大学物理电磁学部分练习题讲解

大学物理电磁学部分练

习题讲解

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

大学物理电磁学部分练习题

1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的（D ） （A ）带正电荷的导体，其电势一定是正值． （B ）等势面上各点的场强一定相等． （C ）场强为零处，电势也一定为零．

（D ）场强相等处，电势梯度矢量一定相等．

2.当一个带电导体达到静电平衡时：D （A ）表面上电荷密度较大处电势较高． （B ）表面曲率较大处电势较高．

（C ）导体内部的电势比导体表面的电势高．

（D ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零．

3. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ．该球面内、外的场强分布

为（r

表示从球心引出的矢径）： （ 0

r r R

3

02εσ）

=)(r E

)(R r <， =)(r E

)(R r >．

4.电量分别为q 1，q 2，q 3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为

R ，则b 点处的电势U ＝

)22(813210q q q R

++πε

5.两个点电荷，电量分别为+q 和-3q ，相距为d ，试求：

（l ）在它们的连线上电场强度0=E

的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？

（2）若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U ＝ 0的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？

?

?

d q +q 3-

x

θ O

d E ?

．解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，X 轴沿两点电荷的连线．

（l ）设0=E

的点的坐标为x ′，则

0)

'(43'

42

02

0=--

=

i d x q

i x q E

πεπε

可得 0'2'222=-+d dx x

解出 d x )31(21'1+-=和 d x )13(21'

2-=

其中'1x 符合题意，'2x 不符合题意，舍去． （2）设坐标x 处 U ＝ 0，则

)

(43400x d q

x q U --

=

πεπε

0])

(4[

40

=--=

x d x x

d q πε

得 4/0

4d x x d ==-

6.一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.

解答：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O

点处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。

今取一半径为r ，宽度为Rd θ的带电细圆环。 带电圆环在P 点的场强为：()

3222

01

?4qx

E r

a x πε=

+ 在本题中，cos x h R θ==，a r =

2q

q l R

=

d d π222

0048q q l

E r R r εε=

=

d d d ππ()

3/2

2204qx x R ε=

+π223

08R qx l E Rr ε=?

πd π 所以可得：()

3

3

2

2

2

0044hdq hdq

dE R r h

πεπε=

=

+

上式中()222sin dq r Rd R d σπθπσθθ==

即：3300

2sin cos sin cos 42R d dE d R σπθθθσ

θθθπεε==

整个半球面为：2000sin cos 24E dE d π

σ

σθθθεε===????，方向沿半径向

外

7. 电荷q 均匀地分布在一半径为R 的圆环上。计算在圆环的轴线上任一给定点P 的场强。 解：

8. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如图在圆上取?Rd dl =

?λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为

20π4d d R

R E ε?

λ=

方向沿半径向外 则 ?

?ελ

?d sin π4sin d d 0R

E E x =

=

??ελ

?πd cos π4)cos(d d 0R

E E y -=

-=

cos x x L

L

L x E E E E E r

θ====????

d d d ()

3/2

2

24qx x R

=

+π

积分R

R E x 000

π2d sin π4ελ

??ελπ

==

?

0d cos π400

=-=

?

??ελ

π

R

E y

∴ R

E E x 0π2ελ=

=，方向沿x 轴正向．

9. 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．

解: 高斯定理0

d ε∑?=?q

S E s

取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=

则 rl E S E S

π2d =??

对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ r

E 0π2ελ

=

沿径向向外 (3) 2R r > 0

=∑q 0=E

10 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．

解: 两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，

两面间， n E )(21210σσε-= 1σ面外， n E

)(21210

σσε+-= 2σ面外， n E

)(21210

σσε+=

n

：垂直于两平面由1σ面指为2σ面． 223

08R

qx l E Rr ε=?

πd π

11.半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．

解:将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题图(a)．

(1) ρ+球在O 点产生电场010=E

，

ρ-

球在O 点产生电场

'd π4π343

03

20

OO r E ερ= ∴ O 点电场'd

33

030OO r E ερ= ； (2) ρ+在O '产生电场'd

π4d 34

3

0301OO E

ερπ='

ρ-球在O '产生电场002='E

∴ O ' 点电场 0

03ερ=

'

E 'OO

图(a) 图(b)

(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r

'，相对O 点位矢为r (如(b)图)

则 0

3ερr E PO

=

，03ερr E O P '-='

∴ 0

003'3)(3ερερερd OO r r E E E O

P PO P

=='-=+='

∴ 腔内场强是均匀的．

12. 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少功

解: ?

?

==

?=

2

2

2

1

0212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε

)11(2

1r r -

61055.6-?-=J

外力需作的功 61055.6-?-=-='A A J

13.如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功． 解: 如图示

0π41

ε=

O U 0)(=-R q R

q

0π41ε=

O U )3(R q R q -R q

0π6ε-

=

∴ R

q q U U q

A o C O 00

π6)(ε=

-=

14. 如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势．

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =

则θλd d R q =产生O 点E

d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向

θεθ

λπ

π

cos π4d d 22

2

0??-

==

R

R E E y R

0π4ελ=

［)2

sin(π-2

sin π-］R

0π2ελ-=

(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U

?

?

==

=

A

B

20

0012

ln π4π4d π4d R

R

x x x

x

U ελ

ελελ 同理CD 产生 2ln π40

2

ελ

=

U 半圆环产生 0

03

4π4πελ

ελ=

=

R R U

∴ 0

032142ln π2ελ

ελ+

=

++=U U U U O

15. 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题8-22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少以地的电势为零，则A 板的电势是多少

解: 如图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ

(1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴ 2d d

2

1

===

AC

AB AB AC E E σσ 且 1σ+2σS

q A =

得 ,32

S

q A =

σ S

q A 321

=

σ

而 711023

2

-?-=-

=-=A C

q S q

σC

C

10172-?-=-=S q B σ

(2) 30

1

103.2d d ?==

=AC AC AC A

E U εσV

16.一空气平行板电容器，两极板面积均为 S ，板间距离为 d （ d 远小于极板线度），在两极板间平行地插入一面积也是S 、厚度为 t （＜ d ）的金属片．试求：

（l ）电容C 等于多少？

（2）金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？

解：设极板上分别带电量+q 和-q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间场强为

)/(01S q E ε=

金属板与B 板间场强为 )/(02S q E ε=

金属片内部场强为 0'=E 则两极板间的电势差为 d E d E U U B A 21+=-)

)](/([210d d S q +=ε))](/([0t d S q -=ε

由此得)/()/(0t d S U U q C B A -=-=ε

因C 值仅与d 、t 有关，与d 1、d 2无关，故金属片的安放位置对电容无影响．

17. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为

R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量． 解: 如图所示，设金属球感应电荷为q '，则球接地时电势0=O U

由电势叠加原理有：

=

O U 03π4π4'00=+R

q

R q εε

得 -

='q 3

q 18. 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）

（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。

19.如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d

εq

V E 0π4,0=

= （B ）d

εq

V d εq E 02

0π4,π4==

（C ）0,0==V E （D ）R

εq

V d εq E 020π4,π4==

分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q 在导

体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导

体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而正确答案为（A ）。

20.在真空中，将半径为R 的金属球接地，与球心O 相距为r （r ＞R ）处放置一点电荷q ，不计接地导线上电荷的影响．求金属球表面上的感应电荷总量． 分析 金属球为等势体，金属球上任一点的电势V 等于点电荷q 和金属球表面感应电荷q′在球心激发的电势之和．在球面上任意取一电荷元ｄq′，电荷元可以视为点电荷，金属球表面的感应电荷在点O 激发的电势为

?

'

='s R εq V 0

π4d

点O 总电势为

V r

εq

V '+=

00π4 而接地金属球的电势V 0 ＝0，由此可解出感应电荷q′． 解 金属球接地，其球心的电势

0d π41

π4π4d π40000='+='+=

??s s q R

εr εq R εq r εq V 感应电荷总量

q r

R

q q ?-='=d

21.两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感强度大小B R 、B r 满足（ ）

（A ） r R B B 2= （B ） r R B B = （C ） r R B B =2 （D ）r R B B 4=

分析与解 在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比

2

1==R r n n r R 因而正确答案为（C ）。

22. 两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感强度大小B R 、B r 满足（ ）

（A ） r R B B 2= （B ） r R B B = （C ） r R B B =2 （D ）r R B B 4=

分析与解 在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比

2

1==R r n n r R 因而正确答案为（C ）。

23.电场强度为E 的均匀电场，E

的方向与X 轴正向平行，如图所示．则通过图

中一半径为R 的半球面的电场强度通量为（D ）

（A ）E R 2π．（B ）E R 22

1

π． （C ）E R 22π． （D ）0

24.取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则B

（A ）回路L 内的∑I 不变， L 上各点的B

不变． （B ）回路L 内的∑I 不变， L 上各点的B

改变． （C ）回路L 内的∑I 改变， L 上各点的B

不变．

（D ）回路L 内的∑I 改变， L 上各点的B

改变．

25.如图所示，螺线管内轴上放入一小磁针，当电键K 闭合时，小磁针的N 极的指向(C)

（A ）向外转90O ．

（B ）向里转

90O ．

（C ）保持图示位置不动． （D ）旋转180O ．

（E ）不能确定．

26.均匀磁场的磁感强度B

垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 (A) 2

r 2B ． (B) r 2B ．

(C) 0． (D) 无法确定的量． ［ B ］

27.在磁感强度为B

的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B

的夹角为 ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) r 2B ． (B) 2r 2B ．

(C) -r 2B sin ． (D) -r 2B cos ． ［ D ］

28.在真空中有一根半径为R 的半圆形细导线，流过的电流为I ，则圆心处的磁感强度为D (A)

R

1

40πμ． (B)

R

1

20πμ (C) 0． (D)

R

1

40μ．

n B

α S

29.若空间存在两根无限长直载流导线，空间的磁场分布就不具有简单的对称性，则该磁场分布 (A) 不能用安培环路定理来计算． (B) 可以直接用安培环路定理求出． (C) 只能用毕奥－萨伐尔定律求出． (D) 可以用安培环路定理和磁感强度的叠加原理求出． ［ D ］

30.一运动电荷q ，质量为m ，进入均匀磁场中，

(A) 其动能改变，动量不变． (B) 其动能和动量都改变． (C) 其动能不变，动量改变． (D) 其动能、动量都不变． ［ C ］

31.两根平行的金属线载有沿同一方向流动的电流．这两根导线将： (A) 互相吸引． (B) 互相排斥． (C) 先排斥后吸引． (D) 先吸引后排斥． ［ A ］

32.如图，无限长直载流导线与正三角形载流线圈在同一平面

内，若长直导线固定不动，则载流三角形线圈将

(A) 向着长直导线平移． (B) 离开长直导线平移．

(C) 转动． (D) 不动． ［ A ］

33.如图，长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B 中以速度v

移动，直导线中的

电动势为

(A) Blv ． (B) Blv sin ．

(C) Blv cos

． (D) 0． ［ D ］

I 1

I 2

l B

b

a

v

34.如图所示，M 、N 为水平面内两根平行金属导轨，ab 与cd 为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线．外磁场垂直水平面向上．当外

力使ab 向右平移时，cd (A) 不动． (B) 转动． (C) 向左移动． (D) 向右移动．［ D ］ 35.在真空中，将一根无限长载流导线在一平面内弯成如图所示的形状，并通以电流I ，则圆心O 点的磁感强度B 的值为μ0I/(4a )．

36.如图，两根导线沿半径方向引到铁环的上A 、A ′两点，并在很远处与电源相连，则环中心的磁感强度为_ B=0__．

37.两根长直导线通有电流I ，图示有三种环路；在每种情况下，??l B

d 等于：

________μ0I ___(对环路a )． ________0____(对环路b )．

___2μ0I ____(对环路c )．

38.在安培环路定理∑??=i L

I l B 0d μ

中，∑i I 是指__环路L 所包围的所有稳恒

电流的代数和___；B

是指__环路L 上的磁感强度_____，它是由__环路L 内外全部电流所产生磁场的叠加____决定的．

39.一带电粒子平行磁感线射入匀强磁场，则它作__匀速直线__运动．

一带电粒子垂直磁感线射入匀强磁场，则它作___匀速圆周__运动． 一带电粒子与磁感线成任意交角射入匀强磁场，则它作__等距螺旋线_运动. 40. 图中，Ua-Ub 为：B

c a

b

d

N

M

B

（Ａ）IR -ε （Ｂ）ε+IR

（Ｃ）IR +-ε （Ｄ）ε--IR

41.图1所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线,电荷线密度分别为+λ ( x > 0)和-λ ( x < 0)，则xOy 平面上(0, a )点处的场强为:C

(A )

i a

02πελ

(B) 0 (C) i a 02πελ-

(D) j a

02πελ

42.如图所示，导体棒AB 在均匀磁场中绕通过C 点的垂直于棒长且沿磁场方向的轴OO '转动(角速度ω与B 同方向), BC 的长度为棒长的1/3. 则:C

(A) A 点比B 点电势低 (B) A 点与B 点电势相等 (C) A 点比B 点电势高 (D) 有电流从A 点流向B 点

43. 在相距为2R 的点电荷+q 与-q 的电场中，把点电荷+Q 从O 点沿OCD 移到D 点（如图），则电场力所做的功和+Q 电位能的增量分别为：D （Ａ）

R qQ 06πε，R qQ 06πε-

。

（Ｂ）R qQ 04πε，R

qQ 04πε-。

（Ｃ）R

qQ 04πε-，

R

qQ 04πε。 （Ｄ）R

qQ 06πε-，

R

qQ 06πε。

44.均匀磁场的磁感应强度B

垂直于半径为r 的圆面，今以该圆周为边线，作一半球面s ，则通过s 面的磁通量的大小为：B

-λ

+λ

? (0, a ) x

y O

图1

O '

B

O C

B

A

图

（Ａ）B r 22π （Ｂ）B r 2π（Ｃ）0 （Ｄ）无法确定的量 45.四个电动势均为ε、内阻均为r 的电源按如图连接，则：D

（Ａ）ε2=AB U ，ε=BC U （Ｂ）0=AB U ，0=BC U

（Ｃ）ε=AB U ，ε3=BC U （Ｄ）0=AB U ，ε=BC U