大学物理电磁学部分练习题讲解

大学物理电磁学部分练习题1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的？（D ） （A ）带正电荷的导体，其电势一定是正值． （B ）等势面上各点的场强一定相等． （C ）场强为零处，电势也一定为零．（D ）场强相等处，电势梯度矢量一定相等． 2.当一个带电导体达到静电平衡时：D （A ）表面上电荷密度较大处电势较高． （B ）表面曲率较大处电势较高．（C ）导体内部的电势比导体表面的电势高．（D ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零．3. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ．该球面内、外的场强分布为（r表示从球心引出的矢径）： （ 0 r r R 302εσ）=)(r E)(R r <， =)(r E)(R r >．4.电量分别为q 1，q 2，q 3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为R ，则b 点处的电势U ＝)22(813210q q q R++πε5.两个点电荷，电量分别为+q 和-3q ，相距为d ，试求：（l ）在它们的连线上电场强度0=E的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？ （2）若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U ＝ 0的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？．解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，X 轴沿两点电荷的连线．（l ）设0=E的点的坐标为x ′，则••dq +q 3-x θ Od E ⎛0)'(43'42020=--=i d x qi x q Eπεπε可得 0'2'222=-+d dx x解出 d x )31(21'1+-=和 d x )13(21'2-=其中'1x 符合题意，'2x 不符合题意，舍去． （2）设坐标x 处 U ＝ 0，则)(43400x d qx q U --=πεπε0])(4[40=--=x d x xd q πε得 4/04d x x d ==-6.一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.解答：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O点处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。

今取一半径为r ，宽度为Rd θ的带电细圆环。

带电圆环在P 点的场强为：()322201ˆ4qxE ra x πε=+ 在本题中，cos x h R θ==，a r = 所以可得：()332220044hdq hdqdE Rr h πεπε==+ 上式中()222sin dq r Rd R d σπθπσθθ==即：33002sin cos sin cos 42R d dE d R σπθθθσθθθπεε== 整个半球面为：2000sin cos 24E dE d πσσθθθεε===⎛⎜⎠⎰，方向沿半径向外 7. 电荷q 均匀地分布在一半径为R 的圆环上。

计算在圆环的轴线上任一给定点P 的场强。

2q q l R =d d π2220048q q lE r R r εε==d d d ππ()3/22204qx x R ε=+π22308Rqx l E Rr ε=⎰πd π解：8. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如图在圆上取ϕRd dl =ϕλλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为20π4d d R R E εϕλ=方向沿半径向外则 ϕϕελϕd sin π4sin d d 0RE E x ==ϕϕελϕπd cos π4)cos(d d 0RE E y -=-=积分R R E x 000π2d sin π4ελϕϕελπ==⎰0d cos π400=-=⎰ϕϕελπRE y∴ RE E x 0π2ελ==，方向沿x 轴正向．9. 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅q S E s取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=则 rl E S E Sπ2d =⋅⎰cos x x LLL x E E E E E rθ====⋅⎰⎰⎰d d d ()3/22204qx x R ε=+π22308Rqx l E Rr ε=⎰πd π对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ rE 0π2ελ=沿径向向外 (3) 2R r > 0=∑q 0=E10 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．解: 两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，两面间， n E )(21210σσε-= 1σ面外， n E)(21210σσε+-= 2σ面外， n E)(21210σσε+=n：垂直于两平面由1σ面指为2σ面． 11.半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．解:将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题图(a)．(1) ρ+球在O 点产生电场010=E，ρ- 球在O 点产生电场'dπ4π3430320OO r Eερ= ∴ O 点电场'd33030OO r E ερ= ； (2) ρ+在O '产生电场'dπ4d 3430301OO E ερπ=' ρ-球在O '产生电场002='E∴ O ' 点电场 003ερ='E 'OO图(a) 图(b)(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r'，相对O 点位矢为r (如(b)图)则 03ερr E PO=，03ερr E O P '-='∴ 0003'3)(3ερερερd OO r r E E EO P PO P=='-=+='∴ 腔内场强是均匀的．12. 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少功?解: ⎰⎰==⋅=22210212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε)11(21r r - 61055.6-⨯-=J外力需作的功 61055.6-⨯-=-='A A J13.如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功． 解: 如图示0π41ε=O U 0)(=-R q Rq0π41ε=O U )3(R q R q -R q0π6ε-=∴ Rq q U U qA o C O 00π6)(ε=-=14. 如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势．解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =则θλd d R q =产生O 点Ed 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向θεθλππcos π4d d 2220⎰⎰-==RR E E y R0π4ελ=［)2sin(π-2sin π-］R0π2ελ-=(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U⎰⎰===AB200012ln π4π4d π4d RRx x xxU ελελελ 同理CD 产生 2ln π402ελ=U 半圆环产生 0034π4πελελ==R R U∴ 0032142ln π2ελελ+=++=U U U U O15. 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题8-22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A 板的电势是多少?解: 如图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ(1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d =∴ 2d d21===ACAB AB AC E E σσ 且 1σ+2σSq A =得 ,32Sq A =σ Sq A 321=σ而 7110232-⨯-=-=-=A Cq S qσCC10172-⨯-=-=S q B σ(2) 301103.2d d ⨯===AC AC AC AE U εσV16.一空气平行板电容器，两极板面积均为 S ，板间距离为 d （ d 远小于极板线度），在两极板间平行地插入一面积也是S 、厚度为 t （＜ d ）的金属片．试求： （l ）电容C 等于多少？（2）金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？解：设极板上分别带电量+q 和-q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间场强为)/(01S q E ε=金属板与B 板间场强为 )/(02S q E ε=金属片内部场强为 0'=E 则两极板间的电势差为 d E d E U U B A 21+=-))](/([210d d S q +=ε))](/([0t d S q -=ε由此得)/()/(0t d S U U q C B A -=-=ε因C 值仅与d 、t 有关，与d 1、d 2无关，故金属片的安放位置对电容无影响．17. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量．解: 如图所示，设金属球感应电荷为q '，则球接地时电势0=O U由电势叠加原理有：=O U 03π4π4'00=+RqR q εε 得 -='q 3q18. 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。

由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。