弹性力学(习题详解)
弹性力学课后习题及答案
弹性力学课后习题及答案弹性力学课后习题及答案弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。
在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、弹性体的应力与应变1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。
求该弹性体的应变。
答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。
2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。
答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
二、弹性体的应力分布1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布是否均匀？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。
2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形状有关？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。
三、弹性体的弹性模量1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。
答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。
由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。
2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的形变。
答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。
弹性力学习题解答
习题解答 第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
解：(1)pi iq qj jkpq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jkpj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。
证：20ijk jkjk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e ()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。
2.5设有矢量i i u =u e 。
原坐标系绕z 轴转动θu 在新坐标系中的分量。
解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。
弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学-04(习题答案)
1 )
(sin
22
sin
21)
y
q0
2
2(2
1) (sin
22
sin
21)
xy
q0
2
(cos 22
cos 21)
aa q
证法1:（叠加法）
y
1
O 2
P
x
证法1:（叠加法） 分析思路：
aa q
y
1
O 2
P
x
aa
q
y
O
P x
q
aa
y
O
P x
求解步骤： 由楔形体在一面受均布压力问题的结果：
刚体
r
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
r
2
2
)
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
r2
)
ra
r
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
a2
)
q
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
a2
)
习题4-4 矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较 远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。
解：由图（a）给出的孔 边应力结果：
q
q(1 2cos 2 )
得：
q
x
q
r
q
q
x
r
q 1 2cos 2( 45)
y (a)
q1 2cos 2( 45)
q1 2sin 2 q1 2sin 2
弹性力学全程导学及习题全解
1-7 试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力,面力和应力的方向。
注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力,均为沿坐标轴正方向为正,反之为负。
（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正,反之为负。
1-8 试画出题1—8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向.2—7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是:物体的连续性，小变形和均匀性.在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。
（2)在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是:物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。
在两种平面问题（平面应力、平面应变)中的物理方程不一样,如果将平面应力问题的物理方程中的E 换位21E μ-，1μμμ-换为，就得到平面应变问题的物理方程。
2-8 试列出题2-8图（a ），题2-8图（b ）所示问题的全部边界条件.在其端部边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
【解】（1)对于图（a ）的问题在主要边界0,x x b ==上，应精确满足下列边界条件：0(),(),x x x x b gy gy σρσρ===-=- 0()0()0xy x xy x b ττ====；。
在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件:01(),y y gh σρ==-()0yx τ=。
在小边界（次要边界）2y h =上,有位移边界上条件：22()0,()0y h y h u v ====。
这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚1δ=时,22212000()(),()0,()0b y y h by y h byx y h dx g h h b xdx dx σρστ===⎧=-+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰。
弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答汇总
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学教材习题解答
1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
b. 关于弹性力学的正确认识是A。
A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
d. 所谓“完全弹性体”是指B。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
2－1. 选择题a.所谓“应力状态”是指B。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
2－2.梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。
已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。
2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。
根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4.单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。
试写出楔形体的边界条件。
2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。
试写出球体的面力边界条件。
2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。
试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。
3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B成立。
A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。
弹性力学简明教程(第四版)_习题解答
弹性力学简明教程（第四版）习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
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（习题讲解）
习题2-1 设有任意形状的等厚度薄板，体力可 o
以不计，在全部边界上（包括孔口边 界上）受有均匀压力 q 。试证：
x
q
x y q 及 xy 0
能满足平衡微分方程、相容方程和边 界条件，同时也满足位移单值条件，
y
因而就是正确的解答。
解：本问题属平面应力问题
X V ,Y V
x
y
（1）
其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数 (x, y)表示成为：
x
2
y 2
V ,
y
2
x2
V , xy
2
xy
试导出相应的相容方程。
（2）
将式（2）代入应力表示的相容方程：
2 x2
2 y 2
( x
y)
4
x 2y 2
4
x4
2V x 2
2V x 2
4
y 4
解：由材料力学理论求出：
l
x
Px I
y
(I h3 ) h 12
xy
QS Ib
P 2I
h2 4
y2
1P y x
将式 (1)代入相容方程：
x
y 0
(1)
将式 (1)代入平衡微分方程：
x xy P y P y 0 x y I I
xy y 0 0 0
2 x2
2 y 2
( x
2V y 2
4
x 2y 2
2V y 2
4
x 4
4
2 x2y2
4
y 4
2
2V x 2
2V y 2
4
22V
2 x2
2 y 2
( x
y)
4
x 2y 2
4
x4
2V x 2
2V x 2
4
y 4
2V y 2
4
x 2y 2
2V y 2
4
x 4
2
4
x2y
2
4
y 4
2
2V x 2
l
x
Px I
y
(I h3 ) 12
xy
QS Ib
P 2I
h2 4
y2
y 0
(1)
上、下边界条件：
h x
1P y x
h
h
2 h x
x0
ydy
2 h
0
ydy
0
2
2
h
y y h 0, xy y h 0
2
2
左侧边界条件： —— 显然满足
h
h
2 h x
dy
x0
2 h
0
dy
0
2
2
dy 2 h xy x0
max min
1 2
2
N
当
2 l
2
N
时，m
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
代入： N
1 2
2
l 21 m2 2
补充题2-1 图示楔形体，试写出其边界条件。
左侧面：(x y tan )
1y
l cos , m sin
X 0,Y 0
x y tan
x x y tan cos xy x y tan sin 0
（2）校核是否满足相容方程
（1）校核是否满足平衡微分方程
x xy (q) (0) 0
x y x y xy y (0) (q) 0 x y x y
—— 平衡微分方程满足
2 x2
2 y 2
( x
y)
2 x2
2 y 2
(q)
(q)
0
—— 相容方程满足
（3）校核是否满足边界条件
（3）校核是否满足边界条件
2
h
2 h
2
P 2I
h2 (
4
y2 )dy
P h3 P
I 12 —— 显然满足
习题2-2 矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学
公力式写y出弯0，曲然应后力证 明x 和，剪这应些力表达xy式的满表足达平式衡，微并分取方挤程压和应
相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？
解：由材料力学理论求出：
Pl I
y2dy
Pl
P h3 P
I 12 —— 显然满足
习题2-3 试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即：
X V ,Y V
x
y
（1）
其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数 (x, y)表示成为：
x
2
y 2
V ,
y
2
x2
V , xy
2
xy
试导出相应的相容方程。
（2）
1
1
习题2-4 试证明：在发生最大与最小剪应力的面上，正应力的数值都等 于两主应力的平均值。
证：以主应力方向截取应力单元体，如图所示。
任意斜截面的方向余弦：
O
l cos , m sin
2
x
任意斜截面上的剪应力：
N lm( 2 1)
1
1
1 4
(
1 2
l
2
)2
(
2
1)
y
2
当
l
2 2
时： N
2V y 2
22V
(1
)
X x
Y y
(1
)
2V x2
2V y 2
(1
) 2V
代入相容方程：
2 x2
2 y 2
( x
y)
(1
)
X x
Y y
有：4 22V (1 )2V 4 (1 )2V
4 (1 )2V—— 平面应力情形
对平面应变情形，将
1
4 (1 )2V (1 2 )2V
o
x
取任意微段边界，其外法线方向余弦：
q
l cos m sin
X q cos ql Y q sin qm
——边界条件
y
将应力分量：
N
x y q 及 xy 0
代入边界条件公式：
l x s m xy s l q m0 ql X l xy s m y s l0 m q qm Y
（4）满足位移单值条件 —— 应力边界条件满足
结论： x y q 及 xy 0 为该弹性体的正确解。
习题2-2 矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学
公力式写y出弯0，曲然应后力证 明x 和，剪这应些力表达xy式的满表足达平式衡，微并分取方挤程压和应
相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？
l
M=Pl
x
Px I
y
(I h3 ) h 12
xy
QS Ib
P 2I
h2 4
y2
1P y
h
x
x
P
y 0
(1)
dy 2 h xy xl
右侧边界条件：
h
2
h x
dy
xl
2
h
2 h
2
Pl I
ydy
0
2
h
2 h
2
P 2I
(h2 4
y2 )dy
h
2
h x
xl
ydy
2
h
2 h
2
证明：当式（1）成立时 ，有：
x xy V 0
x y x
xy y V 0
x y y
3
xy 2
V x
3
xy
2
V x
0
3
x2y
3
x2y
V y
V y
0
——式（2）满足平衡微分方程
将式（2）代入 ，有：
表明应力分量可用式（2）表示。
习题2-3 试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即：
y)
2 x 2
2 y 2
(
Pxy) I
0
x y
—— 满足平衡微分方程
—— 相容方程满足
习题2-2 矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学
公力式写y出弯0，曲然应后力证 明x 和，剪这应些力表达xy式的满表足达平式衡，微并分取方挤程压和应
相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？
解：由材料力学理论求出：