两条直线的位置关系(1)
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2021高三统考数学一轮学案：第9章第2讲两直线的位置关系含解析
2021高三统考北师大版数学一轮学案：第9章第2讲两直线的位置关系含解析第2讲两直线的位置关系基础知识整合1．两条直线的位置关系(1）两条直线平行与垂直①两条直线平行（ⅰ）对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2,则有l1∥l2⇔错误!k1＝k2。
(ⅱ）当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2。
②两条直线垂直(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔错误!k1k2＝－1.（ⅱ）当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.（2）两条直线的交点直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组错误!错误!的解．2．几种距离(1)两点P1（x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离｜P1P2｜＝错误!错误!.(2)点P0(x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝错误!错误!。
（3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2）间的距离d＝错误!错误!。
1．三种常见的直线系方程（1）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程:Ax＋By＋C0＝0(C≠C0）;（2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C0＝0；(3）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R，这个直线系不包括直线l2:A2x＋B2y＋C2＝0，解题时,注意检验l2是否满足题意，以防漏解)．2．四种常见的对称（1)点(x,y）关于直线y＝x的对称点为(y,x)，关于直线y＝－x 的对称点为（－y，－x）．（2)点(x，y）关于直线x＝a的对称点为（2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为（x，2b－y)．（3)点（x，y）关于点（a，b)的对称点为（2a－x，2b－y）．（4)点(x,y)关于直线x＋y＝k的对称点为（k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为（k＋y，x－k)．3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1）求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式．(2）求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x，y 的系数对应相等．1．(2019·广东惠阳模拟)点A（2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(）A．2错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案C解析点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝错误!＝错误!。
两条直线的位置关系(1)
父亲上学时，按照当时来讲，是有钱家的孩子才能上得了学的，大冬天的能提着暖手的火炉子上学，相当得气派，穿着得自然要好点。父亲的婆婆赵氏很支持我父亲的学业，因此，父亲能顺利地从 陕西泾干中学高中毕业。听父亲讲过，家里人把一头毛驴卖掉了供我父亲上学。父亲的勤奋也证明了这头毛驴卖掉是正确的。在我爷爷的八个孩子当中，父亲排行老二，也就只有父亲一个人跳出了农门， 到了外面做事，当了国家干部。也有人说，父亲是赵氏一手养大看大的娃娃，性格和脾气很像赵氏，而赵氏出自泾阳县里的一个大家族。在历史上，从赵氏的娘家大户焦家的确走出了几位泾阳名人， 《泾阳县志》2001年版上都有记载。
父亲的家境是一个殷实的家庭，有着好地百亩，有着好多长工，比如叫什么王相、什么张相。回想当年定成分时，我们家被什么的小组划定成为了富农。而事实上，有人也说了是我爷爷得罪了村里 的人，我们家顶多是一个中农。父亲的父亲，也就是我爷爷是过继给了同村的另一户杨家。因此，我爷爷的名字从原本的德理改成了长德，在家排行老四。我祖爷，按照血统上讲的是应该是杨居耀，过 继给了另一户杨家，我祖爷名字改叫成了杨天佑，有着一大家子的人，还有要经营的生意，听我父亲讲是在甘肃张掖一带。杨天佑有三个女儿，没有儿子，我爷爷到了杨天佑家，延续了香火。而杨天佑 家里的生意都是由我父亲的婆婆赵氏，也就是杨天佑的内人来经营着的。电游网 Leabharlann
11.3.1两条直线的位置关系(1)
联立方程组，行列式法判断方程组解的情况.
二、两条直线位置关系
已知两条直线方程为
l1 : a1 x b1 y c1 0 l2 : a2 x b2 y c2 0
c1 b1 c2 b2 , Dy a1 a2 c1 c2
记D
a1
b1
a2 b2
, Dx
Dx Dy 当 D 0 时，两直线相交于点 ( , ) ； D D
x m 2 y 6 解：联立方程组，整理得： (m 2) x 3my 2m 1 m2 D m(m 1)(m 3) m 2 3m
Dx 6 m2 2m 3m 1 6 2m(m 3)(m 3)
l1 : x m y 6 0, l2 : (m 2) x 3my 2m 0
三、典型例题
例1.判定下列各组直线的位置关系，如果相交， 那么求出交点坐标:
2 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : y 0
3 4 解: D 4 两直线相交. 1 0
即两直线相交, 交点坐标为(4,0)
三、典型例题
例1.判定下列各组直线的位置关系，如果相交， 那么求出交点坐标:
当 D Dx Dy 0 时，两直线重合；
当 D 0, Dx 0 或 Dy 0 时，两直线平行.
三、典型例题
例1.判定下列各组直线的位置关系，如果相交， 那么求出交点坐标:
1 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : 7 x 12 y 1 0 2 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : y 0 3 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : 6 x 8 y 5 0
两条直线的位置关系(相交平行重合)
或 A1 B1 C1 A2 B2 C2
( A2、B2、C2 0)
(2)求过点A（1，-4）且与直线2x+3y+5=0平 行的直线的方程
解：设∵直所线求方直程线为与2已x知+直3y线+平C=行0 ∴代所入求点直（线1，k=-4-）32 。得 2-12+C=0 ∴C=所1求0 直线的方程是y+4=- 32(x-1) 所即求直2x线+3的y+方10程=0是 2x+3y+10=0
例2.已知直线方程l1：x+mБайду номын сангаас+6=0, l2:(m-2) x+3y+2m=0 , 当m为何值时 l1、 l2（1）相交 （2）平行 （3）重合
例3.已知三条直线ax+y+1=0, x+y+a=0 x+ay+1=0 可构成三角形，求a的取值条件。
两条直线的位置关系(1)
---------相交、平行、重合
问1.两条不重合直线l1与l2的倾斜角相等， 这两条直线的位置关系如何？
两直线平行或重合 问2.两条直线l1与l2平行， 1)这两条直线的倾斜角大小有何关系？
2)这两条直线的纵截距相等吗？
3)斜率相等吗？ 1)两直线平行倾斜角相等；
2)如果纵截距存在，则纵截距不相等； 3) 倾斜角不为900时斜率相等，为900时斜率不存在
已知直线l1与l2的斜截式方程为
l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2,
直线l1∥ l2
k1=k2且b1 ≠ b2
直线l1、 l2重合
k1=k2且b1 = b2
直线l1、 l2相交
第讲两直线的位置关系
2
从而得两条直线的交点为(9，－4)， 又当 x＝9，y＝－4 时，有 9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5， 即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 上， 故直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过定点(9，－4)．
证法二：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5， ∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0. 则直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过直线 x＋2y－1＝0 与 x＋y－5＝0 的交点． 由方程组xx＋ ＋2y－y－51＝＝00. ， 解得 x＝9，y＝－4，即过点(9，－4)． 所以直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 经过定点(9，－4)．
(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合． 解题思路：根据两直线的位置关系列式再求解．
解析：(1)由已知1×3≠m(m－2)， 即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3. 故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交． (2)当 1·(m－2)＋m·3＝0，即 m＝12时，l1⊥l2. (3)当m－1 2＝m3 且26m≠m3 ，即 m＝－1 时，l1∥l2.
等于( D )
A．2
B．1
C．0
D．－1
4．(2010年上海)圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线 3x＋4y＋4＝0 的距离 d＝__3__.
5．原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则l的斜率为__2_. 解析：kOP＝－12＝－12，则 kl＝2.
考点1 两直线的平行与垂直关系
例1：已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 求m的值，使得：
证法三：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5， ∴m(x＋2y－1)＝x＋y－5. 由 m 为任意实数，知关于 m 的一元一次方程 m(x＋2y－1)＝ x＋y－5 的解集为 R， ∴xx＋ ＋2y－y－51＝＝00. ， 解得 x＝9，y＝－4. 所以直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过定点(9，－4)．
从而得两条直线的交点为(9，－4)， 又当 x＝9，y＝－4 时，有 9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5， 即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 上， 故直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过定点(9，－4)．
证法二：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5， ∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0. 则直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过直线 x＋2y－1＝0 与 x＋y－5＝0 的交点． 由方程组xx＋ ＋2y－y－51＝＝00. ， 解得 x＝9，y＝－4，即过点(9，－4)． 所以直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 经过定点(9，－4)．
(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合． 解题思路：根据两直线的位置关系列式再求解．
解析：(1)由已知1×3≠m(m－2)， 即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3. 故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交． (2)当 1·(m－2)＋m·3＝0，即 m＝12时，l1⊥l2. (3)当m－1 2＝m3 且26m≠m3 ，即 m＝－1 时，l1∥l2.
等于( D )
A．2
B．1
C．0
D．－1
4．(2010年上海)圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线 3x＋4y＋4＝0 的距离 d＝__3__.
5．原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则l的斜率为__2_. 解析：kOP＝－12＝－12，则 kl＝2.
考点1 两直线的平行与垂直关系
例1：已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 求m的值，使得：
证法三：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5， ∴m(x＋2y－1)＝x＋y－5. 由 m 为任意实数，知关于 m 的一元一次方程 m(x＋2y－1)＝ x＋y－5 的解集为 R， ∴xx＋ ＋2y－y－51＝＝00. ， 解得 x＝9，y＝－4. 所以直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过定点(9，－4)．
152972_两条直线的位置关系(1)_滕宏银
和点A(1,-1),过点 例3,已知直线 1:2x+y-6=0和点 ,已知直线l 和点 ,过点A 作直线l 交于点B且 作直线 2与l1交于点 且|AB|=5,求直线 2方程. ,求直线l 方程.
与点B(4,-7),试在 轴上求一 例4,已知点 ,已知点A(2,5)与点 与点 ,试在y轴上求一 的值最小. 点P,使得 |PA|+|PB| 的值最小. 使得
(1)l1 : ax + by + c1 = 0与l2 : ax + by + c2 = 0 (2)l1 : ax + by + c1 = 0与l2 : bx + ay + c2 = 0
�
l1 l2
x
两条直线的位置关系( ) 两条直线的位置关系(1)
(2)当两直线斜率都存在时, )当两直线斜率都存在时, 设 l1 : y = k1x + b1, l2 : y = k2 x + b2 则 l1 // l2 k1 = k2 ,且 1 ≠ b2 b y o
α1
b2
b1
l1
l2
α2
x
两条直线的位置关系( ) 两条直线的位置关系(1)
二,两直线垂直 (1)两直线中有一条斜率 ) 不存在时, 不存在时, y o x
另一条直线的斜率为0 l1 ⊥ l2 另一条直线的斜率为
两条直线的位置关系( ) 两条直线的位置关系(1)
(2)当两直线斜率都存在时, )当两直线斜率都存在时, 设为k 设为 1, k2
l1 ⊥ l2 k1 k2 = 1
练习: 练习:P47第1~4题 题
两条直线的位置关系( ) 两条直线的位置关系(1)
例5,设直线 , l1 : A x + B y + C1 = 0, l2 : A2x + B2 y + C2 = 0 1 1
与点B(4,-7),试在 轴上求一 例4,已知点 ,已知点A(2,5)与点 与点 ,试在y轴上求一 的值最小. 点P,使得 |PA|+|PB| 的值最小. 使得
(1)l1 : ax + by + c1 = 0与l2 : ax + by + c2 = 0 (2)l1 : ax + by + c1 = 0与l2 : bx + ay + c2 = 0
�
l1 l2
x
两条直线的位置关系( ) 两条直线的位置关系(1)
(2)当两直线斜率都存在时, )当两直线斜率都存在时, 设 l1 : y = k1x + b1, l2 : y = k2 x + b2 则 l1 // l2 k1 = k2 ,且 1 ≠ b2 b y o
α1
b2
b1
l1
l2
α2
x
两条直线的位置关系( ) 两条直线的位置关系(1)
二,两直线垂直 (1)两直线中有一条斜率 ) 不存在时, 不存在时, y o x
另一条直线的斜率为0 l1 ⊥ l2 另一条直线的斜率为
两条直线的位置关系( ) 两条直线的位置关系(1)
(2)当两直线斜率都存在时, )当两直线斜率都存在时, 设为k 设为 1, k2
l1 ⊥ l2 k1 k2 = 1
练习: 练习:P47第1~4题 题
两条直线的位置关系( ) 两条直线的位置关系(1)
例5,设直线 , l1 : A x + B y + C1 = 0, l2 : A2x + B2 y + C2 = 0 1 1
1.2.2 空间两条直线的位置关系(1)
判断空间两条直线平行的依据
。
l
注：平行公理适用于所有的空间几何体．
C1
E1
D1
F1
C1
A1
B1
A1
B1
E
D
C
F
C
A
B
A
B
例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC
的中点．
D1
C1
求证：EF∥A1C1．
A1
B1
D
A
E
C F B
问题2
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
不同在任一平面内
公共点个数 有且只有一个
没有
作业：
课本第28页练习1，2，3与31页习题第12题．
D
求证：∠BAC＝∠BAC ．
E
平行公理和空间等角定理
保证了空间的线段和角在 经过平移后，长度和大小 A都保持不变．ABDB
C
E
C
例2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，
A1D1的中点．
求证：∠CEB＝∠C1E1B1．
E1
D1
C1
A1
B1
D E A
C B
练习：
如图EFGH是平面四边形ABCD四边中点，四边形EFGH的
直线与直线 (平面内)
直线l1与直线l2相交 直线l1与直线l2平行
图形语言 略
符号语言
l1∩l2=A l1∥l2
结合长方体图形，说说空间内的两条直线的位置关系又会
有哪些呢？
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
两条直线的位置关系(1)
a2 1 a
a a
2 1
;
k2
a 1 2a 3
1 a 2a 3
又两直线垂直k1 k2 1
即 a 2 1 a 1a 1 a 1 2a 3
(2)当a 1时, (a 2)x (1 a) y 3 0的斜率不存在
而(a 1)x (2a 3) y 2 0的斜率为0
§7. 3. 2两条直线的位置关系（二）
复习回顾： 上节课，我们研究学习了两直线平行或垂直
的充要条件及其应用: 平行问题
1.当直线L1和直线L2的斜率都存在时
得到: l1 // l2 k1 k2且b1 b2
2.当直线L1和直线L2的斜率都不存在时
得到: l1 // l2 或两直线重合
3.当直线L1和直线L2的斜率有一条存在, 有一 条不存在时
两直线仍然垂直a 1也符合题意
综上所述, a 1.
解法二: A1 a 2, A2 a 1; B1 1 a, B2 2a 3 又 两直线垂直 (a 2) (a 1) (1 a) (2a 3) 0 整理得(a 1) (a 1) 0 a 1
令y 0, 得x轴上的截距为a m 3
由题意得( m) ( m) 7
4
33
解得m 4
所求直线的方程为3x 4 y 4 0
三、课堂练习： 1.已知两点 A（7， 4），B（ 5，6），求线段 AB的 垂直平分线的方程。
2.求经过点 A（2，1）且与直线 2x y 10 0垂直 的直线 l的方程。
一、先分析两直线平行的情况
分析：（1）当B1 0，B2 0时，把直线l1和l2化成
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希望人在老年的时候，有家人温暖的陪伴，最好是无微不至的关怀，我感觉得到，有的老人其实是很脆弱的，就像一个孩子，需要家人的关怀呀。99真人手机版网址 无论人的一生是短暂的还是漫长的，我都希望有爱陪伴着生命的旅程就好，一路阳光，一路花香。 2020年6月3日午.
当一阵一阵的北风，把落叶卷起来，携带着，抛向漫天旷野之时，这个世界，也就差不多进入寒冬了。 人生几十年，阅历自然有一些，却也无法把很多事情、诸般形迹，看得清、摸得透。或许，这就是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”吧。 我喜欢在翡翠湖的周边散步，对这里的一草一木应该是熟悉的。二零一九年十二月七日这一天，是二十四节令的第二十一个：大雪。虽然，没有下雪，可这气候真的就有了大雪来临的意思。 头顶上，似是混沌未开之际的那般糊涂，分不清是云还是雾，感觉身体就在一口倒扣着的锅中。若不是熟悉这里的环境，肯定是摸不着方向了。 眼际里，最多的东西是树。大多数的树，依旧是绿色的，却绿得深沉，绿得惨淡，绿得让人看不到了生命的鲜活。 就说这柳树吧，树根一米以下，被涂上了白色的石灰，像根柱子。梢上的枝条，不知道是从什么时候开始的，变得像苍颜老翁的头发，一律向下垂着。枝上，虽然还有很多叶子，也无一不傍在干上， 没了精神，大有遥遥欲
当一阵一阵的北风，把落叶卷起来，携带着，抛向漫天旷野之时，这个世界，也就差不多进入寒冬了。 人生几十年，阅历自然有一些，却也无法把很多事情、诸般形迹，看得清、摸得透。或许，这就是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”吧。 我喜欢在翡翠湖的周边散步，对这里的一草一木应该是熟悉的。二零一九年十二月七日这一天，是二十四节令的第二十一个：大雪。虽然，没有下雪，可这气候真的就有了大雪来临的意思。 头顶上，似是混沌未开之际的那般糊涂，分不清是云还是雾，感觉身体就在一口倒扣着的锅中。若不是熟悉这里的环境，肯定是摸不着方向了。 眼际里，最多的东西是树。大多数的树，依旧是绿色的，却绿得深沉，绿得惨淡，绿得让人看不到了生命的鲜活。 就说这柳树吧，树根一米以下，被涂上了白色的石灰，像根柱子。梢上的枝条，不知道是从什么时候开始的，变得像苍颜老翁的头发，一律向下垂着。枝上，虽然还有很多叶子，也无一不傍在干上， 没了精神，大有遥遥欲