几种常见的曲面及其方程精
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
曲面及其方程总结
曲面及其方程总结曲面是数学中的一个重要概念，它是一个二维的、有界的、有形的几何形体。
曲面可以由多个平面片拼接而成，也可以通过参数方程进行描述。
在数学中，曲面的研究与计算具有广泛的应用，涉及到多个学科领域，如微分几何、微分方程、物理学等。
本文将对曲面及其方程进行总结，主要从曲面的定义、分类、表示、性质以及在实际应用中的相关问题进行讨论。
首先，曲面的定义。
曲面可以被理解为三维空间中的一个平面形体，它有长度、宽度和厚度。
曲面可以由平面片拼接而成，每个平面片都是一个二维平面，它可以由一个或多个方程来表示。
曲面的形状可以是平坦的，如平面、球面，也可以是弯曲的，如圆柱面、抛物面等。
曲面的形状取决于其方程的具体形式。
其次，曲面的分类。
曲面可以根据其方程的特点进行分类。
常见的曲面包括平面、球面、二次曲面等。
平面是最简单的曲面，它的方程形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D为实数常数。
球面是由一个点到空间中所有点的距离相等的曲面，其方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，其中(a, b, c)为球心的坐标，r为球的半径。
二次曲面是由二次方程来表示的曲面，常见的二次曲面有椭球面、双曲面、抛物面等。
然后，曲面的表示。
曲面的表示可以通过参数方程或隐式方程来进行。
参数方程是指用参数来表示曲面上的点的坐标，其中参数可以是一个、二个或三个，具体取决于曲面的维度。
例如，球面可以由两个参数θ和φ来表示，其参数方程为x=r·sinθ·cosφ，y=r·sinθ·sinφ，z=r·cosθ，其中r为球的半径，θ和φ为参数的取值范围。
隐式方程是指用一个或多个变量的关系式来表示曲面的方程，例如，平面的隐式方程为Ax+By+Cz+D=0，球面的隐式方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²。
高等数学-曲面及其方程
平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变， 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根。
例 5 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的
顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶
角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0)，
x2 y2 4
半径为 2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
例 2 求与原点O 及 M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M ( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1
,
x 22 y 32 z 42 2
空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱 面，其准线为xoy面上曲线C . （其他类推）
曲面及其方程
曲面及其方程曲面是三维空间中的一个概念，它是三维空间中的一个二维曲面。
曲面可以用方程来描述，方程可以是显式的或者隐式的，根据方程的不同形式，我们可以得到不同类型的曲面。
一、曲面的定义和基本概念曲面是指在三维空间中，由一连串的点组成的集合，这些点满足一定的条件。
通常情况下，我们可以通过方程来描述曲面。
曲面上的点可以用三个坐标来表示，也就是(x, y, z)。
曲面的方程可以是显式的，也可以是隐式的。
二、曲面方程的分类1. 平面方程：平面是一种特殊的曲面，它可以通过一个点和一个法向量来唯一确定。
平面方程通常有两种形式：点法式和一般式。
点法式的形式为Ax+By+Cz+D=0，表示平面上的任意一点(x, y, z)都满足这个方程。
一般式的形式为Ax+By+Cz+D=0，表示平面上的任意一点(x, y, z)都满足这个方程。
2. 圆锥曲线方程：圆锥曲线是由一个点和一个与之不重合的定直线（称为准线）决定的。
根据准线与曲线的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆的方程通常有两种形式：标准方程和一般方程。
双曲线的方程也有两种形式：标准方程和一般方程。
抛物线的方程也有两种形式：标准方程和一般方程。
3. 曲面方程：曲面方程可以分为显式方程和隐式方程两种。
显式方程通常以z = f(x, y)的形式表示，其中f(x, y)是一个关于x和y 的函数。
隐式方程通常以F(x, y, z) = 0的形式表示，其中F(x, y, z)是一个关于x、y和z的函数。
三、曲面方程的应用曲面方程在数学和物理学中有广泛的应用。
在数学中，曲面方程是研究曲面性质的基础。
它可以帮助我们了解曲面的形状、方向和曲率等信息。
在物理学中，曲面方程可以用来描述物体的形状和运动轨迹。
例如，在光学中，曲面方程可以用来描述光线在透镜或者反射面上的传播规律。
总结：曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用方程来描述。
曲面方程可以分为平面方程、圆锥曲线方程和曲面方程三种类型。
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
空间解析几何的曲线与曲面曲线方程曲面方程的性质
空间解析几何的曲线与曲面曲线方程曲面方程的性质空间解析几何是研究几何空间中曲线和曲面的性质和关系的一门学科。
在空间解析几何中，我们经常使用曲线方程和曲面方程来描述和分析几何对象。
本文将探讨曲线方程和曲面方程的性质以及它们在空间解析几何中的应用。
一、曲线方程曲线是空间中的一条连续的弯曲线段，可以用参数方程或者一般方程来表示。
在空间解析几何中，常用的曲线方程形式有点斜式和一般式。
1. 点斜式对于空间中的一条曲线，如果已知曲线上一点的坐标和曲线在该点的切线的斜率，就可以使用点斜式来表示该曲线。
点斜式的一般形式为：(x-x₁)/a = (y-y₁)/b = (z-z₁)/c其中(x₁, y₁, z₁)是曲线上的一点，a、b、c分别表示曲线在该点处的切线在x、y、z轴上的斜率。
2. 一般式一般式是指空间中曲线方程的一般形式，即使用x、y和z的关系式来表示曲线。
一般式的形式如下：F(x, y, z) = 0其中F(x, y, z)是关于x、y和z的多项式函数，代表了曲线上的点满足的条件。
曲线方程的性质在空间解析几何中具有重要的意义。
曲线的性质可以通过方程的形式和参数方程等来确定，包括曲线的形状、方向、长度等。
二、曲面方程曲面是空间中的一个二维平面，可以用一般方程或者双曲线、抛物线和椭圆等几何图形的方程来表示。
在空间解析几何中，常见的曲面方程有一般方程、一般球面方程和柱面方程以及圆锥曲线的方程。
1. 一般方程一般方程是指空间中曲面方程的一般形式，使用x、y和z的关系式来表示曲面。
一般方程的形式如下：F(x, y, z) = 0其中F(x, y, z)是关于x、y和z的函数，代表了曲面上的点满足的条件。
2. 一般球面方程和柱面方程一般球面方程和柱面方程是描述曲面的特殊形式。
一般球面方程的形式为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²其中(a, b, c)是球心的坐标，R是球的半径。
常见曲面方程总结(一)
常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。
本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。
正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。
它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。
•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。
二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。
•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。
三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。
•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。
•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。
四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。
•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。
常见曲线曲面方程与图形
结束
伯努利双纽线
或 • 结点(同拐点) : 在该点的切线斜率为±1 •顶 点:
B
y O
A x
• 双纽面积:
结束
三叶玫瑰线
a
O
a x
O
x
结束
圆锥面:
椭圆锥面:
2 2
z x y
2
z
x y 2 2 z 2 a b
z
2
2
O
y
O
x
x
y
结束
单叶双曲面:
双叶双曲面:
x y z 2 2 1 2 a b c
三次抛物线
y
半立方抛物线
y
O
x
O
x
• 拐点: (0, 0) • 关于原点对称
• 尖点: (0, 0) • 在尖点处与 x 轴相切 • 关于 x 轴对称
结束
x a( sin ) y a(1 cos )摆线
y
• 轨迹:
M
O
a
x
8a
半径为 a 的圆周沿直线 无滑动地滚动时 , 其上
y
x
结束
圆柱面：
z
2 2
x y R
2
O
y
x
结束
椭球面：
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
O
结束
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
结束
两个曲面的交线：
z 1 x2 y2 1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 2 2
第四节曲面及其方程
1 h2 b2
— —椭圆
y h
(b h b)
YZc z h
y
-b
a XY
b
x
-c
1
. S位椭置：ax
2 2
by一22、椭球cz面22 1
3. 注意
(1)椭球面可以看成由一变形椭圆运动所产生的轨迹，这椭 圆两对顶点分别在一对有共同顶点的两个正交椭圆ΓXY、ΓYZ上 运动，且 这个动椭圆的平面总是垂直于Y轴；
4
4
S是由曲线y2 z2 1绕Y轴而成的旋转曲面。 4
z
y x
2. 在ZOX 平面内曲线Cf：(x, z) 0
y0
①绕X轴旋转
②绕Z轴旋转
f (x, y2 z2 ) 0
f ( x2 y2 , z) 0
例：作S：x2 y2 z2 1的草图。
xz
解：原式 x2 ( y2 z2 )2 1
2. 截痕(作图) S椭关于各坐标面、轴和原点对称。
S椭
YOZ
交线
YZ
： by
2 2
z2 c2
1
x 0
YZc z h y
S椭
XOY
交线
XY
： ax
2 2
y2 b2
1
z 0
-b x
a XY -c
b
一、椭球面S椭：ax
2 2
y2 b2
z2 c2
1
S椭
：y
h
交线
h： ax
2 2
z2 c2
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
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空间区域在坐标平面上的投影草图画法
常见的九种二次曲面方程
常见的九种二次曲面方程二次曲面方程是解析几何的重点内容，它被广泛涉及于数学、物理、工程、计算机等多个学科中。
本文将介绍九种常见的二次曲面方程，以帮助读者更好的理解和应用。
一、圆锥面方程圆锥面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为锥面三个坐标轴上椭圆截面的半轴长度，这种圆锥面称为椭圆锥面。
当a=b时，圆锥面变成圆锥面；当a=b=c时，称为圆锥体。
二、双曲面方程双曲面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度，这种双曲面称为双曲抛物面或椭圆双曲面。
当a=b时，双曲面变成双曲抛物面；当a=b=c时，称为双曲球面。
三、抛物面方程抛物面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 z=ax^2+by^2+c，这种抛物面被称为旋转抛物面。
四、球面方程球面方程可以表示为 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2，其中(a,b,c)是球中心坐标，r是球半径。
球面是最常见的几何形体，可以在多个方面得到应用。
五、椭球面方程椭球面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为椭圆三个坐标轴上椭圆截面的半轴长度。
与圆锥体类似，当a=b=c时，椭球面变成球面。
六、单叶双曲面方程单叶双曲面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度。
单叶双曲面只有一个部分，并非所有双曲面都是单叶的。
七、双叶双曲面方程双叶双曲面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=-1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度。
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z
f ( y1, z1) ? 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x, y, z) , 则有
z ? z1, x2 ? y2 ? y1
故旋转曲面方程为
M (x, y, z)
o x
M1(0, y1, z1)
y
f ( ? x2 ? y2 , z) ? 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f ( y, z) ? 0
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1 单叶双曲面 ? 1 双叶双曲面
图形
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
?
y2 b2
?
z2
( a, b 为正数)
在平面 z ? t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
?
y2 (bt ) 2
?
1,
z? t
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
z
x l1
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条 定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做 旋转曲面. 该定直线称为 旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程 :
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) ? 0
若点 M1(0, y1, z1) ? C, 则有
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上 .
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到, 见书 P316 )
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 .
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
?
y2 ? z2 c2
?
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 ? y2 a2
?
z2 c2
?1
x
y
z
这两种曲面都叫做 旋转双曲面 .
二、二次曲面
三元二次方程
Ax2 ? By2 ? Cz2 ? Dxy? Eyx? Fzx ? Gx ? Hy ? Iz ? J ? 0
y ? y1
?0
(实轴平行于 z 轴;
虚轴平行于 x 轴）
z
x
y
Hale Waihona Puke zxy(2) 双叶双曲面
z
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
?1
( a, b,c 为正数)
平面 y ? y1 上的截痕为 双曲线
平面 x ? x1 上的截痕为双曲线
x
平面 z ? z1 ( z1 ? c)上的截痕为椭圆
oy
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别 :
一般地 ,在三维空间
方程 F (x, y) ? 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) ? 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) ? 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为 二次曲面. 其基本类型有 :
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 ,下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法 : 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
o y
x
f ( y, ? x2 ? z2 ) ? 0
例3. 试建立顶点在原点 , 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程 . 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
?
y
两边平方
x
z2 ? a 2 ( x2 ? y2 )
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线
第四节
第七章
曲面与曲线
一、几种常见的曲面及其方程
二、二次曲面 三、曲线
1. 空间一动点到定点的距离为定值，该动点轨 迹叫球面。 定点叫球心，定值叫半径。
设轨迹上动点为
定点
定值为R，由两点间距离公式
(x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? (z ? z0 )2 ? R
(x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? (z ? z0 )2 ? R2
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面 . x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
? x2 ? y2 ? z ( p , q 同号) 2p 2q
x
y
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?1
( a,b, c 为正数)
x
y
平面 z ? z1 上的截痕为椭圆.
平面 y ? y1上的截痕情况 :
1) y1 ? b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2
?
z2 c2
? 1?
y12 b2
y ? y1
(实轴平行于 x 轴； 虚轴平行于 z 轴）
2) y1 ? b 时, 截痕为相交直线:
x? z? 0 ac
y ? b (或 ? b)
3) y1 ? b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
?
z2 c2
? 1?
y12 b2
2、柱面. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做 柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
?x2 ? y2 ? R2 圆柱面
z
M
x2 a2
?
y2 b2
?
1
椭圆柱面C.
o
M1 x
o
y
抛物柱面 ,
lz
x ? y ? 0 经过z 轴的平面.
以上的柱面母线 都平行于Z轴
o
y
x
x
C
z o
y
x ? a, y ? b, z ? c
(2)与坐标面的交线：椭圆
?? x2 ?a 2
?
y2 b2
?
1,
?? z ? 0
?? y2 ?b2
?
z2 c2
?
1,
?? x ? 0
?? x2 ?a2
?
z2 c2
?
1
?? y ? 0
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 z ? z1 ( z1 ? c)的交线为椭圆：
特别,当M0在原点时 ,球面方程为
x2 ? y2 ? z2 ? R2
z M0
表示上(下)球面 .
M
o
y
x
例2. 研究方程 的曲面 .
表示怎样
解: 配方得
此方程表示 : 球心为 M0 (1,? 2, 0) , 半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形 . 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
a2 c2
x2 (c2 ?
z12 )
?
b2 c2
y2 (c2 ?
z12 )
?
1
z
z ? z1
同样 y ? y1 ( y1 ? b ) 及
的截痕
也为椭圆 .
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面 ; 当a＝b＝c 时为球面.
2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 ? y2 ? z ( p , q 同号) 2p 2q