图论：图的基本概念

6.6 哈密顿图 G 的生成路就是包含 G 的所有顶点的路 图 G 的一条生成路称为 G 的哈密顿路。G 的一个包含所有顶点的圈称为 G 的一个
哈密顿圈。 具有哈密顿圈的图称为哈密顿图 (1)判定 设 G 是一个有 p 个顶点的图,p≥3.如果(G)≥p/2,则 G 是一个哈密顿图 (P108) (2)性质 定义图 G-S 的支数为(G-S) 设 G=(V,E)是哈密顿图,则对 V 的每个非空子集 S,均有(G-S)≤S，其中
1.显然，两个顶点 u 与 v 在 Gc 中邻接,当且仅当 u 与 v 在 G 中不邻接 2.对任一有 6 个顶点的图 G,G 中或 Gc 中有一个三角形，即：在任何 6 个人的 团体中,存在 3 个互相认识的人或三个互不认识的人(P65) (2)偶图 如果 G 的顶点集 V 有一个二划分{V1,V2}；使得 G 的任一条边的两个端点一个 在 V1 中,另一个在 V2 中, 那么 G=(V,E)称为偶图，有时记为((V1,V2),E) 如果uV1,vV2 均有 uvE,则这个偶图称为完全偶图,并记为 K(m,n)或 Km,n, 其中V1=m,V2=n； 显然的，完全偶图有 m×n 条边 1.偶图又称为二分图、二部图、双图、双色图(之后会说明) 2.性质
设 v 为图 G=(V,E)的任一顶点,G 中与 v 关联的边的数目称为顶点 v 的度,记为
degv.
(1)性质
1.设 G=(V,E)是一个具有 p 个顶点 q 条边的图,则 G 中各顶点度的和等于
边的条数 q 的两倍,即
∑
������
∈
������������������������
������
=
(7)定义图的两点之间的距离：
u 和 v 是 G 的顶点。联结 u 和 v 的最短路的长称为 u 与 v
之间的距离,并记为 d(u,v)；同时，如果 u 与 v 之间没有路,则定
义 d(u,v)=∞
2.连通图
设 G=(V,E)是图,如果 G 中任两个不同顶点间至少有一条路联结,则称 G 是一
个连通图
G-S 是从 G 中去掉 S 中那些顶点后所得到的图
n(n ‒ 1)
显然的，Kn 有 2 条边
2.有向图简介 设 V 为一个非空有限集：A VV\{ (u,u) V }, 二元组 D=(V, A)称为一个有
向图,V 中的元素称为 D 的顶点,A 中元素(u,v)称为 D 的从 u 到 v 的弧或有向边 Tips: (1)有向图不做要求 (2)有向图中不能有自己指向自己的圈
如果允许两个顶点之间有两个以上的边存在，这样的边称为多重边，允 许有多重边存在的称为多重边图 Tips:
允许有环与多重边存在的图，我们称为伪图 (9)零图
设 G=(V,E)为无向图,如果 E=,则称 G 为零图 于是，n 个顶点的零图称为 n 阶零图 (10)完全图
设 G=(V,E)为无向图,如果 G 中任意两个顶点间都有唯一的边，则称 G 为 完全图。于是，n 个顶点的完全图用 Kn 表示
3.子图 设 G = (V, E)是一个图，图 H = (V1, E1)称为 G 的一个子图, 其中 V1 是 V 的非
空子集且 E1 是 E 的子集 如果 G1 是 G 的子图,则说 G 包含 G1
Tips:
1.注意，顶点集合非空
∑ 2.显然的，Kn 有
p
k(k ‒ ������)
������(������,������)·2 ������ 个子图
设 G 是一个连通图，则下列命题等价： (1)G 是一个欧拉图 (2)G 的每个顶点的度都是偶数 (3)G 的边集能划分成若干互相边不相交的圈
(3)延伸---欧拉迹 1.包含图的所有顶点和边的迹称为欧拉迹 判定 图 G 有一条欧拉迹当且仅当 G 是连通的且有两个奇度顶点 2.一笔画问题 若每个顶点的度均为大于或等于 2 的偶数,图又是连通的,则这个图能 一笔画出,并且最后还能回到出发点。
������ = ������
k(������ ‒ ������)
(先从 p 个顶点中选出 k 个(k>0),一个 Kk 有 ������ 条边，于是，每条边的
去留就构成选择，由乘法原理得出)(?)
(1)真子图
G1 是图 G 的两个子图，如果 G1G,则称 G1 是 G 的真子图 (2)生成子图
设 G=(V,E)是一个图, 如果 FE,则称 G 的子图 H=(V, F)为 G 的生成子图
(2)表示 任意一条边都可用它的两个端点来表示，如 x=uv(或 x=vu)，用小写的
英文字母 u,v,w 表示图的顶点(可以带下标)，常用小写的英文字母 x,y,z 表示 图的边(可以带下标) (3)(p, q)图 如果V = p, E = q，则称 G 为一个(p, q)图，即 G 是一个具有 p 个顶点 q 条 边的图。 特别的：称(1,0)图又称为平凡图 (4)顶点之间邻接 如果{u, v}E，则称 u 与 v 邻接 (5)顶点和边的关联(四种表达图的边的方法) 1.x=uv(x=vu) 2.u 和 v 时边 x 的端点 3.顶点 u 和 v 与边 x 互相关联 4.u 和 v 邻接 (6)边与边的邻接
(2)当 v0=vn 时，则称此通道为闭通道(回路/复杂回路) (3)在计算通道的长时，重复走过的边重复计算
(4)如果一条闭通道上的各边互不相同，则此闭通道称为闭迹(简单回
路)
(5)如果闭通道上各顶点互不相同,则称此闭通道为圈,或回路(初级回
路)
(6)可见，迹和路是通道的特例，闭迹和回路是闭通道的特例。
������(������) = ������������������{������������������ ������}
������ ∈ ������
由此，定义 r 度正则图当(G)=(G)=r 4.每个三次图均有偶数个顶点。 5.度为零的顶点称为孤立顶点,0 度正则图就是零图 6.3 路、圈、连通图 1.通道，闭通道； ->迹，闭迹； ->路，回路 --------------------------------------------------------
若 x 与 y 是图 G 的两条边,并且仅有一个公共端点,即 x∩y=1,则称边 x 与 y 邻接 (7)图的关系表示
一个无向图 G 就是一个非空集合 V 上定义的一个反自反且对称的二元关 系 E 和 V 构成的系统 (8)伪图 1.带环图
联结一个顶点与其自身的边称为环，允许有环存在的图称为带环图 2.多重边图
(2)判定
Baidu Nhomakorabea
设 G=(V,E)是一个有 p 个顶点的图,若对 G 的任两个不邻接的顶点 u
和 v:degu+degv≥p-1,则 G 是连通的(P54)
(3)性质
(1)设 G=(V,E)是至少有一个顶点不是孤立顶点的图,如果uV,degu
为偶数,则 G 中有圈(简记：有边偶度就有圈)(证明：最长路)(P56)
图称为由 S 导出的子图,记为<S>. 形式地,<S>=(S,P 2(S)∩E). Tips：
(1)导出子图是极大子图的一种，其指明的性质是：包含若干顶点
(2)顶点关联的边也会去掉
表示：
设 G=(V,E),vV,由 V\{v}导出的子图<V\{v}>记成 G-v.从图的图
解上看,G-v 的图解是从 G 的图中去掉顶点 v 及与 v 关联的边所得到
Tips:
1.生成子图中包含原图的所有顶点
n(������ ‒ ������)
2.显然的，Kn 有2 ������ 生成子图
表示
设 x 是 G 的一条边,则 G 的生成子图(V,E\{x})简记为 G-x(生成子
图只能去边)
如果 u 和 v 是 G 的两个不邻接的顶点,则图(V,E∪{u,v})简记成
(1)性质 (1)具有 n 个定点的有向图有 2n+1 个(?)
(2)基本术语 1.弧,对称弧---->边: 有向图的边也叫做弧。如果 x=(u,v)与 y=(v,u)均为 A 的弧,则称 x 与 y 为一对对称弧 2.弧的起点和终点---->边的端点 如果 x=(u,v)是有向图的一条边，则称弧 x 为起于顶点 u 终于顶点 v 的弧,或从 u 到 v 的弧，u 称为 x 的起点,v 为终点 3.定向图---->None 不含对称弧的 有向图称为定向图
第六章 图的基本概念 6.2 无向图的基本定义
设 V 是一个非空集合,EP2(V), 二元组(V,E)称为一个无向图,V 中元素称为无向图 的顶点，V 为顶点集；E 的元素称为图的边，E 称为边集。(P(V)是 V 的子集) 1.基本术语
(1)简单图 如果一个图的： 1.每个顶点都没有圈 2.任意两个顶点间最多只有一条边
G+uv,它是在 G 的图解中,把 u 与 v 间联一条线而得到的图
(3)极大子图
设 G 的子图 H 具有某种性质,若 G 中不存在与 H 不同的具有此性质且包
含 H 的真子图,则称 H 是具有此性质的极大子图
Tips:
极大子图必须指明时什么性质
极大子图必须是子图
(4)导出子图
设 S 为图 G=(V,E)的顶点集 V 的非空子集,则 G 的以 S 为顶点集的极大子
(2)如果图 G 中的两个不同顶点 u 与 v 间有两条不同路联结，则 G
中有圈
(3)设 G 是一个(p, q)连通图,则 q≥p-1
6.4 补图、偶图
(1)补图和自补图
设 G=(V,E)是一个图,图 Gc=(V, P2(V)\E)称为 G 的补图。如果 G 与其补 Gc 同 构,则称 G 是自补图
的图解
4.图的同构
设 G=(V,E),H=(U,F)是两个无向图.如果存在一个一一对应:VU,使得 uvE
当且仅当(u)(v)F,则称 G 与 H 同构,记为 GH
仅考虑图的几何表示，则同构的图可以在变换后重合
乌拉姆猜想
设 G=(V,E),H=(U,F)是两个图，V={v1,v2,...,vp}，U={u1,u2,...,up},p≥3. 如果对每个 i,G-viH-ui,则 GH 5.顶点的度(这是一个非常重要的概念，就像矩阵的秩一样)
图 G 为偶图的充分必要条件是它的所有圈都是偶数长 6.5 欧拉图
包含图的所有顶点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹,存在一条欧拉闭迹的图称为欧拉 图 Tips:
注意：是欧拉图包含一条欧拉闭迹 (1)判定
图 G 是欧拉图当且仅当 G 是连通的且每个顶点的度都是偶数(注意偶图 的充要条件)
于是，度数都是偶数的连通图由 n 个圈构成 (2)性质
������������
2.任一图中,度为奇数的顶点的数目必为偶数(总度数是偶数)
3.显然,对(p,q)图的每个顶点 v,有 0≤degv≤p-1，记
������(������) = ������������������{������������������ ������}
������ ∈ ������
--------------------------------------------------------
定义
别名
相关量
特例
通道
图的顶点和边 通路、复杂通 通道的长
闭通道
的交错序列
路
(1)
(2)
迹
各边互不相同 简单通路
无
闭迹
的通道
(4)
路
各顶点互不相 初级通路
无
圈
同的通道
(5)
Tips:
(1)对 v0,x1,v1,x2,v2,x3,...,vn-1,xn,vn, 其中 xi=vi-1vi,i=1,2,...,n,称 n 为通 道的长。这样的通道常称为 v0-vn 通道，并简记为 v0v1v2...vn
图 G 的极大连通子图称为 G 的一个支(指定性质：连通)
(1)等价关系与图
复习：等价：自反/传递/对称
设 G=(V,E)是一个图,在 V 上定义二元关系 R 如下:u,vV, uRv 当且
仅当 u 与 v 之间有一条路，则 R 是 V 上的等价关系，G 的支就是关于 R
的每个等价类的导出子图(P51)