=，故答案为7.3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为__________． 【答案】16 【解析】试题分析：因为高校甲乙丙丁四个专业分别有150150400300，，，名学生，所以本校共有学生1000名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取40名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是401100025=，因为丙专业有400人，所以要抽取14001625⨯=人．【考点】分层抽样．4．如图所示的算法流程图，若输出y 的值为，则输入x 的值为__________．【解析】该程序框图表示的是函数()()22,0{log ,0x x f x x x <=-≥，若()21log 2x -=，则0x =≥，不合题意，若1log22x =，则0x =<合题意，故输入的x值为，故答案为. 5．记函数f (x )＝的定义域为D ．若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为__________． 【答案】12【解析】由2430x x --≥，得23x -≤≤，因为[]4,1D =-，所以由几何概型概率公式得，在区间上随机取一个数x ，则x D ∈的概率()()411552P --==--，故答案为12.【方法点睛】本题題主要考查“区间型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，区间型，求与区间有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总区间以及事件的区间；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离为__________． 【答案】3【解析】双曲线方程为221169x y -=， 216925c ∴=+=，焦点坐标为()5,0，渐近线方程为 340x y -=，由点到直线距离公式得双曲线221169x y -=的焦点到其渐近线的距离为： 15035d -==，故答案为3.7．已知实数x ，y 满足条件则z =3x －2y 的最大值为__________．【答案】6【解析】画出24{3 8x y x y ≤≤≥+≤表示的可行域如图，平移直线3122y x z =+，由图知，当直线过点()4,3A 时， 32z x y=-有最大值6，故答案为6.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为___________cm 2. 【答案】18【解析】设正方体棱长为a ，则正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为2327,3a a a a πππ⨯===，圆柱侧面积22218S a a a πππ=⨯==，故答案为18π.9．若函数f (x )＝A sin(x ＋)(A ＞0，＞0，||)的部分图象如图所示，则f (－π)的值为__________．【答案】-1【解析】由图可知， 2A =，322,34443T T πππππωω=-===⇒=，又由2034πϕ⨯+=，得6πϕ=-， ()()222,213636f x sin x f sin ππππ⎛⎫⎛⎫∴=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1-.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=.10．记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110， 则m 的值为__________．【答案】6 【解析】{}n a 是等差数列，()()()2112212110211102m m m a a S m m a m -+∴=⨯-=-=-=，可得6m =，故答案为6.11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是__________． 【答案】(－∞，2] 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数， ()f x ∴在()0,+∞也是增函数，即()f x 在R 上递增，又()()()()12,12,2321f f f x f -=-∴=∴-≤=， 231,2x x -≤≤，即满足()232f x -≤的x 的取值范围是(],2-∞，故答案为(],2-∞.12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120＝λ．若·＝－，则实数λ的值为__________．【答案】13【解析】3,2,120A B A C B A C ==∠=,∴由余弦定理可得BC =，又根据余弦定理可得cosABC ∠=， ()2AM BC BM BA BC BC BA BC λ⋅=-⋅=-⋅ 171933λ=-=-，解得13λ=，故答案为13. 13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为__________． 【答案】－43【解析】M 在()()22221x y -+-=， ∴可设()2cos ,2M sin θθ++，可得()2cos ,2N sin θθ+--，将N 的坐标代入30kx y ++=，可得cos 21sin k k θθ-=+， 21k +≤，化为得24340,03k k k +≤-≤≤， k 的最小值为43-，故答案为43-.14．已知函数f (x )＝若存在唯一的整数x ，使得＞0成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[0，2]∪[3，8]【解析】()()0f x a f x a xx --=-表示()y f x =上的点()(),x f x 与()0,a 在线的斜率，做出()y f x =的图象，由图可知， []0,2a ∈时，有一个点整数点()()1,1f 满足()00f x a x ->-，符合题意， ()2,3a ∈时，有两个整数点()()()()1,1,1,1f f --满足()00f x a x ->-，不合题意， []3,8a ∈时，只有一个点()()1,1f --满足()00f x a x ->-符合题意，当8a >时，至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意，故答案为[][]0,23,8⋃.【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.二、解答题 15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据直棱柱的性质，可得AE ⊥平面ABC ，可得1CC AE ⊥，再根据等腰三角形性质可得AE BC ⊥，从而可得AE ⊥平面11B BCC ，进而得出结果；（2）连接1A B ，设11A B AB F ⋂=，连接EF ，由平行四边形的性质结合中位线定理可得1//EF A C .根据线面平行的判定定理可得结果. 试题解析：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1ABC ．因为AE ⊥平面ABC ，所以CC 1⊥AE ．因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ． 因为BC 在平面B 1BCC 1，内，CC 1在平面B 1BCC 1内 且BC ∩CC 1＝C ，所以AE ⊥平面B 1BCC 1． 因为AE 在平面AB 1E 内所以平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1. （2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所以F 为A 1B 的中点． 又因为E 是BC 的中点，所以EF ∥A 1C ．因为EF 在平面AB 1E 内，A 1C 不在平面AB 1E 内， 所以A 1C ∥平面AB 1E .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及线面垂直、面面垂直的判定，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的. 16．（本小题满分14分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝． （Ⅰ）若c ＝2a ，求的值；（Ⅱ）若C －B ＝，求sin A 的值．【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由余弦定理结合2c a =；可得10，再由正弦定理可得结果；（2）先由4cos 5B =，根据二倍角公式可得73cos2,2255B sin B ==，则3s i n 24A s i n B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据两角差的正弦公式可得结果. 试题解析：（1）解法1在△ABC 中，因为cos B ＝，所以＝．因为c ＝2a ，所以＝，即＝，所以＝．又由正弦定理得＝，所以＝．解法2因为cos B ＝，B ∈(0)，所以sin B ＝＝．因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝cos C ＋sin C ， 即－sin C ＝2cos C ． 又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝，所以＝．（2）因为cos B ＝，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝． 又0＜B ＜π，所以sin B ＝＝，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2××＝． 因为C －B ＝，即C ＝B ＋，所以A ＝π－(B ＋C )＝－2B ，所以sin A ＝sin(－2B ) ＝sin cos2B －cossin2B＝×－(－)×＝．17．（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时． 设f (x )＝t 1＋t 2．（Ⅰ）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （Ⅱ）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？ 【答案】（1）f (x )＝t 1＋t 2＝9000x ＋1000100x-，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N}（2）75 【解析】试题分析：（1）由19000t x =且()2300010003100100t x x ==--， 可得()1290001000100f x t t x x=+=+-,根据实际意义可得定义域；（2）()f x 化为()()910091101001010100100x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎡⎤+-+=++⎢⎥ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎣⎦，根据基本不等式可得结果. 试题解析：（1）因为t 1＝，t 2＝＝， 所以f (x )＝t 1＋t 2＝＋，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N}． （2）f (x )＝1000(＋)＝10[x ＋(100－x )](＋)＝10[10＋＋]．因为1≤x ≤99，x ∈N ，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝6，当且仅当＝，即当x ＝75时取等号．答：当x ＝75时，f (x )取得最小值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，且过点(1，)．过椭圆C的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．【答案】（1）24x ＋y 2＝1（2【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ， 222a c b =+ ，求出a 、b 、c ，即可得结果；（2）设()00,P x y ，则()002,N x y --,所以02x m -=．可得直线AP 的方程为()0022y y x x =++，根据1PB MB k k ⋅=-可得231040m m -+=，解方程即可得结果. 试题解析：（1）因为椭圆C 的离心率为，所以a 2＝4b 2．又因为椭圆C 过点(1，)，所以＋＝1，解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1． （2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以2－x 0＝m ． 由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝ (x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝，即M (m ，)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝·＝－1， 即＝－1．因为＋y 02＝1．所以＝1．因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0， 解得m ＝．因为m ＞2，所以m ＝．解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝，所以y P ＝，所以P (，)．因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－＝．()因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))， 因为直线PB 与x 轴不垂直，所以≠1，即k 2≠，所以k PB ＝＝，k MB ＝．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1， 所以·＝－1．（）将()代入（），化简得48k 4－32k 2＋1＝0， 解得k 2＝，所以m ＝＝．又因为m ＞2，所以m ＝．19．（本小题满分16分） 已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（Ⅰ）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（Ⅱ）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )， 记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 【答案】（1）12（2）(－∞，－1－1e ]（3）827【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，由()'063f a==可得结果；（2）对于任意()()()0,,12ln x f x f x x ∈+∞+-≥恒成立等价于()()22ln 1xa g x x -+≥=，利用导数研究函数的单调性，求得()max 1g x ge ==，从而可得结果；（3）分三种情况讨论：①当513a <≤，②当523a <<，③当2a ≥分别求出()h a 的最小值，再比较大小即可得结果.试题解析：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ， 所以6a ＝3，所以a ＝．（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12ln x对任意x∈(0，+∞)恒成立，所以－(a＋1)≥．令g(x)＝，x＞0，则g(x)＝．令g(x)＝0，解得x＝．当x∈(0，)时，g(x)＞0，所以g(x)在(0，)上单调递增；当x∈(，＋∞)时，g(x)＜0，所以g(x)在(，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g()＝，所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，所以a的取值范围为(－∞，－1－]．（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，f(2)＝4．令f′(x)＝0，则x＝1或a．f(1)＝3a－1，f(2)＝4．①当1＜a≤时，当x∈(1，a)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋4．因为h (a)＝3a2－6a＝3a(a－2)＜0，所以h(a)在(1，]上单调递减，所以当a∈(1，]时，h(a)最小值为h()＝．②当＜a＜2时，当x∈(1，a)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋3a－1．因为h (a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)2≥0．所以h(a)在(，2)上单调递增，所以当a∈(，2)时，h(a)＞h()＝．③当a≥2时，当x ∈(1，2)时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减， 所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5， 所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1． 综上，h (a )的最小值为．【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ，且3T n ＝S n 2＋2S n ，n ∈N ．（Ⅰ）求a 1的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若k ，t ∈N ，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．【答案】（1）1（2）a n ＝2n －1，n ∈N(3) k ＝2，t ＝3【解析】试题分析：（1）由211132T S S =+，得2211132a a a =+，解方程即可得结果；（2）因为2211132,32n n n n n n T S S T S S +++=+=+，两式相减可得1132n n n a S S ++=++再得22132n n n a S S +++=++，再相减可得{}n a 是等差数列，从而可得结果；(3)由(2)可知21nn S =-，根据11,,k t k S S S S S --成等比数列可得()221222321t k k ---=-⨯+，只需证明以上等式无整数解即可.试题解析：（1）由3T 1＝S 12＋2S 1，得3a 12＝a 12＋2a 1，即a 12－a 1＝0． 因为a 1＞0，所以a 1＝1．（2）因为3T n ＝S n 2＋2S n ， ①所以3T n ＋1＝S n ＋12＋2S n ＋1，②②－①，得3a n ＋12＝S n ＋12－S n 2＋2a n ＋1． 因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2， ③ 所以3a n ＋2=S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1， 所以当n ≥2时，＝2．又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0．因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以＝2，所以对n ∈N ，都有＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N ．(3)由(2)可知S n ＝2n－1．因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k，所以2t ＝(2k )2－32k ＋4，即2t －2＝(2k －1)2－32k －2＋1()． 由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2．当k ＝2时，2t＝8，得t ＝3．当k ≥3时，由()，得(2k －1)2－32k －2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入()得22k －2－32k －2＝0，即2k＝3，此时k 无正整数解． 综上，k ＝2，t ＝3． 21．(1)．选修4—1：几何证明选讲如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ，DA ＝DC ．求证： CA ＝3CB ．(2)．选修4—2：矩阵与变换 设二阶矩阵A ＝．（Ⅰ）求A －1；（Ⅱ）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C 6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．(3)．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），圆C 的参数方程为（θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．(4)．选修4—5：不等式选讲 解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．【答案】（1）见解析（2）（Ⅰ）213122-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）8y 2－3x 2＝1（3）14）(－∞，－2]∪[3，＋∞). 【解析】试题分析：（1）连接OD ，,DA DC DAO C =∴∠=∠, CD 为圆O 的切线，90ODC ∴∠=， 从而90DOC C +=,可得,3CB OB CA CB =∴=，进而可得结果；（2）曲线C 上任意一点(),P x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(),P x y ， 2{ 34x x yy x y=+=+，代入2261x y -=，即可得结果；（3）先求直线l 的普通方程与圆C 的普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得结果；（4）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：连接OD ，因为DA =DC ，所以∠DAO=∠C．在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，DOC C＝90°，即2∠C＋∠C＝90°，故∠C＝30°，所以OC＝2OD＝2OB，所以CB＝OB，所以CA＝3CB．（2）（Ⅰ）根据逆矩阵公式，可得A－1＝．（Ⅱ）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P (x，y)，则＝＝，所以因为(x y)在曲线C6x2－y2＝1，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2＝1，化简得8y2－3x2＝1，所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1（3）由直线l的参数方程为，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0．由圆C的参数方程为，得圆C的普通方程为(x－a)2+(y－2a)2＝1．因为直线l与圆C相切，所以＝1，解得a＝1±．所以实数a的值为1±．（4）(1)当x＜－1时，不等式可化为－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；(2)当－1≤x≤2时，不等式可化为－x＋2＋x＋1≥5，此时不等式无解；(3)当x＞2时，不等式可化为x－2＋x＋1≥5，解得x≥3；所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞).22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．（Ⅰ）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；（Ⅱ）求二面角B－PD－A的余弦值．【答案】（1）2（2【解析】试题分析：（1）以{},,AB AD AP 为单位正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -．设()1,,0C y ，则()()1,0,1,1,1,0PB CD y =-=--，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（2）分别求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：以{},,AB AD AP 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ．因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．设C (1，y ，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y ，0)． …………………2分因为直线PB 与CD 所成角大小为，所以|cos ＜，＞|＝||＝，即＝，解得y ＝2或y ＝0（舍）， 所以C (1，2，0)，所以BC 的长为2．（2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 因为＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，则即令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． 因为平面PAD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝＝，所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为．23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望． 【答案】（1）96（2）见解析 【解析】试题分析：（1）利用组合知识及分步计数乘法原理可得结果；（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果. 试题解析：（1）两个球颜色不同的情况共有C 42＝96(种).（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝＝，P (X ＝1)＝＝，P (X ＝2)＝＝，P (X ＝3)＝＝．所以随机变量X 的概率分布列为：所以E (X )＝0＋1＋2＋3＝．。
江苏省南京市六校联合体2020届高三数学上学期12月联考试题
南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高；圆锥的侧面积公式：rl S π=，其中r 为底面半径，l 为母线长．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}3,2,1,0=M ，集合{}101,,N -=，则M N I = ▲ ．2．双曲线125922=-y x 的渐近线方程是 ▲ ． 3．复数z 满足i iz31-=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ．4. 若一组样本数据3，4，8，9，a 的平均数为6方差s 2＝ ▲ ．5．从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．6．如图所示的流程图的运行结果是 ▲ ． 7．若圆锥底面半径为1，侧面积为π5,则该圆锥的体积 是____▲____． 8．设直线l 是曲线x x y ln +=22的切线，则直线l 的斜率 的最小值是 ▲ ．9．已知,)tan(714-=-πα⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα,，则)sin(6πα+的值是 ▲ ．10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，x x x f -=2)(．若f (a )＜4＋f (－a )，则实数a 的取值范围是 ▲ ．第6题图11．ABC ∆中，06034=∠==ACB ,BC ,AC ，E 为边AC 中点，2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则CD BE ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．12．已知圆22:(2)2C x y +-=，直线:20l kx y --=与y 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若2PA PT =，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．已知n ∈N*,nn a 2=，21n b n =-， 1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．数列{}n c 的前n 项和为n T ，若 0≥+n n T a λ对任意的n ∈N*恒成立，则实数λ的最大值是 ▲ ． 14．已知函数2()221f x x ax a =-+-.若对任意的(0,3)a ∈，存在0[0,4]x ∈，使得0|()|t f x ≤成立，则实数t 的取值范围是 ▲ _.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 3sin cos b A a B =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin 3C A =，求a ，c ．16．(本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ， 点E 为侧棱PB 的中点．求证：(1) PD ∥平面ACE ；(2) 平面PAC ⊥平面PBD ．题16图ABCDPOE已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x上一点与两焦点构成的三角形的周长为离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为7，求直线l 的方程.18．(本小题满分16分）如图，某公园内有一个以O 为圆心，半径为5百米，圆心角为2π3的扇形人工湖OAB ，OM 、ON 是分别由OA 、OB 延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与AB ⌒相切点F ，且与OM 、ON 分别相交于C 、D ，另两条是分别和湖岸OA 、OB 垂直的FG 、FH (垂足均不与O 重合)． (1) 求新增观光道FG 、FH 长度之和的最大值；(2) 在观光道ON 段上距离O 为15百米的E 处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD 的延长线不能进入以E 为圆心，2.5百米为半径的圆形E 的区域内．则点D 应选择在O 与E 之间的什么位置？请说明理由．M已知数列{a n }各项均不相同，a 1＝1，定义k n kn n a a k b +-+=)1()（，其中n ，k ∈N*．（1）若n b n =）1（，求5a ； （2）若b n ＋1(k )＝2b n (k )对2,1=k 均成立，数列{a n }的前n 项和为S n ．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．20．(本小题满分16分）已知函数ln (),()xx xf xg x e x==. (1)求()f x 的极大值；(2)当0a >时，不等式()xg x ax b ≤+恒成立，求ba的最小值； (3)是否存在实数k N ∈，使得方程()(1)()f x x g x =+在(,1)k k +上有唯一的根，若存在，求出所有k 的值，若不存在，说明理由.南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷 数学参考答案及评分标准 2018.12说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.) 1． {}10, 2． x y 35±= 3．23 4．5265． 61 6． 20 7． π32 8． 4 9．10433+ 10． ()2-，∞ 11． 4- 12． 7k ≤7k ≥13．9814 ．3≤t 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=3sin sin cos B A A B =． ………………2分 又因为在ABC ∆中sin 0A ≠．3cos B B =． ………………………………………………………4分 法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠． 所以sin 3tan cos 3B B B ==， 所以6B π=． ……………………………………………………6分3cos 0B B -=即2sin()06B π-=， …………………………4分所以()6B k k Z ππ-=∈，因为0B π<<，所以6B π=． …………………………………6分（2）由正弦定理得sin sin a cA C=，而sin C A =，所以c = ，① …………………………………9分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos6a c ac π=+-，即229a c +=， ② …………………………………12分 把①代入②得3a =，c =…………………………………14分 16．【解析】证明：(1) 连接OE ．因为O 为正方形ABCD 的对角线的交点，所以O 为BD 中点． ……………………2分因为E 为PB 的中点，所以PD ∥OE ． …………4分 又因为OE ⊂面ACE ，PB/⊂平面ACE ， 所以PD ∥平面ACE ． …………………………6分 (2) 在四棱锥P －ABCD 中，．．．．．．． 因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以BD ⊥PC ． …………………………………8分 因为O 为正方形ABCD 的对角线的交点，所以BD ⊥AC ． ………………………………………………10分 又PC 、AC ⊂平面PAC ，PC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面PAC ． …………………………………12分 因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ． ………………………………14分 17. 【解析】（1）由题设得，又2e =，解得2,a c ==,∴1b =.…2分 故椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………4分（2）设直线l 方程为：12y x m =+代入椭圆22:14x C y +=并整理得：222220x mx m ++-=，题16图A BC D P OE设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12212222x x mx x m +=-⎧⎨=-⎩. …………………………………6分||PQ =Q21|2x x =-==， ……8分 B 到直线PQ 的距离为5121-=m d ，A 到直线PQ 的距离为5121+=m d ， ………………………………10分又因为P 在第一象限, 所以11<<-m ，所以5451251221=++-=+)m ()m (d d ， 所以74821221=-=⋅+=m PQ )d d (S APBQ ， ……………………………12分解得21±=m ，所以直线方程为2121±=x y ． …………………………………………14分18．解： (1) 连结OF ，OF ⊥CD 于点F ，则OF ＝5．设∠FOD ＝θ，则∠FOC ＝2π3－θ (π6＜θ＜π2)，故FH ＝5sin θ，FG ＝5sin(2π3－θ)，……………………2分则FG ＋FH ＝5sin(2π3－θ)＋5sin θ＝5(32cos θ＋12sin θ＋sin θ)＝5(32sin θ＋32cos θ)＝53sin(θ＋π6) ……………………4分 因为π6＜θ＜π2，所以π3＜θ＋π6＜2π3，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，(FG ＋FH )max ＝53． ………………………………………………6分(2) 以O 为坐标原点，以ON 所在的直线为x 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ．由题意，可知直线CD 是以O 为圆心，5为半径的圆O 的切线，直线CD 与圆E 相离，且点O 在直线CD 下方，点E 在直线CD 上方．由OF ＝5，圆E 的半径为2.5，因为圆O 的方程为x 2＋y 2＝25，圆E 的方程为(x －15)2＋y 2＝6.25，………………………………………………8分 设直线CD 的方程为y ＝kx ＋t (－3＜k ＜0，t ＞0)， 即kx －y ＋t ＝0，设点D (x D ，0)则⎩⎪⎨⎪⎧tk 2＋1＝5 ………①，－15k －tk 2＋1>2.5 ……②． ……………………10分由①得t ＝5k 2＋1， …………………………12分 代入②得－15k －5k 2＋1k 2＋1>2.5，解得k 2>13． ………………………13分又由－3＜k ＜0，得0＜k 2＜3，故13＜k 2＜3，即13＜1k 2＜3．在y ＝kx ＋t 中，令y ＝0，解得x D ＝t－k ＝5k 2＋1－k＝51＋1k 2，所以1033＜x D ＜10． ………………………15分答：(1) 新增观光道FG 、FH 长度之和的最大值是53百米；(2) 点D 应选择在O 与E 之间，且到点O 的距离在区间(1033，10)(单位：百米)内的任何一点处． ………………………16分19.解：（1）因为n a a b n n n =-=+1)1（，所以10432151=+++=-a a ，所以95-=a . ………………………4分 （2）（i ）因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，得 ）（k n k n k n kn a a a a ++++-+=-+)1(2)1(11，令k ＝1, ）（1212-+++-=n n n n a a a a ，……………①k ＝2，）（2312++++=+n n n n a a a a ，……………② …………………6分 由①得）（21322-++++-=n n n n a a a a ，……………③②+③得）（n n n n a a a a +=++++1122，……………④ ……………………8分①+④得n n a a 21=+，又011≠=a ，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12-=n n a ． ……………………10分（ii ）由（i ）可知S n ＝2n－1． 因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k， ………………………12分所以2t＝(2k )2－3⋅2k＋4，即2t －2＝(2k －1)2－3⋅2k －2＋1(*)．由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2．当k ＝2时，2t＝8，得t ＝3． ………………………14分当k ≥3时，由(*)，得(2k －1)2－3⋅2k －2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －2－3⋅2k －2＝0，即2k＝3，此时k 无正整数解．综上，k ＝2，t ＝3． ………………………16分 20．（1）1()x xf x e-'=，令()0f x '=，得1x =. …………………………………2分 当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(,1)-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递减，故当1x =时，()f x 的极大值为1e．………………………4分 （2）不等式()xg x ax b ≤+恒成立，即ln 0x ax b --≤恒成立，记()ln (0)m x x ax b x =-->，则1()(0)axm x x x -'=>，当0a >时，令()0m x '=，得1x a=，………………………………………………6分 当1(0,)x a ∈时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，当1(,)x a∈+∞时，()0m x '<，此时()m x 单调递减，则max 1()()ln 10m x m a b a==---≤，即ln 1b a ≥--，…8分则ln 1b a a a +≥-， 记ln 1()a n a a +=-，则2ln ()(0)an a a a'=>，令()0n a '=，得1a = 当(0,1)a ∈时，()0n a '<，此时()n a 单调递减，当(1,)a ∈+∞时，()0n a '>，此时()n a 单调递增，min ()(1)1n a n ==-，故ba的最小值为1-. ………………………10分 （3）记(1)ln ()x x x x s x e x +=-，由2123ln 2(1)0,(2)1102s s e e =>=-<-=，……12分故存在1k =，使()(1)()f x x g x =+在(1,2)上有零点，下面证明唯一性：① 当01x <≤时，()0,(x 1)()0f x g x >+<，故()0s x >，0=)(x s 在(0,1]上无解…………………………………………………………………14分②当1x >时，211ln ()x x x x s x e x -+-'=-，而2110,1ln 0,0x x x x e x -<+->>，此时()0s x '<，()s x 单调递减，所以当1k =符合题意． ……………………………16分。
江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考数学试题(word版有答案)
江苏省南京市 2020 届高三年级第一学期期初联考考试数学试题2019．9一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合{}21≤<-=x x A ，{}0≤=x x B ，则=B A ．2. 已知复数ii z +-=13（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 3. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 1600，检测结果的频率分布 直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ．4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个 三位数，则该三位数是偶数的概率是 ．5. 函数x y 2log 1+=的定义域为 ．6. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 C ：)0(116222>=-a y a x 的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为354 ，则双曲线 C 的方程为 ． 8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．9. 函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示.若函数)(x f y =在区间],[n m 上的值域为]2,2[-，则m n -的最小值是 ．10. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和.若211q a =，且725+=S S ，则首项1a 的值为 ．11. 已知是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当0<x 时，)1()(-=x x x f ．已知m 满足不等式0)1()1(2<-+-m f m f ，则实数m 的取值范围为 ．12. 已知圆O ：422=+y x 和圆O 外一点),(00y x P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点 C(8，0)和点 P 满足 PO ＝λPC ，则 的范围是 ．13. 如图，已知梯形ABCD ，AB// BC ，32=AD BC ，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若⋅=⋅2，则=ADAB ．14. 已知函数11,2121,ln 1)(<≥⎪⎩⎪⎨⎧++=x x x x x f ，若21x x ≠，且2)()(21=+x f x f ，则21x x +的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面 ABCD ，且 PA ＝AD ， 点 F 是棱 PD 的中点，点 E 为 CD 的中点．（1）证明：EF ∥平面 PAC ；（2）（2）证明：AF ⊥PC ．16．（本小题满分 14 分）在ABC ∆中，43π=A ，6=AB ，23=AC . （1）求 sinB 的值；（2）若点 D 在 BC 边上，AD ＝BD ，求△ABD 的面积．17．（本小题满分 14 分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是 由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形 的宽和长都分别为 x ，y （单位：dm ）且 x ＜y ，若剪去的正十字形部分面积为 4dm 2．（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当 x 取何值时，所用到的圆形纸 片面积最小，并求出其最小值．18．（本小题满分 16 分）已知椭圆 C ：12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为 F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为21，过点 P(4，0)的直线l 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 B 是 AP 的中点，求直线l 的方程；（3）若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点．19．（本小题满分 16 分）在数列{}n a 中，已知 21=a ，)(31n f a a n n +=+ ．（1）若 k n f =)(（k 为常数）， 143=a ，求 k ；（2）若12)(-=n n f ．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记n a b n n )1(λ-+=,且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．20．（本小题满分 16 分）已知函数 2ln )(--=x x x f ．（1）求曲线)(x f y = 在 x ＝1 处的切线方程；（2）函数)(x f 在区间(k ，k ＋1)(k ∈N)上有零点，求k 的值；（3）记函数 )(221)(2x f bx x x g ---=，设 )(2121x x x x <⋅是函数)(x g 的两个极值点，若 23≥b ，且k x g x g ≥-)()(21恒成立，求实数 k 的最大值．参考答案一、填空题1.]0,1(-2.2-3.2004.315.)21[∞+，6.177.1162022=-y x8.239.3 10.41 11.)1,0( 12.131≤≤λ 13. 33 14.),2ln 23[+∞-二、解答题15. 略16. （1）1010sin =B ；（2）3=∆ABD S . 17. （1）)2,0(；（2）当x 取554，所用到的圆形纸片面积最小，最小值为π215+. 18. （1）13422=+y x ；（2）05465=--y x 或05465=-+y x ；（3）略. 19. （1）1-=k ；（2）①略；②4819≤≤λ. 20. （1）切线方程为1-=y ；（2）3=k ；（3）k 的最大值为2ln 2815-.。
精品解析：江苏省南京市六校联合体2019-2020学年高三上学期期初数学试题(解析版)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.集合 ， ，则 中元素的个数是______．
【答案】1
【解析】
【分析】
对 中元素逐个检验后可得 中元素的个数.
【详解】 中仅有 ，故 中元素的个数为1，填1 .
【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.
3.某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生____人．
【答案】20
【解析】
【分析】
利用分层抽样方法直接求解.
【详解】由题意，应抽取高一学生 （人），
故答案是20.
【点睛】该题考查的是有关分层抽样中某层所抽个体数的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，列式求得结果，属于简单题目.
南京市六校联合体2019-2020学年度第一学期期初测试
高三数学
Ⅰ试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.已知函数 的最小正周期为4，则 =________.【Biblioteka 案】【解析】【分析】
的周期计算公式 可得答案
【详解】
由周期计算公式可得 ，解得 =
【点睛】 或 的最小正周期计算公式均为
5.已知命题“存在 ”为假命题，则实数 的取值范围是_______．
【答案】[-16,0]
2020届江苏省南京十校上学期12月高三联合调研数学试题(带答案)
2020届江苏省南京十校上学期12月高三联合调研数学试题第I 卷（选择题)第II 卷（非选择题)一、填空题1．已知集合{}1,2A =，{}1,2,3B =-，则集合A B =U ______.2．已知复数21i z i=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 . 3．根据如图所示的伪代码，则输出I 的值为______.4．某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3:3:2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，若抽取的高一年级人数为45人，则抽取的样本容量为______.5．函数f(x)=ln(1)x +____________.6．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为______.7．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.8．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()y f x ϕ=-（02πϕ<<）是偶函数，则ϕ=______.9．已知数列{}n a 是首项为1，公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，若2a ，6a ，22a 成等比数列，则10S =______.10．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：0x m +-=，点()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=.若P 点到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围______.12．如图，在ABC ∆中，AB =2AC =，2BD DC =u u u r u u u r ，E 为AC 的中点，AD 与BE 交于点F ，G 为EF 的中点.AG CF ⋅=u u u r u u u r______.13．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 14．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当[]0,4x ∈时，()()x x f x =，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]400,400-上有且仅有400个整数解，则实数a 的取值范围______.二、解答题15．已知分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，且3tan 4A =（1）若65a =，2b =，求边c 的长；（2）若()sin 10A B -=，求tan B 的值 16．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11A E AC ⊥.（1）求证：//DE 平面11AB C ；（2）求证：1A E ⊥平面BDE .17．如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点到相应准线的距离为3，离心率为12，过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB ，CD 的中点分别为M 、N .（1）求椭圆的标准方程；（2）若弦AB ，CD 的斜率均存在，且OMF ∆和ONF ∆的面积分别为1S ，2S ，试求当12S S 最大时的方程.18．如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：AB CD ∥，AB BC ⊥，75DAB ∠=︒，AD 长1千米，AB千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，B ，D 点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ -线段QP -弧PD ，其中Q 在线段BC 上（异于线段端点），QP 与弧DE 相切于P 点（异于弧端点］根据市场行情BQ ，OP 段的建造费用是每千米10万元，湖岸段弧PD 的建造费用是每千米)2013万元（步行道的宽度不计），设PAE ∠为θ弧度观光步行道的建造（1）求步行道的建造费用w 关于θ的函数关系式，并求其走义域；（2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？19．已知函数()3232f x x x x =-+，()g x tx =，t R ∈. （1）求函数()()xf x e x xϕ⋅=的单调增区间； （2）令()()()h x f x g x =-，且函数()h x 有三个彼此不相等的零点0，m ，n ，其中m n <. ①若12m n =，求函数()h x 在 x m =处的切线方程； ②若对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，求实数t 的去取值范围.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足23a =，2420S S +=，数列{}n b 是首项为2，公比为q （0q ≠）的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若11k r r k a b a b a b +=+=+，求实数q 的最大值；（3）若数列{}n c 满足,21,2k n k a n k c b n k=-⎧=⎨=⎩，k *∈N ，其前n 项和为n T ，当3q =时，是否存在正整数m ，使得221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项？若存在，求岀m 的值；若不存在，说明理由. 21．已知点()2,2P ，在矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为点()4,6Q . （1）求a 和b 的值；（2）若直线l 在M 对应的变换作用下变为直线20x y +=，求直线l 的方程.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1,232,x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是42sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求线段AB 的长.23．设函数()22f x x x =-++，若不等式242a b a b a --+≤()f x 对任意a ，b R ∈，且0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP EF P .25．甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）求第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率.参考答案1．{}1,1,2,3-【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】∵集合{}1,2A =，{}1,2,3B =-∴集合{}1,1,2,3A B ⋃=-.故答案为：{}1,1,2,3-．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．1【解析】 试题分析：22(1)=112i i i z i i -==++，所以实部为1 考点：复数概念3．10【解析】【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S ，I 的值，直到S 不满足条件跳出循环，输出I 的值即可．【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1I =.满足条件12S ≤，执行循环体，2S =，4I =；满足条件12S ≤，执行循环体，6S =，7I =；满足条件12S ≤，执行循环体，13S =，10I =；不满足条件12S ≤，退出循环，输出I 的值为10.故答案为：10.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S ，I 的值是解题的关键，属于基础题．4．120【解析】【分析】设样本容量为n ，由抽取的高一年级人数为45人，利用分层抽样的性质能求出抽取的样本容量．【详解】某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3：3：2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，设样本容量为n .∵抽取的高一年级人数为45人 ∴332451203n ++=⨯=. 故答案为；120.【点睛】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．(]1,2-.【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组，解不等式组可得函数的定义域．【详解】由题意得21040x x +>⎧⎨-≥⎩，解得12x -<≤， 所以函数的定义域为(]1,2-．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，可根据解析式的特征得到关于自变量x 的不等式（组），解不等式（组）后可得函数的定义域．6．1 3【解析】【分析】先求出基本事件总数326n=⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m=⨯=，由此能求出两人均未抽到标有数字3的卡片的概率．【详解】甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），基本事件总数326n=⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m=⨯=，则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163mpn===.故答案为：13．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．y x=【解析】【分析】利用双曲线的离心率求出a，b关系，然后求解渐近线方程即可．【详解】由已知可知离心率32cea==，2222294c a ba a+==，即2254ba=.∵双曲线22221x ya b-=的焦点在x轴上∴该双曲线的渐近线方程为by xa=±，即y x=.故答案为：y x=.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．512π 【解析】【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的对称性的应用求出结果．【详解】∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴函数()sin 223y f x x πϕϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ ∵函数()y f x ϕ=-（02πϕ<<）是偶函数 ∴232k ππϕπ-+=+，k Z ∈ ∴212k ππϕ=--，k Z ∈ ∵02πϕ<<∴当1k =-时，512πϕ=. 故答案为：512π. 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．145【解析】【分析】设等差数列的公差为d ，0d >，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d ，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >. ∵2a ，6a ，22a 成等比数列∴26222a a a =，即()()()2111521a d a d a d +=++.∴133d a ==∴101104510453145S a d =+=+⨯=. 故答案为：145． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 10．12【解析】 【分析】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，根据容积为128π个立方单位可得2128r h ππ=，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值． 【详解】设圆柱的高为h ，底面半径为r .∵该圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位 ∴2128r h ππ=，即2128h r=. ∴该圆柱形的表面积为222212825622222S r rh r r r r rππππππ=+=+⋅=+. 令()22562g r r r ππ=+，则()22564g r r r ππ'=-. 令()0g r '>，得4r >； 令()0g r '<，得04r <<.∴()g r 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增. ∴当4r =时，()g r 取得最小值，即材料最省，此时12r h =.故答案为：12. 【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题． 11．()9,3- 【解析】 【分析】设(),P x y ，由已知列式求得点P 的轨迹方程，可得P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上，把P 点到直线l 的距离恒小于8，转化为圆心到直线的距离小于3列式求解，即可得到m 的取值范围． 【详解】 设(),P x y .∵()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=∴()()2222237x y x y ⎡⎤+--+=⎣⎦，即()22325x y ++=. ∴P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上 ∵P 点到直线l：0x m +-=的距离恒小于83<，解得93m -<<.故答案为：()9,3-. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 12．34-【解析】 【分析】根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r ，再根据B ，F ，E 三点共线，设()112AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即可求出λ，从而得出AF u u u r ，CF uuur ，进而求出AG CF ⋅u u u r u u u r的值.【详解】根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r∵F ，E ，B 三点共线∴设()112AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴23132λμλμ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得34λ=∴1124AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，11132448AG AF AE AB AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1324CF CA AF AB AC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴2211313119224242416AG CF AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∵AB =2AC =，∴11933424164AG CF ⎛⎫⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r故答案为：34-. 【点睛】本题考查了向量数乘的几何意义，向量减法的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算和推理能力，属于中档题． 13．19【解析】 【分析】将不等式两边同乘以31a b+，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】∵0a >，0b >，且31126a b a b++≤+ ∴()23131126a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()31361863631126312156b a b a a b a b a a b b ab a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()313131126156276a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当6a b =时取等号.令()310t t a b+=>，原不等式转化为2276t t +≤，解得9t ≥. ∴1113139ab a b t a b ==≤++故答案为：19.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．31223e ,e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】由已知条件可知函数()f x 关于直线4x =对称，周期为8，故不等式()()20f x af x +>在区间[]0,8上有且仅有4个整数解，作出函数图象，进而得解． 【详解】∵()f x 满足()()44f x f x +=- ∴函数()f x 关于直线4x =对称 ∵函数()f x 为偶函数 ∴()()()8f x f x f x +=-=∴()f x 周期为8，则在区间[]400,400-上有100个周期 ∵()()20f x af x +>在[]400,400-上有且仅有400个整数解 ∴()()20fx af x +>在[]0,8有且仅有4个整数解当04x ≤≤时，()()xxf x =，则()()112xx f x -'=.∴令()0f x '>，则02x ≤<，()f x 在[)0,2上单调递增；令()0f x '<，则24x <≤，()f x 在(]2,4上单调递减，其中()22f e=. 做出函数在区间[]0,8上的图象如图所示：∵()1f =，()()31f f =>，()()20f x af x +>在[]0,8上有4个整数解，则()f x a >-在[]0,8上有4个整数解.a ≤-<∴a <≤. 故答案为：31223e ,e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数性质的运用及导数在解决函数问题中的应用，考查数形结合思想及转化能力，属于较难题目． 15．（1）85c =；（2）13【解析】 【分析】（1）由正切值可得0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而可求得sin A 与cos A ，再由余弦定理即可求得边c 的值；（2）根据()sin A B -=，求得()cos A B -，进而求得()tan A B -，从而可求出tan B 的值. 【详解】（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =. （2）由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()0,B π∈，得,2A B ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭. 又()sin 010A B -=>，则0,2A B π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则()cos 0A B ->.所以()cos A B -==，所以()()()sin 1tan cos 3A B A B A B --==- 所以()()()31tan tan 143tan tan 311tan tan 3143A AB B A A B A A B---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅. 【点睛】考查余弦定理及两角差的正弦公式，给出一个角的三角函数值，求其他三角函数值，属于简单题．16．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，即可证明1//DE AC ，从而可证//DE 平面11AB C ；（2）先根据ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点，证出BD AC ⊥，再根据平面11AA C C ⊥平面ABC ，得到BD ⊥平面11AAC C ，从而得到1BD A E ⊥，结合11A E AC ⊥，即可得证． 【详解】（1）∵D ，E 分别是AC ，1CC 的中点 ∴1//DE AC∵DE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ∴//DE 平面11AB C .（2）∵ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点 ∴BD AC ⊥∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C I 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ∴BD ⊥平面11AAC C ∵1A E ⊂平面11AAC C ∴1BD A E ⊥∵11A E AC ⊥且1//DE AC ∴1A E DE ⊥∵DE ，BD ⊂平面BDE ，且DE BD D ⋂= ∴1A E ⊥平面BDE . 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．17．（1）22143x y +=；（2）10x y +-=或10x y --= 【解析】 【分析】（1）直接根据椭圆的几何性质得到a ，b 的值；（2）设出直线AB 的方程与椭圆方程联立，求出OMF ∆的面的表达式，同理求出ONF ∆的面积不等式，从而可求出12S S ，利用基本不等式即可求其最大值，从而得解. 【详解】（1）由题意：23a c c-=，12c e a ==，则2a =，1c =，b =22143x y +=. （2）由题意可得()1,0F .∵AB ，CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：()1y k x =-（0k ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∴由()221,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()22223484120k x k x k +-+-=. ∴2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，则22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.∴同理可得2243,3434k N k k ⎛⎫⎪++⎝⎭∴()12312234M k S OF y k =⋅⋅=+，()22312234Nk S OF y k =⋅⋅=+ ∴()21242229911441225121225k S S k k k k ==⋅⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，∵2212k k +≥，当且仅当221k k=即1k =±时取等号 ∴当1k =±时，12S S 最大，此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值等，考查函数最值，重要不等式，属于难题. 18．（1）)1cos 25101sin 312w θπθθ⎡-⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，定义域：5,412ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3πθ=时，步行道的建造费用最低. 【解析】 【分析】（1）以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，可得»DE所在圆的方程为221x y +=，可得()cos ,sin P θθ，从而求得PQ 所在直线方程，与BC 所在直线方程联立求得Q 坐标，即可得到BQ 与PQ ，再由弧长公式求»DP的长，再根据QP 与»DE 相切于P 点（异于弧端点）与512DAB π=∠，即可求得函数关系式与其定义域； （2）令()1cos 25sin 312f θπθθθ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用导数求使步行道的建造费用最低时的θ值．【详解】（1）以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则»DE所在圆的方程为221x y +=，()cos ,sin P θθ，)B ，直线PQ ：cos sin 1x y θθ+=.∵直线BC的方程为x =∴1sin Q θθ⎫⎪⎪⎭.所以BQ =，PQ =，弧PD 长512πθ=-，所以)2011cos 510sin sin 312w θθπθθθ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得)1cos 25101sin 312w θπθθ⎡-⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∵QP 与»DE 相切于P 点（异于弧端点），512DAB π=∠ ∴定义域：5,412ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （2）令()1cos 25sin 312fθπθθθ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求导得()21cos 2sin 3f θθθ-'=-，令()21cos 20sin 3f θθθ-'=-=， cos 1θ=（舍去），1cos 2θ=，3πθ=，所以当3πθ=时，()fθ最小，即w 最小，当3πθ=时，步行道的建造费用最低.【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查直线与圆位置关系的应用，利用导数求最值，是中档题．19．（1）单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭；（2）①1y x =-+，②124t -<<或211t <≤ 【解析】 【分析】（1）先求得函数()()xf x e x xϕ⋅=，对函数()x ϕ求导，令()x ϕ'大于零，解不等式即可求得单调增区间；（2）易知3m n +=，2mn t =-，①求出m ，n 的值，进而求得切线方程；②由对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，可得()max 16h x t ≤-，分302m n <<<与0m n <<两种情况讨论，从而可求得t 的取值范围． 【详解】（1）∵()()x f x e x xϕ⋅=，()3232f x x x x =-+∴()()232xx x x e ϕ=-+∴()()21xx x x e ϕ'=--，令()0x ϕ'>，得12x -<x >∴()x ϕ的单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭.（2）由方程()0h x =，得m ，n 是方程()2320x x t -+-=的两实根，故3m n +=，2mn t =-，且由判别式得14t >-.①若12m n =，得1m =，2n =，故22mn t =-=，得0t =，因此()11h '=-，故函数()h x 在1x =处的切线方程为1y x =-+. ②若对任意的[],x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以()max 16h x t ≤-. 因为3m n +=，m n <，所以302m n <<<或0m n <<. 当302m n <<<时，对[],x m n ∈有()max 0h x =，所以016t ≤-，解得16t ≤.又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<；当0m n <<时，()()2362h x x x t '=-+-，则存在()h x 的极大值点()1,0x m ∈，且211362t x x =-+.由题意得()()3211113216h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥进而得到()3118x -≥-，得110x -≤<. 又因为211362t x x =-+，得211t <≤.综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查导数的几何意义，考查运算求解能力及分类讨论思想，属于中档题．本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等． 20．（1）21n a n =-；（2）12-；（3）存在，1m =或2m = 【解析】 【分析】（1）根据等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足23a =，2420S S +=，可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据k ，t ，r 成等差数列与11k r r k a b a b a b +=+=+，推导出2t k rq q q +=，从而得出()2r k t k -=-，令t k n -=，则2210n nq q --=，从而可得q 的最大值；（3）根据题设条件可得()2221212212131333131m m m m m m T m T m m ----+-==-≤+-+-，再利用221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项，可得只能为1c ，2c ，3c ，利用分类思想，即可求出m 的值． 【详解】（1）等差数列中，23a =，2420S S +=，111324620a d a d a +=⎧∴⎨+++=⎩解得11a =，2d =，21n a n ∴=-. （2）正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若k t t r r k ab a b a b +=+=+，111212212212t r k k q t q r q ---∴-+=-+=-+，11t r t k q q --∴-=-，11r k r t q q ---=-又t k r t -=-1111t r r k qq q q ----∴-=-整理可得2t k r q q q +=.210r k t k q q --∴--=.又t k r t -=-，()2r k t k ∴-=-，令t k n -=，则2210n nq q --=，12n q ∴=-或1. 又1q ≠±，12nq ∴=-.∴n 为奇数，10q -<<，112n q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为递减数列∴当1n =时，q 取最大值12-. （3）由题意得()()2221312131213mm mm m Tm -+-=+=+--，2112212312331m m m m m m T T c m m ---=-=+--⋅=+-.()2221212212131333131m m m m m m T m T m m ----+-∴==-≤+-+- 若221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项只能为1c ，2c ，3c ， 第一类：若21211mm T c T -==，则130m -=，所以m 无解；第二类：若221212mm T c b T -===，则12310m m --+=.由题意1m =不符合题意，2m =符合题意.当3m ≥时，令()1231x f x x -=-+（3x ≥），则()13ln32x f x x -'=-，设()13ln32x g x x -=-，则()()213ln320x g x -'=->，即()f x ¢为增函数，故()()30f x f ''≥>，()f x \为增函数.故()()310f x f ≥=>，即当3m ≥时，12310m m --+=无解，即2m =是方程唯一解.第三类：若232213mm T c a T -===，则21m =，即1m = 综上所述，1m =或2m =. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题． 21．（1）0a =，2b =；（2）30x y += 【解析】 【分析】（1）由矩阵的点变换可得a ，b 的方程组，解方程可得a ，b 的值；（2）设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为(),P x y '''，由点变换可得方程，即可得到所求直线l 的方程． 【详解】（1）224126a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，424226a b +=⎧⎨+=⎩解得02a b =⎧⎨=⎩，∴0a =；2b =.（2）由（1）知2021M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，M T ：202212x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为(),P x y '''，则00022x x y x y ='=+'⎧⎨⎩.∵20x y ''+=，∴()0002220x x y ++=即0030x y +=， ∴直线l 的方程为30x y +=.【点睛】本题考查矩阵的点变换，考查方程思想和运算能力，属于基础题．22．（1）l 20y -+=，C ：()()22228x y -+-=；（2）【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）由（1）可得曲线C 是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得AB 的长. 【详解】（1）由题意可得直线l 20y -+=，由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得24cos 4sin ρρθρθ=+，即2244x y x y +=+，所以曲线C ：()()22228x y -+-=.（2）由（1）知，圆()2,2C ，半径r =∴圆心到直线l 的距离为：d ==∴AB ===【点睛】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题． 23．52x ≤-或52x ≥ 【解析】 【分析】先由()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=，可得()5f x ≥，从而可得实数x 的范围. 【详解】()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=Q又0a ≠Q0a ∴>，由题意，得()5a a f x ≤.∴()5f x ≥，则225x x -++≥，解得52x ≤-或52x ≥. ∴x 的取值范围是52x ≤-或52x ≥ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的几何性质及求解方法，考查学生对基础知识的掌握情况.24．（1）24y x =；（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据抛物线的焦点在直线10x y +-=上，可求得p 的值，从而求得抛物线的方程； （2）法一：设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，可得A ，B ，D ，E 的坐标，进而可得直线AB 的方程，根据F 在直线AB 上，可得4ab =-，再分别求得AP k ，EF k ，即可得证；法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据直线AB 的斜率不为0，设出直线AB 的方程为1x my -=，联立直线AB 和抛物线C 的方程，结合韦达定理，分别求出AP k ，EF k ，化简AP EF k k -，即可得证. 【详解】（1）抛物线C 的焦点F 坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且该点在直线10x y +-=上，所以102p-=，解得2p =，故所求抛物线C 的方程为24y x = （2）法一：由点F 在线段AB 上，可设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，则2,4a A a ⎛⎫⎪⎝⎭，2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,D a -，()1,E b -.∴直线AB 的方程为222444b aa y a xb a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，即()40x a b y ab -++=.又点()1,0F 在线段AB 上，∴4ab =-. ∵P 是DE 的中点，∴1,2a b P +⎛⎫- ⎪⎝⎭∴224224142APa ba a a k a a a ++-===++，4222EF AP b a k k a -====--.由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB 的方程为1x my -=联立直线AB 和抛物线C 的方程214x my y x-=⎧⎨=⎩，得2440y my --=又1y ，2y 为该方程两根，所以124y y m +=，124y y =-，()()112121112121APy y y y y kx x -+-==++，22EF y k =-. ()()()()()211121122112111114144021111AP EFy y y y y y y y x y y x k k x x x x -++-+++-=====++++，EF AP k k = 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．25．（1）分布列见解析，()7427E ξ=；（2）2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分别求出点数不大于4的概率和大于4的概率，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4，进而可得甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，进而得出()1121133n n n P P P --=⋅+-⋅，从而可得1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，根据213P =，结合等比数列，即可得到n P . 【详解】（1）由已知，掷出的点数不大于4的概率为23，大于4的概率为13，抛掷4次，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4.()1224133327P ξ==⋅⋅=，()2121111217233333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()2212111128333333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()2228433327P ξ==⋅⋅=，分布列：则()47887412342727272727E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅= （2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，所以，()111211113333n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=+（3n ≥）， 所以，1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=（3n ≥），又213P =，所以，21126P -=- 所以，当2n ≥，n *∈N 时，12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则2111263n n P -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以，2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识点是随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，关键是对题意的理解，是难题.。
2020年江苏省南京市新城中学高三数学理联考试题含解析
2020年江苏省南京市新城中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果执行右边的程序框图，输入=，那么输出的结果是（）A．9 B．3 C． D．参考答案：C略2. 已知函数是上的偶函数，且，当，则函数的零点个数（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：D3. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．1 B． C ．D．参考答案：D略4. 函数的反函数是(A) (B)(C) (D)参考答案：答案：D5. 在△ABC中，若，则△ABC是………………………………（）A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形参考答案：B6. 已知为等差数列,若,则的值为（）A．B．C．D．参考答案：A略7. 设集合 M={ x | x 2+3 x+2<0} , 集合 , 则M∪N= （）A．{ x | x-2} B．{ x | x>-1} C．{ x | x<-1} D．{ x | x -2}参考答案：A【知识点】集合及其运算A1∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|-2＜x＜-1}，集合N={x|()x≤4}={x|2-x≤22}={x|-x≤2}={x|x≥-2}，∴M∪N={x|x≥-2}，【思路点拨】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．8. 设直线x=k 与函数的图像分别交于点M,N,则当达到最小时k的值为A．1 B． C．D．参考答案：D9. 已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC==，∴V P﹣ABC=V A﹣PBC==，∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故选：D．10. 如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是( )A、 B、 C、 D、参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则f[f（﹣2）]=．参考答案：【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据解析式从内到外逐次求解．【解答】解：根据题意：f（﹣2）=22﹣1=3，所以，故答案为．【点评】本题考察函数求值，属基础题．关键是根据自变量选择对应的解析式．12. 设，定义P ※Q＝，则P※Q中元素的个数为 .参考答案：1213. 14．已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是____________．参考答案：（-7,3）14. 复数在复平面内对应的点位于第象限.参考答案：四15. （5分）设m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a﹣b=km（k∈Z，k≠0），我们称a、b模m同余，用符号a=b（Modm）表示；在6=b（Modm）中，当，且m＞1时，b的所有可取值为．参考答案：2或3或4由两个数同余的定义，可得6=b（Modm）中，则称6﹣b=km（k是非零整数），即6=b+km，又∵，且m＞1，∴m是6的正约数，可得m=2、3或6①当m=2时，6=b+2k，可得b=2或4符合题意；②当m=3时，6=b+3k，可得b=3符合题意；⑥当m=6时，根据定义不符合题意，舍去故答案为：2或3或416. 已知实数满足约束条件，则的取值范围是参考答案：[－1，1]17. 圆C：的圆心到直线的距离是．参考答案：3圆C化成标准方程为，圆心为，到直线的距离，故答案为：3.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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江苏省南京市2020届高三数学上学期期初联考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A I B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤ 【解析】 【分析】根据交集定义直接求得结果.【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2．【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200. 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯=∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4.现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______．【答案】13. 【解析】 【分析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.5.函数21log y x =+______．【答案】1[,)2+∞ 【解析】 【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由21log 0x +≥，得12x ≥， ∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题.6.运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17 【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 考点：循环结构流程图7.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为53，则双曲线C 的方程为_______． 【答案】2212016x y -=.【解析】 【分析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程.【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+，解得：220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】 分析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ== 本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9.函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-，2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3. 【解析】 【分析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果.【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭Q 2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10.在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______．【答案】14. 【解析】 【分析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q -=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果.【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=Q ，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q = 114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11.已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】(0，1). 【解析】 【分析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】()f x Q 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x Q 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=o Q ，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==o，即220016x y += 又PC =PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y +=Q 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式.13.如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】 【分析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD uuu v ，AB u u u v表示出CD uuu v ，FA u u u v ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD =u u u v u u u v ，从而得到结果.【详解】作//FG AD ，交BD 于点GAED FEG ∆∆Q : GF EG AD DE ∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+== 又23BC AD =，可得：2DE EG = 3344DF DG EG DC DB EG ∴=== 2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB =++=++=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v Q()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v22133********2FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v又2AB AD FA CD ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 223122AB AD ∴=u u u v u u u v ，即223122AB AD =u u uv u u u v33AB AB AD AD ∴==u u u v u u u v 本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14.已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是________.【答案】[32ln 2,)-+∞ 【解析】 【分析】首先可根据题意得出12x x 、不可能同时大于1，然后令121x x <<，根据()()122f x f x +=即可得出122212ln x x x x +=-+，最后通过构造函数()()12ln 1g x x x x =-+>以及对函数()()12ln 1g x x x x =-+>的性质进行分析即可得出结果。