判定直线与圆相切
圆与直线的切点与切线计算方法
圆与直线的切点与切线计算方法在几何学中，圆与直线的切点与切线是一个重要的概念。
切点是指直线与圆相交的点，而切线则是从切点出发与圆相切的直线。
本文将介绍如何计算圆与直线的切点以及相应的切线方程。
一、圆与直线的切点计算要计算圆与直线的切点，我们首先需要知道圆的方程和直线的方程。
圆的方程通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
直线的方程一般表示为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为常数。
下面我们来讲解两种情况下的切点计算方法。
1. 直线与圆相交（两个切点）当直线与圆相交时，即存在两个切点。
这种情况下，我们可以通过解方程组来求解切点的坐标。
首先，将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
然后，通过求解二次方程可以得到x的两个解。
将这两个解带入直线方程，即可求得对应的y坐标，得到两个切点的坐标。
2. 直线与圆相切（一个切点）当直线与圆相切时，即只存在一个切点。
这种情况下，我们可以通过判断直线到圆心的距离是否等于半径来确定切点的坐标。
首先，计算直线的斜率m。
然后，利用圆心坐标(a, b)和直线方程可以得到直线上过圆心的一条直线的方程。
接着，通过计算直线到圆心的距离（可以用点到直线的距离公式）和圆的半径的比较，确定是否存在切点。
如果直线到圆心的距离等于半径，那么切点即为圆心的坐标，否则不存在切点。
二、切线的计算方法切线是从切点出发与圆相切的直线。
切线的斜率可以通过切点处的圆的切线是圆上切点的切线垂直的来计算。
切线的斜率等于直线与圆的切点处切线的斜率的负倒数，即m = -1/m_t，其中m是直线的斜率，m_t是切点处切线的斜率。
知道切点的坐标和切线的斜率后，我们可以利用点斜式或一般式来表示切线的方程。
总结：圆与直线的切点计算方法可以通过解方程组或计算直线到圆心的距离来确定。
切线的斜率可以通过切点处切线的斜率的负倒数得到。
解析几何中的直线与圆的位置关系
解析几何中的直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要概念之一。
在空间几何中，直线和圆可以有多种相互位置的情况，包括相离、相切和相交。
本文将对直线与圆的不同位置关系进行解析和讨论。
一、直线和圆相离的情况当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称直线和圆相离。
此时，直线与圆之间的最短距离等于两者之间的半径差。
直线作为一个无限延伸的曲线，在与圆相离的情况下，可能与圆的外部或内部都不存在交点。
二、直线和圆相切的情况直线和圆相切意味着它们只有一个公共点，即相切点。
在这种情况下，直线与圆的切点即为它们的交点，且直线垂直于通过切点的半径。
直线与圆相切的情况分为两种，一种是直线与圆外切，另一种是直线与圆内切。
1. 直线与圆外切当一条直线与一个圆外切时，直线与圆相交于切点。
此时，直线与圆的半径垂直并且共线，且直线和圆之间的最短距离等于圆的半径。
直线从切点开始离开圆，没有任何交点。
外切情况下，直线与圆的位置关系可以通过切线与圆的关系来理解。
2. 直线与圆内切直线与圆内切意味着直线与圆只有一个公共点，并且直线在此切点处与圆的内部相切。
如外切情况一样，直线与圆内切时，直线与通过切点的半径垂直并且共线。
直线从切点开始进入圆内，没有任何其他交点。
三、直线和圆相交的情况直线和圆可能有两个交点或者无穷多个交点。
直线与圆相交的情况分为两种，一种是直线穿过圆内部，另一种是直线截取了圆的一部分。
1. 直线穿过圆内部当一条直线穿过一个圆的内部时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线穿过圆的内部时，直线与圆的交点处于圆的两侧。
2. 直线截取圆的一部分当一条直线截取了一个圆的一部分时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线截取圆的一部分时，直线的两个交点分别位于圆上，相交点将圆分成了两部分。
总结：直线和圆的位置关系在解析几何中是一个重要的概念。
关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法
关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法李志民1 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断直线与圆的位置关系常见的有三种方法：判别式 相交1.1代数法： 相切Δ=b2-4ac 相离1.2 几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d＜r 相交,d=r 相切,d＞r相离(三)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．此法适用于动直线问题。
2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法2.1 几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
2.2 代数方法一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是运用韦达定理及弦长公式|AB|= |x A-x B|=.]4))[(1(22BABAxxxxk-++说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。
3 求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程3.1 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=r23.2 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解。
说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.4 例题选讲：例1. 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12。
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长。
(1)证明 由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝2 11－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27。
切线的性质和判定定理
D
解：BD是⊙O的切线
连接OD
A
∵ OD=OA
O
C
B ∴∠ODA=∠BAD=∠B
=300
∴∠ BOD=600
∴∠ODB=900
即： OD⊥DB
∴BD是⊙O的切线
变式练习 练习3,△ABC中，以AB为直径的⊙O，
交边BC于P，BP=PC, PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结OP。
∵ AB为直径
思∵考直线L是
⊙如O图的：切如果线直，线L
是A⊙是O的切切点线。,切点为
AL是,∴ 点那不么L是⊥半一径O定AO垂于A与直A直呢线?
.O
一定垂直(可用反证法来证）
切线的性质定理:
L A
圆的切线垂直于过切点的半径
简记为：“知切线，连半径，得垂直”
切线的性质定理反证法
假设切线l不垂直于过切点的半 径OA，
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过 半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
O
r
A
l
圆的切线判定定理：
经过半径的外端且垂于这条半径
的直线是圆的切线。
条件：(1)经过半径的外端；(2)垂直于过该点半径；
符
号 语
∵l⊥OA，A点是⊙O上一点
言
表
达 ∴直线l是⊙O的切线
为什么?
解：AC与⊙O相切
连接OD,作OE⊥AC
E
∴∠OEC=900
∵ AB是⊙O的切线
∴OD⊥AB,
∴∠ODB=900=∠OEC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵O是BC的中点
∴OB=OC
∴△OBD≌△OCE
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定(编)
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定【知识点一】：直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例分析】1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤52．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图象相切时，点A的坐标变为（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）或（，0）C．（﹣，0）D．（﹣2，0）或（2，0）3．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°第1题图第2题图第3题图4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣2≤x≤2B．﹣2＜x＜2C．0≤x≤2D．﹣2≤x≤25．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．6．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．第4题图第5题图第6题图7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且＝，连接DE．（1）若＝140°，求∠C的度数．（2）求证AB＝AP．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【知识点二】：切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．【典例分析】1．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．B．C．D．52．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．第1题图第2题图第3题图4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，AD＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E ＝50°，则∠ACD等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC 相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）6．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．第4题图第5题图第6题图7．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．8．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝．第7题图第8题图9．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD 的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．13．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【知识点三】：切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例分析】1．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，联结OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切线．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BO＝1，∠BAC＝30°，求△AOC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．8．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。
如何判定直线与圆的位置关系？
求证：CD是⊙O的切线．
证明：连结OD．
∵AD＝DC，∠A=30°，
∴∠C=∠A=30°．
∠ADC=180°－30°－30°=120°．
∵OA=OD，
怎样判定一条直线是圆的切线？
答：利用切线的定义和判定定理可判定一条直线是圆的切线．
由直线和圆的位置关系可以知道，当直线和圆相切时，直线和圆心的距离等于半径，这就是切线判定的一个定理．这个定理就是：
切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
应该注意，这个定理包含了两个条件．
证明：∵OC⊥AB于C，
∴∠ACO=∠OCB=90°．
∵∠AOC=∠B，
∴△AOC∽△OCB．
AC·BC=OC2．
∵AC=16，BC=4，
∴OC=8=⊙O半径．
AB经过半径OC的外端，并且垂直于这条半径，所以AB是⊙O的切线．
当已知直线和圆的公共点没有确定，则应过圆心作垂线垂直于已知直线，证明圆心到直线的距离等于半径．简言之，"作垂直，证半径"．
(1)直线经过半径的外端点；
(2)直线垂直于这条半径．
这两个条件缺一不可．
应该说，判定直线和圆相切的方法有三种：
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)过半径外端和半径垂直的直线是圆的切线．
下面举例说明怎样证明一条直线是圆的切线． 20°－30°=90°．
DC经过半径OD的外端，并且垂直于半径OD，因此，CD是⊙O的切线．
直线与圆的切线与切点的应用知识点总结
直线与圆的切线与切点的应用知识点总结直线与圆是几何学中的常见概念，在解决与其相关的问题时，可以利用切线与切点的应用知识。
本文将对直线与圆的切线与切点的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和运用这一知识点。
一、切线的定义与性质在切线的运用中，我们首先需要了解切线的定义与性质。
对于一个圆，切线可以被定义为与圆相切于一点的直线。
根据这一定义，我们可以得出以下几个性质：1. 切线与半径垂直：切线与圆相切于一点，与该点处的半径垂直。
2. 切线的唯一性：通过圆外一点可以作一条且只能作一条切线。
3. 切线与圆心连线的角度：切线与圆心连线的夹角为90度。
这些性质为我们分析和解决与直线与圆相关的问题提供了基础。
二、直线与圆的切线方程当我们需要确定直线与圆的切点时，可以通过求解直线与圆的方程来得到。
以下是几种常见的情况：1. 直线与圆相交于两点：当直线与圆相交于两个点时，这条直线不是切线。
求解该问题需要将直线方程代入圆的方程，并通过解方程组得到切点的坐标。
2. 直线与圆相切于一点：当直线与圆相切于一点时，这条直线为切线。
求解该问题可以通过将直线方程代入圆的方程，然后令两方程的根相等，解方程得到切点的坐标。
3. 直线与圆相离：当直线与圆不相交、不相切时，直线无切点。
求解该问题需要通过圆心到直线的距离判断直线与圆是否相离。
通过求解切线方程，我们可以获得与直线与圆相交或相切的切点，从而解决与直线与圆相关的问题。
三、切线定理在应用切线定理时，我们可以利用圆内的两条切线和它们的切点形成的四边形，从而推导得出如下定理：当两条切线相交时，切点与圆心连线所夹的角相等。
利用切线定理，我们可以求解与切线和切点有关的角度问题，推导切线与切点之间的关系。
四、应用示例下面通过几个实际问题的案例，来应用切线与切点的知识。
1. 已知一个圆心为O，半径为r的圆，一条直线与圆相交于A、B 两点，求证：AO=BO。
解析：由于A、B分别为圆的切点，根据切线与半径垂直的性质可知OA与OB分别为两条切线与圆心连线，因此OA与OB相等。
直线与圆的位置关系题型归纳
直线与圆的位置关系题型归纳引言在几何学中，直线和圆是基本的几何元素。
研究直线与圆的位置关系不仅有助于理解几何学基本原理，还可以应用到实际问题中。
本文将归纳总结几种常见的直线与圆的位置关系题型，并给出相应的解题方法。
一、直线与圆相交直线与圆相交通常有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线既与圆相切又穿过圆。
1. 直线与圆相切当直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。
这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。
求解这类问题时，可以利用以下方法： - 根据已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。
- 判断交点是否满足直线方程和圆的方程，从而确定直线与圆相切。
2. 直线穿过圆当直线与圆有两个交点时，称直线穿过圆。
这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。
求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。
- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。
3. 直线既与圆相切又穿过圆当直线与圆既有一个交点又有两个交点时，称直线既与圆相切又穿过圆。
这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。
求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。
- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。
二、直线与圆相离直线与圆相离是指直线与圆没有交点。
这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。
求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 求解直线方程和圆的方程的解集。
- 判断解集是否为空集，从而确定直线与圆相离。
三、总结与应用对于直线与圆的位置关系题型，我们可以通过确定直线方程和圆的方程，求解交点的坐标，判断交点的坐标与圆心的位置关系来确定直线与圆的位置关系。
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A
F O
E
C
2、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径 的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E． （1）求证：DE是⊙O的切线；
辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交
点，连半径,证垂直.
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆
心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ记为：
无交点,作垂直,证半径.
1、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，
OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作
⊙O .
求证：AB是⊙O的切线.
求证：⊙O与AC相切。
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB OD⊥AB于点D ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ OE也是半径 ∴ AC是⊙O的切线。
D
A E O
B
C
例1与例2的证法有何不同?
O A C B D A O B
E
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到
圆的切线的判别方法
黄秋霞
判定直线与圆相切有哪些方法？
切线的判定方法有三种： •①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即 经过半径的外端并且垂直这条半径的直 线是圆的切线.
常见的证明切线题目的两种情形
1.已知直线与圆有公共点时 其证明方法是：连接这个公共点和圆心，再证这 条辅助半径与这条直线垂直即可。简记为“连半径 ，证垂直”。 2.若不知直线与圆有公共点时 其证明方法是：过圆心作直线的垂线段，再证垂 线段的长度等于半径即可。简记为“连半径，证垂 直”。
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
证明：连结OC ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ AB⊥OC(三线合一) ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。
O A C
B
例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，
OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。