九年级数学实际问题与二次函数(1)
九年级数学上册《实际问题与二次函数》教案、教学设计
4.巩固练习，拓展提高
设计具有梯度的练习题，让学生在掌握基本知识的基础上，逐步提高解决问题的能力。同时，布置拓展提高题，激发学生的创新思维，培养其数学素养。
5.反思评价，促进成长
在教学过程中，注重引导学生进行自我反思，评价自己在解决问题过程中的表现。教师应及时给予反馈，肯定学生的优点，指出不足，促进学生不断成长。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将利用生活中的实例来激发学生的兴趣，引导他们思考实际问题与二次函数之间的联系。我会向学生展示一个抛物线形状的拱桥图片，并提出问题：“同学们，你们知道这座拱桥的最大高度是多少吗？我们如何运用二次函数来求解这个问题？”通过这个问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们的探究欲望。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，他们已经掌握了二次函数的基本概念、性质和图像，能够解决一些简单的二次函数问题。但在实际问题与二次函数的结合上，学生可能还存在以下问题：一是将实际问题转化为数学模型的能力不足，二是运用二次函数解决实际问题时，缺乏对问题深入分析的能力。此外，部分学生对数学学习的兴趣和自信心有待提高。针对这些情况，教师应注重以下几点：1.引导学生从实际问题中发现数学问题，培养其数学建模能力；2.设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，提高其解决问题的能力；3.创设轻松愉快的学习氛围，鼓励学生积极参与，增强其学习数学的自信心。通过有针对性的教学策略，使学生在掌握知识的同时，提高解决问题的能力和学习兴趣。
4.培养学生团结协作、互相帮助的精神，使其在合作中成长，体验团队的力量。
本章节教学设计以实际问题为载体，以二次函数为主线，引导学生运用数学知识解决生活中的问题。在教学过程中，注重培养学生的独立思考、合作交流、创新实践能力，使其在掌握知识的同时，提高综合素质。通过本章节的学习，使学生认识到数学在生活中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣，为学生的终身发展奠定基础。
初三数学实际问题与二次函数试题
初三数学实际问题与二次函数试题1.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．（1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)9；（3）相似，证明见解析.【解析】（1）已知A、B、C三点坐标，由待定系数可求出抛物线解析式；（2）求出顶点坐标，作辅助线把四边形ABDC的面积拆为二个三角形面积加上一梯形的面积，从而求出四边形ABDC的面积；（3）判断△BCD与△COA是否相似，验证是否满足相似比例关系．试题解析：（1）由题意，得，解之，得，∴y=-x2+2x+3；（2）由（1）可知y=-（x-1）2+4，∴顶点坐标为D（1，4），设其对称轴与x轴的交点为E，∵S=|AO|•|OC|，△AOC=×1×3，=，S=（|DC|+|DE|）×|OE|，梯形OEDC=（3+4）×1，=，=|EB|•|DE|，S△DEB=×2×4，=4，S 四边形ABDC =S △AOC +S 梯形OEDC +S △DEB ，=++4，=9；（3）△DCB 与△AOC 相似，（9分）证明：过点D 作y 轴的垂线，垂足为F ，∵D （1，4），F （0，4）， ∴Rt △DFC 中，DC=，且∠DCF=45°，在Rt △BOC 中，∠OCB=45°，BC=3，∴∠AOC=∠DCB=90°，，∴△DCB ∽△AOC ．考点: 1.二次函数综合题；2.相似三角形的判定与性质.2. 如图所示，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若tan ∠OAC=2．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC=90°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图所示，连接BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点，过点M 作直线l′∥l ，交抛物线于点N ，连接CN 、BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？【答案】(1) y=x 2-3x+2；(2)存在，理由见解析；（3）当t=1时，S △BCN 的最大值为1．【解析】（1）已知了C 点的坐标，即可得到OC 的长，根据∠OAC 的正切值即可求出OA 的长，由此可得到A 点的坐标，将A 、C 的坐标代入抛物线中，即可确定该二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程，由此可得到点P 的横坐标；若∠APC=90°，则∠PAE 和∠CPD 是同角的余角，因此两角相等，则它们的正切值也相等，由此可求出线段PE 的长，即可得到点P 点的坐标；（用相似三角形求解亦可）（3）根据B 、C 的坐标易求得直线BC 的解析式，已知了点M 的横坐标为t ，根据直线BC 和抛物线的解析式，即可用t 表示出M 、N 的纵坐标，由此可求得MN 的长，以MN 为底，B 点横坐标的绝对值为高，即可求出△BNC 的面积（或者理解为△BNC 的面积是△CMN 和△MNB 的面积和），由此可得到关于S （△BNC 的面积）、t 的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得S 的最大值及对应的t 的值．试题解析：：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 过点C （0，2），∴x=2；又∵tan ∠OAC==2，∴OA=1，即A （1，0）；又∵点A 在抛物线y=x 2+bx+2上，∴0=12+b×1+2，b=-3；∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x 2-3x+2；（2）存在．过点C 作对称轴l 的垂线，垂足为D ，如图所示，∴x=-； ∴AE=OE-OA= ，∵∠APC=90°， ∴tan ∠PAE=tan ∠CPD ，∴， 即 ，解得PE=或PE=，∴点P 的坐标为（，）或（，）．（3）如图所示，易得直线BC 的解析式为：y=-x+2，∵点M 是直线l′和线段BC 的交点， ∴M 点的坐标为（t ，-t+2）（0＜t ＜2）， ∴MN=-t+2-（t 2-3t+2）=-t 2+2t ，∴S △BCN =S △MNC +S △MNB =MN▪t+MN▪（2-t ）=MN▪（t+2-t ）=MN=-t 2+2t （0＜t ＜2）， ∴S △BCN =-t 2+2t=-（t-1）2+1，∴当t=1时，S △BCN 的最大值为1．考点: 二次函数综合题3. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？【答案】售价为35元时，在半月内可获得最大利润【解析】本题考查了二次函数的应用.设销售单价为x元，销售利润为y元．求得方程，根据最值公式求得．解：设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20000当x==35时，才能在半月内获得最大利润4.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是.请回答下列问题：(1)柱子OA的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】（1）（2）（3）【解析】本题考查了二次函数的应用.（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y的值，即可求出答案．（2）通过抛物线的顶点坐标求得（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x的值，即可求出答案．解：（1）把x=0代入抛物线的解析式得：y=，即柱子OA的高度是（2）由题意得：当x=时，y=,即水流距水平面的最大高度（3）把y=0代入抛物线得：=0，解得，x1=(舍去，不合题意)，x2=故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外5.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v（千米/分）表示汽车的速度.①列表表示I与v的关系；②当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？【答案】①见解析②4倍【解析】本题考查了二次函数的应用.（1）可取v等于0左右的值解方程求对应的I值，根据所得数据列表；（2）求当速度为2V时I的值与I=2v2比较可得结论．解：（1）如下表（2）I=2•（2v）2=4×2v2．当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍．6.如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.【答案】（1）y=2x2-2ax+a2 (2) 有.当点E是AB的中点时，面积最大.【解析】本题考查了二次函数的应用.（1）先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式；（2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解．解：∵四边形ABCD是边长为a米的正方形，∴∠A=∠D=90°，AD= a米．∵四边形EFGH为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH．在△AEF与△DHE中，∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，∴y=EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2x2-2ax+ a2，即y=2x2-2ax+ a2；（2）∵y=2x2-2ax+ a2=2（x-）2+，∴当x=时，S有最大值．故当点E是AB的中点时，面积最大．7.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.【答案】(1)见解析(2) 图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数(3)(4)证明见解析【解析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．（1）在直角坐标系上作图；（2）图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数；（3）设所求函数关系式为：s=av2+bv+c，代入点求得a、b、c；（4）带两个数据验证．(1)函数的图象如答图所示.(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数.(3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c,得, 解得.∴(4)当v=80时,∵s="52.5," ∴当v=112时,∵s=94.5,∴经检验,所得结论是正确的.8.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元, 已知P=x2+5x+1000,Q=-+45.(1)该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?【答案】(1) W=(2) 150吨, 2000元,40元【解析】本题考查根据实际问题，列二次函数关系式解决实际应用题．根据：产品所获利润W=每吨售价Q元×吨数x-x吨需费用P元，建立函数关系式，并运用关系式求最大值．(1)∵P=x2+5x+1000,Q=-+45.∴W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)= .(2)∵W==-(x-150)2+2000.∵-<0,∴W有最大值.当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元.当x=150吨,Q=-+45=40(元).9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=" 17," 且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.(1)求C点的坐标;(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1) C(0,2) (2) y=(3) 存在，(0,-2)和(3,-2)【解析】本题是二次函数与圆以及全等三角形相结合的题目，难度较大（1）线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2（m-3）=0的两个根．根据韦达定理就可以得到关于OA，OB的两个式子，再已知OA2+OB2=17，就可以得到一个关于m的方程，从而求出m的值．求出OA，OB．根据OC2=OA•OB就可以求出C点的坐标；（2）由第一问很容易求出A，B的坐标．连接AB的中点，设是M，与E，在直角△OME中，根据勾股定理就可以求出OE的长，得到E点的坐标，利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式；（3）E点就是满足条件的点．同时C，E关于抛物线的对称轴的对称点也是满足条件的点．解：(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)="0" 的两个根,∴又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③把①,②代入③,得m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.∴当m=5时,得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)(2)∵OA=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称,∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,则 ,解之,得∴所求抛物线关系式为y=.(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点.∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件.∵圆心的坐标(,0 )在抛物线的对称轴上.∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意.∴可求得E′(3,-2).∴抛物线上存在点P 符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)10. 已知抛物线y=mx 2-(m+5)x+5.(1)求证:它的图象与x 轴必有交点,且过x 轴上一定点;(2)这条抛物线与x 轴交于两点A(x 1,0),B(x 2,0),且0<x 1<x 2,过(1) 中定点的直线L;y=x+k 交y 轴于点D,且AB=4,圆心在直线L 上的⊙M 为A 、B 两点,求抛物线和直线的关系式,弦AB 与弧围成的弓形面积.【解析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的联系、根的判别式、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数解析式的确定、扇形面积的计算方法等（1）若抛物线于x 轴有交点，那么当y=0时，所得方程的根的判别式恒大于等于0，可据此进行证明；将抛物线解析式的右边，用十字相乘法进行因式分解，可得：y=（mx-5）（x-1），由此可看出抛物线一定经过点（1，0）．（2）由于抛物线交x 轴于A 、B 两点，且A 在B 左侧，且A 、B 都在原点的右侧，因此A （1，0），B （5，0），根据A 点坐标，可确定直线的解析式，根据A 、B 的坐标，可确定抛物线的解析式；若⊙M 同时经过A 、B 两点，根据抛物线和圆的对称性知：点M 必为抛物线对称轴与直线的交点，由此可求得点M 的坐标为（3，2），而AB=4，因此△ABM 是个等腰直角三角形，即可得到 的圆心角，那么扇形MAB 的面积减去等腰直角三角形MAB 的面积即为所求弓形的面积．(1)证明:∵y=mx 2-(m+5)x+5,∴△=[-(m+5)]2-4m×5=m 2+10m+25-20m="(m-" 5)2.不论m 取任何实数,(m-5)2≥0,即△≥0,故抛物线与x 轴必有交点.又∵x 轴上点的纵坐标均为零,∴令y=0,代入y=mx 2-(m+5)x+5,得mx 2-(m+5)x+ 5=0,(mx-5)(x-1)=0,∴x=或x=1.故抛物线必过x 轴上定点(1,0).(2)解:如答图所示,∵L:y=x+k,把(1,0)代入上式,得0=1+k,∴k=-1,∴y="x-1."又∵抛物线与x 轴交于两点A(x 1,0),B(x 2,0),且0<x 1<x 2,AB=4, ∵x 1x 2>0,∴x 1="1," x 2=5,∴A(1,0),B(5,0),把B(5,0)代入y=mx 2-(m+5)x+5,得0=25m-(m+5)×5+5. ∴m=1,∴y=x 2-6x+5. ∵M 点既在直线L:y=x-1上,又在线段AB 的垂直平分线上,∴M 点的横坐标x 1+=1+.把x=3代入y=x-1,得y=2.∴圆心M(3,2),∴半径r=MA=MB=, ∴MA 2=MB 2=8.又AB 2=42= 16,∴MA 2+MB 2=AB 2,∴△ABM 为直角三角形,且∠AMB=90°,∴S 弓形ACB=S 扇形AMB- S △ABM=.。
中考数学总复习《销售问题(实际问题与二次函数)》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《销售问题（实际问题与二次函数）》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．某商店销售2022年卡塔尔世界杯吉祥物拉伊卜毛绒钥匙扣，经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x 元/件的一次函数，其解析式为2180y x =-+，当售价为50元/件时，周销售利润w 为800元．注：周销售利润＝周销售量×（售价-进价）(1)求该钥匙扣的进价和周销售的最大利润．(2)由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件，物价部门规定该商品售价不得超过62元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足原来的一次函数关系．若周销售最大利润是1120元，求m 的值．2．某超市经销一种销售成本为每件20元的商品．据市场调查分析，如果按每件30元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周的销售量就减少10件．设销售单价为每件x 元(x≥30),一周的销售量为y 件．(1)写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)该超市想通过销售这种商品一周获得利润8000元，销售单价应定为多少？3．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.（1）每件童装降价多少元时，能更多让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元.（2）为了获得最大利润，应该降价多少？最大利润是多少？4．红布李（李子的一种）含有丰富的营养成分，并且具有养生和美颜的功效，所以自古就被冠以“五果之首”，深受人们的喜爱，光明村种植有大片的红布李，某“乡村振兴”电商平台为光明村农户销售红布李，运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克.市场调查发现，每周的红布李销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系如图所示.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；(2)求当红布李的售价为多少元时，光明村农户一周的收入最大?最大收入是多少元?(3)今年七月下旬天晴少雨，气温持续在37℃上下，红布李成熟非常快，根据光明村这一时期红布李的产量，一周的销售量不少于6000千克，求本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为多少元?5．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y(千克)与售价x元/(千克)满足一次函数关系，对应关系如下表售价x (元/千克)50607080……销售量y (千克)100908070……(1)求y与x的函数关系式；(2)该批发商若想获得3600元的利润，应将售价定为多少元？(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w元最大？此时的最大利润为多少元？6．某超市采购了两批同样的记念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍、且第二批比第一批多购送25个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？7．某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为10元/千克．经市场调查发现：若售价为12元/千克时，每天的销售量为180千克；若售价每千克提高1元，每天的销售量就会减少10千克．设每天的销售量为y千克，每千克的售价为x元．请解答以下问题：(1)补全下列表格：进价（元/千克）10101010售价（元/千克）121317x涨价（元/千克）01______________________销售量（千克）180_________________________________(2)为让利给顾客，当这种优质水果售价为___________元时，每天可获得利润960元．(3)当售价定为多少元时，每天可获得最大利润，并求出最大利润是多少？8．中国传统手工艺品，如中国结、油纸伞、团扇等，是先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店购进一批团扇，每把进价为20元，按每把25元销售，每月可售出210把．现店方想采用提高售价的方法来增加利润（售价不超过32元）．经试验，每把团扇的售价每提高1元，每月就会少卖出10把．(1)求每月团扇的销售量y（把）与每把售价x（元）之间的函数关系式．(2)当每把团扇的售价定为多少时，每月的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？9．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？10．某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为80元，试销售一段时间后统计每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的部分数据如下表：售价x（元/件）8090100110⋅⋅⋅销售量y（件）800600400200⋅⋅⋅(1)根据表中数据，求出y与x之间满足的函数关系式；(2)物价部门规定单件利润率不超过15%．在（1）的条件下，当产品售价不低于成本时，售价定为多少元，公司每天获得的利润最大？求出最大值．11．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元(1)则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？(3)求其最大利润．12．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．(1)平均每天的销售量y（只）与销售价x（元/只）之间的函数关系式．(2)物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？13．唐山世园会期间，游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收31万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y＝ax2＋bx．若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y关于x的解析式；(2)求纯收益g关于x的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？并求出最大收益．14．为实现脱贫奔小康，景颇新村在驻村工作队的帮扶下，引进种植了褚橙。
人教版九年级数学下册精品教案 实际问题与二次函数3个课时
22．3 实际问题与二次函数第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30. (2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程． 【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x . (3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.第2课时商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x－1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．(1)求y 2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋6.因为函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－112.所以此函数关系式为y＝－112(x－6)2＋6＝－112x2＋x＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。
九下数学课件利用二次函数解决实际问题中的最值问题(课件)
【归纳总结】
最大值问题的一般步骤：
（1）利用应用题中已知条件和学过有关数学公式列出关系数；
（2）把关系式转化为二次函数的关系式；
（3）求二次函数的最大值或最小值.
知识点一 根据文字语言解决问题
【变式1】某工厂2019年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长
率为x(x＞0)，设2021年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数表达式为
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得
W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.
答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最
大利润是1 800元．
知识点二 根据函数的图像解决问题
【变式2】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场
k＝－500，
解得
5k＋b＝9 500，
b＝12 000.
∴y＝－500x＋12 000.
知识点二 根据函数的图像解决问题
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销
售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价
分别为多少？
解：根据“在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于 15 元/
随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售
策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销
售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整
数)．
(1)写出y与x的函数表达式；
知识点二 根据函数的图像解决问题
九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数第1课时 实际问题与二次函数(快乐预习+轻松尝试)导学案
九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数（快乐预习+轻松尝试）导学案（1）新人教版学前温故(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条______；(2)对称轴是直线__________，顶点坐标为()，；(3)①当a＞0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线上的最______点．②当a＜0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线上的最______点．新课早知1．因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，所以当x＝__________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值____________．2．二次函数y＝2(x－1)2＋3的最大值是( )．A．2 B．1 C．3 D．－13．利用二次函数求最大利润时，如果列出的二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内，则二次函数的最______就是所求的最大利润；当求得的二次函数图象的对称轴不在题目限定的自变量的范围内，我们先要搞清自变量的取值在对称轴______侧还是______侧，然后结合二次函数的增减性求出最大利润；当在不同的自变量取值范围内，函数表达式不同时，我们需要分段讨论，求出每种情况下的________，然后综合考虑．4．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多．答案：学前温故(1)抛物线(2)x＝－b2a －b2a4ac－b24a(3)上低下高新课早知1．－b2a 4ac－b24a2.C3．大值左右最大值4．70二次函数在利润方面的应用【例题】某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．(1)假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x 之间的函数关系式，并注明x的取值范围；(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)分析：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，每件的销售利润为(13.5－x－2.5)，所以y＝(13.5－x－2.5)(500＋100x)，整理得y＝－100x2＋600x＋5 500(0≤x≤11)．(2)化成顶点式y＝a(x－h)2＋k时，能直接看出当x等于多少时，最值的大小．解：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，y＝－100x2＋600x＋5500(0≤x≤11)．(2)y＝－100x2＋600x＋5 500(0≤x≤11)，配方得y＝－100(x－3)2＋6 400，当x＝3时，y的最大值是6 400，即降价3元时，利润最大．所以销售单价为10.5元时，最大利润为6 400元．点拨：求二次函数的最值问题时，通常将二次函数解析式化成顶点式y＝a(x－h)2＋k.1．已知二次函数y＝(x＋1)2＋(x－3)2，当y取最小值时，x的值是( )．A．－1 B．3 C．2 D．12．某青年企业家准备在某地投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于当地建设．据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间每间将支出各种费用20元/天(没住宿的不支出)．则房价每天定为( )元时，度假村的利润最大．A．110 B．105 C．115 D．1203．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数，则y与x之间的关系式是________，销售所获得的利润w(元)与价格x(元/件)的关系式是__________．4．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(其中0＜x≤11)．(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元．(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．5.司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间，之后汽车还会继续行驶一段距离．我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图)．已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的关系是s＝t v＋k v2，其中t为司机的反应时间(单位：s)，k为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k＝0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t＝0.7 s.(1)若志愿者未饮酒，且车速为11 m/s，则该汽车的刹车距离为________ m．(精确到0.1 m)(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17 m/s的速度驾车行驶，测得刹车距离为46 m．假如该志愿者当初是以11 m/s的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到0.1 m)(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11 m/s至17 m/s的速度行驶，且与前方车辆的车距保持在40 m至50 m之间．若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”，你的反应时间应不超过多少秒？(精确到0.01 s)答案：1．D 将y＝(x＋1)2＋(x－3)2化简为y＝2x2－4x＋10＝2(x－1)2＋8，因此当x ＝1时，y取最小值．2．C 设有x个房间空闲，则住宿了(30－x)个房间．每天的房价为(60＋5x)元，于是度假村的利润y＝(30－x)(60＋5x)－20(30－x)，其中0≤x≤30，则y＝(30－x)×5×(8＋x)＝5(240＋22x－x2)＝－5(x－11)2＋1 805.因此当x＝11时，y取得最大值1 805元，即每天房价定为115元/间时，度假村的利润最大，故应选C.3．y＝－30x＋960w＝(x－16)(－30x＋960)4．解：(1)①10＋7x②12＋6x(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x.(3)∵w＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4，∴w＝－2(x－0.5)2＋4.5.∵－2＜0,0＜x≤11，∴w有最大值．∴当x＝0.5时，w最大＝4.5(万元)．答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．5．解：(1)17.38(2)饮酒后，当v＝17时，s＝46，代入s＝tv＋0.08v2，得t≈1.35(s)．若饮酒时的车速为11 m/s，则刹车距离s＝1.35×11＋0.08×112＝24.53(m)．而未饮酒时的刹车距离为17.38 m，所以增加24.53－17.38≈7.2(m)．(3)由题意知，17t＋0.08×172＜40，解得t＜0.99.所以反应时间应不超过0.99秒．。
九年级数学 中考专题训练 实际问题与二次函数
九年级数学中考专题训练实际问题与二次函数1．某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为60元时，可售出300套．应市场变化需上调第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．(1)若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写表格：时间第一个月第二个月销售定价(元/套)60 ______销售量(套)300 ______(2)若商店预计要在第二个月的销售中获利4000元，则第二个月销售定价每套多少元？(3)若要使第二个月利润达到最大，应定价为多少？此时第二个月的最大利润是多少？2．如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m，(1)为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？(2)当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？3．某品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？4．某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？5．有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？6．如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长方形的长4AD=米，宽3AB=米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．(1)按如图1所示建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式．(2)现将A 型活动板房改为B 型活动板房．如图2，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户框架FGMN ，点G 、M 在AD 上，点N 、F 在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设(),0M m ，且满足112m ≤≤，当窗户框架FGMN 的周长最大时，每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本＋一扇长方形窗户框架FGMN 成本）(3)根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润W （元）最大？最大利润是多少？7．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设肉粽每盒售价x 元，y 表示该商家每天销售肉粽的利润（单位：元）．(1)肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为多少元(2)若每盒利润率不超过50%，问肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元？(3)若x 满足5060x ≤≤，求商家每天的最大利润．8．北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 做水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线21144:1233C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者琪琪从点O 正上方A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．(1)当琪琪滑到离A 处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为172米，则b =______，c =______． (2)在（1）的条件下，当琪琪滑出后离A 的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为43米？ (3)琪琪若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．9．某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 每千克售价x （元）… 25 30 35 … 日销售量y （千克） … 102 92 82 …(1)直接写出y 与x 之间的函数表达式______；(2)该超市要想获得1280元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？(3)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大并求出最大利润．10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=8cm ，点D 是AB 中点，连接CD ，动点P 从点C 5cm/s 的速度向终点D 运动．过点P 作PE⊥BC 于E ，以PE 、PD 为邻边作平行四边形PDFE ．设点P 的运动时间为t （s ），平行四边形PDFE 的面积为S （cm 2）．(1)求CD 的长；(2)求S 关于t 的函数解析式，并求出S 的最大值．11．在建筑工人临时宿舍外，有两根高度相等且相距10米的立柱AB ，CD 垂直于水平地面上，在AB ，CD 间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线2120y x bx c =++，已知绳子最低点距离地面74米．以点B 为坐标原点，直线BD 为x 轴，直线AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图1所示．(1)求立柱AB 的长度；(2)一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD 之间与AB 相距4米的地方加上一根立柱MN 撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线1F 的最低点相对点A 下降了1米，距立柱MN 也是1米，如图2所示，求MN 的长；(3)若加在线段BD 之间的立柱MN 的长度是2.4米，并通过调整MN 的位置，使抛物线1F 的开口大小与抛物线21112y x =+的开口大小相同，顶点距离地面1.92米．求MN 与CD 的距离．12．如图，排球运动场的场地长18m ，球网在场地中央且高度为2.24m ，球网距离球场左、右边界均为9m ．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为hm ，当排球运动到水平距离球网3m 时达到最大高度2.5m ，建立如图平面直角坐标系．(1)当2h =时：①求抛物线的表达式；②排球过网后，如果对方没有拦住球，判断排球能否落在界内，并说明理由；(2) 若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），求h 的取值范围．13．为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．杨老板按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y ＝−10x ＋500．(1)杨老板在开始创业的第一个月将销售单价定为22元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2)设杨老板获得的利润为W （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于26元．如果杨老板想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？14．如图，在矩形ABCD 中，3cm,3cm AB AD ==．动点P 在边AB 上从点A 向点B 运动速度为1cm/s ；过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为(s)x ，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．(1)当x =__________s 时，点Q 与点C 重合；(2)①求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；②在点P 的运动过程中，是否存在y 的最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．15．一身高1.8m 的篮球运动员在距篮板4m 处跳起投篮并命中。
九年级数学上册：22二次函数与实际问题1
学习目标:1、 利用二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与性质解决简单的实际问题。
2、 掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值． 学习重点：应用二次函数解决几何图形有关的最值问题。
学习难点：函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得。
学习过程： 一、课前导学1．二次函数c bx ax y ++=2在2=x 和4=x 处函数值相同，那么这个函数的对称轴是___________4．二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标是（ _, ）3．一般地：如果抛物线c bx ax y ++=2的顶点是最低点，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________；如果抛物线c bx ax y ++=2的顶点是最高点，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________。
4．分别用配方法和公式法，求当x 取何值时，y 有最值。
（1）223y x x =+-（2）21252y x x =-+- 二、应用举例例1、用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少时，场地的面积S 最大？三、课堂练习：练习1、已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？练习2、用长为20cm 的铁丝作两个正方形，两个正方形的边长分别为多少时，面积和最大？练习3、如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？练习4、一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDE F ，其中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？练习5、如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？四、谈一谈你今天的收获？方法与规律：______________________________________________________________； 情感与体验：______________________________________________________________； 反思与困惑：______________________________________________________________.DCBAF E DC BA H G F E D C BA。
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张PPT)
合作探究 达成目标
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为: 当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x 轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面 直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
思考：飞机从着陆的一瞬间开始计时，到滑行到最远 距离停下来所用的时间即为所求，也就是使S取得什 么值时的t的值？
解： s=60t-1.5t2
=-1.5(t-20)2+600
∴当t=20时，s最大，此时飞机才能停下来。
合作探究 达成目标
探究点二 用二次函数解决生活中的实际问题
实际问题
抽象 转化
运用 数学问题 数学知识 问题的解决
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
合作探究 达成目标
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴这时水面的宽度为: ∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
“二次函数应用”的思路 回顾上一节“最大利润”和本节“桥梁建筑”解决问题的 过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴 交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
D B
y=-2x2
达标检测 反思目标
102
感谢关注！
创设情境 明确目标
部编数学九年级上册 实际问题与二次函数专题训练(4大题型35题)2023考点题型精讲(解析版)含答案
22.3实际问题与二次函数专题训练（4大题型35题）题型1：几何问题-面积问题1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用32m的篱笆围成．（1）令苗圃园长（平行于墙的边长）为xm，宽为ym，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若苗圃园的面积为96m2，求垂直于墙的一边长为多少米？（3）苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值．【分析】（1）根据篱笆的长为32米．列出y关于x的函数关系式，并根据墙长为18m，矩形的边长大于0求出x的取值范围；（2）设苗圃园的面积为Sm2，根据矩形的面积公式写出S关于x的函数解析式，令S＝96，解关于x的一元二次方程，取在x范围的解即可；（3）先令S＝150得到关于x的一元二次方程，再根据Δ＜0，可知苗圃园面积不能达到150m2；根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由题意得：y＝＝﹣x+16，∵，∴0＜x≤18，∴y关于x的函数关系式为y＝﹣x+16，x的取值范围为0＜x≤18；（2）设苗圃园的面积为Sm2，由（1）知，S＝xy＝x（﹣x+16）＝﹣x2+16x，令S＝96，则﹣x2+16x＝96，解得：x1＝8，x2＝24（舍去），∴平行于墙的边长8m，∴垂直于墙的边长为﹣×8+16＝12（m）；（3）由（2）知S＝﹣x2+16x，令S＝150，则﹣x2+16x＝150，整理得：x2﹣32x+300＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×1×300＝﹣176＜0，∴方程x2﹣32x+300＝0无实数解，∴苗圃园的面积不能达到150m2；∵S＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣16）2+128，∵﹣＜0，∴当x＝16时，S有最大值，最大值为128，∴当平行于墙的边长为16m时，苗圃园的面积最大值128m2．【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．2．目前世界上有10亿多人以马铃薯为主粮，为国家粮食安全，丰富农民收入来源，某区试点马铃薯种植，给予每亩地每年发放150元补贴．年初，种植户金大伯根据以往经验，考虑各种因素，预计本年每亩的马铃薯销售收入为2000元，以及每亩种植成本y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象，求出y与x之间的函数关系式．（2）根据预计情况，求金大伯今年种植总收入w（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式．（总收入＝销售收入﹣种植成本+种植补贴）．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）分别求出销售收入、种植成本、种植补贴，再根据总收入销售收入种植成本种植补贴计算即可．【解答】（1）设函数关系式为y＝kx+b，根据图象可知，函数图象过点（200，1000），（240，880），将这两点代数函数关系式可得：，解得：，故函数关系式为：y＝﹣3x+1600；（2）销售收入：2000x；成本：y•x＝（﹣3x+1600）•x＝﹣3x2+1600x，补贴：150x；因为，总收入＝销售收入•种植成本+种植补贴，所以w＝2000x﹣（﹣3x2+1600x）+150x，整理得：w＝3x2+550x．【点评】本题主要考查一次函数的实际应用及待定系数法求解析式，解题的关键是正确解读题意，找出各个函数表达式和代数式．3．如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．（1）若矩形ABCD的面积为144平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大、AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？【分析】（1）根据题意：矩形的面积＝AB×BC，设未知数列方程可解答；（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（36﹣2x）米，可以得到y与x的函数关系式，在x的取值范围内求出函数的最大值即可．【解答】解：（1）设AB为x米，则BC＝（36﹣2x）米，由题意得：x（36﹣2x）＝144，解得：x1＝6，x2＝12，∵墙长为16米，36米的篱笆，∴36﹣2x≤16，2x＜36，∴10≤x＜18，∴x＝12，∴AB＝12，答：矩形的边AB的长为12米；（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（36﹣2x）米，∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，∵10≤x＜18，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，∴当x＝10时，y有最大值是160，答：AB边的长应为10米时，有最大面积，且最大面积为160平方米．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（20﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于13cm2建立方程求出其解即可；（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，根据圆的面积公式求出两圆面积之和，再根据函数性质求最小值．【解答】解：（1）设剪成较短的一短为xm，则较长的部分为（20﹣x）m，由题意得：（）2+（）2＝13，化简得：x2﹣20x+96＝0，解得：x1＝8，x2＝12，当x＝8时，较长部分为12，答：应该把铁丝剪成8m和12m的两个部分；（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，由题意得：S＝π•（）2+π•（）2＝（y﹣10）2+（0≤y≤20），∵＞0，∴当y＝10时，S有最小值，最小值为．【点评】本题考查和二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式和一元二次方程．5．如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．【分析】（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，根据面积公式列出一元二次方程，解之即可；（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴x•＝144，解得x＝12或x＝18，∴AB＝12cm或AB＝8cm，∴AB的长为12厘米或8厘米；（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴S＝x•，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，∵﹣＜0，∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．故答案为：150．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．6．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．（1）BC长为 米（包含门宽，用含x的代数式表示）；（2）若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，即得BC 长为（36﹣3x）米；（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，即可解得x的值；（3）w＝x•（36﹣3x）＝﹣3（x﹣6）2+108，由二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，∴BC长为32﹣3x+4＝36﹣3x，故答案为：（36﹣3x）；（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，解得x＝4或x＝8，∵x＝4时，36﹣3x＝24＞14，∴x＝4舍去，∴x的值为8；（3）设苗圃ABCD的面积为w，则w＝x•（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∵﹣3＜0，∴当x＞6时，w随x的增大而减小，∵36﹣3x≤14，得x≥，∴x＝时，w最大为，答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题得关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．7．为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？【分析】（1）根据题意和图形可知：AB•CD＝42，然后列出方程求解即可，注意CD的长不大于9m；（2）根据题意，可以写出面积与AB的长的函数关系，然后利用二次函数的性质求最值．【解答】解：（1）设AB长为xm时，绿化带ABCD的面积为42m2，x（27﹣3x）＝42，解得x1＝2，x2＝7，当x＝2时，27﹣3x＝21＞9，不合题意，舍去；当x＝7时，27﹣3x＝6，符合题意；答：当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2；（2）设绿化带ABCD的面积为Sm2，AB长为am，S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣）2+，∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝，∵，解得6≤a＜9，∴当a＝6时，S取得最大值，此时S＝54，答：当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值．8．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为xm，矩形场地的面积为Sm2．（Ⅰ）S与x的函数关系式为S＝ ，其中x的取值范围是 ；（Ⅱ）若矩形场地的面积为42m2，求矩形场地的长与宽；（Ⅲ）当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．【分析】（1）由AD＝x，可得出AB＝20﹣2x，由墙长10米，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出s关于x的函数关系式；（2）根据矩形场地的面积，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）把二次函数的解析式配方成顶点式，求出长与宽．【解答】解：（1）∵AD＝BC＝x，∴AB＝20﹣2x．又∵墙长10米，∴，∴5≤x＜10．∴S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x（5≤x＜10）．故答案为：﹣2x2+20x，5≤x＜10；（2）当矩形场地的面积为42m2时，﹣2x2+20x＝42，解得：x1＝3（不合题意，舍去），x2＝7，∴20﹣2x＝6．答：矩形的长为7米，宽为6米；（3）∵S＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，∴当x＝5时，S最大是50，此时20﹣2x＝10，答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是10m，宽是5m，矩形场地面积的最大值是50m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出s关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．9．在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x 为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．【分析】（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得y与x的关系式；（2）根据二次函数的增减性可得结论；（3）根据列方程即可得到结论．【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）＝200﹣200+30x﹣x2＝﹣x2+30x，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，∵﹣1＜0，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，∵4≤x≤8，∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；（3）设布置场地所用费用为w元，则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x＝﹣2x2+60x+1600，令w＝1850，﹣2x2+60x+1600＝1850，解得：x＝25或x＝5，∵4≤x≤8，∴4≤x≤5，∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．【点评】本题考查了二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．题型2：几何问题-动点问题10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（s），四边形APQC的面积为S（cm）．（1）试写出四边形APQC的面积为S（cm）与动点运动时间t之间的函数表达式；（2）运动时间t为何值时，四边形APQC的面积最小？最小值为多少？【分析】（1）首先根据题意，表示PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，再根据四边形APQC的面积为S＝Rt△ABC的面积﹣Rt△PBQ的面积，用t表示四边形的面积；（2）首先求出自变量的取值范围，根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值．【解答】解：（1）根据题意，得PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，S＝﹣＝6﹣t（3﹣t）＝t2﹣3t+6；（2）S＝t2﹣3t+6（0＜t＜2），∵a＝1，∴S＝﹣＝时，S有最小值，S＝，∴当t为cm时，四边形APQC的面积最小，最小值为cm2．【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示四边形的面积是解题关键．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q以点B开始沿边BC向点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一点到达终点时，另一个点随即停止移动．（1）经过几秒，△PBQ的面积等于18cm2？（2）在运动过程中，经过几秒时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据题意表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于18列式求值即可；（2）根据三角形的面积公式列出S关于t的函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设经过t（0≤t≤5）秒时间，此时PB＝10﹣2t，BQ＝3t，当△PBQ面积等于18cm2时，根据题意得：（10﹣2t）×3t＝18，解得t1＝2，t2＝3，经检验，均符合题意．∴经过2s或3s后，APBQ的面积等于18cm；（2）设运动时间为t秒，则S＝PB•BQ＝（10﹣2t）×3t＝﹣3t2+15t＝﹣3（t﹣2.5）2+，△PBQ∴当t＝2.5时，S最大，最大值为，△PBQ∴经过2.5秒时，△PBQ的面积最大，最大面积为cm2．【点评】此题考查了二次函数求最值、一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程．12．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0）（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）直接写出△APD的面积的最大值．【分析】（1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与x 之间的函数解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象可得答案．【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，即0≤x＜3时，y＝×AD×AP＝×4×x＝2x；当点P在BC上运动时，即3≤x＜7时，y＝×AD×AB＝×4×3＝6；当点P在CD上运动时，即7≤x≤10时，y＝×AD×PD＝×4×（10﹣x）＝﹣2x+20，综上所述，y＝；（2）函数图象如下：由图象可得，y最大为6，∴△APD的面积的最大值是6．【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法．13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s 的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，（1）AP＝ 2tcm ，BP＝ （12﹣2t）cm ，BQ＝ 4tcm ；（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据题意得出即可；（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm，故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；（2）△PBQ的面积S＝＝（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t＝32，解得：t＝2或4，即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；（3）S＝﹣4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36，所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．【点评】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与x的函数关系式是解此题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2）2，解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2cm；（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有y（12﹣2y）＝6，解得y1＝3﹣，y2＝3+．答：出发（3﹣）s或（3+）s时间时，△PQC的面积为6cm2；＝t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，（3）依题意有S△PQC∵﹣1＜0，∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6cm，AB＝4cm，S是AD中点，点E以每秒2cm的速度从点B出发沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F以每秒1cm的速度从点C出发沿CB运动．设点E、F出发t秒（0＜t＜6）时，△EBF的面积为ycm2．（1）求y与t的函数关系式；（2）当t为何值时，y取得最大值，并求出此最大值．【分析】（1）分点E在BS上、点E在SD上和点E在DC上讨论解答即可；（2）根据（1）的结论解答即可．【解答】解：（1）点E在BS上（当0＜t≤2.5时），，点E在SD上（当2.5≤t≤4时），y＝12﹣2t；点E在DC上（当4≤t≤6时），y＝t2﹣12t+36；（2）当0＜t≤2.5时，，对称轴t＝3，y随x的增大而增大，∴t＝2.5，y的最大值为7；当2.5≤t≤4时，y＝12﹣2t，是减函数，∴t＝2.5时，y有最大值为7；当4≤t≤6时，y＝t2﹣12t+36，对称轴为t＝6，y随x的增大而减小，∴t＝4，y有最大值为4．综上所述，t＝2.5时，y有最大值为7．【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．16．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且AO＝8，BO＝6，P是线段AB上一个动点，PE⊥AO于E，PF⊥BO于F．设PE＝x，矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据矩形的对边相等可得OF＝PE＝x，然后利用∠B的正切值求出PF，再根据矩形的面积公式列式整理即可得解；（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）在矩形PFOE中，OF＝PE＝x，∵AO＝8，BO＝6，∴tan B＝＝，即＝，解得PF＝（6﹣x），∴矩形PFOE的面积为S＝PE•PF＝x•（6﹣x）＝﹣x2+8x，即S＝﹣x2+8x；（2）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣6x+9）+12＝﹣（x﹣3）2+12，∴当x＝3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是12．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，矩形的性质与锐角的正切的利用，（2）把二次函数的解析式转互为顶点式形式是解题的关键．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B 运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S 关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x ）2+y 2＝（6﹣y ）2+x 2，∴y ＝．∵0≤y ≤6，∴0≤≤6，∴≤x ≤．（3）S △BPE ＝•BE •BP ＝••（8﹣x ）＝，S △ECQ ＝＝•（6﹣）•x ＝，∵AP ＝CQ ，∴S BPQC ＝，∴S ＝S BPQC ﹣S △BPE ﹣S △ECQ ＝24﹣﹣，整理得：S ＝＝（x ﹣4）2+12（），∴当x ＝4时，S 有最小值12，当x ＝或x ＝时，S 有最大值．∴12≤S ≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．题型3：利润问题18．某种产品按质量不同分等级，生产最低档次产品每件获利润8元，每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时每天可生产最低档次产品800件，每提高一个档次将减产40件，求生产何种档次产品的利润最高？【分析】档次提高时，带来每件利润的提高，销售量下降，设生产第x档次时获得产品的利润为y元，每件利润为[8+2（x﹣1）]元，销售量为[800﹣40（x﹣1）]件，根据：利润＝每件利润×销售量列函数式，化成顶点式即可．【解答】解：设生产第x档次时获得产品的利润为y元，则∵生产最低档次产品每件获利润8元，每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时每天可生产最低档次产品800件，每提高一个档次将减产40件，∴y＝[8+2（x﹣1）][800﹣40（x﹣1）]＝﹣80（x﹣9）2+11520，∵当x＝9时，y有最大值，所以，生产第九档次产品获利润最大．【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，解题的关键是能够从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大．19．小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．时间x（天）1≤x＜3030≤x≤50售价（元/件）x+4070每天销量（件）100﹣2x已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可以分别求得1≤x＜50和50≤x≤90时的y与x的函数关系式；（2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题．【解答】解：（1）当1≤x＜30时，y＝（100﹣2x）（x+40﹣10）＝﹣2x2+40x+3000，当30≤x≤50时，y＝（100﹣2x）（70﹣10）＝﹣120x+6000，综上所述：y与x的函数关系式为y＝；（2）当1≤x＜30时，二次函数y＝﹣2x2+40x+3000＝﹣2（x﹣10）2+3200，∵﹣2＜0，∴当x＝10时，y＝3200，最大当30≤x≤50时，y＝﹣120x+6000中y随x的增大而减小，＝2400，∴当x＝30时，y最大综上所述，该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．20．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x（元/千克）121620日销售量y（千克）220180140（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）设日销售利润为W，求出W与x的函数关系式；（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价−成本单价）（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，由待定系数法求解即可；（2）根据日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）写出函数关系式；（3）根据题意得﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，变形得出关于x的二次不等式，然后解一元二次方程，再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（12，220），（16，180）代入得：，解得：．∴y＝﹣10x+340；（2）由题意得：W＝（﹣10x+340）（x﹣8）＝﹣10x2+420x﹣2720，∴W与x的函数关系式是W＝﹣10x2+420x﹣2720；（3）由题意得：﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，∴x2﹣42x+432≤0，当x2﹣42x+432＝0时，解得：x1＝18，x2＝24，∵函数y＝x2﹣42x+432的二次项系数为正，图象开口向上，∴当18≤x≤24时，x2﹣42x+432≤0，即﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，∴该产品销售单价的范围为18≤x≤24．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．21．某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元时，每月可以售出1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零件售价降低x元，每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）为了更好地回馈社会，公司决定每销售1个零件就捐款n（0＜n≤6）元作为抗疫基金，当40≤x≤60时，捐款后每月最大的销售利润为135000元，求n的值．【分析】（1）根据销售利润＝单件利润×销售量列出函数解析式即可；（2）根据销售利润﹣捐款额列出函数解析式，再根据函数的性质结合x的取值范围求值即可．【解答】解：（1）设每个零件售价降低x元，则每个零件的实际售价为（200﹣x）元，每月的实际销售量为（1000+×100），则w＝（200﹣x﹣80）（1000+×100）＝20x2十1400x+120000，∵，∴0≤x≤120，∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣20x2+1400x+120000（0≤x≤120）；（2）设捐款后的实际利润为p元，则p＝﹣20x2+1400x+120000﹣（1000+×100）n，整理得：p＝﹣20x2+（1400﹣20n）x+120000﹣1000n，则p是x的二次函数，其对称轴为直线x＝﹣＝，∵0＜n≤6，∴32≤＜35，∵﹣20＜0，∴函数图象开口向下，当40≤x≤60时，p随x的增大而减小，∴当x＝40时，p有最大值135000，即﹣20×402+40（1400﹣20n）+120000﹣1000n＝135000，解得：n＝5．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数解析式．22．我市某卖场的一专营柜台，专营一种电器，每台进价60元，调查发现，当销售价80元时，平均每月能售出1000台；当销售价每涨1元时，平均每月能少售出10台；该柜台每月还需要支出20000元的其它费用．为了防止不正当竞争，稳定市场，市物价局规定：“出售时不得低于80元/台，又不得高于180元/台”，设售价为x元/台时，月平均销售量为y台，月平均利润为w元．（1）求y与x的函数关系式，w与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（2）每台售价多少元时，月销售利润最高，最高为多少元．【分析】（2）根据题意直接得出结论；（2）根据抛物线的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意得：y＝1000﹣10（x﹣80）＝1800﹣10x（80≤x≤180），w＝（x﹣60）（1800﹣10x）﹣20000＝﹣10x2+2400x﹣128000（80≤x≤180）；（2）w＝﹣10x2+2400x﹣128000＝﹣10（x﹣120）2+16000，∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下，∴当每台售价120元时，月销售利润最高，最高为16000元．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．23．某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当x ＝15时，y＝50；当x＝17时，y＝30．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，然后代值求解即可；（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得w＝﹣10（x﹣16）2+160进而根据二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+200；（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得：w＝（x﹣12）（﹣10x+200）＝﹣10x2+320x﹣2400＝﹣10（x﹣16）2+160，∵12≤x≤18，且﹣10＜0，∴当x＝16时，w有最大值，最大值为160．答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．24．为扩大销售，某乡镇农贸公司在某平台新开了一家网店进行线上销售．在对一种特产（成本为10元/千克）在网店试销售期间发现每天销售量y（千克）与销售单价x（元）大致满足如图所示的函数关系（其中14≤x≤25）．（1）写出y关于x的函数解析式，并求x＝20时，农贸公司每天销售该特产的利润；（2）设农贸公司每天销售该特产的利润为W元，当销售单价x为多少元时，W最大？最大是多少元？【分析】（1）设出y关于x的函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据每千克的利润×销售量＝总利润列出函数解析式，用函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式y＝kx+b（k≠0），将（14，320），（25，210）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+460；当x＝20时，y＝﹣10×20+460＝260，农贸公司每天销售该特产的利润为（20﹣10）×260＝2600（元），。