中考数学拼图题型赏析
中考数学拼图题型赏析
考拼图题型赏析拼图题就是在生动有趣的情境中，引导学生动手操作，巩固有关图形的知识，积累数学活动经验，发展有条理的思考，进一步形成空间概念，认识到图形在日常生活中的应用．它具有开放性、综合性、延伸性等特点，已成为近几年来中考数学命题的一大风景为帮助同学们熟悉题型，迎接挑战，笔者撷取几例中考拼图趣题，进行归类分析，供大家欣赏．一.开放型例1 (广东茂名)如图1，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内．．．添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．分析:本题没有给出对称轴,根据轴对称图形的特征,可以在不同的位置进行涂黑,解答时可先确定其对称轴,然后再涂黑,如图4所示.此题答案不唯一，只要在方格内添的二个正方形使整个图形是对称图形即可.解：如图2所示.评注：它是一个结论开放型拼图题，其结果可以是多种多样的，只要符合题目要求即方法一 方法二 图 1 方法一 方法二 方法三 方法四 图2图4 ① •••② ③可．在考查灵活运用所学数学知识解决问题的同时，能够让解答者感受到数学的美，较好地展示了解答者的创新精神.二.网格型例2 （山东日照）如图3所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸上最多可以画出不同位置的L 形图案的个数是( )A.16个B.32个C.48个D.64个分析:观察图形得到，L 形图案在4个小方格组成的正方形中,且这个正方形可以画出4个不同位置的L 形图案, 4×5个小方格组成的方格纸包含12个4个小方格组成的正方形,所以最多可以画出不同位置的L 形图案个数为4×12=48个.故选C.评注:注意本题的思考方法是分解法,先确定4个小方格组成的正方形中可画出L 形图案个数,再找出图3中包含小方格的个数,进而得到本题答案.三.规律型例3 (河南)如图4,将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样 的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第n 个图形中共有 个正六边形．分析：由题知，图①为1个正六边形；图②为4个正六边形，是（1+3×1）个；图③为7个正六边形，是（1+3×2）个；则第n 个图形中正六边形的个数为：1+3×（n-1）个.评注: 本题是一道按规律拼图的题目，此类题目只要抓住了图形的变化规律，则问题可解．它着重考查的就是识图能力和归纳推理能力．图3四.选择型例 4 （广东梅州）如图5，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，90AD BC BAC⊥∠≠，°．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形 _______个．分析：可拼出如图6所示的两个平行四边形和一个矩形，它们都是中心对称图形,应填3.评注：本题宜采用平移、旋转、翻折等手段来拼图.五.计算型例5 (浙江丽水)如图6所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD的边长为2，E是AD的中点，按CE将菱形ABCD剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；（2）判断所拼成的三种图形的面积（s）、周长（l）的大小关系（用“=”、“＞”或“＜”连接）：面积关系是；周长关系是．分析:（1）通过旋转或平移图形②,可以拼成直角三角形、等腰梯形、矩形;(2)因为三个图形都是由①、②两图形拼出的，所以其面积相等,都等于菱形ABCD的面积;计算CE= ,31222=-则直角三角形、等腰梯形、矩形的周长分别为:6+2,38,4+2,3于是可图5 图6图7得到三个图形的周长的大小关系.解:(1)如图7所示.（2） =S =S S 矩形直角三角形等腰梯形； l 直角三角形＞l 等腰梯形 ＞ l 矩形． ……评注：本题主要是依据勾股定理计算三种图形的周长,进而进行比较.（福建省三明市）用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ）BA ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③。
中考二轮复习专题分类中考数学作图型试题精讲
中考二轮复习——专题分类专题一、作图型试题例1、无锡已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.1将图1中的格点△ABC,先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到△A 1B 1C 1,请你在图1中画出△A 1B 1C 1.2在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形. 知识点：考查学生平移变换,利用勾股定理进行三角形的有关计算,全等及相似三角形的判定; 精析：本题关键是计算出△ABC的三边的长度,然后找一个不等于1的相似比,比如相似比为2,计算出△DEF 三边长或计算出一边长后,利用平移得出△DEF;准确答案．1 2答案不唯一.中考对该知识点的要求：,点阵中对称点对称图形问题及利用格点进行面积计算已经成为最近几年中考试题的考点问题;目标达成：1－1－1、太原在4×4的正方形网格中,每个小方形的边长都是1;线段AB 和CD 分别是图1－1中1×3的两个矩形的对角线,显然AB ∥CD;请你用类似的方法画出过点E 且垂直于AB 的直线,并证明;1－1－2、连云港如图1－2,在55 的正方形网格中, 每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画 出图形．图2F D E A B C 图1 A BC 图1A 1B 1C 1 图2F D EGF E D C BA图1－1－1（1） 从点A 出发的一条线段AB ,使它的另一个端点落在格点即小正方形的顶点上,且长度为22； 2以1中的AB 为边的一个等腰三角形ABC , 使点C 在格点上,且另两边的长都是无理数；3以1中的AB 为边的两个凸多边形,使它们都是中心对 称图形且不全等,其顶点都在格点上,各边长都是无理数． 1－1－3、宿迁如图1－3,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图一中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．1求图一中四边形ABCD 的面积；2在图二方格纸中画一个格点三角形EFG ,使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．图一 图二 1－1－4、潍坊如图,ABC ∆等的一个格点三角形．1－1－5ABCD.1画出1B 1C 1D 1使 1B 1C 1D 1与 2画出 A 2B 2C 2D 2,A 2B 2C 2D 2与3 A 1B 1C 1D 1与A 2B 2C 2D 2是对称图形吗若是,请在图上画出对称轴或对称中心图1－1－2图1－3 DCBAB例2、河南课改有一块梯形状的土地,现要平均分给两个农户种植即将梯形的面积两等分,试设计两种方案平分方案画在备用图上,并给予合理的解释;知识点：考查有关图形的面积计算问题;精析：一般对于简单的图形可直观的进行分割,而对于稍复杂的题目,是通过计算或是转化为三角形问题来解决的;准确答案：设梯形上、下底分别为a 、b,高为h;方案一：如图1,连结梯形上、下底的中点E 、F,则S 四边形ABFE ＝S 四边形EFCD ＝错误!方案二：如图2,分别量出梯形上、下底a 、b 的长,在下底BC 上截取BE ＝错误!a ＋b,连接AE,则S △ABE ＝S 四边形AECD ＝错误!;方案三：如图3,连结AC,取AC 的中点E,连结BE 、ED,则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半;分析此方案可知,∵AE ＝EC,∴S △AEB ＝S △EBC ,S △AED ＝S △ECD , ∴S △AEB ＋S △AED ＝S △EBC ＋S △ECD ,∴图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半中考对该知识点的要求：对于图形分割,是历年来各省市的中考试题的一个考点也是难点之一;它要求学生除了考查学生的基础知识外,还能较好的考查学生的观察、分析、创新能力;目标达成1－2－1.贵阳在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等；（1） 根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线 有 组；A B C DE F 图1A B C D E 图 2A B CD E 图 3ABCDABCDDCBAA B CD 备用图⑴ABCD备用图⑵图1－1－5图1－2－12请在图1－2－1的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； 3由上述实验操作过程,你发现所画的饿两条直线有什么规律1－2－2.梅州如图5,Rt ΔABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,用圆规和直尺作图,用两种方法把它分成两个三角形,且要求其中一个三角形的等腰三角形;保留作图痕迹,不要求写作法和证明1－2－3.黄冈蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室,计划做长120cm,宽30cm 的长条形桌面;现只有长80cm,宽45cm 的木板,请你为该校设计不同的拼接方案,使拼出来的桌面符合要求;只要求画出裁剪、拼接图形,并标上尺寸,设计出一种得5分,设计出两种再加1分1－2－4. 临沂小芸在为班级办黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形,保留作图痕迹,并简要写出作法．A B1－2－5. 2005年 佛山学校有一块如图所示的扇形空地,请你把它平均分成两部分．要求：用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不用证明．能力提高：A B C A B C 图1－2－2 80cm 45cm 80cm 45cm1－1.常州如图,有一木制圆形脸谱工艺品,H 、T 两点为脸谱的耳朵,打算在工艺品反面两耳连线中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板斜边大于工艺品的直径,请你用两种不同的方法确定点D 的位置画出图形表示,并且分别说明理由．1－2、武汉．用四块如图1所示的瓷砖拼成一个正方形图案,使拼成的图案成一个轴对称图形如图2,请你分别在图3、图4中各画一种与图2不同的拼法,要求两种拼法各不相同,且其中至少有一个图形既是中心对称图形,又是轴对称图形;1－3锦州如图,己知四边形ABCD,用尺规将它放大,使放大前后的图形对应线段的比为1：2.不写作法,但保留作图痕迹1－4.青岛某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛; 1若要使花坛面积最大,请你在这块公共区域如图内确定圆形花坛的圆心P ； 2若这个等边三角形的边长为18米,请计算出花坛的面积;AB C1－5．上海1在图3所示编号为①、②、③、④的四个三角形中,关于y 轴对称的两个三角形的编号为 ；关于坐标原点O 对称的两个三角形的编号为 ； 2在图4中,画出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1A BDC1－6．苏州如图,平行四边形纸条ABCD 中,E 、F 分别是边AD 、BC的中点;张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF 沿EF 翻折,得到一个V 字形图案;1请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A 1B 1FE ； 用尺规作图,不写画法,保留作图痕迹 2已知∠A=63°,求∠B 1FC 的大小;1－7．温州小明家用瓷砖装修卫生间,还有一块墙角面未完工如图甲所示,他想在现有的六块瓷砖余料中如图乙所示挑选2块或3块余料进行铺设,请你帮小明设计两种不同的铺设方案在下面图丙、图丁中画出铺设示意图,并标出所选用每块余料的编号;1-8.盐城已知：如图,现有的正方形和的矫形纸片若干块,试选用这些纸片每种至少用一次在下面的虚线方框中拼成一个矫形每两个纸片之间既不重叠,也无空隙,批出的图中必须保留拼图的痕迹,使批出的矫形面积为,并标出此矫形的长和宽;1－9.茂名一条小船,（1） 若把小船平移,使点A 平移到点B,请你在图中画出平移后的小船；（2） 若该小船先从点A 航行到达岸边L 的点P 处补给后,再航行到点B,但要求航程最短, 试在图中画出点P 的位置a b1－10.丽水某公园有一个边长为4米的正三角形花坛,三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛,要求三棵古树不能移动,且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限． 1按圆形设计,利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；2按平行四边形设计,利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图； 3若想新建的花坛面积较大,选择以上哪一种方案合适请说明理由1－11. 曲沃－阳城在下面方格纸中设计一个对称图案,在这个图案中必须用到等腰三角形、正方形、圆三种基本图形;1－12、曲沃－阳城下面是天都市三个旅游景点的平面图,请你选用适当的方式借助刻度尺、量角器等基本作图工具,确定出三个景点的位置;图1 图2 A B C A B C1－13、深圳南山区平移方格纸中的图形如图13,使A 点平移到A ′点处,画出平移后的图形,并写上一句贴切、诙谐的解说词．解说词：一、作图型试题答案1－1－1.1－1－2.天都市旅游景点示意图 •碑林 •博物馆 •动物园 北 比例尺 0 5 10千米A · ·A ′ C'BACD 6C 6D 5C 5D 4C 4C 2D 1D 3C 3D 2C 1BA 第2题答图1 第2题答图21－1－3. 1方法一：S ＝12×6×4 ＝12方法二：S ＝4×6－12×2×1－12×4×1－12×3×4－12×2×3＝122只要画出一种即可1－1－4. 只画出一个符合题意的三角形即可.1－1－5. 1如图,平行四边形A 1B 1C 1D 1,就是所求的平行四边形. -2如图,平行四边形A 2B 2C 2D 2,就是所求的平行四边形. 3是轴对称图形,对称轴是直线EF.1－2－1.1无数；2只要两条直线都过对角线的交点就给满分；3这两条直线过平行四边形的对称中心或对角线的交点； 1－2－2. 解：作法一：作AB 边上的中线； 作法二：作∠CBA 的平分线；作法三：在CA 上取一点D,使CD=CB;1－2－3.D 2C 2C 1D,D 1C O FEN M A 2A 1A B B 1B 2A B C DAB C DABC D1－2－4. 作法：1作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点O ； 2分别以A 、B 为圆心,以AO 或BO 的长为半径画弧,分别交半圆干点M 、N ；3连结OM 、ON 即可．1－2－5. 解法一：1以O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA 、OB 于C 、D 两点；2分别以C 、D 为圆心,大于CD 21的长为半径画弧,两弧交于E 点不与O 点重合；注：也可直接以A 、B 为圆心作图． 3射线OE 交弧AB 于F ； 则线段OF 将扇形AOB 二等分; 解法二：1连接AB ； 2分别以A 、B 为圆心,大于AB 21的长为半径画弧,两弧交于C 点不与O 点重合； 3连接OC 交弧AB 于D 点；则线段OD 将扇形AOB 二等分．能力提高：1－1③②①D LHTO反面D LH T O 反面反面OTHLC EFG D方法一：如图①,画TH 的垂线L 交TH 于D,则点D 就是TH 的中点;依据是垂径定理;方法二：如图②,分别过点T 、H 画HC ⊥TO,TE ⊥HO,HC 与TE 相交于点F,过点O 、F 画直线L 交HT 于点D,则点D 就是HT 的中点;由画图知,Rt △HOC ≌Rt △TOE,易得HF=TF,又OH=OT所以点O 、F 在HT 的中垂线上,所以HD=TD 方法三：如图③,原理同方法二 1－2、1－3.可按位似图形放大,且位似中心的位置可在图形顶点处、图形边上、图形内部、图形外部,在每一处都会有两种图形,因此,此题属开放试题,仅举示例供参考：1-4.12如图，中，米，Rt BOD BD OBD ∆=∠=︒930 ∴︒=tan30ODBD∴=⋅︒=⨯=OD BD tan 3093333 ∴⋅=花坛面积为：（米）ππ()3327221－5.1 ①、②； ①、③. 2如图1－6. 1作图如图；D 1 DC 1C B 1BA D D 1CC 1B 1BAAOB D C20000636318054ABFE EFB A A B EF ABEF B FE EFB B FC B FE EFB ∴∠=∠='''∴∠=∠=''∴∠=-∠-∠=是平行四边形，是由翻折得到的，。
13中考图形拼接问题中考讲义含答案清华附用
中考热点之-----切割拼接问题【简要分析】纵观近年全国各省市中考数学应用题，几何模型应用题悄然兴起，常处于“创新题”的地位，充当“选拔题”的重要角色.解几何应用题的一般方法是认真分析题意，洞察题中所蕴含的几何模型，然后把实际问题进行抽象，概括题意画出模型图，再利用几何图形的有关性质及相关定理来解决问题.中考来临之际编辑一些题，以助同学们顺利通过中考1请设计一种方案：把正方形ABCD 剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形,画出必要的示意图．(1)使拼成的三角形是等腰三角形．(图1)(2)使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形．(图2)答案：2已知： 如图， 在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝5，CD ＝6，∠DCB ＝60°，∠ABC ＝90°．等边三角形MPN (N 为不动点)的边长为a ，边MN 和直角梯形ABCD 的底边BC 都在直线l 上，NC ＝8．将直角梯形ABCD 向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得到图形②，如此翻折下去．(1) 求直角梯形ABCD 的面积；(2) 将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a ≥2，请直接写出这时两图形重叠部分的面积是多少？(3) 将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积，请直接写出这时等边三角形的边长a 至少应为多少？PN M D BAl 21答案：(1)如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ．∠ABC =90°，∴AB DE ∥．又 AD BC ∥，∴四边形ABED 是矩形．∴AD =BE ． 在Rt △DEC 中，∠DCB =60°，∴DE = DC •sin60°……………………………1分CE = DC ·cos60°=6×12=3．∴AD =BE =BC -CE =5-3=2．……………………………………2分 ∴直角梯形ABCD 的面积=11()(25)22AD BC DE +⋅=+⋅……………3分(2)………………………………………………4分(3)等边三角形的边长a 至少为10． ………………………………………………5分3以下两图是一个等腰Rt △ABC 和一个等边△DEF ，要求把它们分别割成三个三角形，使分得的三个三角形互相没有重叠部分，并且△ABC中分得的三个三角形和△DEF 中分得的三个小三角形分别相似，请画出两个三角形中的分割线，标出分割得到的小三角形中两个角的度数。
中考趣味拼图解法举例
湖北黄冈， 课改 卷) 图 1 中 练 习 : 1. (2005 ， 的梯 形符 合 条 件 时 ， 以经 过旋 转 和 可 翻折组合成图 2.
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2. (2005 ， 广东佛 山， 课改卷) 图 3 是用形 状、 大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案， 则 这个 图案 中 的等腰 梯 形 的底 角 ( 指锐 角) 是
成 k 个完全一样的矩形 ， 其中上、 下各横排两 个， 中间竖排若干个 ， k= 则 5. (2005， 四川绵阳) 如图6 宽为50cm 矩形 图案由 10 个全等的小长方形组成， 其中一个小
长方形 的面积 为
图 21- ( 2)
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图 22 图 23
图4
图5
图6
6. 请将四个全等直角梯形(如图 7) 拼成一 个平行 四边形 ， 并画出两种不同的拼法示意图 ( 拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的
剪开后 ， 既能拼 出平 行 四边形 和梯形 ， 又能 拼 出 三角形 的是 (
限
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图 25 图8
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图 24
边形 ABCD 是等腰梯形， AB// DC. 由4 个这样
的等腰梯形可以拼出图 2 所示的平行四边形.
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( 1) 求四边形 ABCD 四条边之间存在的等
量关系 ， 并说明理由;
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专题18尺规作图与操作探究拼图--浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)
三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）专题18尺规作图与操作探究拼图一．选择题（共13小题）1．（2021•杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（）A．1：√5B．1：2C．1：√3D．1：√2【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE,AP的长，即可得出答案．【解析】∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°,∵AD平分∠BAC,∴∠EAB=12×90°＝45°,∵EP⊥AB,∴∠APE＝90°,∴∠EAP＝∠AEP＝45°,∴AP＝PE,∴设AP＝PE＝x,故AE＝AB=√2x,∴AP：AB＝x:√2x＝1:√2．故选：D．2．（2021•湖州）如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N 作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（）A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE【分析】利用基本作图得到MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，BD＝CD，OD ⊥BC，则可对A选项进行判断，根据等腰三角形的“三线合一”可对B选项进行判断；根据三角形中位线的性质对C选项进行判断；由于DE=12AB，BD=12BC，AB≠BC，则可对D选项进行判断．【解析】由作法得MN垂直平分BC，∴OB＝OC，BD＝CD，OD⊥BC，所以A选项不符合题意；∴OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD，所以B选项不符合题意；∵AE＝CE，DB＝DC，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，所以C选项不符合题意；DE=12AB，而BD=12BC，∵AB≠BC，∴BD≠DE，所以D选项符合题意．故选：D．3．（2020•衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C ．D ．【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【解析】A 、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．B 、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P 且与直线l 的平行直线，本选项不符合题意．C 、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．D 、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．故选：D ．4．（2020•台州）如图，已知线段AB ，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 同样长为半径画弧，两弧交于点C ，D ，连接AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，则下列说法错误的是（ ）A ．AB 平分∠CAD B ．CD 平分∠ACBC ．AB ⊥CD D ．AB ＝CD【分析】根据作图判断出四边形ACBD 是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．【解析】由作图知AC ＝AD ＝BC ＝BD ，∴四边形ACBD 是菱形，∴AB 平分∠CAD 、CD 平分∠ACB 、AB ⊥CD ，不能判断AB ＝CD ，故选：D ．5．（2020•嘉兴）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝2√5，BC ＝8，按下列步骤作图：①以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ；②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心，线段OA 长为半径作圆．则⊙O 的半径为（ ）A ．2√5B ．10C ．4D ．5【分析】如图，设OA 交BC 于T ．解直角三角形求出AT ，再在Rt △OCT 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，设OA 交BC 于T ．半径为r ，∵AB ＝AC ＝2√5，AO 平分∠BAC ，∴AO ⊥BC ，BT ＝TC ＝4，∴AT =√AC 2−CT 2=√(2√5)2−42=2，在Rt △OCT 中，则有r 2＝（r ﹣2）2+42，解得r ＝5，故选：D ．6．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则S 正方形ABCDS 正方形EFGH 的值是（ ）A ．1+√2B ．2+√2C ．5−√2D ．154【分析】证明△BPG ≌△BCG （ASA ），得出PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，则EG ＝2x ，FG =√2x ，由勾股定理得出BC 2＝（4+2√2）x 2，则可得出答案．【解析】∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BGC ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG （ASA ），∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG =√2x ，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ，∴BG ＝x +√2x ，∴BC 2＝BG 2+CG 2=x 2(√2+1)2+x 2=(4+2√2)x 2，∴S 正方形ABCDS 正方形EFGH =(4+2√2)x 22x 2=2+√2．故选：B ．7．（2020•宁波）△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．【解析】∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．8．（2019•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A ．245B ．325C ．12√3417D ．20√3417【分析】设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE ，再由勾股定理求出CD ，过点C 作CF ⊥BG 于F ，由△CDE ∽△CBF 的比例线段求得结果即可．【解析】过点C 作CF ⊥BG 于F ，如图所示：设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，根据题意得：12（8﹣x +8）×3×3＝3×3×6， 解得：x ＝4，∴DE ＝4，∵∠E ＝90°，由勾股定理得：CD =√DE 2+CE 2=√42+32=5，∵∠BCE ＝∠DCF ＝90°，∴∠DCE ＝∠BCF ，∵∠DEC ＝∠BFC ＝90°，∴△CDE ∽△CBF ，∴CE CF =CD CB ， 即3CF =58，∴CF =245．故选：A ．9．（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GH【分析】如图，连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J．证明S△DGH＝S△AEH,S△DGC＝S△ADH,可得结论．【解析】如图，连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J．∵四边形EFGH是矩形，∴OH＝OF,EF＝GH,∠HEF＝90°,∵OJ⊥DE,∴∠OJH＝∠HEF＝90°,∴OJ∥EF,∵HO＝OF,∴HJ＝JE,∴EF＝GH＝2OJ,∵S△DHO=12•DH•OJ,S△DHG=12•DE•GH,∴S△DGH＝2S△DHO,同法可证S△AEH＝2S△AEO,∵S△DHO＝S△AEO,∴S△DGH＝S△AEH,∵S△DGC=12•CG•DH,S△ADH=12•DH•AE,CG＝AE,∴S△DGC＝S△ADH,∴S△DHC＝S△ADE,∴S1＝S2,故选：A．10．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【分析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可．【解析】如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，故选：B．11．（2020•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A．1和1B．1和2C．2和1D．2和2【分析】根据要求拼平行四边形矩形即可．【解析】中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D．12．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1B．√2C．√3D．2【分析】根据正六边形的性质，正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可．【解析】边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度=√32×2=√3． 故选：C ．13．（2019•台州）如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（ ）A ．14B ．12C ．817D ．815【分析】由“ASA ”可证△CDM ≌△HDN ，可证MD ＝DN ，即可证四边形DNKM 是菱形，当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小，可求CM =154，即可求tan α的值． 【解析】如图，∵∠ADC ＝∠HDF ＝90°∴∠CDM ＝∠NDH ，且CD ＝DH ，∠H ＝∠C ＝90° ∴△CDM ≌△HDN （ASA ）∴MD ＝ND ，且四边形DNKM 是平行四边形 ∴四边形DNKM 是菱形 ∴KM ＝DM∵sin α＝sin ∠DMC =CDMD∴当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小， 设MD ＝a ＝BM ，则CM ＝8﹣a ， ∵MD 2＝CD 2+MC 2， ∴a 2＝4+（8﹣a ）2， ∴a =174 ∴CM =154∴tan α＝tan ∠DMC =CDMC =815 故选：D ．二．填空题（共10小题）14．（2021•台州）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＜BC ．分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于D ，E 两点，直线DE 交BC 于点F ，连接AF ．以点A 为圆心，AF 为半径画弧，交BC 延长线于点H ，连接AH ．若BC ＝3，则△AFH 的周长为 6 ．【分析】直接利用基本作图方法得出DE 垂直平分AB ,AF ＝AH ,再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF +FC ＝BF +FC ＝AH +CH ＝BC ，即可得出答案． 【解析】由基本作图方法得出：DE 垂直平分AB , 则AF ＝BF ,可得AF ＝AH ,AC ⊥FH , ∴FC ＝CH ,∴AF +FC ＝BF +FC ＝AH +CH ＝BC ＝3,∴△AFH 的周长为:AF +FC +CH +AH ＝2BC ＝6． 故答案为：6．15．（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为 6﹣2√3 ；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A ′，B ′，C ′．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A ′，B ′，C ′在圆内或圆上时，圆的最小面积为（16﹣8√3）π．【分析】如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°，解直角三角形求出JK，OH，B′H，再求出OB′2，可得结论．【解析】如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点O作OH⊥B′C′于H．∵大正方形的面积＝12，∴FG＝GW＝2√3，∵EF＝WK＝2，∴在Rt△EFG中，tan∠EGF=EFFG=22√3=√33，∴∠EGF＝30°，∵JK∥FG，∴∠KJG＝∠EGF＝30°，∴d＝JK=√3GK=√3（2√3−2）＝6﹣2√3，∵OF＝OW=12FW=√6，C′W=√2，∴OC′=√6−√2，∵B′C′∥QW，B′C′＝2，∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°，∴OH＝HC′=√3−1，∴HB′＝2﹣（√3−1）＝3−√3，∴OB′2＝OH2+B′H2＝（√3−1）2+（3−√3）2＝16﹣8√3，∵OA′＝OC′＜OB′，∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为（16﹣8√3）π．故答案为：6﹣2√3，（16﹣8√3）π．16．（2021•宁波）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝1，则BN的长为2，sin∠AFE的值为√2−1．【分析】连接BF，FM，由翻折及BM＝ME可得四边形BEFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得BN＝BA．先证明△AEF≌△NMF得AE＝NM，再证明△FMN∽△CGN可得CGFM =GNNM,进而求解．【解析】∵BM＝BE，∴∠BEM＝∠BME，∵AB∥CD，∴∠BEM＝∠GCM，又∵∠BME＝∠GMC，∴∠GCM＝∠GMC，∴MG＝GC＝1，∵G为CD中点，∴CD＝AB＝2．连接BF,FM，由翻折可得∠FEM＝∠BEM，BE＝EF,∴BM＝EF，∵∠BEM＝∠BME，∴∠FEM＝∠BME，∴EF∥BM，∴四边形BEFM为平行四边形，∵BM＝BE，∴四边形BEFM为菱形，∵∠EBC＝∠EFC＝90°，EF∥BG，∴∠BNF＝90°，∵BF平分∠ABN，∴F A＝FN，∴Rt△ABF≌Rt△NBF(HL)，∴BN＝AB＝2．∵FE＝FM,F A＝FN，∠A＝∠BNF＝90°，∴Rt△AEF≌Rt△NMF(HL)，∴AE＝NM，设AE＝NM＝x，则BE＝FM＝2﹣x，NG＝MG﹣NM＝1﹣x，∵FM∥GC，∴△FMN∽△CGN，∴CGFM =GNNM,即12−x =1−xx,解得x＝2+√2(舍)或x＝2−√2，∴EF＝BE＝2﹣x=√2，∴sin∠AFE=AEEF=√2√2=√2−1．故答案为：2；√2−1．17．（2021•丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是6或7．【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，过顶点剪去一个角后边数不变或减少1，即可确定原多边形的边数．【解析】设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝720，解得：n＝6．∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，∴原多边形的边数为6或7，故答案为：6或7．18．（2021•湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是36度．【分析】正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得∠AFN＝∠ANF＝72°，然后根据三角形的内角和定理可求得∠A的度数．【解析】如图，∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，∴∠GFN＝∠FNM=(5−2)×180°5=108°，∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案是：36．19．（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为4√5．【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．【解析】由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2， 故直角三角形的另一条直角边长为：√32−22=√5， 故阴影部分的面积是：2×√52×4=4√5， 故答案为：4√5．20．（2020•金华）如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 30 °．【分析】根据平行四边形的性质解答即可． 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D +∠C ＝180°，∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°， 故答案为：30．21．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为√2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 ①②③④ （填序号）． ①√2，②1，③√2−1，④√32，⑤√3．【分析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解． 【解析】如图所示：则其中一个等腰三角形的腰长可以是①√2，②1，③√2−1，④√32，不可以是√3． 故答案为：①②③④．22．（2019•温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB ＝∠AOE ＝90°，菱形的较短对角线长为2cm ．若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为 （12+8√2） cm ．【分析】连接IC ，连接CH 交OI 于K ，则A ，H ，C 在同一直线上，CI ＝2，根据△COH 是等腰直角三角形，即可得到∠CKO ＝90°，即CK ⊥IO ，设CK ＝OK ＝x ，则CO ＝IO =√2x ，IK =√2x ﹣x ，根据勾股定理即可得出x 2＝2+√2，再根据S 菱形BCOI＝IO ×CK =12IC ×BO ，即可得出BO ＝2√2+2，进而得到△ABE 的周长．【解析】如图所示，连接IC ，连接CH 交OI 于K ，则A ，H ，C 在同一直线上，CI ＝2， ∵三个菱形全等，∴CO ＝HO ，∠AOH ＝∠BOC ， 又∵∠AOB ＝∠AOH +∠BOH ＝90°， ∴∠COH ＝∠BOC +∠BOH ＝90°，即△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO＝∠CHO＝45°＝∠HOG＝∠COK，∴∠CKO＝90°，即CK⊥IO，设CK＝OK＝x，则CO＝IO=√2x，IK=√2x﹣x，∵Rt△CIK中，（√2x﹣x）2+x2＝22，解得x2＝2+√2，又∵S菱形BCOI＝IO×CK=12IC×BO，∴√2x2=12×2×BO，∴BO＝2√2+2，∴BE＝2BO＝4√2+4，AB＝AE=√2BO＝4+2√2，∴△ABE的周长＝4√2+4+2（4+2√2）＝12+8√2，故答案为：12+8√2．23．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．三．解答题（共10小题）24．（2021•衢州）如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出△ACD，使△ACD与△ACB全等，顶点D在格点上．（2）在图2中过点B画出平分△ABC面积的直线l．【分析】（1）构造平行四边形ABCD，可得结论．（2）取线段AC与网格线的交点T，作直线BT即可．【解析】（1）如图1中，△ADC即为所求．（2）如图2中，直线BT即为所求．25．（2021•宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．【分析】（1）根据平行四边形的定义以及题目条件画出图形即可．（2）根据正方形的定义画出图形即可．【解析】（1）如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，四边形AEBF即为所求．26．（2021•嘉兴）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．【分析】（1）先以AB为边画出一个等腰三角形，再作对称即可；（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得．【解析】（1）如下图所示：四边形ABCD即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．（2）图1菱形面积S=12×2×6＝6，图2菱形面积S=12×2√2×4√2=8，图3菱形面积S＝（√10）2＝10．27．（2020•衢州）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解析】（1）如图平行四边形ABDE即为所求（点D的位置还有6种情形可取）．（2）如图，直线l即为所求．28．（2020•温州）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH．（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=√5MN．【分析】（1）根据点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH，画出线段即可；（2）根据使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=√5MN．画出线段即可．【解析】（1）如图1，线段EF和线段GH即为所求；（2）如图2，线段MN和线段PQ即为所求．29．（2019•舟山）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'=√5，BD＝AC＝BD''=√13，AD'＝BC＝AD''=√10；画出图形即可；（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．【解析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'=√5，BD＝AC＝BD''=√13，AD'＝BC＝AD''=√10；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．30．（2019•温州）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．【分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．（2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造MP＝NQ＝5√2即可．【解析】（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．31．（2019•衢州）如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点．（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）根据平行四边形的判定即可解决问题．【解析】（1）线段CD即为所求．（2）平行四边形ABEC即为所求．32．（2019•金华）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．【分析】图1，从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F；图2，EC=√5，EF=√5，FC=√10，借助勾股定理确定F点；图3，根据格点特征，利用垂直平分线的判定画出图形即可．【解析】如图：33．（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB＝90°，则∠F AB与∠EBA互余，即可求解；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）证明△DBQ∽△ECN，即可求解．【解析】（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD ＝CD ， ∵DE ＝2BE ， ∴BD ＝CD ＝3BE ， ∴CE ＝CD +DE ＝5BE ，∵∠EDF ＝90°，点M 是EF 的中点， ∴DM ＝ME ， ∴∠MDE ＝∠MED ， ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∴△DBQ ∽△ECN ， ∴QB NC=BD CE=35，∵QB ＝3， ∴NC ＝5， ∵AN ＝CN ， ∴AC ＝2CN ＝10， ∴AB ＝AC ＝10．。
用拼图理解乘法公式
baba b abaa用拼图理解乘法公式初中生对符号的抽象性把握不够，乘法公式只能凭法则加以推算，学生对法则的将信将疑无以验证，拼图的出现无疑是一场及时雨，不仅可以使学生头脑中的疑雾顿散，而充分体现、渗透了数形结合的数学思想。
请看下面几例：一、用拼图理解公式的几何意义理解1 将边长为a 的正方形纸片的剪出一个边是为b （b ＜a ＝的正方形，再将阴影部分剪一刀，拼成一个矩形或梯形。
（1）你能完成拼图吗？（2）根据前后两个图形阴影面积关系，你能发现什么结论？∴22()()a b a b a b +-=-或22()()a b a b a b -=+-理解2 将边长分别a 、b 的两个正方形和长宽为a 、b 的两个全等矩形拼成一个正方形。
（1）怎样拼？（2）用不同形式表示拼成正方形面积，你觉得以此可验证什么公式？分而算之：222S a b ab =++正 总而算之：2()S a b =+正∴222()2a b a b ab +=++理解3 将大小相同的4块长、宽分别为a 、b （a ＞b ）长方形纸片拼成如图形状，从中你能发现（a ＋b ）2与（a －b ）2关系吗？事实上，大正方形边长为a ＋b ，小正方形边长为a －b ， ∴大正方形面积 =（a ＋b ）2，小正方形面积 =（a －b ）2∴（a ＋b ）2 = （a －b ）2＋4ab ，或者（a ＋b ）2 －4ab = （a －b ）或者（a ＋b ）2 －（a －b ）2=4ab二、典例剖析例1在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再沿虚线剪开,如 图1（1），然后拼成一个梯形，如图1（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成a丙乙ba-b甲22S a b=-阴()()S a b a b =+-阴1(22)()()()2S a b a b a b a b =+-=+-阴立的是（）.A.（a+b）（a-b）＝a2-b2B.（a+b）2=a2+2ab+b2C.（a-b）2=a2-2ab+b2D.a2-b2=（a-b）2分析：从这个题目的条件中可以看出，把图1（1）图形经过剪切成为第图1（2）图形，得到一个等腰梯形，它的面积为（上底+下底）×高÷2，上底为2b，下底为2a，高为a-b，所以面积为：（2b+2a）（a-b）÷2＝a2-b2，所以答案为：Ａ.解：Ａ.点评：利用割补图形和乘法公式来验证图形的面积，要求同学们有较强思维意识和对一些特殊图形面积公式的充分掌握.本题的关键是计算梯形面积.例2如图2（1），阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即＿＿＿＿＿.若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b）.从而验证了平方差公式：＿＿＿＿＿.如图2（2），大正方形的面积可以表示为＿＿＿＿，也可以表示为S＝SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S＝＿＿＿＿，.从而验证了完全平方公式：＿＿＿＿＿.分析：本题考查利用图形解释平方差和完全平方公式，体现数形几何思想。
中考数学中的三角拼板问题突破与提升策略(共15张PPT)
三.三角拼板中的多解问题
练习反馈 1.用一副三角尺，能够组合成的角度有哪些？这些角度有什么
共同特点？
综上所述，∠ACE=120°，75°，30°。
三.三角拼板中的多解问题
练习反馈 1.用一副三角尺，能够组合成的角度有哪些？这些角度有什么
共同特Hale Waihona Puke ？这些角度都是15°的整数倍.
练习反馈 1.如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两 点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c, 则AD的长为( ) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c
三角拼板中的长度问题
例1.小明将一副三角板的两个直角顶点C按如图的 方式叠放在一起，当∠ACE<180°且点E在直线 AC的上方时，问∠ACE等于多少度时，三角板 BCE有一条边与斜边AD平行？
(3)当BC∥AD时 ∠BCA=∠A=60° ∴∠ACE=∠BCE－∠ACB=30°
三.三角拼板中的多解问题
例1.小明将一副三角板的两个直角顶点C按如图的方式叠放在一 起，当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，问∠ACE等 于多少度时，三角板BCE有一条边与斜边AD平行？
综上所述，∠ACE=120°，75°，30°。
分析：将三角板BCE绕点C顺 时针旋转，三角板BCE的三条 边都会在某个时刻与斜边AD 平行，所以分三种情况求出 ∠ACE就解决了。
三.三角拼板中的多解问题
例1.小明将一副三角板的两个直角顶点C按如图的 方式叠放在一起，当∠ACE<180°且点E在直线 AC的上方时，问∠ACE等于多少度时，三角板 BCE有一条边与斜边AD平行？
中考数学复习题型四《图形的折叠与剪拼》解析
中考数学复习题型四《图形的折叠与剪拼》分析题型四图形的折叠与剪拼例 1（ 2016 中考）如图，△ ABC中，∠ A=78°， AB=4，AC=6.将△ ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的暗影三角形与原三角形不相像的是（）．．．例 1 图【答案】 C.【分析】试题剖析：只需三个角相等，或许一角相等，两边成比率即可。
选项C项不可以判断两个三角形相像，故答案选 C考点：相像三角形的判断.例 2（河北）如图，将长为2、宽为 1 的矩形纸片切割成n 个三角形后，拼成面积为 2 的正方形，则 n≠（）A．2B．3C． 4 D． 5考点：图形的剪拼剖析：利用矩形的性质以及正方形的性质，联合勾股定理得出切割方法即可．解答：解：如下图：将长为2、宽为 1 的矩形纸片切割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则 n 能够为： 3，4，5，故 n≠ 2．应选： A．1．(2016 保定高阳县一模 ) 如下图，将正方形纸片三次对折后，沿图中 AB线剪掉一个等腰直角三角形，睁开摊平获得的图形是( )2．(2016 定州二模 ) 如图，在矩形纸片 ABCD中， AB＝ 4， BC＝8，将纸片沿 EF折叠，使点 C 与点 A 重合，则以下结论错误的选项是 ( )A ．AF＝AE B．△ABE≌△ AGF C ．EF＝2 5D．AF＝EF3．(2016 唐山开平区模拟 ) 将一张宽为 4 cm的长方形纸片 ( 足够长 ) 折叠成如下图图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是( )82 2 162 2A. 3 3 cm B ． 8 cmC. 3 3 cm D．16 cm4．(2016 唐山滦南县模拟 ) 将一个无盖正方体纸盒睁开( 如图 1) ，沿虚线剪开，用获得的 5 张纸片 ( 此中 4 张是全等的直角三角形纸片 ) 拼成一个正方形 ( 如图 2) ，则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是 ( )1 12 4A. 2B. 3C. 3D. 55．(2016 河北模拟 ) 如图，在边长为 2a 的正方形中央剪去一个边长为(a ＋2) 的小正方形(a ＞2) ，将节余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( )A ．a2＋ 4B．2a2＋4a C．3a2－4a－4D．4a2－a－26．(2016 河北模拟 ) 如图，在矩形 ABCD中， AB＝8，BC＝12，点 E 是 BC的中点，连结AE，将△ ABE沿 AE折叠，点 B 落在点 F 处，连结 FC，则 sin ∠ECF＝( )3 4 4 3A. 4B. 5C. 3D. 57．(2016 邢台模拟 ) 如下图，假如将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，睁开后获得一个等腰三角形，则睁开后三角形的周长是( )A ．2＋10B．2＋210C．12D．188．(2016 石家庄第四十二中学模拟) 如图，将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点 C 恰巧落在折痕 PQ上的点 C′处，点 D 落在 D′处，此中 M是 BC的中点，连结AC′， BC′，则图中共有等腰三角形的个数是 ( )A．1B．2C．3D．49．(2016 唐山玉田县模拟 ) 如图，在△ ABC中，∠ C＝90 °，BC＝6，D，E 分别在 AB，AC 上，将△ ABC沿 DE折叠，使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE的中点，则折痕 DE的长为．10．(2016 石家庄模拟 ) 如图，若将左侧的正方形剪成两个直角三角形和两个四边形后，恰巧能拼成右侧的矩形．设a＝2，则正方形的边长为．答案： 1. A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.B 8.C 9.2 10. 5＋3。
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考拼图题型赏析
拼图题就是在生动有趣的情境中，引导学生动手操作，巩固有关图形的知识，积累数学活动经验，发展有条理的思考，进一步形成空间概念，认识到图形在日常生活中的应用．它具有开放性、综合性、延伸性等特点，已成为近几年来中考数学命题的一大风景为帮助同学们熟悉题型，迎接挑战，笔者撷取几例中考拼图趣题，进行归类分析，供大家欣赏．
一.开放型
例1 (广东茂名)如图1，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内．．．
添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．
分析:本题没有给出对称轴,根据轴对称图形的特征,可以在不同的位置进行涂黑,解答时可先确定其对称轴,然后再涂黑,如图4所示.此题答案不唯一，只要在方格内添的二个正方形使整个图形是对称图形即可.
解：如图2所示.
评注：它是一个结论开放型拼图题，其结果可以是多种多样的，只要符合题目要求即
方法一 方法二 图 1 方法一 方法二 方法三 方法四 图2
图4 ① •••② ③
可．在考查灵活运用所学数学知识解决问题的同时，能够让解答者感受到数学的美，较好地展示了解答者的创新精神.
二.网格型
例2 （山东日照）如图3所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸
上最多可以画出不同位置的L 形图案的个数是( )
A.16个
B.32个
C.48个
D.64个
分析:观察图形得到，L 形图案在4个小方格组成的正方形中,且
这个正方形可以画出4个不同位置的L 形图案, 4×5个小方格组成
的方格纸包含12个4个小方格组成的正方形,所以最多可以画出不同位置的L 形图案个数为4×12=48个.故选C.
评注:注意本题的思考方法是分解法,先确定4个小方格组成的正方形中可画出L 形图案个数,再找出图3中包含小方格的个数,进而得到本题答案.
三.规律型
例3 (河南)如图4,将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样 的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第n 个图形中共有 个正六边形．
分析：由题知，图①为1个正六边形；图②为4个正六边形，是（1+3×1）个；图③为7个正六边形，是（1+3×2）个；则第n 个图形中正六边形的个数为：1+3×（n-1）个.
评注: 本题是一道按规律拼图的题目，此类题目只要抓住了图形的变化规律，则问题可解．它着重考查的就是识图能力和归纳推理能力．
图3
四.选择型
例 4 （广东梅州）如图5，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，90
AD BC BAC
⊥∠≠
，°．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个
三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形 _______个．
分析：可拼出如图6所示的两个平行四边形和一个矩形，它们都是中心对称图形,应填3.
评注：本题宜采用平移、旋转、翻折等手段来拼图.
五.计算型
例5 (浙江丽水)如图6所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD的边长为2，E是AD的中点，按CE将菱形ABCD剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．
（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；
（2）判断所拼成的三种图形的面积（s）、周长（l）的大小关系（用“=”、“＞”或“＜”连接）：面积关系是；
周长关系是．
分析:（1）通过旋转或平移图形②,可以拼成直角三角形、等腰梯形、矩形;(2)因为三个图形都是由①、②两图形拼出的，所以其面积相等,都等于菱形ABCD的面积;计算CE= ,3
1
22
2=
-则直角三角形、等腰梯形、矩形的周长分别为:6+2,38,4+2,3于是可
图5 图6
图7
得到三个图形的周长的大小关系.
解:(1)如图7所示.
（2） =S =S S 矩形直角三角形等腰梯形； l 直角三角形＞l 等腰梯形 ＞ l 矩形． ……
评注：本题主要是依据勾股定理计算三种图形的周长,进而进行比较.
（福建省三明市）用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ）B
A ．①②
B ．①③
C ．③④
D ．①②③。