定积分在经济学中的应用31页PPT
定积分及其应用ppt课件
n
xi 0, f (i )xi 0, i 1
|| T || max{x1, x2 , , xn }
n
b
lim
||T ||0
i 1
f (i )xi
f ( x)dx 0.
a
性质5的推论：（定积分不等式性质）
（1）如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x)，
则
b
a
f
(
x
)dx
b
a
g(
x)dx.
(a b)
证明 f ( x) g( x), g( x) f ( x) 0,
b
a[g( x) f ( x)]dx 0,
(a b)
即
b
g( x)dx
b
f ( x)dx 0,
a
a
于是
b
a f ( x)dx
c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
b
b
a 1 dx a
dx b a .
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx
0.
(a b)
证明 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,,n)
前
积取负号．
a
y f (x)
b
b
特别，当 f (x) 1 时，有a 1 dx (b a)1 b a .
经济应用数学课件4.6定积分的应用
经济应用数学
f(t)10012t0.6t2， 求：
（1）总产量函数 Q ( t )；
（2）从 t0 2 到 t1 4 这段时间内的总产量．
解 （1）总产量函数为
Q(t) t f (u)du t(10012u0.6u2)du
P(1,1),Q(4,2)
y 2 x
A
1[(2y)y2]dy
2
(2y
y2 2
y3)1 9 3 2 2
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2．旋转体的体积
经济应用数学
旋转体是指由平面图形绕该平面内的某直线旋转 一周所形成的立体图形，这条直线叫做旋转轴．
下面我们计算由连续曲线 y f (x) 、直线 xa x b 所围成的图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体
a
a
类似地，如图所示，由连续曲线 x ( y),
直线 y c, y d c d 以及 y 轴所围成的.
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经济应用数学
曲边梯形绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为
d
V y π
x 2d y
c
π d [ g ( y )] 2 d y c
L (x)R (x)C (x) 7x 1 x2 (13x1x2)
2
6
4x 2x2 1 (万元) 3
（2） 当产量从4台增加到6台时，增加的总成本和总收入
分别为
C
6
C(x)dx
C
(
x
)
6
(完整版)定积分在经济中的应用
定积分在经济中的应用一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ （1） ()()()ba Cb C a C x dx '-=⎰ （2） ()()()ba Lb L a L x dx '-=⎰ （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润()I x 的改变量（增量）。
解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元 300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dt t t -⎰ 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。
例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。
解 由于2200()(0.08r t dt dt =+⎰⎰20.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为20()0.0820r t dtr ==+-⎰0.094≈例3 某公司运行t （年）所获利润为()L t （元）利润的年变化率为()310L t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt'=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元。
定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。
文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。
关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。
由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。
可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。
微积分是与应用联系着并发展起来的。
定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。
本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。
可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。
设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有dx x u u x u x)()0()(0⎰'+=例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。
解 总成本函数dx x c c x c x ⎰'+='0)()0()(=dx x x x )100143(1000002+-+⎰=x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+2 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。
经济应用数学课件4.6定积分应用
得，10年中投资所得纯收入（贴）现值为
R400100(1e0.110)400 0.1
1 0 0 0 (1 e 1 ) 4 0 0 2 3 2 .1(万元)
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经济应用数学
（2）由公式 T 1 ln A 得，投资回收期 r Aar
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经济应用数学
（２）绕 y 轴旋转所形成立体(如图)的体积等于直线
x2绕 y 轴旋转得到的体积减去抛物线 y x 2 绕
y轴旋转得到的立体，所以其体积
Vy0422dy04(
y)2dy(4y1 y2)
2
48
0
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4.6.2 定积分在经济上的应用举例
T1ln 1 0 0 1 0ln55 .1(万元) 0 .11 0 0 4 0 0 0 .1 3
4.6.3 小结
导数在几何及经济中的应用
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思考题
经济应用数学
判断：
（1）定积分 a(a2 x2)dx 表示半径为 a 的球体的 0
体积．
（）
（2）半径为 a ，高为 h 的圆锥体的体积可以用定
积分表示为
ha (
y)2dy
0h
思考题解答
1. ×2. √
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练习题
定积分的简单应用PPT优秀课件(定积分在几何中的应用等3个)
x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标
是什么？
y
y＝x－4
4
y = 2x
(8,4)
(0,0)
O
4 8x
(4,0)
思考2：如何将该图形的面积转化为曲边
梯形的面积？ y
y＝x－4
4 C
y = 2x
B
A
O
D4 8 x
S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD.
思考3：该图形的面积用定积分怎样表
示？
y
y＝x－4
f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.
b
S = ò | f(x)| dx a
y y＝|f(x)|
Oa
bx
y＝f(x)
作业： P58练习：（1），（2）. P60习题1.7B组：1，2，3.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
DA
O
1
y2＝x x
蝌 1
S= xdx-
1x2dx
0
0
思考4：利用微积分基本定理计算，该图
形的面积等于多少？
y
y＝x2
y2＝x
Hale Waihona Puke 1C BDAO
1
x
S
=
2x23 3
|10
-
1x3 3
|10=
1 3
探究（二）：直线y＝x－4与曲线y = 2x 及x轴所围成图形的面积
定积分在经济学中的应用
目的和意义
研究定积分在经济学中的应用，有助于深入理解经济现象和规律，为经济决策提 供科学依据。
通过定积分的应用，可以更加精确地描述和预测经济行为，提高经济分析的准确 性和可靠性。同时，定积分的应用也有助于推动经济学与其他学科的交叉融合， 促进经济学的发展和创新。
定积分的结果通常是数值形式，对于非专业 人士来说可能难以理解和解释，需要结合实 际经济现象进行解释和说明。
05
定积分在经济学中的未来发展
研究方向
1 深化定积分与金融学的交叉研究
探索定积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用 ，为金融市场提供更精确的定量分析工具。
2 拓展定积分在产业组织理论中的应用
消费者行为模型
通过建立消费者行为模型，定积分可 以描述消费者的购买决策过程，解释 消费者如何权衡价格、收入和偏好等 因素。
生产者行为分析
成本最小化
定积分可用于分析生产者如何最小化生产成本，通过优化生产要素的配置，提 高生产效率。
产量决策
定积分可以用于确定生产者在不同市场条件下的最优产量决策，以实现利润最 大化。
定积分的应用需要满足一定的假设条件，如 连续性、可微性等，但在实际经济现象中，
这些假设可能并不总是成立。
数据要求高
定积分的计算过程较为复杂，需要耗费大量 的计算资源和时间，对于大规模的经济系统
可能存在计算瓶颈。
计算成本高
定积分需要大量的数据作为支撑，数据的准 确性和完整性对结果的影响较大。
解释难度大
探索定积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用 ，为金融市场提供更精确的定量分析工具。
定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用"定积分在经济学中的应用"定积分是数学中的一种重要概念，它通常用来解决连续函数的积分问题。
在经济学中，定积分也有着广泛的应用。
首先，定积分可以用来解决经济问题。
例如，在解决资本的无效配置问题时，可以使用定积分来求出资本的最优配置方案。
其次，定积分也可以用来解决生产函数问题。
通过对生产函数的定积分，可以得出生产总量与资本、劳动的函数关系，为企业决策提供参考。
此外，定积分还可以用来解决成本函数问题。
对成本函数进行定积分，可以得出成本总量与生产量的函数关系，为企业制定成本管理策略提供依据。
另外，定积分还可以用来解决供求函数问题。
通过对供求函数进行定积分，可以得出市场供需平衡的价格区间，为市场调节提供参考。
此外，定积分还可以用来解决效用函数问题。
对效用函数进行定积分，可以得出个体的效用曲线，为决策者制定1. 定积分的概念及其求法"1. 定积分的概念及其求法"定积分是数学中的一种重要概念，它是指在给定的区间内对一个连续函数的定义域进行积分的过程。
首先，定义定积分的概念。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫a^b f(x) dx，称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
其次，介绍定积分的求法。
常用的求定积分的方法有两种，一种是定义求积公式法，另一种是定积分的简单逼近法。
定义求积公式法是指根据函数f(x)的性质，使用一些特殊的函数求出f(x)在区间[a,b]上的定积分。
例如，当f(x)为常数时，f(x)在区间[a,b]上的定积分就是f(x)的常数值乘以区间[a,b]的长度。
定积分的简单逼近法是指使用一些简单的函数来逼近函数f(x)，然后求出这些简单函数的定积分，最后用这些定积分的和来近似求出f(x)在区间[a,b]上的定积分。
常用的简单逼近法有梯形公式法和 Simpson 公式法。
总之，定积分是数学中的一种重要概念2. 定积分在解决经济问题中的应用"2. 定积分在解决经济问题中的应用"定积分是数学中的一种重要概念，它在解决经济问题中也有着广泛的应用。