分式方程及分式化简
分式的化简与求值
分式方程和分式的化简与求值【知识要点】1分式和分式方程的定义。
2、 分式的求值通常先把已知条件化成我们需要的等量关系，再代入所求得出结果。
3、 注意整体代入的思想方法。
1学会x的应用。
4、 学会等比设k 法的应用。
5、x(4)(1 )要使分式A. X1——有意义，则x 1B. xx应满足的条件是(2)(3)A.(2009年吉林省)化简x 2化简B.亠x 2时,C. x分式一1—无意义.x 2xy 2y4x-的结果是(4C. D.3x 22x 5x 6 2 x 4x 3(5)b2bD. x 12 2a b24ab 4b例3. (1)已知1 13，求分式2a 3ab 2b的值。
a b a ab ba2 2ab 3b22，求二2a2 6ab 7b2的值。
例8 .已知a 、 c 满足ab1 _b^ 3，b c1 ca 4‘c a1abc，求分式 的值。
例5 .已知ab-b c d例4 .已知：X 1xy 2 2 0，试求丄xyIII1 x 2000 y 2000的值。
的值。
例6. 已知4x(x24)AxBx CC，则A4,B,C2 x例7. 若x1x 3，求4 x2x2 x的值。
12、选择题1•将分式中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（x y结 果是( )a 1A 、x6. 使分式有意义的2x 4=2 工 2 C.x= -27. 下列等式成立的是（a b 的值为 _________________A 、扩大2倍；B 、缩小2倍；C 、保持不变;D 、无法确定;3•计算的正确结果是4.若 x 2 0,则2.3 2 2 .的值等于（ （X 2 X ）2 1 3B.C. .3D. .3 或35•某人上山和下山走同一条路，且总路程为 =千米，若他上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时，则他上山和下山的平均速度为a b 2ab A. B.2 aC. b ( aba bD.)2s a bA. (-3 )-2=-9 B. ( -3 )-2=丄 C.912\a )2=a 14已知 a 2 6a9与b 1互为相反数,则式子练习a 2的取值范围是（3 19.方程——的解是 __________________2x x 32x m 10、当m时, 关于 x 的分式万程1无解x 311、若关于x 的方程 x 2 m无解，则m 的值是()x 2x 2=-4 B. m=-2C.m=-4 =212、若关于x 的分式方程 —a -1无解，则a 的值为（ ）x 1 xA. 1或-2D. 无法确定13. 某服装厂准备加工 400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%结果共用了 18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为二、计算22(x 1) 2x1 1 2.已知丄丄b a(1)2x 2x 31 2x 3(2)x1)2 A.型x400 (1 20%)x 18160 400 160(1 20%) x 18400 16020%x18D.400400 160 (1 20%) x18(3)(4)1x 22 x试求的值;2ab b3.已知x , y , z 均不为0，且满足4x 3y 6z 0 , x 2y 7z0，求尊黑罷2x 5y 7 z 之值。
初等代数中的分式运算
初等代数中的分式运算分数是初等代数中常见的数学表达形式，它由一个分子和一个分母组成。
在代数运算中，分数的加减乘除运算是非常重要的。
本文将重点介绍初等代数中的分式运算。
一、分式的加法和减法运算分式的加法和减法运算与整数的加法和减法类似，需要满足分母相同的条件。
例如，对于分数a/b和c/d，若分母相同，则可进行加法和减法运算。
假设a/b和c/d的分母相同，可以用以下公式进行计算：a/b + c/d = (a + c) / ba/b - c/d = (a - c) / b这里需要注意的是，分子的运算保持不变，只需对分子进行加减操作，分母保持不变。
二、分式的乘法运算分式的乘法运算可以通过以下公式进行计算：a/b × c/d = (a × c) / (b × d)在分数的乘法中，将两个分子相乘得到新的分子，同时将两个分母相乘得到新的分母，得到的分数即为乘法的结果。
三、分式的除法运算分式的除法运算可以通过以下公式进行计算：a/b ÷ c/d = (a × d) / (b × c)在分数的除法中，将被除数的分子乘以除数的分母得到新的分子，同时将被除数的分母乘以除数的分子得到新的分母，得到的分数即为除法的结果。
四、分式的化简在进行分式运算时，有时需要将分式化简到最简形式。
一个分式被称为最简形式，当且仅当分子和分母的最大公约数为1时。
要将一个分式化简到最简形式，可以通过求分子和分母的最大公约数，并将分子和分母同时除以最大公约数，得到最简形式的分数。
五、分式方程的解分式方程是含有分式的方程，解分式方程的方法与解代数方程类似。
首先，需要将分式方程转化为含有整数的方程，然后通过等式性质和代数的基本操作求解。
六、应用举例1. 分数的加法和减法运算：例如：1/2 + 1/3 = 5/63/4 - 1/5 = 11/202. 分数的乘法和除法运算：例如：2/3 × 4/5 = 8/153/4 ÷ 2/5 = 15/83. 分式方程的解：例如：(2/x) + 1 = 1/2解得 x = 4以上是初等代数中关于分式运算的基本知识和方法。
分式的化简和分式方程
分式的化简和分式方程①.教学内容知识点1. 分式1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称B A 为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2. 整式和分式统称为有理式,即有:⎩⎨⎧分式整式有理式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. )0(,≠÷÷=⨯⨯=M M B M A B A M B M A B A4. 一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.知识点2.分式的乘除1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即: BD AC D C B A =⋅, CB D ACD B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. 即: )(为正整数n B A B A n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 逆向运用n n n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有n n n B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛成立. 3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.知识点3.分式的加减法1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:C B A C B C A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.知识点4.分式方程1. 解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.2. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;④解方程,并验根;⑤写出答案.②.教学辅助练习（或探究训练）知识点1.分式例1、练习1、1、下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .知识点2.分式的运算例2、例3、先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1＋ 1 x －2÷ x 2－2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． 【答案】解：412)211(22-+-÷-+x x x x ＝)2)(2()1(2122-+-÷-+-x x x x x ……………………2分＝2)1()2)(2(21--+⋅--x x x x x ＝12-+x x , ………………………………………………………………………5分 当5-=x 时，原式＝12-+x x ＝211525=--+-． ………………………………………8分 1、先化简再求值：)252(423--+÷--a a a a ， 其中1-=a2、先化简，再求值：)12(1aa a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值.3、先化简22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.4、知识点3.分式方程例4：解方程：（1）51144x x x --=--解： 51144x x x -+=-- 方程两边同乘以，得 ． ∴检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0所以，x =5是原方程的解.（2）22162242x x x x x -+-=+--解：方程两边同乘以，得， ∴ ． 检验：把x =2代入 x 2—4，得x 2—4=0。
初中数学常考分式化简计算题
初中数学常考分式化简计算题
在初中数学中，分式化简计算题是一个重要的知识点，也是中考数学考试中的一个重点。
以下是一些常见的分式化简计算方法和例题:
1. 分式化简的一般步骤:
(1) 找到分式中的常数项和系数;
(2) 将分式中的常数项和系数分别化成最简分数;
(3) 合并同类项，消去分母;
(4) 检查化简结果是否满足有理数范围。
2. 常用化简方法:
(1) 约分法：将分式中的分子和分母同时除以它们的最大公约数，以达到化简的目的;
(2) 代入法：将一个复杂的分式转化为一个较简单的分式，然后代入已知分式中进行化简;
(3) 加减法：对于两个分式，可以通过加减运算使其化为同一个分式的分子和分母，以达到化简的目的。
3. 例题展示:
例 1:将分式方程 5x+2=12x-7 化简成最简分式。
解：将方程两边同时除以 12，得到 x+5/6=7/6。
接着，将分式
方程中的常数项和系数分别化成最简分数，合并同类项，消去分母，最终化简得到 x=1/3。
例 2:将分式方程 3x+4=7x-1 化简成最简分式。
解：将方程两边同时除以 7，得到 x+3/7=x-1/7。
接着，将分式方程中的常数项和系数分别化成最简分数，合并同类项，消去分母，最终化简得到 x=2/7。
以上是分式化简计算题的一些常见方法和例题展示。
在初中数学学习中，同学们需要熟练掌握各种化简方法，并且多做一些练习题，才能熟练掌握分式化简的计算技巧。
分式化简知识点总结
分式化简知识点总结一、分式的定义分式是由分子和分母组成的数学表达式，通常表示为a/b的形式，其中a为分子，b为分母，b不能为0。
分式表示了两个数之间的比例关系，它可以用来表示比例、比率、百分数、概率等。
二、化简分式的规则化简分式是指将分式表达式化为最简形式，即分子与分母都不能再被约分的形式。
化简分式的规则如下：1. 将分子和分母的公因式约去。
2. 分式中的各项均不能再被约分为整数。
3. 如果分子和分母中含有指数，可以利用指数的性质进行化简。
例如，对于分式3/6，它可以化简为1/2；对于分式6x/9x，它可以化简为2/3。
三、分式的运算分式的运算包括加减乘除四则运算，下面我将分别介绍这四种运算的规则。
1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法规则如下：1. 找到两个分式的公分母，并将它们化为相同的形式。
2. 将分子相加或相减，并保持分母不变。
例如，对于分式1/2 + 1/3，首先找到它们的最小公倍数为6，然后将它们化为相同的形式，得到3/6 + 2/6，最后将分子相加得到5/6。
2. 分式的乘法：分式的乘法规则如下：1. 将分式的分子和分母相乘，得到新的分子和分母。
2. 将新的分子和分母化为最简形式。
例如，对于分式1/2 * 2/3，将分子和分母相乘得到2/6，化简为1/3。
3. 分式的除法：分式的除法规则如下：1. 将分式的分子乘以倒数，得到新的分子。
2. 将新的分子和分母化为最简形式。
例如，对于分式1/2 ÷ 3/4，将分子乘以倒数得到1/2 * 4/3 = 4/6，化简为2/3。
四、分式方程分式方程是指方程中包含分式的等式。
解分式方程的一般步骤如下：1. 将方程中的分式化为最简形式。
2. 经过等式两边的乘除法，使得方程中的分式消失。
3. 求解方程得到分式的值。
例如，对于分式方程(2x-1)/3 = 1/3，首先将分式化为最简形式，得到(2x-1)/3 = 1/3，然后经过等式两边的乘除法，将分式消失，得到2x - 1 = 1，最后求解方程得到x=1。
分式与分式方程
分式与分式方程分式是指形如 $\frac{a}{b}$ 的数，其中 a 和 b 都是实数，且 b 不等于零。
分式方程则是含有分式的方程。
在解分式方程之前，我们先来了解一下分式、分式的化简和分式方程的一些基本概念。
一、分式的基本概念分式由分子和分母组成，分子表示分式的被除数，而分母则表示分式的除数。
1. 真分数和假分数当分子小于分母时，分式称为真分数；当分子大于等于分母时，分式称为假分数。
如 $\frac{3}{4}$ 是真分数，$\frac{5}{3}$ 是假分数。
2. 约分和通分约分是指将分式的分子和分母同时除以一个公约数，使得分子和分母的最大公约数为1。
通分是指将分式的分子和分母同时乘以一个系数，使得分式的分母相等。
通分后可以进行分式的加减运算。
如$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{6}{16}$ 可以通分为 $\frac{6}{16}$ 和$\frac{6}{16}$。
二、分式的运算法则1. 分式的加减法当分母相同时，可以直接相加或相减分子，而分母保持不变。
例如，$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$。
当分母不同时，需要先通分，然后再进行加减运算。
通分后，将分子相加或相减，分母保持不变。
例如，$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} =\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$。
2. 分式的乘法分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘。
例如，$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$。
3. 分式的除法分式的除法是将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘。
例如，$\frac{2}{3} \div\frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} =\frac{5}{6}$。
分式及分式方程知识点总结
分式及分式方程知识点总结分式（Fraction）是由两个整数构成的比值，其中一个是分子（Numerator），另一个是分母（Denominator）。
分式可以表示为 a/b，其中 a 是分子，b 是分母。
分式可以是一个整数、一个小数、或者是两个整数的比值。
分式可以用于表示实际问题中的比例、率、百分比等。
在数学中，分式经常被用于代替除法运算，因为分式的形式更加简洁。
在处理分式时，有几个关键概念和知识点需要了解。
一、分式的简化与等价分式2.等价分式：如果两个分式的值相等，那么它们是等价的。
可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，化简两个分式，然后判断它们的值是否相等，确定它们是否等价。
二、分式的加减乘除2.分式的乘除：两个分式的乘积等于它们的分子乘积作为新分子，分母乘积作为新分母；两个分式的除法等于第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数作为新分子，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子作为新分母。
三、分式方程分式方程（Fractional Equation）是包含一个或多个分式的方程。
解分式方程的关键是找到合适的方法将方程转化为整式方程。
1.方法一：通分2.方法二：消去如果分式方程中有一个分式，可以通过消去（Cancellation）或者消去因子（Cancellation Factor）的方式将分母消去，得到一个整式方程。
3.方法三：代入如果分式方程比较复杂，无法通过通分或者消去的方法解得，可以通过代入（Substitution）的方法，将一个变量用另一个变量的表达式代入，然后去掉分式，得到一个整式方程进行求解。
需要注意的是，在解分式方程时，需要验证得到的解是否满足原方程，因为有时候方程中的一些值可能导致分母为零，从而使分式无解。
四、常见的分式及分式方程1.比例和比例方程：比例是两个分式的等价形式，比例方程是一个或多个比例的方程。
2.百分比和百分比方程：百分比是分数的一种特殊形式，百分比方程是包含百分比的方程。
分式方程及分式化简
分式⽅程及分式化简分式⽅程及分式化简【知识精读】1. 解分式⽅程的基本思想：把分式⽅程转化为整式⽅程。
2. 解分式⽅程的⼀般步骤：（1）在⽅程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式⽅程；（2）解这个整式⽅程；（3）验根：把整式⽅程的根代⼊最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原⽅程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式⽅程，⼀般不要求检验。
3. 列分式⽅程解应⽤题和列整式⽅程解应⽤题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原⽅程的根，以及是否符合题意。
下⾯我们来学习可化为⼀元⼀次⽅程的分式⽅程的解法及其应⽤。
【分类解析】例1. 解⽅程：x x x --+=1211 分析：⾸先要确定各分式分母的最简公分母，在⽅程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：⽅程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原⽅程的根。
例2. 解⽅程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现⾼次⽅程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，⽽分⼦也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原⽅程两边化为分⼦相等的两个分式，利⽤分式的等值性质求值。
解：原⽅程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312⽅程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原⽅程的根是x =-92。
例3. 解⽅程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：⽅程中的每个分式都相当于⼀个假分数，因此，可化为⼀个整数与⼀个简单的分数式之和。
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分式方程及分式化简【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解析】 例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。
1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。
当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。
解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-=约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022()()y y y --++=整理，得经检验：是原方程的根。
21688y y y =∴==注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。
因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。
5、中考题解： 例1．若解分式方程2111x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或B. -12或C. 12或D. 12或-分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。
由题意得增根是：x x ==-01或，化简原方程为：21122x m x -+=+()()，把x x ==-01或代入解得m =-12或，故选择D 。
例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：60662x x =+60120662020222x xx x x +=∴==∴+=经检验：是原方程的根答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。
说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6、题型展示：例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。
求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时由题意，得8042740707x y x yx y x y++-=++-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。
例2. m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？ 解：方程两边都乘以x 24-，得2436x mx x ++=- 整理，得()m x -=-110当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根m x m x x x x m m x m m m ≠=---===-=--=∴=-=---=-∴==-11014022121012422101263462 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）A.Sa b+B.S av b - C. S av a b -+ D. 2Sa b+ 2. 如果关于x 的方程2313x mx m -=--有增根，则的值等于（）A. -3B. -2C. -1D. 33. 解方程：（） (11101121231)9102x x x x x x x ++++++++++=()()()()()()（）2112141024x x x x x x xx-++++++=4. 求x 为何值时，代数式293132x x x x++---的值等于2？5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。
已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的23，求甲、乙两队单独完成各需多少天？分式化简已知234x y z==，则222x y z xy yz zx ++=++___________．【巩固】已知345x y y z z x==+++，则222x y z xy yz zx ++++=__________. 【巩固】若a b c d b c d a ===，求a b c da b c d-+-+-+的值.【例1】 已知222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，求分式222(1)(1)(1)(1)(1)(1)bc ca ab a b c ++++++的值.【例2】 设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，则733x y z u +++=___________． 【例3】 若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()x y y z z x xyz +++的值. 【巩固】已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值． 【例4】 已知9p q r ++=，且222p q rx yz y zx z xy==---，则 px qy rzx y z++++的值等于（ ）A. 9 B.10 C. 8 D.7【例5】 已知2220(0)x yz y zx z xyxyz a b c---==≠≠，求证：222a bc b ca c ab x y z ---==. 【例6】 已知()()()()()()222222222x y y z z x x y z y z x z x y -+-+-=+-++-++-，求()()()()()()222111111xy yz zx xy z ++++++的值。
【例7】 已知20x x -=，求2221412211x x x x x x --⋅÷+-+-的值. 【例8】 已知，12ab a b =-+=，，则_______.b aa b+＝【巩固】已知1,12x y xy +==，求代数式222()3x y x y xy +++的值.【例9】 已知210a b +-=，求代数式22()(1)()aa b a b a b-+÷-+的值．【巩固】已知224a a +=，求121111122+-+÷--+a a a a a 的值． 【例10】 已知3a ba b -=+，求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值 【例11】 已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值． 【例12】 已知：12xy =-，4x y +=-，求1111x y y x +++++的值. 【巩固】已知210x y xy +=，求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【例13】 已知：111x y x y +=+，求y xx y +的值. 【巩固】设1114x y -=，求2322y xy xy x xy +---【例14】 设113x y -=，求3237y xy xx xy y+-+-的值【巩固】如果235x y y x+=-，求2222410623x xy y x y +++的值. 【例15】 已知111m n -=，求575232m mn nn mn m+---的值.【例16】 已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求abcab bc ca++. 【例17】 已知13x x +=，则代数式221x x +的值为_________．【巩固】已知：1x x -=，求221x x +的值.【巩固】已知：2213a a +=，求1a a -的值.【巩固】设1x x -1x x +的值.【巩固】若11a a -=，求1a a+的值.【例18】 若12x x +=，求2421x x x ++的值.【巩固】若13x x +=，则33441713x x x x++++=___________ 【例19】 已知a 是2310x x -+=的根，求5432225281a a a a a -+-+的值. 【巩固】设21xa x x =++，其中0a ≠，则2421x x x =++ 【巩固】设211xx mx =-+，求36331x x m x -+的值. 【例20】 已知：2510a a -+=，求4221a a a ++的值.【巩固】已知：2310x x -+=，求221x x+的值.【巩固】若2310x x -+=，则74843231x x x x x ++=++________．【例21】 已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m .【例22】 已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1=x 时，值为1，求该代数式当1-=x 时的值．【例23】 已知10x y z m n p m n p x y z++=++=，，求222222x y z m n p ++的值。