成才之路高中数学人教B·必修配套练习：应用举例 第课时
成才之路高中数学人教B,选修22练习： 第1课时
第一章 1.4 第1课时一、选择题1．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列结论中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大小S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系不确定 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] 只有①正确．故选A.2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e xy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112d x[答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －an C.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积 三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．(2014·太原模拟)已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ∫2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛－22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛2－24－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求⎠⎛01x 3d x 的值．[解析] (1)分割0＜1n ＜2n ＜…＜n －1n ＜n n ＝1. (2)求和⎝⎛⎭⎫1n 3·1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 3·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 3·1n . ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22 ＝(n ＋1)24n 2.(3)取极限lim n →∞ (n ＋1)24n 2＝14lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝14. ∴⎠⎛01x 3d x ＝14.。
【成才之路】高中数学(人教版必修5)配套练习：1.2应用举例第1课时
测得水深 CF＝ 110m，求∠ DEF 的余弦值．
[解析 ] 由题意可得 DE 2＝502 ＋1202＝ 1302， DF 2＝ 1702＋302＝ 29800， EF2＝ 1202＋ 902 ＝1502，
第一章 1.2 第 1 课时
一、选择题
1．某次测量中， A 在 B 的北偏东 55°，则 B 在 A 的 ( )
A ．北偏西 35° C．南偏西 35° [答案 ] D
B ．北偏东 55° D ．南偏西 55°
[解析 ] 根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．
α＝ 55°，则 β＝ α＝ 55°.所以 B 在
A 的南偏西 55°.故应选 D．
2．两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°， 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( )
A ． a km
B ． 3a km
C． 2a km
D ．2a km
[答案 ] B
1 2)
＝
13，所以
MN＝
13km.
3．一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68n mile 的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为 ( )
17 6 A ． 2 n mile/h
B ． 34 6n mile/h
17 2 C． 2 n mile/h
[解析 ] 在△ ASB 中，∠ SBA＝ 115°，∠ S＝ 45°.由正弦定理，得 SB＝ AsBinsi4n520°＝°16s.1ins4in520° ° ≈ 7.787(n mile) ．设点 S 到直线 AB 的距离为 h，则 h＝ SBsin65 °≈ 7.06(n mile) ．
成才之路高一数学人教B必修课后强化作业： 第课时函数的单调性的应用
第二章 2.1.3 第2课时一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，则在下面区间内f (x )不是递减函数( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(1，＋∞) [答案] C[解析] f (x )＝3x 在(0，＋∞)上和(－∞，0)上都是减函数，故A 、B 、D 正确，但在(0，＋∞)∪(－∞，0)上不是减函数．2．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( ) A ．[－4，＋∞) B ．[－3,5] C ．[－4,5] D ．(－4,5][答案] C[解析] ∵f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，∴函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝2，又∵x ∈[1,5]， 故当x ＝2时，f (x )取最小值－4， 当x ＝5时，f (x )取大值5，故选C.3．在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x 2－1 C ．y ＝2x 2＋3x D ．y ＝2x －1[答案] D[解析] 函数y ＝3x －2在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝3x 2－1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝0，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2x 2＋3x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－34，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2x－1在(0，＋∞)上为减函数，故选D.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6(1≤x ≤2)x ＋7(－1≤x ≤1)，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对[答案] A[解析] 函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，∴函数f (x )的最大值为f (2)＝10，最小值为f (－1)＝6.5．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)．若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 [答案] C[解析] f (x 1)－f (x 2)＝ax 21＋2ax 1＋4－ax 22－2ax 2－4＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2a (x 1－x 2)∵a >0，x 1<x 2，x 1＋x 2＝0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝2a (x 1－x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．6．已知函数f (x )在其定义域R 上单调递增，则满足f (2x －2)<f (2)的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)[答案] D[解析] ∵函数f (x )在其定义域R 上单调递增， ∴2x －2<2，∴x <2，故选D. 二、填空题7．函数y ＝－ax 在(0，＋∞)上是减函数，则y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上的单调性为________．[答案] 单调递减[解析] ∵函数y ＝－ax在(0，＋∞)上是减函数，∴a <0.又函数y ＝－2x 2＋ax 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝a4<0，∴函数y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上单调递减．8．函数y ＝|x －3|＋2的递增区间为________，递减区间为________． [答案] [3，＋∞) (－∞，3][解析] y ＝|x －3|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ≥3)5－x (x <3)，其图象如图所示，由图象知，其递增区间为[3，＋∞)，递减区间为(－∞，3]． 三、解答题9．用函数单调性的定义证明：f (x )＝x ＋ax ＋b (a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数．[解析] 设x 1、x 2∈(－b ，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0. Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝(x 2－x 1)(b －a )(x 2＋b )(x 1＋b )， 由x 1、x 2∈(－b ，＋∞)得x 1>－b ，x 2>－b ， ∴x 1＋b >0，x 2＋b >0， 又a >b >0，∴b －a <0， 又x 2－x 1>0，∴Δy <0.∴f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数.一、选择题1．函数y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <0D ．a ≤0[解析] 如图所示：∴函数y ＝|x |的单调减区间为(－∞，0]， 要使y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则有a ≤0.2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[答案] D[解析] 根据函数单调性的定义，所取两个自变量必须在同一单调区间内，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而x 1，x 2分别在两个单调增区间，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定，选D.3．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有ΔyΔx >0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x[答案] C[解析] Δy Δx >0⇔f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A ，B 错误；f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D 错误；f (x )＝x 2＋4x ＋3＝x 2＋4x ＋4－1＝(x ＋2)2－1，所以f (x )在[－2，＋∞)上递增，故选C.4．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[解析] ∵f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝m8，由f (x )在区间[－2，＋∞)上为增函数，∴m8≤－2，即m ≤－16.又f (1)＝4－m ＋5＝9－m ≥25.二、填空题5．已知函数y ＝ax 和y ＝bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是__________函数．[答案] 增[解析] ∵y ＝ax 和y ＝bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b >0，结合二次函数图象可得，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是增函数．6．设函数f (x )满足；对任意的x 1，x 2∈R ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．[答案] f (－3)>f (－π)[解析] (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可得函数为增函数． ∵－3>－π，∴f (－3)>f (－π)． 三、解答题7．已知f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，若f (t －1)<f (1－3t )，求t 的取值范围． [解析] ∵函数f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，且f (t －1)<f (1－3t )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤t －1≤1－2≤1－3t ≤1t －1<1－3t，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤20≤t ≤1t <12，即0≤t <12.故t 的取值范围为0≤t <12.8．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，且当x >2时， f (x )为增函数，试比较f (1)、f (4)、f (－2)的大小．[解析] ∵x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x >2时，f (x )为增函数，∴x <2时，f (x )为减函数，则在x 轴上距离对称轴x ＝2越远的数，其函数值越大，∴f (－2)>f (4)>f (1)．9．已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调递减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．[解析] (1)证明：设x 1和x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，∵x >0时，f (x )<0，∴f (x 2－x 1)<0，又∵x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，∴f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1)． ∴f (x )是R 上的单调递减函数． (2)解：由(1)可知f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)． 而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－23＝－2. ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。
《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套练习1.2应用举例第2课时
第一章 1.2 第2课时一、选择题1．在某测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东55° C ．北偏东35° D ．南偏西55°[答案] D[解析] 根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°. 所以B 在A 的南偏西55°.2．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A ．4003m B ．40033mC ．2003mD ．200m[答案] A[解析] 如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan60°＝20033，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003.∴CD ＝AB －AM ＝4003.3．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m[答案] D[解析] 设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)． 4．一艘客船上午在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32n mile 的速度继续沿正北方向匀速航行，上午到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距82n mile ，则灯塔S 在B 处的( )A ．北偏东75°B ．南偏东15°C ．北偏东75°或南偏东15°D ．以上方位都不对 [答案] C[解析] 画出示意图如图，客船半小时行驶路程为32×12＝16n mile ，∴AB ＝16，又BS ＝82，∠BAS ＝30°， 由正弦定理，得82sin30°＝16sin ∠ASB ，∴sin ∠ASB ＝22，∴∠ASB ＝45°或135°， 当∠ASB ＝45°时，∠B ′BS ＝75°，当∠ASB ＝135°时，∠AB ′S ＝15°，故选C ．5．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( ) A ．35 B ．45 C ．34 D ．43[答案] B[解析] 由题意，得tan α＝34，∴sin αcos α＝34， ∴sin 2αcos 2α＝916，即1－cos 2αcos 2α＝916，∵α为锐角， ∴cos α＝45.6．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°[答案] B [解析] 如图，由题意知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， ∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝50°， ∴α＝60°－50°＝10°. 二、填空题7．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________．[答案] 6 km[解析] 如图，水流速和船速的合速度为v ，在△OAB 中：OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB ·cos60°， ∴OB ＝v ＝23km/h.即船的实际速度为23km/h ，则经过3h ，其路程为23×3＝6 km. 8．在灯塔上面相距50m 的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．[答案] 25(3＋1)m[解析] 由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°，∴AC ＝AB ×sin30°sin15°＝50×126－24＝25(6＋2)(m)．∴出事渔船离灯塔的距离CD ＝22AC＝25(6＋2)·22＝25(3＋1)(m)．三、解答题9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449)．[解析] 在△ADC 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA ， 在△ABC 中，AB sin ∠BCA＝AC sin ∠ABC，即AB ＝AC sin60°sin15°＝32＋620， 因此，BD ＝32＋620≈0.33km. 故B 、D 的距离约为0.33km.一、选择题1．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( )A ．20mB ．30mC ．40mD ．60m[答案] C[解析] 设O 为塔顶在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝20 3.在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60， ∴AB ＝OA －OB ＝40，故选C ．2．已知两力|F 1|＝46N ，|F 2|＝43N ，且夹角为45°，则其合力|F |为( ) A ．43NB ．415NC ．415N 或43ND ．以上都不对 [答案] B [解析]如图，合力为AD →，在△ABC 中，AC ＝43，CD ＝46，∠ACD ＝135°，由余弦定理，得AD 2＝(46)2＋(43)2－2×46×43·cos135°＝240，所以AD ＝415.3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A ．1762n mile/h B ．346n mile/h C ．1722n mile/h D ．342n mile/h[答案] A[解析] 如图所示，在△PMN 中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．4．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m 到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( )A ．2 500(3－1)mB ．5 0002mC ．4 000mD ．4 0002m[答案] A[解析] 示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BD BC ， ∴BD ＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．二、填空题5．某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile 后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．[答案] 无[解析] 如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30， ∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°， 由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BACsin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. ∴此船无触礁的危险．6．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？[答案] 北偏东30° [解析]如图，设经过t h 两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°，由BCsin ∠CAB＝AC sin B ，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at ＝12.∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 三、解答题7．在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O (如图所示)的东偏南θ(cos θ＝210)方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？[解析] 如图所示，设在时刻t (h)台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t ＋60)km.若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭，则OQ ≤10t ＋60.由余弦定理，得OQ 2＝PQ 2＋PO 2－2·PQ ·PO ·cos ∠OPQ ， 由于PO ＝300，PQ ＝20t ，∴cos ∠OPQ ＝cos(θ－45°)＝cos θcos45°＋sin θsin45° ＝210×22＋1－2102×22＝45，故OQ 2＝(20t )2＋3002－2×20t ×300×45 ＝202t 2－9600t ＋3002，因此202t 2－9600t ＋3002≤(10t ＋60)2， 即t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24. 答：12h 后该城市开始受到台风的侵袭．8．在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走103m ，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．[分析] 如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、103尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．[解析] 解法一：∵∠P AB ＝θ，∠PBC ＝2θ， ∴∠BP A ＝θ，∴BP ＝AB ＝30. 又∵∠PBC ＝2θ，∠PCD ＝4θ， ∴∠BPC ＝2θ，∴CP ＝BC ＝10 3. 在△BPC 中，根据正弦定理，得PCsin2θ＝PB sin (π－4θ)，即103sin2θ＝30sin4θ ， ∴2sin2θcos2θsin2θ＝30103 .由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°. 解法二：在△BPC 中，根据余弦定理，得 PC 2＝PB 2＋BC 2－2PB ·BC ·cos2θ， 把PC ＝BC ＝103，PB ＝30代入上式得，300＝302＋(103)2－2×30×103cos2θ，化简得：cos2θ＝32 .∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.解法三：如下图，过顶点C 作CE ⊥PB ，交PB 于E ，∵△BPC 为等腰三角形，∴PE ＝BE ＝15.在Rt △BEC 中，cos2θ＝BE BC ＝15103＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.。
《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件1.2应用举例第1课时
• A．α，a，b • C．a，b，γ • [答案] C
B．α，β，a D．α，β，b
• [解析] 根据实际情况，α、β都是不易测量 的数据，而a、b可以测得，角γ也可以测得， 根据余弦定理AB2＝a2＋b2－2abcosγ能直接求 出AB的长，故选C．
• 3.如图所示，客轮以速率2v由A至B再到C匀速 航行，货轮从AC的中点D出发，以速率v沿直 线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC， 且AB＝BC＝50n mile，若两船同时出发，则 两船相遇之处M距C点________n mile.
• 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两 点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝ 45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河的宽 度．
• [解析] 如图，
在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，得AC＝ABsi·nsi∠n∠ACCBBA＝12s0insi6n07°5° ＝20(3 2＋ 6)． 设C到AB的距离为CD， 则CD＝ACsin∠CAB＝ 22AC＝20(3＋ 3)． 答：河的宽度为20( 3＋3)m.
∴(vt)2＝(25 2)2＋x2－2×25 2×x×cos45°， 即34x2＝1250，∴3x2＝4×1250，
∴x＝503
6 n
mile.
• 4．在相距2km的A、B两点处测量目标点C， 若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点 之[答间案的] 距6离为________km.
• [解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°，
• (2)如图，作PD⊥a，垂足为D．在Rt△PDA
中，
PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋5x32＝3×13752＋32≈17.71(km)． 答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.
成才之路高中数学人教B选修同步练习 第课时 空间向量运算的坐标表示
第三章 3.1 第4课时一、选择题1．已知A (3，－2,4)、B (0,5，－1)，若OC →＝23AB →，则C 的坐标是( )A ．(2，－143，103)B ．(－2，143，－103)C ．(2，－143，－103)D ．(－2，－143，103)[答案] B[解析] ∵AB →＝(－3,7，－5)，∴OC →＝23(－3,7，－5)＝⎝⎛⎭⎫－2，143，－103. 故选B.2．已知点A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] C[解析] AB →＝(3,4，－8)、AC →＝(5,1，－7)、BC →＝(2，－3，1)， ∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2. ∴△ABC 为直角三角形．3．已知空间四点A (4,1,3)、B (2,3,1)、C (3,7，－5)、D (x ，－1,3)共面，则x 的值为( ) A ．4 B ．1 C ．10 D ．11[答案] D[解析] AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AD →＝(x －4，－2,0)， ∵A 、B 、C 、D 共面，∴AB →、AC →、AD →共面，∴存在λ、μ，使AD →＝λAB →＋μAC →，即(x －4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4，μ＝1，x ＝11.4．已知a ＝(1,2，－y )、b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1[答案] B[解析] a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )， 2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)， ∵(a ＋2b )∥(2a －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ(2－x )，4＝3λ，4－y ＝(－2y －2)λ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－4.5．(2015·河南郑州市高二期末测试)已知a ＝(2,4，x )、b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1[答案] A[解析] ∵|a |＝6，∴|a |2＝36， ∴4＋16＋x 2＝36，∴x 2＝16，x ＝±4. 又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4＋4y ＋2x ＝0， ∴x ＋2y ＋2＝0.当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1， ∴x ＋y ＝1或－3.6．已知a ＝(x,2,0)、b ＝(3,2－x ，x )，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( ) A ．x <－4B ．－4<x <0C ．0<x <4D ．x >4[答案] A[解析] ∵a 、b 的夹角为钝角，∴a ·b <0， 即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0. ∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使b ＝λa ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝λx ，2－x ＝2λ，x ＝0.此方程组无解，因此选A.二、填空题7．(2015·北京西城区高二期末测试)空间向量a ＝(－1,1，－2)、b ＝(1，－2，－1)、n ＝(x ，y ，－2)，且n ∥b ，则a ·n ＝__________________.[答案] －2[解析] ∵n ∥b ，∴x 1＝y－2＝－2－1＝2，∴x ＝2，y ＝－4. ∴n ＝(2，－4，－2)． ∴a ·n ＝－2－4＋4＝－2.8．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)、B (－32，12，2)、C (－1,0，2)，则角A 的大小为__________________．[答案] 30°[解析] AB →＝(－32，12，0)，AC →＝(－1,0,0)．则cos A ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.三、解答题9．已知点A (2,3，－1)、B (8，－2,4)、C (3,0,5)，是否存在实数x ，使AB →与AB →＋xAC →垂直？ [解析] AB →＝(6，－5,5)，AC →＝(1，－3,6)， AB →＋xAC →＝(6＋x ，－5－3x,5＋6x )，∵AB →⊥(AB →＋xAC →)∴6(6＋x )－5(－5－3x )＋5(5＋6x )＝0， ∴x ＝－8651，∴存在实数x ＝－8651，使AB →与AB →＋xAC →垂直．10．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,2)． (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标；(2)问是否存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)．因为DB →∥AC →，DC →∥AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－x ，1－y ，－z )＝m (－1，0，2)(－x ，－y ，2－z )＝n (－1，1，0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1z ＝2.即D (－1,1,2)．(2)依题意AB →＝(－1,1,0)、AC →＝(－1,0,2)、BC →＝(0，－1,2)，假设存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，所以⎩⎪⎨⎪⎧α＝1α－β＝02β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立．一、选择题1．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)、B (4，－3,7)、C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] B[解析] 设BC 边上的中点为D ，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－1，－2,2)，所以|AD →|＝1＋4＋4＝3.2．下列各组向量中共面的组数为( ) ①a ＝(1,2,3)、b ＝(3,0,2)、c ＝(4,2,5)②a ＝(1,2，－1)、b ＝(0,2，－4)、c ＝(0，－1,2) ③a ＝(1,1,0)、b ＝(1,0,1)、c ＝(0,1，－1) ④a ＝(1,1,1)、b ＝(1,1,0)、c ＝(1,0,1) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] ①设a ＝x b ＋y c ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧1＝3x ＋4y 2＝0·x ＋2y 3＝2x ＋5y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1.故存在实数x ＝－1，y ＝1使得a ＝－b ＋c ， ∴a ，b ，c 共面．②中b ＝－2c ，③中c ＝a －b . 故②③中三个向量共面．3．已知向量a ＝(1,2,3)、b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ， 故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7， 而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°.4．已知A (1,2,3)、B (2,1,2)、C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A ．(43，43，43)B ．(83，43，83)C ．(43，43，83)D ．(83，83，43)[答案] C[解析] 点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )、DA →＝(1－a,2－a,3－2a )、DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →最小为－23，此时OD →＝(43，43，83)，故选C.二、填空题5．已知a ＝(2，－3,1)、b ＝(2,0,3)、c ＝(0,0,2)，则a ·(b －c )＝__________________. [答案] 5[解析] b －c ＝(2,0,1)，a ·(b －c )＝(2，－3,1)·(2,0,1)＝4＋0＋1＝5.6．已知正三棱柱ABC －DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF＝__________________.[答案]116[解析] 设CN CF ＝m ，则CN →＝mCF →＝mAD →，∵M 为BC 中点，∴MN →＝MC →＋CN →＝12BC →＋mAD →，又AE →＝AB →＋BE →，由条件知，AE →·MN →＝(AB →＋BE →)·(12BC →＋mAD →)＝12AB →·BC →＋12BE →·BC →＋mAB →·AD →＋mBE →·AD → ＝－14＋4m ＝0，∴m ＝116.三、解答题7．已知空间三点A (0,2,3)、B (－2,1,6)、C (1，－1,5)． (1)求以AB →、AC →为邻边的平行四边形面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标．[解析] (1)由题中条件可知AB →＝(－2，－1,3)、AC →＝(1，－3,2)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋614×14＝12，∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为邻边的平行四边形面积 S ＝|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．8．设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)、OB →＝(2,1,2)、OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标．[解析] 设OQ →＝λOP →， ∴QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP → ＝(1,2,3)－λ(1,1,2) ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝OB →－OQ →＝OB →－λOP → ＝(2,1,2)－λ(1,1,2) ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10，∴当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值．又OQ →＝λOP →＝43(1,1,2)＝(43，43，83)． 所以，所求点Q 的坐标为(43，43，83)．。
【成才之路】高中数学 2.3 函数的应用配套名师课件 新人教B版必修1
3．(2013～2014学年度湖南长沙一中高一月考)某商品价
格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价
格与原来价格相比，变化情况是( )
A．增加了7.84%
B．减少了7.84%
C．减少了9.5%
D．不增不减
[答案] B
[解析] 本题考查二次函数的应用．设该商品原价为a， 四年后的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝0.9216a.所以a－0.9216a ＝0.0784a＝7.84%a，即四年后的价格比原来减少了7.84%.故 选B.
知能自主梳理
1.已知函数的模型(如_一__次___函数、_二__次___函数等)，求解 析式时，一般方法是设出函数的解析式，据题设条件，用 _待__定__系__数___ 法 求 系 数 ， 解 题 中 要 充 分 挖 掘 题 目 的 隐 含 条 件 ， 充分利用图形的直观性．
2．数学建模就是通过建立实际问题的__数__学__模__型____来解 决问题的方法．
当x＝4时，ymax＝360.故当售出价为每件14元时，每天所 赚得的利润最大，最大利润为360元.
分段函数模型
某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收入 满足函数：
R(x)＝400x－12x20≤x≤400 ， 80 000x>400
[解析] 设每件提价x元(x≥0)，利润为y元，每天销售额为 (10＋x)(100－10x)元，进货总额为8(100－10x)元．显然，100 － 10x>0 ， 有 0≤x<10 ， y ＝ (10 ＋ x)(100 － 10x) － 8(100 － 10x)(0≤x<10) ， 即 y ＝ (2 ＋ x)·(100 － 10x) ＝ － 10(x － 4)2 ＋ 360(0≤x<10)．
成才之路高中数学人教B选修同步练习 第章 第课时 导数的实际应用
第三章 3.3 第3课时一、选择题1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A ．(l 6)3πB ．(l 3)3πC ．(l 4)3πD.14(l 4)3π [答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3(0<r <l4)．则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l 6，而r >0，∴r ＝l 6是其唯一的极值点．当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为(l6)3π.2．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr D.12πr 2 [答案] A[解析] 设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ，则由组合体的知识得h 2＋(2x )2＝(2r )2，又圆柱的侧面积S ＝2πx ·h ，∴S 2＝16π2(r 2x 2－x 4)，(S 2)′＝16π2(2r 2x －4x 3)，由(S 2)′＝0，得x ＝22r (x ＝0舍去)，∴S max ＝2πr 2，故选A.3．已知某生产厂家的年利润为y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0， 解得x 1＝9，x 2＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0； 当x >9时，y ′<0，∴y ＝－13x 3＋81x －234在(0,9)内单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴在x ＝9处取极大值，也是最大值．4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，侧棱长为l ，则 V ＝12x 2·sin60°·l ，∴l ＝4V 3x 2，∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x 2·sin60°＋3·x ·l ＝32x 2＋43V x， S ′表＝3x －43V x2＝0，∴x 3＝4V ，即x ＝34V .又当x ∈(0，34V )时y ′<0，x ∈(34V ，V )时，y ′>0，∴当x ＝34V 时，表面积最小． 二、填空题5．有一条长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为________m 2.[答案] 16[解析] 设矩形场地的长为x m ， 则宽为16－2x 2＝(8－x )m ，其面积S ＝x (8－x )＝8x －x 2，S ′＝8－2x ， 令S ′＝0得x ＝4，∴当x ＝4时，S 取极大值，这个极大值就是最大值， 故当矩形场地的长为4m ，宽为4m 时， 面积取最大值16m 2.6．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M －m ＝________.[答案] 32[解析] f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)， 由f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8， 可知M ＝24，m ＝－8，故 M －m ＝32. 三、解答题7．某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改选．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入)[解析] (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)， 则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)， 所以当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)， 由此获得收益是g (x )(百万元)则g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0≤x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0.所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大.一、选择题1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系式R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x 0≤x ≤39090090 x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] ∵总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，90 090－100x －20 000，x >390，由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D. 2．把长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )A.332cm 2B ．4 cm 2C ．32cm 2D ．23cm 2[答案] D[解析] 设一个三角形的边长为x cm ，则另一个三角形的边长为(4－x )cm ，两个三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32x 2－23x ＋4 3.令S ′＝3x －23＝0则x ＝2，所以S min ＝2 3.3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．( )A ．105B ．110C ．115D ．120[答案] C[解析] 利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000， S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0得x ＝115，这时利润达到最大．4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q ，则销量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元[答案] D[解析] 毛利润为(P －20)Q ， 即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)， f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700 ＝－3(P ＋130)(P －30)．令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)． 又P ∈[20，＋∞)，故f (P )极大值＝f (P )max ， 故当P ＝30时，毛利润最大， ∴f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)． 二、填空题5.如图所示，某工厂需要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．[答案] 32 m,16 m[解析] 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如下图所示，设场地宽为x m ，则长为512x m ，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16. 当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64， ∴堆料场的长为51216＝32m.6．将边长为1 m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是____________．[答案]3233[解析] 设剪成的小正三角形的边长为x ，则S ＝(3－x )212·(x ＋1)·32·(1－x )＝43·(3－x )21－x 2(0<x <1)，S ′(x )＝43·(2x －6)·(1－x 2)－(3－x )2·(－2x )(1－x 2)2＝43·－2(3x －1)(x －3)(1－x 2)2，令S ′(x )＝0,0<x <1，得x ＝13.当x ∈(0，13)时，S ′(x )<0，S (x )递减；当x ∈(13，1)时，S ′(x )>0，S (x )递增，故当x ＝13时，S 取最小值是3233.三、解答题7．如图所示，做成一个断面为等腰梯形的水槽，则斜角θ为多大时，水槽的流量最大？[解析] 设横截面面积为S ，过D 作CD ⊥AB 于C ， 则S ＝12(AB ＋ED )·CD ，AB ＝a ＋2a cos θ，CD ＝a sin θ，S ＝12(a ＋a ＋2a cos θ)·a sin θ＝a 2sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π2)． 又S ′(θ)＝a 2(2cos 2θ＋cos θ－1)，令S ′(θ)＝0，即a 2(2cos 2θ＋cos θ－1)＝0，得cos θ＝12，或cos ＝－1.因为0<θ<π2，故cos θ≠－1，则cos θ＝12，此时θ＝π3.而0<θ<π3，S ′(θ)>0；π3<θ<π2时，S ′(θ)<0.故当θ＝π3时，横截面的面积最大，此时，水槽的流量最大．8．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距a m ，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x m 的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当a ＝640时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ [解析] (1)设需要新建b 个桥墩，则(b ＋1)x ＝a ， 即b ＝ax －1.因此，y ＝f (x )＝256b ＋(b ＋1)(2＋x )x＝256(a x －1)＋ax (2＋x )x＝256ax＋a x ＋2a －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝256a x 2＋12ax －12＝a 2x 2(x 32－512)令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时，b ＝a x －1＝64064－1＝9.即需新建9个桥墩才能使y 最小．。
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第一章 1.2 第2课时一、选择题1．在某测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东55° C ．北偏东35° D ．南偏西55°[答案] D[解析] 根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°. 所以B 在A 的南偏西55°.2．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A ．4003m B ．40033mC ．2003mD ．200m[答案] A[解析] 如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200， ∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan60°＝20033，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003.∴CD ＝AB －AM ＝4003.3．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m[答案] D[解析] 设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)． 4．一艘客船上午930在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32n mile 的速度继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距82n mile ，则灯塔S 在B 处的( )A ．北偏东75°B ．南偏东15°C ．北偏东75°或南偏东15°D ．以上方位都不对 [答案] C[解析] 画出示意图如图，客船半小时行驶路程为32×12＝16n mile ，∴AB ＝16，又BS ＝82，∠BAS ＝30°， 由正弦定理，得82sin30°＝16sin ∠ASB，∴sin ∠ASB ＝22，∴∠ASB ＝45°或135°， 当∠ASB ＝45°时，∠B ′BS ＝75°，当∠ASB ＝135°时，∠AB ′S ＝15°，故选C ．5．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( ) A ．35 B ．45 C ．34D ．43[答案] B[解析] 由题意，得tan α＝34，∴sin αcos α＝34， ∴sin 2αcos 2α＝916，即1－cos 2αcos 2α＝916，∵α为锐角， ∴cos α＝45.6．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°[答案] B [解析] 如图，由题意知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， ∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝50°， ∴α＝60°－50°＝10°. 二、填空题7．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________．[答案] 6 km[解析] 如图，水流速和船速的合速度为v ，在△OAB 中：OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB ·cos60°， ∴OB ＝v ＝23km/h.即船的实际速度为23km/h ，则经过3h ，其路程为23×3＝6 km. 8．在灯塔上面相距50m 的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．[答案] 25(3＋1)m[解析] 由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°，∴AC ＝AB ×sin30°sin15°＝50×126－24＝25(6＋2)(m)．∴出事渔船离灯塔的距离CD ＝22AC＝25(6＋2)·22＝25(3＋1)(m)．三、解答题9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449)．[解析] 在△ADC 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA ， 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，即AB ＝AC sin60°sin15°＝32＋620， 因此，BD ＝32＋620≈0.33km. 故B 、D 的距离约为0.33km.一、选择题1．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( )A ．20mB ．30mC ．40mD ．60m[答案] C[解析] 设O 为塔顶在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝20 3.在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60， ∴AB ＝OA －OB ＝40，故选C ．2．已知两力|F 1|＝46N ，|F 2|＝43N ，且夹角为45°，则其合力|F |为( ) A ．43NB ．415NC ．415N 或43ND ．以上都不对 [答案] B [解析]如图，合力为AD →，在△ABC 中，AC ＝43，CD ＝46，∠ACD ＝135°，由余弦定理，得AD 2＝(46)2＋(43)2－2×46×43·cos135°＝240，所以AD ＝415.3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A ．1762n mile/hB ．346n mile/hC．1722n mile/hD．342n mile/h[答案] A[解析]如图所示，在△PMN中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN＝68×3222＝346，∴v＝MN4＝1762(n mile/h)．4．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000m到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为()A．2 500(3－1)m B．5 0002mC．4 000m D．4 0002m[答案] A[解析]示意图如图，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，∴∠ACB＝45°，AB＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BCsin30°，又cos75°＝BDBC，∴BD＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．二、填空题5．某海岛周围38n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．[答案]无[解析] 如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30， ∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°， 由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BACsin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. ∴此船无触礁的危险．6．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？[答案] 北偏东30° [解析]如图，设经过t h 两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°， 由BC sin ∠CAB＝ACsin B ，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at＝12.∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．三、解答题7．在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ(cosθ＝210)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？[解析]如图所示，设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t＋60)km.若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t＋60.由余弦定理，得OQ2＝PQ2＋PO2－2·PQ·PO·cos∠OPQ，由于PO＝300，PQ＝20t，∴cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°＝210×22＋1－2102×22＝45，故OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×45＝202t2－9600t＋3002，因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2，即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24. 答：12h后该城市开始受到台风的侵袭．8．在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走103m ，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．[分析] 如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、103尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．[解析] 解法一：∵∠P AB ＝θ，∠PBC ＝2θ， ∴∠BP A ＝θ，∴BP ＝AB ＝30. 又∵∠PBC ＝2θ，∠PCD ＝4θ， ∴∠BPC ＝2θ，∴CP ＝BC ＝10 3. 在△BPC 中，根据正弦定理，得PCsin2θ＝PBsin (π－4θ)，即103sin2θ＝30sin4θ ， ∴2sin2θcos2θsin2θ＝30103 .由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°. 解法二：在△BPC 中，根据余弦定理，得 PC 2＝PB 2＋BC 2－2PB ·BC ·cos2θ， 把PC ＝BC ＝103，PB ＝30代入上式得， 300＝302＋(103)2－2×30×103cos2θ， 化简得：cos2θ＝32 .∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.解法三：如下图，过顶点C作CE⊥PB，交PB于E，∵△BPC为等腰三角形，∴PE＝BE＝15.在Rt△BEC中，cos2θ＝BEBC ＝15103＝32.∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.。