极差、方差及标准差计算过程(示例)
《极差方差与标准差》课件
在统计分析中，标准差是描述数据 分布的重要参数之一，可以帮助我 们了解数据的离散程度和波动情况 。
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极差、方差与标准差的关 系
三者之间的关系
01
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极差
表示数据分布的离散程度 ，计算公式为最大值减去 最小值。
方差
表示数据偏离平均值的程 度，计算公式为每个数据 点与平均值的差的平方和 的平均值。
案例三：标准差在人力资源管理中的应用
总结词
评估员工绩效稳定性
详细描述
标准差用于评估员工绩效的稳定性，通过计算员工绩效数据的离散程度，可以了解员工工作表现是否 稳定可靠，为人力资源管理和员工培训提供参考依据。
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标准差的值越大，表示数据点越离散 ；标准差的值越小，表示数据点越集 中。
计算公式：标准差 = sqrt[(1/N) * Σ(xi-μ)^2]，其中xi是数据点，μ是平 均值，N是数据点的数量。
标准差的计算方法
手动计算
适用于数据量较小的情况，可以通过 逐一计算每个数据点与平均值的差的 平方，然后求和，最后除以数据点的 数量得到标准差。
标准差
是方差的平方根，表示数 据点与平均值的偏离程度 。
三者在数据分析中的作用
极差
用于初步了解数据的分布 范围，判断数据的离散程 度。
方差
用于量化数据点与平均值 的偏离程度，帮助了解数 据的稳定性。
标准差
用于量化数据点与平均值 的偏离程度，常用于金融 、统计学等领域。
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案例分析
案例一：极差在金融领域的应用
课程目标
知识目标
掌握极差、方差与标准差的计算方法 ，理解其数学意义。
能力目标
混凝土强度评定的三类统计方法实例
正确理解混凝土强度评定方法中的若干概念要保证混凝土的实际强度达到合格的要求，必须做好三个环节的控制。
除切实搞好混凝土的原材料控制（又称初步控制）、生产控制外，还要对半成品和成品在出厂交付使用前，进行验收，即进行合格性检验评定，又称验收控制。
通过验收环节，对商品混凝土生产方而言，是使不符合质量标准要求的产品，不予出厂，防止给使用者造成实在或潜在的危害。
在混凝土生产控制措施不够健全或原材料控制不尽完善的情况下，为保证混凝土质量，合格性检验的验收控制就显得更为重要。
对使用方而言，现场试块强度是评定混凝土结构实际强度并进行验收的依据。
一、强度类型对混凝土进行强度试验的目的大体有两个，因此所得的强度也有两种。
1．标准养护强度对用于工程结构中的一批混凝土（验收批）按标准方法进行检验评定，视其是否达到该等级混凝土应有的强度质量，以评定其是否合格。
这种强度的试件应在标准条件下养护，故称为混凝土的标准养护强度，简称标养强度。
这里应强调的是，在使用商品混凝土时，作为结构混凝土强度验收的依据是运送到施工现场的混凝土并在现场由商品混凝土供应方、施工方和监理单位共同取样制作并进行标准养护的试块强度。
商品混凝土供应方的试块标养强度只是商砼供应方用于评定企业的生产质量水平和作为生产控制用的，虽然可以参考，但不能作为结构强度验收的依据。
2．同条件养护强度对在混凝土生产施工过程中，为满足拆模、构件出池、出厂、吊装、预应力筋张拉或放张等的要求，而需要确定当时结构中混凝土的实际强度值以便进行施工控制。
这种强度的试块一般均置于实际结构旁，以与结构同样的条件对其进行养护，故称为混凝土的同条件养护强度。
又因其多用于控制施工工艺，故简称施工强度。
这两种强度在取样、养护、评定方面有很大的不同，应注意它们的差异以免混淆。
标准强度和施工强度有以下三点差别：1．养护方式不同：如前所述分别为标准养护和同条件养护。
2．评定方式不同：标养强度按批评定（验收批的划分见后面），有三种评定方法（标准差已知统计法、标准差未知统计法、非统计法）；施工强度基本按组与相应的工作班混凝土一一对应地检验。
极差--方差--标准差1
小明和小兵两人参加体育项目训练， 近期的五次测试成绩如下表所示．
谁的成绩较为稳定？为什么？ 能通过计算回答吗?
链接1
通常，如果一组数 据与其平均值的离 散程度较小，我们 就说它比较稳定．
请同学们进一步思 考，什么样的数能 反映一组数据与其 平均值的离散程度？
从表和图中可以看到，小兵的测试成绩 与平均值的偏差较大，而小明的较小．那 么如何加以说明呢？
那么，你能提出一个可行的方案吗？
请在下表的红色格子中写上新的计算方案， 并将计算结果填入表中．
考虑实际情况，如果一共进行了7次测试， 小明因故缺席两次，怎样比较谁的成绩 更稳定?
我们可以用“先平均，再求差，然后 平方，最后再平均”得到的结果表示一 组数据偏离平均值的情况．这个结果通 常称为方差（variance）．
1.分别求出小明和小兵的方差和标准差
2.比较下列两组数据的方差: A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5
3.观察下面的图，指出其中谁的标准差较大， 并说说为什么．
反映数据离散程度的指标是什么？
在一次数学测试中，甲、乙两班的 平均成绩相同，甲班成绩的方差为 42，乙班成绩的方差为35，这样的 结果说明两个班的数学学习状况各 有什么特点？
方差越大,说明这组数据偏离平均值的 情况越严重,即离散程度较大,数据也越不稳定． 方差反映的是一组数据与平均值 的离散程度或一组数据的稳定程度．
2 可以看出S
的数量单位与原数据的 不一致，因此在实际应用时常常将 求出的方差再开平方，这就是 标准差（standard deviation）， 用符号表示为
复习回忆:
1.何谓一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征? 答 一组数据中的最大值减去最小 值所得的差叫做这组数据的极差，极 差反映的是这组数据的变化范围或变 化幅度．
平均数、中位数、众数、极差、方差标准差的概念讲解
【解析】1.选A.中位数为 1 (91+92)=91.5;
2
平均数为 1 (87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.
8
2. x甲＝1 (65+82+80+85)=78,
4
x乙＝1 (75+65+70+90)=75,
4
知识点2 对方差与标准差的理解 标准差、方差的作用 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小， 标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小， 数据的离散程度越小． (2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动 幅度和离散性．
(2)据报道,某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下:
职务
人数 工资
董事 长
副董 事长
董事
总经 理
经理
管理 员
职员
1
1
2
1
5
3 20
5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500
①求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数. ②假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资 从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是 什么?(精确到元) ③你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合 此问题谈一谈你的看法.
【即时练】
1.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，
则这组数据的中位数和平均数分别是
()
A．91.5和91.5
B．91.5和92
C．91和91.5
D．92和92
极差和方差
+（95-90）= 0
乙同学成绩与平均成绩的偏差的和：
（95-90）+（85-90）+（95-90）+（85-90）
+（90-90）= 0
甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（85-90）2+（90-90）2+（90-90）2 +（90-90）2+（95-90）2 = 50
_
⑴ 请分别计算两名同学的平均成绩；x甲 90(分) x乙 90(分)
⑵ 请根据这两名同学的成绩在
成绩（分）
下图中画出折线统计图； 100
⑶ 现要挑选一名同学参加竞
95Βιβλιοθήκη 90赛，若你是老师，你认为挑 85
考 试
选哪一位比较适宜？为什么？ 80
次 数
0 1 2 345
甲同学成绩与平均成绩的偏差的和：
乙同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（95-90）2+（85-90）2+（95-90）2 +（85-90）2+（90-90）2 = 100
上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？
——与考试次数有关！ 所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性
设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ， 那么我们用它们的平均数，即用
极差＝ 最大值－最小值．
作用:极差能够反映数据的变化范围.
问题2:极差是最简单的一种度量数据变化情况的
量,但它受极端值的影响较大.为什么?
问题3:你能举一些生活中与极差有关的例子吗?
极差方差标准差(整理)
北京四中撰稿：张扬责编：姚一民数据的波动一．基本知识点讲解：1．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
极差=数据中的最大数-数据中的最小数2. 方差与标准差：S^2=[(x1-x的平均数)^2+(x2-x的平均数)^2+...+(xn-x的平均数)^2]设在一组数据x1 x2 x3……x n中各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2, (x2-)2……(x n-)2,则他们的平均数：方差可以用来衡量这组数据的波动的大小，一组数据的方差越大，就说明这组数据的波动也越大，这波动的大小是指偏离平均数的大小。
3. 标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用S来表示，即：标准差也只是来衡量一组数据波动大小的量，它虽然比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的度量单位是一致的，所以有时用标准差比较方便。
4. 计算方差的三个公式公式①是方差的定义，一组数据的每个数都减去它们的平均数的平方，再求这些平方的和，比较麻烦，因此可用公式②以使计算过程较为简单，当不是整数时尤为简单。
接近这组数据的平均数的一个常数。
二．例题解析：（1）应用公式①例1. 计算数据9.9、9.7、10.3、9.8、9.8、10、10.1、10.4的方差与标准差。
解：例2. 甲乙两组进行投篮比赛，每组选派10名队员参加，每人投10次，每次投中的人数如下：甲组：7、6、8、8、5、9、7、7、6、7乙组：6、7、8、4、10、9、7、6、6、7求：甲、乙两组哪一组的投篮情况比较稳定解：∴甲乙两组的平均命中率相同，但甲组的投篮比较稳定，所以甲组的投篮情况较好。
（2）应用公式②例3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，各次命中环数如下：甲：4、7、10、9、5、6、8、6、8、8乙：7、8、6、6、7、8、7、8、5、9求甲、乙两人谁的射击成绩比较稳定解：（3）应用公式③例4. 求以下数据的方差（精确到0.1）10、13、9、11、8、10、11、12、8、14、10、9解：设a=10，每个数都减去10，有三：小结：1. 方差是以平均数为基数，揭示数据波动的大、小，所以首先要把平均数算准确。
方差与标准差的公式
方差与标准差的公式方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们可以帮助我们衡量数据的离散程度和波动性。
在实际应用中，方差和标准差经常被用来分析数据的稳定性和可靠性。
本文将介绍方差与标准差的概念、计算公式以及应用场景，希望能够帮助读者更好地理解和运用这两个重要的统计指标。
在统计学中，方差是衡量一组数据离散程度的指标。
它的计算公式如下：\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i \overline{x})^2 \]其中，\( \sigma^2 \) 表示总体方差，\( n \) 表示样本容量，\( x_i \) 表示第 \( i \) 个数据点，\( \overline{x} \) 表示样本均值。
方差的计算步骤是先求出每个数据点与均值的差值，然后将差值的平方求和，最后除以样本容量。
方差的单位是数据点的单位的平方。
标准差是方差的平方根，它的计算公式如下：\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]标准差和方差一样，都是用来衡量数据的离散程度。
但是标准差的单位和原始数据的单位是一样的，因此在实际应用中更为直观和方便。
方差和标准差的计算公式看起来可能有些抽象，但是它们的基本思想是衡量数据点与均值之间的偏离程度。
如果数据点与均值的偏离程度较大，那么方差和标准差就会较大；反之，偏离程度较小，方差和标准差就会较小。
因此，方差和标准差可以帮助我们直观地了解数据的分布情况。
在实际应用中，方差和标准差有着广泛的应用。
比如在财务领域，投资者常常使用标准差来衡量资产的风险；在生产领域，工程师可以使用方差来评估产品质量的稳定性；在医学领域，研究人员可以使用标准差来比较不同药物对患者的治疗效果。
总之，方差和标准差在各个领域都有着重要的作用。
在使用方差和标准差时，需要注意一些问题。
首先，方差和标准差都是对数据分布的一个概括，它们并不能完全代表所有数据点的情况；其次，方差和标准差都受到极端值的影响，因此在分析数据时需要注意排除异常值的影响；最后，方差和标准差都是针对数值型数据的，对于分类型数据需要采用其他方法进行分析。
方差标准差的计算公式
方差标准差的计算公式方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们可以帮助我们衡量数据的离散程度和稳定性。
在实际应用中，我们经常需要计算方差和标准差来分析数据的分布情况，从而更好地理解数据的特征和规律。
本文将介绍方差和标准差的计算公式，希望能够帮助读者更好地掌握这两个重要的统计指标。
首先，让我们来了解一下方差的计算公式。
方差的计算公式可以用以下的数学公式表示：\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i \mu)^2 \]其中，\( \sigma^2 \) 表示总体方差，\( n \) 表示样本容量，\( x_i \) 表示第 \( i \)个数据点，\( \mu \) 表示样本均值。
这个公式的含义是，方差等于每个数据点与均值的差的平方的平均值。
通过这个公式，我们可以计算出数据的方差，从而了解数据的离散程度。
接下来，我们来介绍标准差的计算公式。
标准差是方差的平方根，它可以用以下的数学公式表示：\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i \mu)^2} \]其中，\( \sigma \) 表示总体标准差，其他符号的含义与方差的计算公式相同。
标准差的计算公式与方差的计算公式非常相似，只是在最后加了一个平方根的运算。
通过计算标准差，我们可以更直观地了解数据的稳定性和波动情况。
在实际应用中，我们通常会先计算出数据的均值，然后根据均值来计算方差和标准差。
通过计算这两个指标，我们可以全面地了解数据的分布情况，从而更好地进行数据分析和决策制定。
在统计学、金融学、经济学等领域，方差和标准差都是非常重要的指标，它们可以帮助我们更准确地理解数据，从而更好地应用数据进行实际工作。
总之，方差和标准差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们衡量数据的离散程度和稳定性。
通过本文介绍的方差和标准差的计算公式，希望读者能够更好地掌握这两个重要的统计指标，并在实际工作中加以应用。