两条直线的位置关系习题

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两直线的位置关系习题

两直线的位置关系一、选择题1．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－3B ．－43C ．2D ．3 2．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的取是A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或23．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )A ．85B ．32C ．4D ．8 4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．2C ．12D ．4 5．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝06．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．27．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)8．已知两直线l 1：mx ＋y －2＝0和l 2：(m ＋2)x －3y ＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．2或12D ．－2或12二、填空题9．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且距离等于13的直线方程是______________．10．直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________．11．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a ＝________.12．若y ＝a |x |的图像与直线y ＝x ＋a (a >0)有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．13．已知1a ＋1b＝1(a >0，b >0)，则点(0，b )到直线3x －4y －a ＝0的距离的最小值是________．三、解答题14．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.15．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：( a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a、b 的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．16．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．17.在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．。

第44讲两直线的位置关系

课前双基巩固
课堂考点探究
第44讲两直线的位置关系
作业手册
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
课标要求
1.两条直线的位置关系
课前双基巩固
◈ 知识预习 ◈
k1·k2=-1
(0,4)
(2)直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线的方程是 .
课堂考点探究
[解析] (2)方法一:设所求直线上一点的坐标为(x,y),则其关于点M(-2,1)对称的点的坐标为(-4-x,2-y).因为点(-4-x,2-y)在直线x-2y-3=0上,所以(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0.方法二:因为点M不在直线x-2y-3=0上,所以所求直线与已知直线平行,因此可设所求直线的方程为x-2y+λ=0(λ≠-3),则点M到两条直线的距离相等,即=,解得λ=11或λ=-3(舍去),所以所求直线的方程为x-2y+11=0.
[解析]连接PQ,当PQ与l1,l2垂直时,|PQ|为l1,l2间距离的最大值,又|PQ|==,∴l1,l2间距离的取值范围是(0,].故选D.
D
[总结反思]求解点到直线距离的最值问题时,应注意观察直线是否过定点,若过定点,则可将点到直线距离的最值问题转化为两点间的距离问题.运用点到直线的距离公式时,需注意直线方程应为一般式;运用两平行直线间的距离公式时,两直线方程中x,y的系数需要对应相等.
3. [教材改编]已知直线l1:x-2y-2=0,l2:x-2y-1=0,则直线l1,l2之间的距离为 ( )A. B. C. D.

《两直线的位置关系》课件

CHAPTER 04
两直线的关系应用
解析几何中的应用
解析几何的基本概念
01
解析几何是研究图形与坐标之间的关系，通过代数方法解决几
何问题。两直线的位置关系是解析几何中的基本问题。
直线的方程
02
在二维坐标系中，直线可以用一个或两个方程来表示。例如，
通过两点式、点斜式、截距式等可以求出直线的方程。
两直线的交点
两直线的斜率与截距
斜率的定义与计算
总结词
斜率是直线在平面上的一个重要属性，它表示直线相对于x轴的倾斜程度。
详细描述
斜率是直线方程y=kx+b中k的值，它表示直线在y轴上的单位长度内，x轴的变化量。如果k为正数，则直线向右上方倾斜；如果k为负数，则直线向右下方倾斜。
截距的定义与计算
总结词
截距是直线与y轴和x轴相交的点，表示直线在坐标轴上的位置。
判断方法
斜率法
若两直线斜率相等且截距不等，则两直线平行；若斜率不存在且截距相等，则两直线平行。
交点法
若两直线无公共点，则两直线平行或重合；若两直线有且仅有一个公共点，则两直线相交；若两直线有无数个公共点，则两直线重合。
平行与垂直的性质
平行性质
平行直线间的距离是固定的，且与两直线的方向向量或斜率有关。
03
两直线相交于一点，这个点是两直线的交点。求两直线的交点
可以通过联立两直线的方程来求解。
三角函数图象中的应用
01
三角函数的图象与性质
三角函数（如正弦、余弦、正切等）的图象是周期性的，这些图象在某
些部分表现出直线性。
02
三角函数与直线的交点
在三角函数的图象中，求直线与三角函数的交点可以通过将直线的方程

(完整版)两条直线的位置关系综合练习题及答案(可编辑修改word版)

两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1）平行的判断：①当l 1 , l 2 有斜截式（或点斜式）方程l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 ，则 l 1 // l 2 ⇔ k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 .②当l 1 , l 2 有一般式方程： l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ，则l 1 // l 2 ⇔A 1B 2 - A 2 B 1 = 0,C 1B 2 - C 2 B 1 ≠ 0 .（2）垂直的判断：①当l 1 , l 2 有斜截式（或点斜式）方程l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 ，则 l 1 ⊥ l 2 ⇔ l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 .②当l 1 , l 2 有一般式方程： l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ，则l 1 ⊥ l 2 ⇔ A 1 A 2 + B 1B 2 = 0 .2、两条直线的交点：若l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0⎧ A 1x + B 1 y + C 1 = 0 则l 1 , l 2 的交点为方程⎨ A x + B y + C 的解.= 0 ⎩ 2 223、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点 P (x 0 , y 0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离为 d =_.(2)两平行直线间的距离求法：两平行直线： l 1 : Ax + By + C 1 = 0, l 2 : Ax + By + C 2 = 0 ，则距离 d = d =（二）例题讲解：考点 1：直线的平行与垂直关系例 1、（1）已知直线l 的方程为3x + 4 y -12 = 0 ，求与l 平行且过点(-1, 3) 的直线方程；（2）已知直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 ，求过直线l 1 和l 2 的交点，且与直线l 3 : 3x - 2 y + 4 = 0⎨⎩⎩ ⎩⎪ 垂直的直线l 方程. 易错笔记：解：（1）设与直线l 平行的直线l 1 的方程为3x + 4 y + C = 0 ，则点(-1, 3) 在直线3x + 4 y + C = 0 上，将点(-1, 3) 代入直线3x + 4 y + C = 0 的方程即可得： 3⨯(-1) + 4 ⨯ 3 + C = 0 ，∴ C = -9 ，∴所求直线方程为：3x + 4 y - 9 = 0 .（2）设与直线l 3 : 3x - 2 y + 4 = 0 垂直的直线l 方程为： 2x + 3y + C = 0 ，⎧2x - 3y +10 = 0 方程 ⎩3x + 4 y - 2 = 0 ⎧x = -2的解为： ⎨ y = 2 ， ∴直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 的交点是(-2, 2) ， ∴直线l 过直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 的交点(-2, 2) ， ∴ 2 ⨯(-2) + 3⨯ 2 + C = 0 ，∴ C = -2 ，∴直线l 方程为： 2x + 3y - 2 = 0 . 考点 2：直线的交点问题例 2、已知直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 ， (1) 求证：无论 m 取何值，此直线必过定点；(2) 过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程.解：(1)设直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 过定点( A , B ) ，∴ ⎧2 A + B = -4 ，∴ ⎧ A = -1 ， ⎨ A - 2B = 3 ⎨B = -2 ∴直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 过定点(-1, -2) .(2) 由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a ≠ 0 ，在 y 轴上的截距b ≠ 0 ，∴设直线 l 的方程为： x + y= 1，∴直线 l 在 x 轴上的交点坐标为 M (a , 0) ，直线 l 在 y 轴上的交点坐标为a b N (0, b ) ，直线l 夹在两坐标轴间的线段被点(-1, -2) 平分， ∴点(-1, -2) 是线段 MN 的中点，⎧ a + 0 = -1 ∴ ⎪ 2 ，∴ a = -2, b = -4 ， ⎨ 0 + b= -2 ⎩⎪ 2∴直线l 的方程为： x + y -2 -4易错笔记：= 1，即2x + y + 4 = 0 .⎩ ⎩ （三）练习巩固：一、选择题1、直线 3x + y +1 = 0 和直线 6x + 2 y +1 = 0 的位置关系是B ）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直2、点(2,1) 到直线 3x - 4 y + 2 = 0 的距离是（A ）A. 45B. 54C.25D. 2543、如果直线 x + 2ay - 1 = 0 与直线(3a - 1)x - ay - 1 = 0 平行，则 a 等于（A ）1 1 A ．0B ．C ．0 或 1D ．0 或661 解： 1⋅(-a ) - 2a (3a -1) = 0 ①，且 2a (-1) - (-a ) ≠ 0 ②，由①得： a = 0 或 a =，由②得： a ≠ 0 ，∴6a = 0 .4、若三条直线 2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点，则 k =（B ）A．-2B． - 12⎧2x + 3y + 8 = 0C ．2D ．1 2⎧x = -1 解：方程⎨x - y -1 = 0 的解为： ⎨ y = -2 ，∴直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 的交点是(-1, -2) ，三条直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点(-1, -2) ， ∴直线 x + ky = 0 过点(-1, -2) ，∴ -1+ k (-2) = 0 ，∴ k = - 1，故选 B .25、已知点 M (4, 2) 与 M (2, 4) 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为（D ）A． x + y + 6 = 0 B． x + y - 6 = 0 C． x + y = 0 D． x - y = 06、已知直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x + my +14 = 0 平行，则它们间的距离是（D ）17 17 A.B ．C ．8D ．2105解：直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x +my +14 = 0 平行，⎨⎪4 ⨯14 -(-3)m≠ 0∴⎧⎪3m - 4 ⨯6 = 0⎩，∴m = 8 ，∴直线6x +my +14 = 0 的方程为6x + 8 y +14 = 0 ，即3x + 4 y + 7 = 0 ，∴直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线3x + 4 y + 7 = 0 之间的距离d === 2 .直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x + 8 y+14 = 0 的距离等于直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线3x + 4 y + 7 = 0 之间的距离，∴直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x +my +14 = 0 的距离d === 2 ，故选D.二、填空题7、如果三条直线l1: mx +y +3 = 0, l2: x -y -2 = 0, l3: 2x -y + 2 = 0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的一个值是.8、过点(2, 3)且平行于直线2x +y - 5 = 0 的方程为2x +y - 7 = 0.过点(2, 3)且垂直于直线3x + 4 y- 3 = 0 的方程为4x - 3y +1 = 0 .分析：设与直线 2x +y - 5 = 0 平行的直线方程为： 2x +y +C = 0 ，则点(2, 3)在直线 2x +y +C = 0 上，将点(2, 3)代入直线 2x +y +C = 0 的方程即可得： 2 ⨯ 2 + 3 +C = 0 ，∴C =-7 ，∴所求直线方程为： 2x +y - 7 = 0 .分析：设垂直于直线3x + 4 y - 3 = 0 的方程为： 4x -3y +C = 0 ，则点(2, 3)在直线4x -3y +C = 0 上，将点(2, 3) 代入直线4x - 3y +C = 0 的方程即可得： 4 ⨯ 2 - 3⨯ 3 +C = 0 ，∴C = 1，∴所求直线方程为： 4x - 3y +1 = 0 .9、已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1, 2)，B (2, a)，若直线l1 // l2，a =_ 3 _；若l1⊥l2，则a =5.3当直线l1 // l2 时：直线l1 的斜率：k1 = 3 ，且直线l1 // l2 ，∴直线l2 的斜率k2 =k1 = 3 ，直线l 经过点A(1, 2)，B (2, a)，∴直线l 的斜率k=y2-y1 =a - 2=a - 2 = 3 ，222x -x 2 -12 1∴a = 5 .当直线l1 ⊥l2 时，设直线l1 的斜率为k1 ，直线l2 的斜率为k2 ，则直线l 的斜率：k = 3 ，直线l ⊥l ，∴k ⋅k =-1 ，∴直线l 的斜率k =-1=-1，1 1 12 1 2 2 21又直线l 经过点A(1, 2)，B (2, a)，∴直线l 的斜率k=y2-y1 =a - 2=a - 2 =-1，222x -x 2 -1 32 1∴a =5.310、设直线l1: 3x + 4 y- 2 = 0, l2: 2x +y + 2 = 0, l3: 3x - 4 y+ 2 = 0 ，则直线l1 与l2 的交点到l3 的距离为12 .5k 3Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 3⨯(-2) - 4 ⨯ 2 + 2 32 + (-4)2Ax 0 + By 0 + CA 2 +B 2k + 2 k 2 + (-1)22 ⎩ ⎩ 1⎩⎩2 ⎧3x + 4 y - 2 = 0 解：方程⎨2x + y + 2 = 0 ⎧x = -2的解为： ⎨ y = 2 ，∴直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 的交点是(-2, 2) ，∴点(-2, 2) 到直线l 3 的距离为：d = = = 12.511、过点 A (-1, 2) ，且与原点距离等于2的直线方程为 x - y + 3 = 0 或7x - y + 9 = 0 ．2解：设所求直线的斜率为 k ，则直线过点 kx - y + k + 2 = 0 ，A (-1, 2) ， ∴方程为 y - 2 = k ⎡⎣ x - (-1)⎤⎦ = k ( x +1) ，即 ∴直线到原点的距离为： d ==== ，2(k + 2)2 2⎛⎫22= ⎪ = 1 ，∴ k 2 + 8k + 7 = 0 ，∴ k = 1 或 k = 7 ， k + (-1)⎝ 2 ⎭ 2∴所求直线的方程为： x - y + 3 = 0 或7x - y + 9 = 0 ．三、解答题12、已知直线l 1 : x + my + 6 = 0, l 2 : (m - 2) x + 3y + 2m = 0 ，求m 的值，使得 (1) l 1 和l 2 相交；（2） l 1 ⊥ l 2 垂直；(3) l 1 // l 2 ； (4) l 1 和l 2 重合. 解：(1) l 1 和l 2 相交，∴ m (m - 2) -1⨯ 3 ≠ 0 ，∴ m ≠ -1． (2) l 1 ⊥ l 2 垂直，∴ 1⋅(m - 2) + m ⨯ 3 = 0 ，∴ m = 2.⎧⎪m (m - 2) -1⨯ 3 = 0 (1) (3) l 1 // l 2 ，∴ ⎨ ，⎪2m ⋅ m - 3⨯ 6 ≠ 0 (2) 由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m ≠ ±3 ，∴ m = -1.⎧⎪m (m - 2) -1⨯ 3 = 0 (1)(4) l 1 和l 2 重合，∴ ⎨⎪2m ⋅ m - 3⨯ 6 = 0 (2) ，由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m = 3 或 m = -3 ， ∴当 m = 3 ，或 m = -3 ，或 m = -1时， l 1 和l 2 重合.13、已知直线l 过点(1, 2) ，且与 x ， y 轴正半轴分别交于点 A 、 B（1）、求∆AOB 面积为 4 时直线l 的方程；（2）、在（1）的前提之下，求边 AB 上的高所在的直线方程.解：（1）、由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a > 0 ，在 y 轴上的截距b > 0 ，∴设直线l 的方程为： x + y= 1，直线l 过点(1, 2) ， a bk ⋅ 0 -1⋅ 0 + k + 2k 2 + (-1)2y B(1,2)OAx∴ 1 + 2 = 1①， ∆AOB 面积为 4，∴ a b a b = 1 ab = 4 ②，由①、②得： a = 2 ， b = 4 ， 2∴直线l 的方程为： x + y= 1，即2x + y - 4 = 0 .2 4（2）、设边 AB 上的高所在的直线为l 1 ，斜率为 k 1 ，直线l 1 过原点O (0, 0) ，直线l 的方程为： 2x + y - 4 = 0 ，∴边 AB 所在的直线方程为： 2x + y - 4 = 0 ，斜率为斜率 k = -2 ， l ⊥ l 1 ，∴ k ⋅ k 1 = -1 ，∴ k 1 = -1 = -1 = 1，直线l 过原点O (0, 0) ， k -2 2 1∴直线l 的方程为： y - 0 = 1( x - 0) ，即 x - 2 y = 0 .综上所述：边 AB 上的高所在的直线方程为： x - 2 y = 0 .121 2。

两条直线的位置关系练习题

7．B
8．D
9．B
10．A
11．120° 60° 120°
12．120°
13．
14．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
15． /15度
16．140
17．
18． /60度
19．
20．157.5
21．2பைடு நூலகம்米
22．小明这次跳远的成绩是．
23．(1)图略，两点之间，线段最短
(2)图略，垂线段最短
24．(1)90
B．不平行的两条直线一定互相垂直
C．不垂直的两条直线一定互相平行
D．不相交的两条直线一定互相平行
3．如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件圆心角的度数为（）
A． B． C． D．
4．下列四个图形中，与是对顶角的是（）
A． B．
C． D．
5．如图，下列选项中与∠A是同旁内角的是()
A．∠A=49°B．四边形CC′E′E是平行四边形
C．B′C=DED．S△ABC=5S△D′FE
7．如图，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝25°，则∠2的度数是（）
A．25°B．65°C．55°D．64°
8．如图，利用工具测量角，有如下4个结论：
① ；
② ；
③ 与互为余角；
④ 与互为补角．
22．如图，是某同学在学校运动会跳远比赛中留下的脚印，请测量他的成绩．（要求：画出图形，并进行简要说明，按照答题卡测量距离，比例尺计算）
23．如图，在高速公路的同一侧有、两座城市．
(1)现在要以最低成本在、两座城市之间修建一条公路，假设每公里修建的成本相同，试在图中画出这条公路的位置，并简要说明你的依据；

2022高考数学一轮复习—直线与方程习题汇总含答案

两条直线的位置关系及距离公式命题范围：两条直线平行与垂直的条件，两点间的距离及点到直线的距离．[基础强化]一、选择题1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝02．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A.12B.32C.14D.343．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝07．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－18．[2021·四川成都一中高三测试]三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠19．直线l 经过点M (2,1)，若点P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．3x －2y －4＝0B ．x ＝2或3x －2y －4＝0C ．x ＝2或x －2y ＝0D ．x ＝2或3x －2y －8＝0二、填空题10．若曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________．11．若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________.12．过点A (4，a )和B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则两点间的距离|AB |＝________.两条直线的位置关系及距离公式参考答案1．A 设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1,0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．D ∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34. 3．A 由两条直线平行，∴a 3＝2a －1≠2a 7－a，得a ＝－2或a ＝3.∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．4．B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12， ∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．5．B 由点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，得|1＋3×3＋C |12＋(3)2＝|4＋C |2＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．6．A 过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线即y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.7．C ∵l 1∥l 2，∴12＝－2n，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0 ∴|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.8．C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.9．B 解法一：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，依题意可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，因为P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，所以|4k －2＋1－2k |＝|4＋1－2k |，解得k ＝32，则直线l 的方程为3x －2y －4＝0，故选B.解法二：由题意知，所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点或与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行．当所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x ＝2；当所求直线与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行时，由k PQ ＝－4－20－4＝32，得直线l 的方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0，故选B. 10.2解析：由题意得A (0,1)，由点A (0,1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12＝ 2. 11．2或－1解析：因为两直线平行，所以有a (a －1)－2＝0，且1a ＝a －12≠a 2－1－6，即a 2－a －2＝0，且a 2＋3a －4≠0，解得a ＝2或a ＝－1.12.2解析：由题意可知，k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1，故|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.直线的倾斜角与斜率、直线的方程命题范围：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和一般式．[基础强化]一、选择题1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率k 为( )A.23B.32C ．－23D ．－322．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.23π D .56π 3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝04．已知直线l 的倾斜角为α、斜率为k ，那么“α>π3”是“k >3”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0 D.3x ＋y ＋3＝06．经过点P (1,2)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．2x －y ＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0或2x －y ＝0D ．x ＋y －3＝0或2x －y ＝07．[2021·衡阳一中高三测试]直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <08．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 9．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤34，2B.⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2]二、填空题10．若A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．11．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为________．12．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率为1，则m ＝________.直线的倾斜角与斜率、直线的方程参考答案1．C k ＝0－23－0＝－23. 2．D 由x ＋3y ＋1＝0，得y ＝－33x －33， ∴直线的斜率k ＝－33，其倾斜角为56π. 3．A 由点斜式得y －5＝－34(x ＋2)，即：3x ＋4y －14＝0. 4．B ∵当π2<α<π时，k <0，∴α>π3D ⇒/k >3；当k >3时，π3<α<π2，∴k >3⇒π3<α<π2， ∴α>π3是k >3的必要不充分条件． 5．D 由点斜式可知y ＝－3(x ＋1)，即：3x ＋y ＋3＝0.6．D 若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，若直线不过原点，设所求的直线方程为x ＋y ＝m ，又P (1,2)在直线上， ∴1＋2＝m ，∴m ＝3，即：x ＋y ＝3.7．A ax ＋by ＋c ＝0可化为y ＝－a b x －c b，又直线过一、二、四象限， ∴－a b <0且－c b>0，即ab >0，bc <0. 8．B 设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得tan θ＝－sin α∈[－1,1]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 9．B 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P (1,1)，k P A ＝2，k PB ＝34，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[2，＋∞)．10．4解析：由题意得k AC ＝k BC ，∴5－36－4＝5－a 6－5，得a ＝4. 11．45°解析：y ′＝3x 2－2，当x ＝1时，y ′＝3－2＝1，∴k ＝1，其倾斜角为45°. 12．1解析：由题意得，4－m m ＋2＝1，得m ＝1.。

两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案

两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案两条直线平行与垂直的判定一、基础知识1.两条直线平行的判定(1)l1∥l2,说明两直线l1与l2的倾斜角相等,当倾斜角都不等于90°时,有k1=k2;当倾斜角都等90°时,斜率都不存在.(2)当k1=k2时,说明两直线l1与l2平行或重合.2.两直线垂直的判定(1)当两直线l1与l2斜率都存在时,有k1·k2=-1⇔l1⊥l2;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,也有l1⊥l2.(2)若l1⊥l2,则有k1•k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线的斜率为零.3.如何判断两条直线的平行与垂直判断两条直线平行或垂直时,要注意分斜率存在与不存在两种情况作答.二、典例剖析题型一直线平行问题例1:下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等,则两直线平行.②若l1∥l2,则k1=k2.③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )A.-8B.0C.2D.10题型二直线垂直问题例2:已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2, 34求实数a 的值.变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:AB ⊥CD. 题型三平行与垂直的综合应用例3:已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标.规律技巧:利用图形的几何性质解题是一种重要的方法. 易错探究例4:已知直线l 1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l 2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.错因分析:只有两条直线的斜率都存在的情况下,才有l 1⊥l 2k 1•k 2=-1,本题中直线l 2的斜率存在,而l 1的斜率不一定存在,因此要分l 1的斜率存在与不存在两种情况解答. 正解：三、基础强化训练1.下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等;121122:l l ,k k 1.35k ,,53351,53a a k a a a a --==-⊥∴⋅---∴⋅=---=-错解又③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直;④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1.2.已知点A(1,2),B(m,1),直线AB与直线y=0垂直,则m的值为( )A.2B.1C.0D.-13.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形4.已知l1⊥l2,直线l1的倾斜角为45°,则直线l2的倾斜角为( )A.45°B.135°C.-45°D.120°5.经过点P(-2､-1)､Q(3,a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直.则a=________.6.试确定m的值,使过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(-6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.7.已知A(1,5),B(-1,1),C(3,2),若四边形ABCD是平行四边形,求D点的坐标.8.如果下列三点:A(a,2)､B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,试确定常数a的值.9.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a 的值等于____.10. l 1过点A(m,1),B(-3,4),l 2过点C(0,2),D(1,1),且l 1∥l 2,则m=_______.题组练习一、选择题1、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by-c=0，则ab=1是l 1||l 2的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是 A m=1 B m=±1 C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 3、直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是A 平行B 相交但不垂直C 相交垂直D 视α的取值而定4、已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a ≠b-1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是A x+y=0B x-y=0C x+y-1=0D x-y+1=05、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p)，则m-n+p=A 24B 20C 0D -46、由三条直线3x-4y+12=0,4x+3y-9=0,14x-2y-19=0所围成的三角形是 A 锐角不为450的直角三角形 B 顶角不为900的等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形7、已知△ABC 中，A （2,4），B （－6，－4），C （5，－8），则∠C 等于 A 2740arctanB -2740arctanC +π2740arctan D -π2740arctan8、直线3x+3y+8=0直线xsin α+ycos α+1=0)24(παπ<<的角是A 4πα-B απ-4C 43πα-D απ-45 二、填空题1、与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为10/3的直线的方程为______＿＿；2、与直线2x-y+4=0的夹角为450，且与这直线的交点恰好在x 轴上的直线方程为＿＿＿＿＿；3、直线过点A （1，)33且与直线x-y 3=0成600的角，则直线的方程为＿＿三、解答题1、直线过P （1,2）且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截得的线段长为2，求这条直线的方程。

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两条直线的位置关系（1）习题
一、选择题
1、下列说法中，正确的个数是（）
①在同一个平面内不相交的两条线段必平行
②在同一个平面内不相交的两条直线必平行
③在同一个平面内不平行的两条线段必相交
④在同一个平面内不平行的两条直线必相交
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
2、下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）
3下列说法正确的是（）
A 、一个角的补角一定比这个角大
B 、锐角大于它的余角
C 、两个角都与一个角互余，则这两个角一定相等
D 、互为余角、互为补角的关系必须在同一个图形中
4、已知∠A = 40°，则∠A 的余角的补角是（）
A 、50°
B 、150°
C 、40°
D 、130°
5、如果∠1 + ∠2 = 90°，∠2+ ∠3= 90°，则（）
A 、 ∠1 =∠2
B 、 ∠1 = ∠3
C 、 ∠2 =∠3
D 、 ∠1 = ∠2 = ∠3
6、∠1与∠2互补且相等， ∠3与∠2是对顶角，则∠3的一半是（）
A 、45°
B 、80°
C 、75°
D 、30°
7、若互为余角的两个角之差为40°，则较大的角为（）
A 、40°
B 、50°
C 、65°
D 、75°
8、若∠α+ ∠β = 90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是（）
A 、互余
B 、互补
C 、相等
D 、不确定
9、三条线相交于一点，所成的小于平角的对顶角有（）
A 、3对
B 、4对
C 、5对
D 、6对
2 A 2
B 2
D 2 C
10、∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，若∠3=75°，则∠1的度数是（）
A、75°
B、105°
C、90°
D、75°或105°
二、填空题
11、∠1与∠2是对顶角，∠1=38°，则∠1= ；
12、右图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量
角器可以量出这个扇形零件的圆心角是度，你的
根据是；
13、如图1，是由两个相同的直角三角形ABC和FDE
拼成的，则图中与∠A相等的角有个，分别是；
∠1与∠A关系是；∠2与∠1的关系是；
14、∠α=25°，则∠α的余角= ；∠α的补角= ；
15、已知：∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= ；
16、互为补角的两个角的度数之比为2:7，则这两个角分别是= ；
17、已知∠α的补角是∠α的4倍，则∠α=；
三、解答题：
16、如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数．
17、直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD=100°，∠1=30°，求∠2的度数．
18、如图，直线AB、CD被EF所截，如果∠1与∠2互补，且∠1=110°，那么∠3，∠4的度数是多少？
19、已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE 的度数．
20、如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=60°．试求∠BOD，∠AOD、∠EOD的度数．
四、探究题：
21、如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？
22、观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）：
（1）如图a，图中共有_________对对顶角；
（2）如图b，图中共有_________对对顶角；
（3）如图c，图中共有_________对对顶角；
（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成_________对对顶角；
（5）若有2008条直线相交于一点，则可形成_________对对顶角．。