2016考讲义研数学强化
考研数学强化讲义之真题分类解析(吐血力荐)
求:(1)证明
lim
x
xn
存在,并求之.
1
(2)计算 lim
x
xn1 xn
xn2
.
例 8 设数列xn满足：x1 0, xnexn1 exn 1(n 1, 2,
),
证明xn
收敛，并求
lim
n
xn
.
例 9 设 an
1 xn
0
1 x2 dx
(n 0,1, 2,
)
（1）证明：数列 {an } 单调减少，且
（C） f x 在 x 0 处连续但不可导 （D） f x 在 x 0 处可导
例
9
设
f
(
x)
lim
n
(n 1)x nx2 1
,
则
f (x) 的间断点为 x
.
例
10
求函数
f
(x)
= lim(
sin t
x
)sintsin x
的表达式，并指出函数
(D) F(x) 是单调函数 f (x) 是单调函数
例 2 设 f (x) 是周 期为 4 的可导奇 函数，且 f (x) 2(x 1), x [0, 2] ，则 f (7)
__________.
例 3 设 f (x)
x
2 sin t dt ,
x
(Ⅰ)证明 f (x) 是以 为周期的周期函数;(Ⅱ)求 f (x) 的值域.
（D）3
例
7
函数
f
(x)
lim(1
sin
t
)
x2 t
在 (, ) 内（）
t 0
x
（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第四章解答
其特征方程为 (r 1)2 (r 1) r3 r2 r 1 0 ，故应选（B）.
4.【解】应选(A). 特征方程为 r 2 1 0, 则 r1,2 i, 则特解形式为 y ax2 bx c x( Asin x B cos x).
5.【解】应选(D).由 y C1ex C2e2x xex 为方程的解知, r1 1, r2 2 为两个特征根, 特 征方程为 (r 1)(r 2) r 2 r 2 0 ,正确选项只可能是(C)或(D),将 y xex 代入(D)中的
（5）
联立（5）式和（4）式消去 C1 得
(2x x2) y (x2 2) y 2(1 x) y 6(1 x)
20.【解】将 y 与 x 对调, y
1 x
,
y
(
x x ) 2
1 x
(
x x)
3
代入原方程得 x x e2 y ，则其通解为
又已知有公共切线，得 y 1, y 1，
x0
x0
即 C1 C2 1, C1 2C2 1. 解得 C1 1, C2 0 . 所以 y (1 2x)ex .
19.【解】 y2 y1 x2, y3 y1 ex 为齐次方程的两个线性无关的特解，则所求方程通解为
y C1x2 C2ex 3 。
y C1x2 C2ex 3
（1）
（1）式求导得 y 2C1x C2ex
（2）
再求导得
y 2C1 C2ex
（3）
(3) (2) 得 y y 2C1(1 x)
（4）
(1) (2) 得 y y C1(x2 2x) 3
武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第一章解答
lim
ln(1 x) ln( x 1 x 2 ) x 0 x2
(ln( x 1 x 2 ) ~ x )
1 1 2 1 x 1 x2 1 x 1 1 x lim lim x 0 x 0 2x 2x 2
【解】由以上结论得 当 x 1 时， f ( x) lim
0, x 1 , x 1 n lim x . n 1 , x 1 不存在， x 1
2e( n 1) x 1 0 n e nx x n 1 2e ( n 1) x 1 1 n e nx x n 1
x 0
lim f ( x)
a2 , e
x0
lim f ( x) 0.
3
主编：武忠祥
2016 高等数学辅导讲义练习题解答
lim f ( x) lim
x 1
( x 2 a 2 )( x 1) e e
1 x
x 1
(1 a 2 ) lim
( x 1) e e
故 x 0 和 x 1 为可去间断点. 17.【解】 应选（C）.
由函数 f ( x)
( x 2 a 2 )( x 1) e b
1 x
在 (,) 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点可
知， b 0 ，否则 f ( x ) 只有一个间断点 x 0. 显然 x 0 是 f ( x ) 的一个间断点，而另一个间断点只能是 x 1. 而 b e.
1 1 1 sin sin e x 1 x x lim lim lim ( 1) x x x 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 ( 1) x x x x
武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第八章解答
（2）令 f ( x, y ) g ( x, y ) 5 x 5 y 8 xy. 由题意，只需求 f ( x, y ) 在约束条件 75 x y xy 0 下的最大值点. 令 L( x, y , ) 5 x 5 y 8 xy (75 x y xy ) ，则
21.【解】应填1. 22.【解】在点 (0,0,1) 沿方向 0,0 2和点 (0,0,1) 沿方向 0,02 的方向导数最大，其最大 值为 4. 23.【解】
x y z a , x ay 0. a a2 0
24.【解】设经过 l 且垂直于 的平面方程为 1 : A( x 1) By C ( z 1) 0 ，则由条件可 知
n {2,2,3}.
14.【解】应填
1 0, 2 , 3 . 5
2
15.【解】应填 x z 1 y . 设点 M ( x, y, z ) 是旋转曲面上的任一点，设它在直线上的对 应 点 M ( x, y , z ) ， 由 于 M 在 直 线 上 ， 所 以 有 x 1, y z ， 由 题 意 有
z z x y {dx, dy} // , , x y x2 y2 x2 y2 4 1 9 1 16 36 16 36
4
dx dy 即 , 这就是投影曲线应满足的微分方程，解之得 y Cx 9 . x y 4 9
主编：武忠祥
2016 高等数学辅导讲义练习题解答
《高等数学辅导讲义》 练习题解答
第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分在几何上的应用
1.【解】应选（C）. L1 和 L2 的方向向量分别为 s1 {1,2,1} 和 s2 {1,1,2} ，
2016年考研数学一各题考点分析
2016年考研数学一各题考点分析一、选择题部分：前四题是高等数学部分，第1题是关于一元函数积分学中的反常积分判别收敛问题，这部分是要求我们会计算反常积分和判别其收敛性的。
第2题是有关原函数的问题，这部分是要知道原函数的概念的，别切要求我们知道哪些函数一定有原函数（连续函数），哪些函数一定没有原函数的（含有可去、跳跃、无穷间断点的函数）。
第3题是有关一阶微分方程解的性质的问题，关于常微分方程问题是我们常考的内容，在考试前我们已经做了大量的相关练习，因此这块内容相信同学们已经比较了解，做的也应该不错。
第4题是我们高等数学上册第一章节间断点的知识点。
关于间断点这一块，我们知道，它是常考内容，作为小题，其考察的也比较频繁的。
对于这一块内容，我们在找间断点前，首先要考虑的就是其间断点的嫌疑点问题，一是其无定义的点，一定是间断点，二是分段函数的分段点（有可能是间断点）。
选择题的5、6两题是线性代数部分的：第5题，是有关矩阵相似的问题，这题我们利用相似定义很快便可得出答案选C,关于矩阵相似的问题我们已经做过很多练习了，相对而言本题还是容易判别的。
第6题是关于二次型与空间解析几何中的双叶双曲面结合起来的。
其实对于这一部分数一单一的内容，我们在暑假的时候的二阶强化课讲义上就有类似的题，我们是要求考数一的同学一定要注意这些小的边角问题的。
记的在考前一周时，有数一的同学还特地问了我关于空间解析几何会考哪些东西，会与线代怎么结合，我是说了有关双曲面的问题的。
后面7、8两题是关于概率统计的：第7题是关于正态分布的题，这一题与我们之前做练习时所讲的题型，其实是没什么区别的，因此这题应该会做的，主要考察正态分布的知识内容。
第8题是关于相关系数的内容，此题的灵活性是比较大的，与10年考的拿到大题是差不多的，所以同学们在做这题时可能会有些难度。
关于数字特征这一章节我们讲的也比较多了，也讲了其也可能会与分布函数问题结合处大题的。
二、填空题部分：前四题是高数部分的内容，第9题是和往年差不多，也是考查了极限的计算问题，其是与变限积分相结合的，这里就要求同学们要掌握变限积分的求导方法，带有变限积分问题的极限往往要用洛必达法则来求解。
2016考研数学复习基础班习题讲义-高数
第一讲 函数 极限 连续性1. 设()1,10,11,1x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，()xg x e =，求[]()f g x 和[]()g f x2. 设0≠a ，1<r ，求)(lim 1-∞→+++n n ar ar a .3. 求下列数列的极限(1) nn nn n 3223lim 11+-++∞→ (2) )3(lim n n n n n --+∞→(3) ∑=∞→++nk n k n n k 12lim (4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 4. 设301<<x ，)3(1n n n x x x -=+，证明lim n n x →∞存在，并求其值.5. 设01,111=-+=+n n a a a ，证明数列}{n a 收敛，并求n n a ∞→lim .6. 求下列极限(1) 10864)2()(5)1()12(lim++--+∞→x x x x x x x (2) )18(lim3332+-+∞→x x x x(3) 323112arcsin )11ln(lim--+→x x x(4) n n x x x 2cos 4cos 2coslim ∞→ (5) 310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→(6) xx x x )11(lim +-∞→ (7) )21ln(1lim20x x e x x +-→ (8) )1(2cos 1lim 20--+→x x e x xx 7. 设nxnx n e x xe x xf +⋅+=∞→cos 22sin lim)(，求).(lim 0x f x → 8. 设0)(lim 2=+++++∞→d cx b ax x x ，求d c b a ,,,.9. 设()22, 0,24, 02 4, 2x x f x x x x ⎧==±⎪=-<<⎨⎪>⎩，求出()f x 的间断点，并指出是哪一类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续.10. 设nxxn ex x e x f ++=∞→2111arctanlim )(，求)(x f 的间断点并判定类型. 11. 验证方程12=⋅x x 至少有一个小于1的根.400-010-809木哥考研木哥考研特供2016考研数学高数基础讲义第二讲 导数与微分1. 已知()⎩⎨⎧≥<=0,0,sin x x x x x f ，求()f x '.4. 求下列函数的导数：(1)153534+-+=x xx y (2)xxex y 23543+-=(3)3cot csc 5y x x =+- (4)x x y cos sin ⋅= (5)x x y ln 3= (6)x e x sin 2(7)2ln xx y =(8)5ln 3+=xe y x(9)x x x y sin ln 3⋅=(10)xxy sin 3cos 2++=(11))ln(22x a x y ++=(12)xxy 5ln 23ln 2-+=(13))tan ln(cos x x y += (14)x y 3ln 32+=(15))54(32+-=-x x e y x(16)tt tt e e e e y ---+= (17)43arctan 32-+=x x y (18))sin(cos 53x x y ⋅=(19)3tan ln 2x y =(20)()()54132x x x y +-+=3. 设)(x f 在2=x 处可导，且24)(lim22=-→x x f x ，则(2)f = ， (2)f '= . 4. 设)(x f 二阶连续可导，且4)0(,0)(lim 0=''=→f xx f x ，则10()lim[1x x f x x →+= . 5. 设()f x 对任意的实数1x ，2x 有1212()()()f x x f x f x +=，且(0)1f '=，试证：()()f x f x '=. 6. 设)(x f 连续可导，1)2(=f ，且1)2()2(lim 0-=--+→xx f x f x ，则曲线)(x f y =在点))2(,2(f 的切线方程为 .7. 已知曲线的极坐标方程θcos 1-=r ，求曲线上对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程. 8. 设)(x f 为周期是5的连续函数，在0=x 邻域内，恒有(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+，其中0)(lim0=→xx x α，)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点()6(,6f )处的切线方程.9. 设函数()y y x =由方程0=+-yxe e xy 所确定，则()=0'y .10. 若()22()ln 1x t tf x y t ⎧=+⎪=⎨=+⎪⎩，则==0t dx dy .11. 设⎩⎨⎧+=+=)ln(2arctan 2t e e y t x y，则x dy dx== .12. 若)(x f 是可导函数，且()()[]1sin sin 2+='x x f ，(0)4f =，则)(x f 的反函数()x y =当自变量取4时的导数值为 . 13. 若)(x f 可导，[]{}()y ff f x =，则='y .14. 设)(x y y =由方程xyy x =所确定，求dxdy . 15. 设)(x f 满足1()caf x bf x x⎛⎫+= ⎪⎝⎭，其中a 、b 、c 都是常数，且b a ≠, (1)证明()()f x f x -=-; (2)求()f x '，()f x ''.第三讲 微分中值定理及导数的应用1. 设)(x f 在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f .试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0f ξ'=.2. 设)(x f 在]1,0[上连续，在(0，1)内可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f ，试证：(1)存在)1,21(∈η，使ηη=)(f .(2)对任意实数λ，存在),0(ηξ∈，使得()[()]1f f ξλξξ'--=.3. 设)(x f 在[0, 1]上连续，(0, 1)内可导，0)0(=f ，k 为正整数, 求证：存在)1,0(∈ξ使得()()()f kf f ξξξξ''+=.4. 设)(),(x g x f 在[b a ,]二阶可导，且()0g x ''≠，又0)()()()(====b g a g b f a f ,求证: (1)在(b a ,)内0)(≠x g ； (2)存在),(b a ∈ξ，使()()()()f fg g ξξξξ''=''. 5. 设)(x f 在[0,1]上连续，(0, 1)内可导，且0)0(=f ，1)1(=f ，证明：(1)存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f ,(2)存在,(0,1)ηζ∈，ηζ≠，使()()1f f ηζ''=.6. 设ξ为x x f arctan )(=在],0[a 上使用微分中值定理的中值，则220lim a aξ→= .7. 设)(x f 在),(+∞-∞上可导，2)(lim e x f x ='∞→，又)]1()([lim )(lim --=-+∞→∞→x f x f ax a x x xx ，则a = . 8. 求下列极限(1) 10102limx ex x -→(2) nn nn sin 1sin1lim 3-∞→ (3) cos sin 1(lim 2220x xx x -→ (4) )(lim 11xxx b a x -+∞→(0,0)a b >>为常数.(5) xx x 2sinlim +→(6) 2nn →∞(0,0)a b >>为常数. 9. 试确定方程2(0)xe ax a =>的实根个数.10. 设)2()(2≥+++=n x x x x f n n(1) 证明方程1)(=x f n 有唯一的正根n x ; (2) 求n n x ∞→lim .11. 证明：当0≥x 时，)1ln(x xex+≤-.12. 设)(x f 在0x 点连续，且2)()()(lim000=--→nx x x x x f x f ，试讨论)(x f 在0x 点的极值.13. 设)(x f 二阶导数连续,且x e x f x x f x --='--''-11)()1(2)()1(.试问:(1)若 (1)x a a =≠是极值点时,是极小值点还时极大值点? (2)若1=x 是极值点时,是极大值点还是极小值点? 14. 曲线xxx y ln +=的斜渐近线为 .考研内幕爆料后记：为什么而考研？你知道自己为什么而选择考研？是为了不想就业选择考研？是为了跟别人比较不满足于现在的学历和学校而选择考研？是为了继续提高自己的专业能力，将来更好的工作或者出国而考研？总之每个人都有自己的目的，木哥希望大家目标很明确而且是积极向上的，否则就不要去做！如果你目标很明而且是积极向上的16或者16后的考研者，欢迎加入16考研VIP 辅导班，这里已经有74个志同道合的考研同胞，大家相互监督，互相配对共同进步，加上木哥每阶段根据个人情况制定复习计划，目前大部分已经明显看到自己英语的进步60秒一口气背诵一篇文章！明年将会步步前行，辉煌2016！作者木哥，硕士毕业，2012年从事长虹手机软件工程师工作，历任软件研发经理，采购课长，网络运营总监。
2016李永乐线代冲刺班讲义
（A）1
（B）2
（C）3
（D）与 a 有关不确定
11. 已知 n 维向量 α1 , α2 , α3 线性无关，那么向量组 aα1 bα2 , aα2 bα3 , aα3 bα1 线性无关的充分必要条件是 （A） a 0, b 0 （B） a b 0 （C） a b （D） a b
17. 设 3 阶矩阵 A 有 3 个不同的特征值 1 , 2 , 3 ,对应的特征向量分别是 α1 , α2 , α3 ,记 β α1 α2 α3 . （I）证明： β 不是矩阵 A 的特征向量. （II）若 Aβ A β ，求 A 的特征值并求行列式 A 2 E 的值.
T T T T
β2 能由 α1 , α 2 线性表出，则 a
.
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2016 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
1 0 7. 已知 A 0 1
0 0 1 1 1 0 ，则齐次方程组 An x 0 的通解 1 1 0 0 0 1
.
3 1 2 * * 2 8. 设 A= 0 1 且秩 r(A)=2，A 是 A 的伴随矩阵，则齐次方程组 A x=0 的通解 1 a 4 a
共有 （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个
1 0 0 0 1 2 , 0 0 1
1 0 0 2 1 0 0 0 1
1 a x1 x2 x3 0 x1 1 a x2 x3 a . 14. 解方程组 x1 x2 1 a x3 a 2 当 a 为何值时，方程组无解？当 a 为何值时，方程组有解，并在有解时求其所有的解.
2016年河北省中考数学试题研讨课件
20
21
计算题 新定义运算、一元一 次方程、一元一次不 等式
计算题 计算题 配方法解一元二次方 整式的混合运算 程、一元二次方程求 —化简求值 根公式
22
概率统计题 概率统计题 概率统计、中位数、 平均数计算 众数、平均数计算、 扇形统计图 解直角三角形
平行四边形的判定；
命题与定理．
23
几何证明题 几何证明题 一次函数应用题 一次函数性质、轴对 全等判定、三角形内 根据变量关系列式 称 角和、平行四边形判 解一元一次不等式 定 圆与三角形的证明计 算 全等三角形、切线性 质、相似三角形、三 角形面积公式 二次函数性质题 待定系数法求二次函 数解析式、二次函数 图像与性质 统计 方差计算与分析 中位数计算 列方程
20.8 % 10.8 % 41.7 %
27 13 49
22.5 % 10.8 % 40.9 %
↓1.7% ______ _ ↑0.8%
28 23.3 % 13 10.8 % 50 41.7 %
↓2.5% _______ _______
四 试题反思
河北省中考数学卷经过三年变革，基本思路已经明确。 一方面繁偏难怪的题目几乎不见踪影，减少了学生的审题 障碍，让真正认真学习并且有一定数学思想和方法的学生 能得分甚至得高分；另一方面选拔性考试的本质决定了一 套卷中有10-20分是难拿的分，是需要具有良好的心理素 质、较强的临场应变能力和知识迁移能力的学生才能拿到 的分。 对今后学生学习和教师教学而言，需要注意几个方面： 选择填空的小切口命题和对基本定理公式的证明要求学 生平时学习中多思考、理解数学定理、公式等的实质和 实际意义，梳理出知识体系，挖掘知识脉络，真正理解 知识点的运用，提高知识运用能力和解决实际问题的能 力。