高考数学一轮复习专题14圆锥曲线与方程(教师版)
高考数学一轮复习专题训练—圆锥曲线的定值问题
圆锥曲线的定值问题题型一 长度或距离为定值【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，求证：点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值．(1)解 ∵椭圆C 的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，bc ＝1， ∴b ＝c ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝±2， 点F 1，F 2到直线l 的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝－8(m 2－2k 2－1)＝0， ∴m 2＝1＋2k 2，点F 1到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，点F 2到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 2＝|k ＋m |k 2＋1.∴d 1d 2＝|－k ＋m |k 2＋1·|k ＋m |k 2＋1＝|m 2－k 2|k 2＋1＝|2k 2＋1－k 2|k 2＋1＝1.综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值1.感悟升华 圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． 证明 当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33， 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2，同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1， 设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值． 题型二 斜率或其表达式为定值【例2】 (2020·兰州诊断)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2(即为定值)．【训练2】 (2021·大同模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝⎛⎭⎫e ，345在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2， 又点⎝⎛⎭⎫e ，354在椭圆上，∴e 24＋4516b2＝1， 又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程组解得b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设点P 的坐标为(s ，t )，点M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)， 则直线AP 的方程为y ＝t s ＋2(x ＋2)，故M ⎝⎛⎭⎫m ，ts ＋2(m ＋2)，故直线BM 的斜率k 1＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)，同理可得直线AN 的斜率k 2＝t (m －2)(s －2)(m ＋2)，故k 1k 2＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)×t (m －2)(s －2)(m ＋2)＝t 2s 2－4，又点P 在椭圆上，∴s 24＋t 23＝1，∴t 2＝－34(s 2－4)，∴k 1k 2＝－34(s 2－4)s 2－4＝－34.即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值．题型三 几何图形面积为定值【例3】 (2021·昆明诊断)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E上，点A (a,0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋e 2b 2＝1，e ＝ca ，c 2＝a 2－b 2，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3.所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29，则k 1k 2＝1－t 29t×－1－t 29t＝－1－t 29t 2＝－19，解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1消去y 并整理，得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)＝36(9k 2－m 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－18km9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19， 化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0.|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1.又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OMN ＝12×|MN |×d＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k 2＝3|m |2m 2－m 22m 2＝32.综上可知，△OMN 的面积为定值32.感悟升华 探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．【训练3】 已知点F (0,2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值．若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由．解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0,2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y 消去x 整理得x 2－8kx －8b ＝0.则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k,4k 2＋b )．由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y 消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ，∴点C 的坐标为(4k,2k 2)． ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2，∴b ＝(m 2＋1)2－64k 232.∴S △ABC ＝12|CQ |·|x 2－x 1|＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1)＝(m 2＋1)364，∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值．1．(2021·洛阳高三统考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点． (1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求证：2|MN |2|FN |为定值．(1)解 由题意知直线l 的斜率存在且不为0， 故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1) 即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1－t ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＋4t ＝0， ∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)＞0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)证明 ∵抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，∴焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px，得y 2－2pty －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2＞0. ∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ， ∴M ⎝⎛⎭⎫pt 2＋p2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝⎛⎭⎫x －pt 2－p2. 令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p2，N ⎝⎛⎭⎫pt 2＋3p 2，0， ∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p2＝pt 2＋p ， ∴2|MN |2|FN |＝2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p＝2p ，为定值．2．(2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．(1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1, a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)． 所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝⎛⎭⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13，使得|DQ |为定值．。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：圆锥曲线中探索性与综合性问题
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率 之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求 此时直线l的方程；若不能，请说明理由.
由(1)得M(2,1)， 设点 Ax1，x421，Bx2，x422， 则 kMA＝x1＋4 2，kMB＝x2＋4 2， 所以 kMAkMB＝x1＋4 2×x2＋4 2＝－2， 得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0； 设直线AB方程为y＝kx＋b，
因为直线 OC 的斜率为yx11＝yy121＝y81， 8
所以直线 OC 的方程为 y＝y81x.
由1yx＝62 ＋y811yx22，＝1，
得 y264×y21 16＋112＝1，
则 y2E64×y21 16＋112＝1，
同理可得 y2F64×y22 16＋112＝1，
所以 y2E·y2F64×y22 16＋11264×y21 16＋112＝1，
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由 AF⊥BE 得x1－y1 2·y2x＋2 2＝－1， 所以 y1y2＋2y1＋x1x2－ 2x2＝0， 将 y1＝－ 22x1＋t，y2＝－ 22x2＋t 代入上式， 得 3x1x2－ 2(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0， 所以 3×6t27－4－ 2(t＋2)·6 72t＋(2t2＋4t)＝0，
4＋2t＝－2t， 所以－4t＝t2＋3， 解得t＝－1. 即M(－1,0). 综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0).
思维升华
存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则 存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.
2014届高考数学(理)一轮复习教案第十章圆锥曲线与方程第4讲 与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题
第4讲与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题考点梳理1．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①|OP|∈[b，a]；②|PF1|∈[a－c，a＋c]；③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①|OP|≥a；②|PF1|≥c－a.(3)抛物线中的最值点P为抛物线y2＝2px(p>0)上的任一点，F为焦点，则有①|PF|≥p 2；②A(m，n)为一定点，则|P A|＋|PF|有最小值．2．圆锥曲线中的定点、定值问题解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．【助学·微博】求最值或范围常见的解法：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再根据函数知识求最值；(3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等．考点自测1．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点，Q 是该椭圆上任意一点，则PQ 的最大值为________．解析 设Q (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1，且－1≤y 0≤1. 又P (0,1)，所以PQ ＝x 20＋(y 0－1)2 ＝4－4y 20＋y 20－2y 0＋1＝－3y 20－2y 0＋5当y 0＝－13时，(PQ )max ＝433. 答案4332．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →＜0，即x 2－3＋y 2＜0，则有x 2＜83，解得－263＜x ＜263， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，焦距为2c ，以F 为圆心，a 为半径的圆与直线x ＝a 2c 交于不同的两点，则椭圆离心率的取值范围是________． 解析 由题意，得a 2c －c <a ，即c 2＋ac －a 2>0，所以e 2＋e －1>0.又0<e <1，解得5－12<e <1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，14．已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则椭圆的离心率的范围是________．解析 △ABF 2为锐角三角形，又AF 1＝b 2a ，F 1F 2＝2c ，tan ∠AF 2F 1＝b 2a 2c ＜tan 45°＝1，∴b 2＜2ac ，即a 2－c 2<2ac ，c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0，解得e >2－1.又0<e <1，所以2－1<e <1. 答案 (2－1,1)5．(2012·盐城调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q .若四边形PQF A 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． 解析 由题意知AF ＝PQ ，即a ＋c ＝x P ＋a 2c ，则x P ＝a ＋c －a 2c ，所以有－a ＜a ＋c －a 2c ＜a ，∴c ＜a 2c ＜2a ＋c ，那么a 2＜2ac ＋c 2，∴e 2＋2e －1＞0.又0＜e ＜1，所以2－1＜e ＜1. 答案 (2－1,1)考向一 与圆锥曲线有关的定值问题【例1】 (2013·南京金陵中学模拟)设椭圆x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，过椭圆长轴所在直线上的一个定点M (m,0)(不同于A )任作一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 的斜率分别记为k 1、k 2.(1)当PQ ⊥x 轴时，求AP →·AQ →；(2)求证：k 1·k 2等于定值．(1)解 当PQ ⊥x 轴时，将x ＝m 代入方程x 24＋y 2＝1， 得P ⎝⎛⎭⎪⎫m ，1－m 24，Q ⎝⎛⎭⎪⎫m ，－1－m 24.又A (2,0)，所以AP →·AQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2， 1－m 24·⎝⎛⎭⎪⎫m －2，－ 1－m 24＝(m －2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24＝54m 2－4m ＋3. (2)证明 当直线PQ 的斜率不存在时， 因为k 1＝1－m 24m －2，k 2＝－ 1－m 24m －2，所以k 1·k 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24(m －2)2＝m 2－44(m －2)2＝m ＋24(m －2).因为M 为定点，所以m 为定值．所以k 1·k 2＝m ＋24(m －2)为定值．当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的斜率为k ，其方程为y ＝k (x －m )，与椭圆方程x 24＋y 2＝1联立得(4k 2＋1)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0，设直线PQ 与椭圆的交点P ，Q 的坐标分别为(x 1，k (x 1－m ))，(x 2，k (x 2－m ))， 则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2m 2－44k 2＋1，则k 1＝k (x 1－m )x 1－2，k 2＝k (x 2－m )x 2－2，k 1·k 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )(x 1－m )(x 2－m )＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k 2m 2－41＋4k 2－m ×8k 2m 1＋4k 2＋m 24k 2m 2－41＋4k 2－16k 2m 21＋4k 2＋4＝k 2(m 2－4)4k 2(m －2)2＝m ＋24(m －2)，因为M 为定点，所以m 为定值，所以k 1·k 2＝m ＋24(m －2)为定值．[方法总结] 定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决定值、定点问题的方法，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．【训练1】 (2012·苏北四市二模)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成的两个顶点．(1)设P 是椭圆C 上任意一点，若OP →＝mOA →＋nOB →，求证：动点Q (m ，n )在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)设M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，说明理由． (1)证明 易知A (2,1)，B (－2,1)．设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1，由OP →＝mOA →＋nOB →，得⎩⎨⎧x 0＝2(m －n )，y 0＝m ＋n ，所以4(m －n )24＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，故点Q (m ，n )在定圆x 2＋y 2＝12上． (2)解 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝－14.平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.因为直线MN 的方程为(x 2－x 1)x －(y 2－y 1)y ＋x 1y 2－x 2y 1＝0， 所以O 到直线MN 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，所以△OMN 的面积S ＝12MN ·d ＝12|x 1y 2－x 2y 1| ＝12 x 21y 22＋x 22y 21－2x 1x 2y 1y 2 ＝12 x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋12x 21x 22 ＝12 x 21＋x 22＝1.故△OMN 的面积为定值1.考向二 与圆锥曲线有关的最值问题【例2】 已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP→＝λAQ →.(1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ； (2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．审题视点 (1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值．(1)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)．∵AP→＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1， ∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)，∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F .(2)由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16，∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4，则|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.[方法总结] 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．【训练2】 (2012·苏锡常镇四市一模)如图，已知椭圆E ：x 2100＋y 225＝1的上顶点为A ，直线y ＝－4交椭圆E 于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，点P 在椭圆E 上．(1)若点P 的坐标为(6,4)，求四边形ABCP 的面积； (2)若四边形ABCP 为梯形，求点P 的坐标；(3)若BP →＝m ·BA →＋n ·BC →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值． 解 (1)A (0,5)，B (－6，－4)，C (6，－4)，S 四边形ABCP ＝S三角形ABC ＋S三角形ACP＝12×12×(4＋5)＋12×8×6＝78.(2)要使四边形ABCP 为梯形，当且仅当CP ∥AB . ∵k AB ＝32，∴直线CP 的方程为y ＋4＝32(x －6)， 即y ＝32x －13.①又x 2100＋y 225＝1，即x 2＋4y 2－100＝0.② 由①②，得5x 2－78x ＋288＝0. 即(x －6)(5x －48)＝0，∴x ＝6或x ＝485. ∵点C (6，－4)，∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫485，75.(3)BA→＝(6,9)，BC →＝(12,0)，BP →＝(x ＋6，y ＋4)，∵BP →＝m ·BA →＋n ·BC →， ∴x ＋6＝6m ＋12n ，y ＋4＝9m .则m ＝y ＋49，n ＝3x －2y ＋1036，m ＋n ＝3x ＋2y ＋2636.令3x ＋2y ＝t ，∵x 2＋4y 2－100＝0，∴x 2＋(t －3x )2－100＝0，即10x 2－6tx ＋t 2－100＝0. 由Δ≥0，得36t 2－40(t 2－100)≥0，即t 2≤1 000. ∴－1010≤t ≤1010.t 的最大值为1010，此时x ＝310，y ＝102. ∴m ＋n 的最大值为510＋1318.考向三 与圆锥曲线有关的范围问题 【例3】 (2013·南京金陵中学模拟) 过椭圆x 25＋y 24＝1的上顶点A 作斜率分别为k 1，k 2(k 1，k 2>0，k 1≠k 2)的两条直线l 1，l 2，它们分别与椭圆交于另一点M ，N . (1)当k 1，k 2满足什么条件时，直线MN 垂直于x 轴； (2)当k 1k 2＝1时，求直线MN 的斜率k 的取值范围． 解 (1)由MN ⊥x 轴，可设M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，则x 205＋y 204＝1.又A (0,2)，所以k 1·k 2＝y 0－2x 0·－y 0－2x 0＝4－y 20x 20＝45x 20x 20＝45.故当k 1，k 2满足k 1·k 2＝45时，MN 垂直于x 轴．(2)直线AM 方程为y ＝k 1x ＋2，代入椭圆方程x 25＋y 24＝1，消去y ，得(4＋5k 21)x 2＋20k 1x ＝0.因为x ≠0，所以x M ＝－20k 14＋5k 21.同理x N ＝－20k 24＋5k 22.又k 1k 2＝1， 所以k ＝y M －y N x M －x N ＝k 1x M －k 2x N x M －x N ＝－20k 214＋5k 21＋20k 224＋5k 22－20k 14＋5k 21＋20k 24＋5k 22＝k 22(4＋5k 21)－k 21(4＋5k 22)k 2(4＋5k 21)－k 1(4＋5k 22)＝4(k 22－k 21)4(k 2－k 1)＝k 2＋k 1≥2k 1k 2＝2.故k 的取值范围是[2，＋∞)．[方法总结] 以圆锥曲线为背景的取值范围问题和求最值问题方法一样，主要有：建立目标函数，用基本不等式和几何法等．这里的方法是利用基本不等式k 1＋k 2≥2k 1k 2而得．【训练3】 (2012·江苏海门三模) 如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，E 的左顶点为A 、上顶点为B ，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的周长为4＋2 3. (1)求椭圆的方程；(2)设C ，D 是椭圆E 上两个不同点，CD ∥AB ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，且MC→＝λCN →，MD →＝μDN →，求λ＋μ的取值范围．解(1)由题意得⎩⎨⎧2a ＋2c ＝4＋23，e ＝c a ＝32⇒a 2＝4⇒b 2＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得A (－2,0)，B (0,1)，所以k AB ＝12. 由CD ∥AB ，可设直线CD 的方程为y ＝12x ＋m .由已知得M (－2m,0)，N (0，m )． 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m消去y 整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0， Δ＝(2m )2－4(2m 2－2)>0⇒m 2<2， x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，由MC →＝λCN →得(x 1＋2m ，y 1)＝λ(－x 1，m －y 1)， 所以x 1＋2m ＝－λx 1，得λ＝－1－2m x 1，同理由MD→＝μDN →⇒μ＝－1－2m x2，所以λ＋μ＝－2－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝－2－2m ×x 1＋x 2x 1x 2＝－2＋2m 2m 2－1＝2m 2－1.由m 2<2⇒2m 2－1∈(－∞，－2]∪(2，＋∞)． 所以λ＋μ∈(－∞，－2]∪(2，＋∞)．对应学生用书P161规范解答17 与椭圆有关的定值问题的解法解析几何中考查定点、定值、最值与范围问题是江苏高考解答题的特点，其中定值问题是其中的重点与难点，求解有一定的技巧．【示例】 (2012·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)．已知点(1，e )和⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .①若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； ②求证：PF 1＋PF 2是定值．[审题路线图] (1)将两点坐标代入可求得结果；(2)①设出AF 1与BF 2的方程分别与椭圆方程联立解得A 、B 两点的坐标，然后用两点之间的距离公式列等式；②利用相似列比例式，然后转化利用椭圆的定义求得PF 1＋PF 2的和． [解答示范] (1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a .由点(1，e )在椭圆上，得1a 2＋c 2a 2b 2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，32在椭圆上，∴e 2a 2＋34b 2＝1，(3分)即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2. ∴所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.(5分) (2)①由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 又直线AF 1与BF 2平行，∴可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1>0，y 2>0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 1＋1＝my 1，得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0，解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2，故AF 1＝(x 1＋1)2＋(y 1－0)2＝(my 1)2＋y 21 ＝2(m 2＋1)＋m m 2＋1m 2＋2.(ⅰ)同理，BF 2＝2(m 2＋1)－m m 2＋1m 2＋2.(ⅱ)(10分)由(ⅰ)(ⅱ)得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62，得m 2＝2，注意到m >0. 故m ＝ 2.∴直线AF 1的斜率为1m ＝22.(12分) ②证明 ∵直线AF 1与BF 2平行，∴PB PF 1＝BF 2AF 1，于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1，故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1. 由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22， 从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)．同理PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)．∴PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)＝22－2AF 1·BF 2AF 1＋BF 2.(14分)又由①②知AF 1＋BF 2＝22(m 2＋1)m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2，∴PF 1＋PF 2＝22－22＝322. ∴PF 1＋PF 2是定值．(16分)[点评] 本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．解析几何是高考的重点，平时应加强运算能力的培养．高考经典题组训练1．(2010·福建卷改编)若点O 和点F 分别是椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 解析 设P (x 0，y 0)为椭圆上任意一点，则x 204＋y 203＝1，又F (－1,0)，所以OP →·FP→＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3(－2≤x 0≤2)．所以当x 0＝2时取最大值6. 答案 62．(2009·重庆卷改编)已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程y ＝433，离心率e ＝32，M 是椭圆上的动点．若C 、D 的坐标分别是(0－3)、(0，3)，则MC ·MD 的最大值为________．解析 由题意，焦点在y 轴上，所以椭圆方程可设为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)．由y ＝433及e ＝32， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝433，c a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，所以b ＝1.椭圆方程为x 2＋y 24＝1.又C 、D 是椭圆的焦点，从而MC ＋MD ＝2a ＝4，所以MC ·MD ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MC ＋MD 22＝4，当且仅当MC ＝MD ＝2，即M (±1,0)时等号成立．故(MC ·MD )max ＝4. 答案 4分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析 由x 21sin α＋y 21cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，得1cos α>1sin α>0，即sinα>cos α>0.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以π4<α<π2. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π22．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则PF 1＋PF 2的取值范围是________．解析 由题意，得点P 在椭圆x 22＋y 2＝1的内部，所以2c ≤PF 1＋PF 2<2a ，即2≤PF 1＋PF 2<2 2. 答案 [2,22)．3．(2012·江苏丹阳中学模拟)已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得PF 1→·PF 2→<0的点M 的概率为________．解析 设点P 的坐标为(m ，n )，则PF 1→·PF 2→＝(－3－m ，－n )·(3－m ，－n )＝m 2－3＋n 2＝m 2－3＋1－m 24＝3m 24－2<0，解得－263<m <263，∴PF 1→·PF 2→<0的概率为P ＝2×2632×2＝63.答案 634．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，则椭圆离心率e 的取值范围是________．解析 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，则由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，所以有m 2＋n2＝F 1F 22＝4c 2.又由椭圆定义，得m ＋n ＝2a .于是由不等式m 2＋n 22≥⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，得2c 2≥a 2，所以e 2＝c 2a 2≥12.又0<e <1，所以22≤e <1.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，15．(2013·南京金陵中学月考)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，当a 2＋16b (a －b )取最小值时，椭圆的离心率e ＝________. 解析 a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a 2＝8，b 2＝14a 2＝2时等号成立，此时c 2＝a 2－b 2＝6，所以e ＝c a ＝32.答案 326．(2012·镇江模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率e 的取值范围是________．解析 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2，当y ≠0时，有kF 1P ＝cy a 2＋c 2，kQF 2＝cy b 2－2c2，由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝(a 2＋c 2)(2c 2－b 2)c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0，即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当y ＝0时，b 2－2c 2＝0，此时kQF 2不存在，此时F 2为PF 1中点，a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上得33≤e <1，故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标． (1)证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎨⎧x 21＋2y 21＝4x 22＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点N (1，n )，∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)， ∴(2x －1)n －y ＝0，则直线恒过一个定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(2)解 由于点B 与点A 关于原点O 对称，故点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0,2]， PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122＋y 21＝12(x 1＋1)2＋74≥94， ∴当点P 的坐标为(0，±2)时，PB min ＝32.8．(2011·四川) 如图过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A (a,0)、B (－a,0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．(1)解 由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2， 所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l 的方程为y ＝－33x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝837，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17， 所以D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫837，－17. 故CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫837－02＋⎝⎛⎭⎪⎫－17－12＝167. (2)证明 当直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠12)． 代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝－8k4k 2＋1，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1，所以D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1. 又直线AC 的方程为x2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k2－4k (x ＋2)，联立解得⎩⎨⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1.因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)．又P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0.所以OP →·OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0·(－4k,2k ＋1)＝4.故OP →·OQ→为定值．分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·南京市、盐城市一模)设椭圆恒过点(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________．解析 因为1a 2＋4b 2＝1，所以b 2＝4a 2a 2－1(a 2>5)，所以e2c ＝a 2a 2－b 2＝a 2(a 2－1)a 2－5＝(a 2－5)＋20a 2－5＋9≥45＋9＝2＋5，当且仅当a 2＝5＋25时等号成立． 答案 2＋ 52．(2013·南京模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该离心率e 的取值范围是________．解析 因为PF 1＝ePF 2，PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 1＝2ae 1＋e ，PF 2＝2a1＋e ，因为e ∈(0,1)，所以PF 1＜PF 2.由椭圆性质知a －c ≤PF 1≤a ＋c ，所以a －c ≤2ae1＋e≤a ＋c ，即a －c ≤2aca ＋c≤a ＋c ，即a 2－c 2≤2ac ≤(a ＋c )2，即e 2＋2e －1≥0.又0＜e ＜1，所以2－1≤e ＜1. 答案 [2－1,1)3．(2012·苏锡常镇调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其上的动点M 到一个焦点的距离最大为3，点M 对F 1、F 2的张角最大为60°.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 在x 轴上的两个顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 内的动点，且P A ·PB ＝PO 2，求P A →·PB →的取值范围． 解 (1)设M (x 0，y 0)，由椭圆的第二定义，知MF 2＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －x 0＝a －ex 0.∵－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(MF 2)max ＝a ＋ea ＝a ＋c ， ∴a ＋c ＝3.①又MF 1＝2a －MF 2＝a ＋ex 0，F 1F 2＝2c ， ∵(∠F 1MF 2)max ＝60°，∴(cos ∠F 1MF 2)min ＝12.而cos ∠F 1MF 2＝MF 21＋MF 22－F 1F 222MF 1·MF2＝(MF 1＋MF 2)2－2MF 1·MF 2－F 1F 222MF 1·MF 2＝2(a 2－c 2)MF 1·MF 2－1＝2(a 2－c 2)a 2－e 2x 20－1.故当x 0＝0时，(cos ∠F 1MF 2)min ＝2(a 2－c 2)a 2－1＝a 2－2c 2a 2，∴a 2－2c 2a 2＝12. 即a ＝2c .②由①②，得a ＝2，c ＝1，∴b ＝ 3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y23<1，(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2.③④由④，得y 2＝x 2－2.⑤∴x 2≥2，⑤代入③，得x 24＋x 2－23<1. ∴x 2<207.∴2≤x 2<207.∴P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4 ＝x 2＋(x 2－2)－4＝2x 2－6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－27. 故P A →·PB→的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－27. 4．给出双曲线x 2－y 22＝1.(1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A (2,1)的直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；(3)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， 所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4.故求得直线方程为4x －y －7＝0. (2)设P (x ，y )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 按照(1)的解法可得y 1－y 2x 1－x 2＝2xy ，①由于P 1，P 2，P ，A 四点共线， 得y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，② 由①②可得2x y ＝y －1x －2，整理得2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，检验当x 1＝x 2时，x ＝2，y＝0也满足方程，故P 1P 2的中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x ＋y ＝0. (3)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的.。
圆锥曲线的标准方程与几何性质(9方法技巧+3易错易混)(解析版)2025年高考数学一轮复习知识清单
专题16圆锥曲线的标准方程与几何性质（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1椭圆1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆（2）集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a >|F 1F 2|时，M 点的轨迹为椭圆；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹为线段F 1F 2；③当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹不存在．2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)离心率e ＝ca，且e ∈(0,1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 23、椭圆中的几个常用结论（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b 2a ，过焦点最长弦为长轴．（2）过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .（3）与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．（4）焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；②S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．知识点2双曲线1、双曲线的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为非零常数2a (2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．（2）集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹是双曲线；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹是两条射线；③当2a >|F 1F 2|时，M 点不存在．2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)实、虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)3、双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．（7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.知识点3抛物线1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等；（3）定点不在定直线上．2、抛物线的标准方程与几何性质标准y 2＝2pxy 2＝－2pxx 2＝2pyx 2＝－2py的距离3（1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦．①以弦AB为直径的圆与准线相切．②以AF或BF为直径的圆与y轴相切．2p，通径是过焦点最短的弦．（2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB重难点01求椭圆离心率及其范围的方法1、求椭圆离心率的3种方法（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．2、求椭圆离心率范围的2种方法（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a ，b ，c 的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系．【典例1】（24-25高三上·四川巴中·模拟预测）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B C D ．23【答案】B【解析】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a +=，即2a =，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B ，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF由椭圆定义可知：B 1+2=22a =，2b c m+=；即2c c -=+3c =，所以椭圆C 的离心率c e a ==故选：B.【典例2】（24-25高三上·江西新余·月考）已知离心率为e 的椭圆()22221x yC a b a b+=>：中，A B 、分别为C 的左、上顶点，2F 为其右焦点，2F D x ⊥轴且D 在C 上（D 在第一象限），直线BD 交过A 且垂直于x 轴的垂线于E ，若22F D e AE=，则e =（）.A B C D ．2【答案】D【解析】由题意得(),0A a -，()0,B b ，()2,0F c ，2,b D c a ⎛⎫⎪⎝⎭，直线BD ：2b aby x b ac-=+，令x a =-，2ab b bcy c-+=，∵2222222b F D bc c a e ab b bc AE a ab ac ac====-+-+，∴ab ca b c -=+，∴2ab ac bc c =-+，∴()()a c b a c c +=+，∴b c =，∴2c e a ==.故选：D 【典例3】（23-24高三下·河南濮阳·模拟预测）点M 是椭圆()222210+=>>x y a b a b上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于,P Q 两点，若PQM 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A．()2B．1,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】 圆M 与x 轴相切于焦点F ，MF x ∴⊥轴，可设(),M c y ，M 在椭圆上，22221c y a b∴+=，解得：2b y a =±，∴圆M 的半径为2b a；作MN y ⊥轴，垂足为N ，MP MQ = ，PMN NMQ ∴∠=∠，PMQ 为锐角三角形，π4NMQ ∴∠<，222b b c a a∴>>，22ac a c ∴<-<，即21e e <-<，解得：122e -<<，即椭圆离心率的取值范围为⎝⎭.故选：D.重难点02求双曲线的离心率或其范围的方法1、求双曲线的离心率或其范围的方法（1）求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e .（2）列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解，注意e 的取值范围．（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a ＝1，求出相应c 的值，进而求出离心率，能有效简化计算．（4）通过特殊位置求出离心率．2、双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：当k >0时，k ＝ba ＝c 2－a 2a＝＝e 2－1；当k <0时，k ＝－b a＝－e 2－1．【典例1】（24-25高三上·江苏·月考）已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>，点M 在C 上，过点M 作C 两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，若34MA MB ⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．54B ．3C ．2D ．43【答案】B【解析】设点()00,M x y ，则220021x y a-=，即222200x a y a -=，又两条渐近线方程为1y x a=±，即0x ay ±=，故有2222002234x a y a MA MB c c -⋅====，所以3c e a ==故选：B.【典例2】（23-24高三下·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线G22−22=1>0,>0的右焦点F ，过点F 作直线l 交双曲线C 于A B ，两点，过点F 作直线l 的垂线交双曲线C 于点G ，2AB BF =，且三点A O G ，，共线（其中O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为．【解析】设另一个焦点1F ，连接11,,F FB FG ，设,BF m =则2,AB m =再根据双曲线的定义可知：122,BF BF a m a =+=+1232,AF AF a m a =-=-由双曲线的对称性可知，O 是AG 的中点，O 也是1F F 的中点，所以四边形1AFGF 是平行四边形，又因为AF GF ⊥，所以可得1AF AB ⊥，所以由勾股定理得：()()22222211+2324BF AF AB m a m a m =⇒+=-+，化简得：43m a =，再由勾股定理得：()22222211+4329FF AF AF c m a m =⇒=-+，代入43m a =得：225c c a e a=⇒==一、椭圆定义应用的类型及方法1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程；2、焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a 两边平方是常用技巧；3、求最值：抓住|PF 1|与|PF 2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF 1|·|PF 2|的最值；利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 转化或变形，借助三角形性质求最值．【典例1】（23-24高三下·广东江门·二模）已知圆22:(1)1A x y ++=内切于圆P ，圆P 内切于圆22:(1)49B x y -+=，则动圆P 的圆心的轨迹方程为.【答案】22198x y +=【解析】设圆P 的半径为R ，则||1,||7PA R PB R =-=-，则||||6||2PA PB AB +=>=，所以点P 的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为6的椭圆．则26,1a c ==，所以223,a b a ==28c -=，所以动圆P 的圆心的轨迹方程为22198x y +=．故答案为：22198x y +=.【典例2】（23-24高三上·四川内江·月考）已知椭圆:C 22121,,43x y F F +=是左，右焦点，P 是椭圆上第一象限的点，若123cos 5F PF ∠=，则12PF PF ⋅= （）A ．94B ．154C ．98D ．3【答案】A【解析】由题意12124,2PF PF F F +==，在12PF F 中，由余弦定理得，()2222121212121212162cos 5F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-∠=+-，即12164165PF PF =-，所以12154PF PF =，所以1212129cos 4PF PF PF PF F PF ⋅=∠= .故选：A.【典例3】（23-24高三下·宁夏银川·二模）已知(3,0),(3,0)A B -，P 是椭圆2212516x y+=上的任意一点，则||||PA PB ⋅的最大值为.【答案】25【解析】由已知可得(3,0),(3,0)A B -为椭圆2212516x y+=的焦点，根据椭圆定义知||||10+=PA PB ，所以2252PA PB PA PB ⎛⎫+⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当||||5PA PB ==时等号成立，故||||PA PB ⋅的最大值为25.故答案为：25.二、求椭圆标准方程的2种常用方法1、根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程；2、待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．【典例1】（23-24高三下·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为3，焦距为该椭圆的方程为（）A ．2213x y +=B ．2219x y +=C ．22197x y +=D ．2213628x y +=【答案】C【解析】由题意可知：32c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩则2927b =-=，所以该椭圆的方程为22197x y +=.故选：C.【典例2】（23-24高三上·江苏南京·零模）已知过椭圆()222210+=>>x y a b a b的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（）A ．22165x y +=B ．22154x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=【答案】B【解析】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则C 为1AF 的中点，1F 为BC 中点，所以1A x =，所以22211Ay a b+=，则2A b y a =即21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以220,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将点坐标代入椭圆方程得4222441b a a b +=，即222414b a a +=，又221a b -=，所以25a =，24b =，所以椭圆的标准方程是22154x y =.故选：B三、椭圆的中点弦问题1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+by a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22ab k k OPAB -=⋅．证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x，上式减下式得022********=-+-b y y a x x ，∴2222212221ab x x y y -=--，∴220021210021212121212122ab x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22a b k k OP AB -=⋅．特殊的：直线l (存在斜率)过椭圆12222=+b x a y (0>>b a )上两点A 、B ，线段AB 中点为)(00y x P ，，则有22ba k k OPAB -=⋅．【典例1】（23-24高三上·贵州黔东南·月考）已知椭圆221126x y +=以及椭圆内一点()1,2P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）A ．14-B ．14C ．-4D ．4【答案】A【解析】设弦与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，斜率为k ，则22111126x y +=，22221126x y +=，相减得到()()()()121212120126x x x x y y y y +-+-+=，即240126k +=，解得14k =-.故选：A.【典例2】（23-24高三下·安徽芜湖·22143x y +=，一组斜率32的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（）A ．12y x =B ．2y x =-C ．12y x =-D ．2y x=【答案】C 【解析】设斜率32的平行直线与椭圆相交于1122()A x y B x y ,,(,)，且中点为(,)M x y ，可得12122,2x x x y y y +=+=.由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，整理得()()1212121233234422x x y y x x x y y y +-⨯=-=-=-+⨯，可得12y x =-，即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为12y x =-.故选：C.四、双曲线定义的应用1、判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．2、在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．【注意】在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【典例1】（24-25高三上·广西·月考）已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 右支上一点，O 为坐标原点，Q 为线段1PF 的中点，T 为线段1QF 上一点，且QT OQ =，则1FT =（）A ．3BC ．4D ．5【答案】C 【解析】如图：因为P 为C 右支上一点，所以1228PF PF a -===.因为O 为坐标原点，Q 为线段1PF 的中点，所以212OQ PF =，1112F Q PF =，则()11112142FT F Q QT F Q OQ PF PF =-=-=-=.故选：C 【典例2】（23-24高三上·广东湛江·月考）已知点M 为双曲线22145x y C -=：的左支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，则1122MF F F MF +-=（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【解析】由于M 为双曲线22145x y C -=：的左支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，所以212MF MF a -=，故112222MF F F MF c a +-=-，由于2,3a b c ===，所以112222642MF F F MF c a +-=-=-=，故选：A【典例3】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为2,P 为C 上一点，且12120F PF ∠=，若12F PF的面积为a =.【答案】2【解析】不妨取P点在第一象限，如下图所示：根据双曲线定义可得122PF PF a -=，且122F F c =；由离心率为2可得2ca=，可得2c a =，即124F F a =；设20PF m =>，则12PF a m =+；由12F PF的面积为可得()121211sin 2222PF PF F PF m a m ∠=+⨯=解得()216m a m +=；利用余弦定理可得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==-，即()()()222241222a m m a m a m ++-=-+，整理可得()2224122m am a m a m +-=-+，即()21232a m a m =+，所以21248a =，解得2a =.故答案为：2五、待定系数法求双曲线方程的五种类型1、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；2、若已知双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x 或y ＝－b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；3、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2＜k ＜a 2)；4、过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)或者x 2m ＋y 2n ＝1(mn ＜0)；5、与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2λ－b 2＝1(b2＜λ＜a 2)．【典例1】（23-24高三下·山东济南·三模）已知双曲线1C 过点(A ，且与双曲线222:31C x y -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的标准方程为（）A ．221124x y -=B ．221124y x -=C ．221155x y -=D ．221155y x -=【答案】A【解析】由双曲线1C 与双曲线222:31C x y -=有相同的渐近线，故可设双曲线1C 的方程为()2231x y λλ-=≠，又因为1C 过点(A ，所以153λ-=，解得12λ=，所以，双曲线1C 的标准方程是221124x y -=．故选：A ．【典例2】（24-25高三上·广东揭阳·月考）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +++=相切，且圆C 的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（）A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=【答案】B【解析】因为圆22:650C x y x +++=的圆心为(3,0)C -，半径2r =，所以3c =，又双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线为b y x a =±，即0bx ay ±=，2=，整理得到2254a b =，又229a b +=，得到22594b b +=，所以24b =，25a =，得到双曲线的方程为22154x y -=.故选：B.六、双曲线的中点弦问题与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．【典例1】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知直线l 与双曲线22143x y -=交于A 、B 两点，且弦B 的中点为33,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l 的方程为．【答案】3260x y --=【解析】设1,1，2,2，则126x x +=，123y y +=，又2211143x y -=，2222143x y -=，两式相减，得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+--=，即()()121263043x x y y ---=，整理得121232y y x x -=-，∴直线l 的斜率为121232y y k x x -==-，∴直线l 的方程为()33322y x -=-，化简得3260x y --=，经检验满足题意.故答案为：3260x y --=.【典例2】（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A ，B 为双曲线221x y -=上不同两点，下列点中可为线段AB 的中点的是（）A ．()1,1B ．(2,3)C ．)D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设AB 的中点()()()001122,,,,,C x y A x y B x y ，所以12120120122,2,AB y y x x x y y y k x x -+=+==-，易知2211222211x y x y ⎧-=⎨-=⎩，由点差法可得()()()()121212120x x x x y y y y +--+-=()()()()121200121200212AB AB y y y y y xk k x x x x x y +-⇒=⋅=⇒=+-，若()1,1C ，此时1,:1AB AB k l y x =∴=-，与双曲线联立()2222121111y x x x x x x y =-⎧⇒--+=⇒=⎨-=⎩，即AB l 与双曲线只有一个交点，故A 错误；若()2,3C ，则此时225,:333AB AB k l y x =∴=+，与双曲线联立222232599420251y x x x x x y =+⎧⇒-=++⎨-=⎩()252542x x ⇒-=⇒=即AB l 与双曲线有两个交点，故B 正确；若)C，则此时:2AB AB k l y ==-，与双曲线联立(22222112101y x x x x x y ⎧=-⎪⇒-=-+⇒-=⇒=⎨-=⎪⎩即AB l 与双曲线有一个交点，故C 错误；若11,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则此时32,:22AB AB k l y x =-∴=--，与双曲线联立()222222911463102441y x x x x x x y ⎧=--⎪⇒-=++⇒++=⎨⎪-=⎩，显然无解，即AB l 与双曲线没有交点，故D 错误；故选：B七、抛物线定义的应用1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．2、注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2．【典例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线24y x =上与焦点距离等于3的点的横坐标是．【答案】2【解析】抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线方程为=−1,设抛物线上一点()00,P x y 到焦点()1,0F 的距离为3,则00132pPF x x =+=+=，所以02x =,故答案为：2.【典例2】（23-24高三下·福建福州·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，且点M 到直线2x =-的距离为6，则MF =.【答案】5【解析】抛物线24y x =的准线方程为1x =-，设点M 的坐标为()11,x y ，则10x ≥，因为点M 到直线2x =-的距离为6，所以点M 到准线1x =-的距离为5，由抛物线定义可得5MF =.故答案为：5.【典例3】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知动点B 在抛物线28y x =上，()1,3A --，则该动点B 到A 点的距离与到y 轴的距离之和的最小值为.【答案】2/2-+【解析】由抛物线的方程为28y x =知，焦点为()2,0F ，准线方程为2x =-，由抛物线定义知动点B 到A 点的距离与到y 轴的距离之和可化为2BF BA -+，当,,A B F 三点共线，且B 在线段AF 上时，2BF BA -+有最小值，最小值为222AF -==.故答案为：2八、抛物线的标准方程的求法1、定义法根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．2、待定系数法（1）根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p 的方程，解出p ，从而写出抛物线的标准方程；（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x 轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y 2＝－2px (p >0)和y 2＝2px (p >0)两种情况求解．另一种是设成y 2＝mx (m ≠0)，若m >0，开口向右；若m <0，开口向左；若m 有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线可以设成x 2＝my (m ≠0)．【典例1】（24-25高三上·江西南昌·月考）已知抛物线C 的焦点F 关于其准线的对称点为()0,6-，则抛物线C 的标准方程为.【答案】28x y=【解析】根据题意可知抛物线C 的焦点在y 轴的正半轴上，不妨设抛物线C 的标准方程为22,0py x p =>，可知焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，由焦点F 关于其准线的对称点为()0,6-可知6222p p-+=-⨯，解得4p =，所以抛物线C 的标准方程为28x y =.故答案为：28x y=【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P 到江面的距离为100m ，且550m AB ==，则顶端P 到桥面的距离为（）A ．50mB ．C ．55mD ．【答案】A【解析】以P 为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知()275,100B -，设抛物线方程为22(0),,x py p D h ⎫=->-⎪⎭，其中h 为点P 到桥面的距离，则222752100,2,p hp ⎧=-⨯⎪⎨=-⎪⎩,解得50m h =．故选：A九、抛物线几何性质的应用技巧1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键．【典例1】（23-24高三上·江苏·开学考试）已知线段AB 是抛物线24y x =的一条弦，且AB 中点M 在1x =上，则点A 横坐标（）A ．有最大值，无最小值B ．无最大值，有最小值C ．无最大值，无最小值D ．有最大值，有最小值【答案】D【解析】由题意，设()()1122,,,A x y B x y 由抛物线范围可知，0x ≥，所以如图1，当点A 在原点时横坐标有最小值，为0，由AB 中点M 在1x =上，可知1212x x +=，即122x x =-，所以12x ≤，即如图2，当点B 在原点时,点A 横坐标有最大值，为2.故选：D.【典例2】（23-24高三下·广西来宾·模拟预测）（多选）已知抛物线()2:20C y px p =>，过C 的焦点F 作直线:1l x ty =+，若C 与l 交于,A B 两点，2AF FB = ，则下列结论正确的有（）A ．2p =B ．3AF =C ．t =或-D ．线段AB 中点的横坐标为54【答案】ABD【解析】抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 在x 轴上，过F 作直线:1l x ty =+，可知1,0，则12p =，得2p =，A 选项正确；抛物线方程为24y x =，直线l 的方程代入抛物线方程，得2440y ty --=.设1,1，2,2，由韦达定理有124y y t +=，124y y =-，2AF FB = ，得122y y =-，解得12y y =-12y y ==，124y y t =+，则4t =或4t =-，C 选项错误；则1212,2x x ==，线段AB 中点的横坐标为121252242x x ++==，D 选项正确；12192222AB x x p =++=++=，2293332AF AB ==⨯=，B 选项正确.故选：ABD.易错点1忽视圆锥曲线定义中的限制条件点拨：在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于12F F ．这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为一条线段或无轨迹。
高考数学一轮复习讲义：圆锥曲线方程及性质 试题
卜人入州八九几市潮王学校圆锥曲线方程及性质一．【课标要求】1．理解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从详细情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、HY 方程、几何图形及简单性质； 3．理解双曲线的定义、几何图形和HY 方程，知道双曲线的有关性质本讲内容是圆锥曲线的根底内容，也是高考重点考察的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考察的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。
圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的根本概念、HY 方程及几何性质等根底知识和处理有关问题的根本技能、根本方法对于本讲内容来讲，预测2021年：〔1〕1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；〔2〕可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三．【要点精讲】1．椭圆 〔1〕椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的间隔的和等于常数〔大于21||F F 〕的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的间隔叫椭圆的焦距。
假设M 为椭圆上任意一点，那么有21||||2MF MF a +=椭圆的HY 方程为：22221x y a b +=〔0a b >>〕〔焦点在x 轴上〕或者12222=+b x a y 〔0a b >>〕〔焦点在y 轴上〕。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n +=〔0m >，0n >，m n ≠〕当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆〔2〕椭圆的性质①范围：由HY 方程22221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，假设以y -代替y 方程不变，所以假设点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，那么曲线关于y 轴对称。
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。
2024届高考一轮复习数学课件(新人教B版)：圆锥曲线中求值与证明问题
因为k1，k0，k2成等差数列，
1234
所以 2k0＝k1＋k2⇒2·x1＋t＋22ty－1 1＝x1y＋1 2＋x2y－2 2， 化简得x1＋t＋25ty－1 1＝x2y－2 2， 把x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入， 化简得6my1y2＝(t＋5)(y1＋y2)＋(2t－8)y2， 把 y1＋y2＝3－m26＋m4，y1y2＝3m－2＋9 4代入，得63mm2t－＋44＝(2t－8)y2， 因为 m∈R，所以2t－t－4＝8＝0，0， 即 t＝4.
令 x＝－1，解得 y＝2yy11＋－24， 所以直线 AM 与准线的交点为－1，2yy11＋－24， 直线 BN 的方程为 y＝yx22＋－21(x－1)－2， 即 y＝y2－4 2(x－1)－2， 令 x＝－1，解得 y＝－y22y－2－2 4.
所以直线 BN 与准线的交点为－1，－y22y－2－2 4， 2y1－4
跟踪训练 2
(2022·宁 德 模 拟 ) 若
A －1，－
2
2
，
B
1，
2
2
，
C(0,1)
，
D
23，21四点中恰有三点在椭圆
T：ax22＋by22＝1(a>b>0)上.
(1)求椭圆T的方程；
由于
A－1，－
22，B1，
22两点关于原点对称，必在椭圆上，
则a12＋21b2＝1，且43a2＋41b2<1，
8
2 .
1234
2.(2022·郑州模拟)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O 为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物 线Γ的另一个交点为B.
(1)证明：直线BC∥x轴；
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
高考数学备考复习(理科)专题十四：圆锥曲线与方程
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
高考数学(理)考一轮全国课件第十四单元高考研究课(六)圆锥曲线的综合问题——最值、范围、证明问题
(2)设 l 的方程为 x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
[思路点拨] (1)由 e＝ac＝ 22，2c＝2 确定 a，b 即得． (2)通过联立 y＝k1x－ 23与椭圆 E 的方程化简得到一元二次 方程后应用根与系数的关系及弦长公式确定|AB|及圆 M 的半径 r 表达式．进一步求得直线 OC 的方程并与椭圆方程联立，得到 关于|OrC|的表达式，研究其取值范围即可．在这个过程中，可 考虑利用换元思想，应用二次函数的性质及基本不等式．
∴Δ＝16(1＋4k2－m2)＞0，( )
x1＋x2＝－1＋8k4mk2，x1x2＝41m＋2－4k42 ，
则 x0＝12(x1＋x2)＝－1＋4km4k2，y0＝kx0＋m＝1＋m4k2.
∵(－1,0)是以 PQ 为对角线的菱形的一顶点，且不在椭圆上，
∴xy00－＋01＝－1k，即 3km＝1＋4k2，代入
∵点
3，12在椭圆 C 上，
∴a32＋41b2＝1.②
联立①②解得 a2＝4，b2＝1，
∴椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，P，Q 的中点为(x0，y0)， 将直线 y＝kx＋m 代入x42＋y2＝1， 得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
[方法技巧]
求参数范围的 4 个常用方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利
用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不
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2011年高考数学一轮复习资料第十四章圆锥曲线与方程 整体感知
热点点击： 高考圆锥曲线试题一般有 3题（1个选择题，1个填空题，1个解答题）,共计22分左右，考查的知识点 约为20个左右.其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查•选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念 和性质为主，难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形 结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点 ，
通过知识的 重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 ，往往结合平面向量进行求解，在复 习应充分重视。 高考命题趋势： 圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何 知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题， 一个主观题，分值 20分，并且主要体现出以下几个特点： 1 •圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：
① 圆锥曲线的两种定义、标准方程及 a、b、c、e、p五个参数的求解. ② 圆锥曲线的几何性质的应用. 2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、 定义法、相关点法、参数法.
3•有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基 本知识以及线段中点、 弦长等，分
析这类问题时， 往往要利用数形结合思想和 设而不求”的方法、对称的方 法及韦达定理，多以解答题的形式出现. 4•求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要 求较高；尤其是与平面向量、平面
几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合 的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势. 高考复习建议： 1圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容•复习中对基本概念的理解要深 ，对公式
的掌握要活，充分重视定义在解题中的地位和作用 ，重视知识间的内在联系•椭圆、双曲线、抛物线它们都 可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的•因此这三种曲线可统一为“一个动点 P到定点F和定 直线I的距离之比是一个常数 e的轨迹”，当0v ev 1 e= 1 e> 1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线.复 习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质 联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题. 2 •计算能力的考查已引起高考命题者的重视 ，这一章的复习要注意突破“运算关” ，要寻求合理有效的
解题途径与方法. 3•加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习，注重数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定 理的运用.
4•重视圆锥曲线与平面向量、函数、方程、不等式、三角、平面几何的联系，重视数学思想方法的训 练，达到优化解题思维、简化解题
过程的目的.
第1讲椭圆 【知识精讲】 （一） 椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数 2a （大于| F1 F21）的动
点M的轨迹
叫做椭圆，椭圆的定义中，平面内动点与两定点 F1、F2的距离的和大于IRF2I这个条件不可忽视.若这个 距离之和小于| Fi F21，则这样的点不存在；若距离之和等于 I Fi F21，则动点的轨迹是线段 Fi F2. 2 2 2 2 2. 椭圆的标准方程： x3 y2 =1 ( a > b >0),厶 x2 = 1 ( a > b >0). a2 b2 a2 b2
3. 椭圆的标准方程判别方法： 判别焦点在哪个轴只要看分母的大小： 如果x2项的分母大于y2项的分母,
则椭圆的焦点在 x轴上，反之，焦点在 y轴上. 4. 求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解 • (二) 椭圆的简单几何性质
2 2 设椭圆方程为 刍a > b > 0).⑴ 范围：-a < xw a, -b < x< b,所以椭圆位于直线 x= _ a和y= _ b
a2 b2
所围成的矩形里• ⑵ 对称性：分别关于 x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称 .椭圆的对称中心叫做椭 圆的中心.⑶顶点：有四个 A, (-a , 0)、A2 (a, 0) B, (0, -b )、B2 (0, b).线段 A, A2、B, B2 分 别叫做椭圆的长轴和短轴•它们的长分别等于 2a和2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 •所以椭 c 称为椭圆的顶点•⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e 叫做椭圆的离心率
a
(三) 椭圆的第二定义
个动点的轨迹是椭圆 2 2 2 ^■7 ^7 = 1 ( a > b > 0)的准线有两条，它们的方程为 x = —.对
a b
2 2 2 于椭圆 与•笃=1 ( a > b > 0)的准线方程，只要把 x换成y就可以了，即y二一丈. a b c
3. 椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径
2 2 设F1 (-c , 0), F2 (c, 0)分别为椭圆 务• £ =1 ( a > b > 0)的左、右两焦点，M( x, y)是椭 a b
圆上任一点，则两条焦半径长分别为 MF1 =a+ex, MF2 =a-ex.
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便 椭圆的四个主要元素 a、b、c、e中有a2 = b2 + c2、e=£两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两
圆和它的对称轴有四个交点, 它的值表示椭圆的扁平程度 .0 vev 1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之,
e越接近于0
时，椭圆就越接近于
⑴定义：平面内动点 M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
C
e (ev 1 =时，这
a
⑵ 准线：根据椭圆的对称性, a 个独立条件(四) 椭圆的参数方程
做椭圆的离心角•椭圆上点P的离心角0与直线OP的倾斜角a不同：tan〉=-ta nr ； a
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 2 ‘A1与三角恒等式曲…汙八1相比较而得到，所以椭
圆的参数方程的实质是三角代换 • 【基础梳理】 1. 椭圆的定义
平面内到两定点 F1、F2距离之和为常数 2a ( ) _______ 的点的轨迹叫椭圆•有| PF1|+| PF2|=2 a. 在定义中，当 ___________ 时，表示线段 F1F2;当 __________________ 时,不表示任何图形. 2. 椭圆的标准方程
2 2 x y
(1) — 2=1 (a > b> 0),其中 a2=b2+c2，焦点坐标为 ________________ . _________
a b
2 2 x y
(2) — 2=1 ( a>b>0),其中 a2=b2+c2，焦点坐标为
b a
f x = 3. 中心在
原点，焦点在 x轴上的椭圆的参数方程 (
ly =
2 2 x y
4. 椭圆一^ =1 ( a> b>0)的几何性质
a b
(1) 范围：|x| w a,| y| w b
,椭圆在一个矩形区域内；
⑵对称性：对称轴 x=0, y=0,对称中心 qo , 0)；
一般规律：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线
(3) 顶点:A1(-a,0), A2( a,0), B1(0,- b), B2(0, b),长轴长 |AA|= 一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点 ⑷ 离心率：e= _(0 v ev 1)，椭圆的离心率在 __________________ 内，离心率确定了椭圆的形状(扁圆状态).当离心
2 2 椭圆冷•厶=1 ( a > b > 0)的参数方程为 a2 b2 x = a
COST
y = bsin v (0为参数) 说明⑴这里参数0叫
0为参数，a> b>0).
________ ，短轴长| BB|= ______ ； 率越接近于 —时，椭圆越圆；当离心率越接近于 _____________ 时，椭圆越扁平. 【要点解读】 要点一椭圆的概念及标准方程 【例1】.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是 （/,0）、（4,0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于 10 ；（ 2）两个焦 3 5 l 点的坐标分别是（0, -2）、（0, 2），并且椭圆经过点（-,）；（3）焦点在x轴上，a:b = 2:1， c二--b ； 2 2
3 5
（4）焦点在y轴上，a2 b^5，且过点（-迈,。）；（5）焦距为b，a - b=1 ； （6）椭圆经过两点（-了才，
（.3, . 5）。
【命题立意】若查了椭同的方程的求解，熟悉其性质.
【标准解析】⑴T椭圆的焦点在畫轴上，故设需圆的标准方程为=i（a>b>o）, a b 2 2 = 10 ・ ^ = 4) i2 =df2 —c2 = 9 ?所从 US圆的标谁万程—+— =1. 25 9
（2）［椭匾焦点在》轴上，故设帽同的标准方程处冬+冷“ <^>2>>0）, a b 由椭圆的定义知,
*◎ = 10, c = 2F /
.沪-y-J-10-4-6,所以椭圆的标准方程次/ +X -1.
10 6
（3）= a2 - b2—c2 = 6 r ①又由 a b—2A 代入①得 4护-护=6,二沪=2, 口卞=8, 又朋点去轴匕所从帼的标准方程为右号“
⑷设椭圆方程为話訂1,...务1 宀2，又....宀5」亠3 , 2 2 所以，椭圆的标准方程为 H 1. 3 2
2 2 2 (5).焦距为 6，二 c 二 3, a -b = c =9，又.a - b 二 1，二 a 二 5 , b 二 4 ,
2 2 2 2 所以，椭圆的标准方程为 —y 1或二、1. 5 16 25 16
Q 1 + （訂）匕灰皿