高中数学选修2-1学案：1.1.1命题

1.1.1 命题
[学习目标] 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式.
知识点一命题的定义
(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.
(2)判断为真的语句叫做真命题.
(3)判断为假的语句叫做假命题.
[思考](1)“x>5”是命题吗？
(2)陈述句一定是命题吗？
[答案](1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假.
(2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题.
知识点二命题的结构
从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.
题型一命题的判断
例1(1)下列语句为命题的是()
A.x－1＝0
B.2＋3＝8
C.你会说英语吗？
D.这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________.
①一个数不是正数就是负数；
②梯形是不是平面图形呢？
③22 015是一个很大的数；
④4是集合{2,3,4}的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.
[答案](1)B(2)①④
[解析](1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.
(2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句.
反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故
都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
跟踪训练1判断下列语句是不是命题.
(1)求证3是无理数；
(2)x2＋2x＋1≥0；
(3)你是高二学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢苹果；
(5)一个正整数不是质数就是合数；
(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；
(7)x＋3>0.
解(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题.
题型二命题真假的判断
例2判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆.
解(1)假命题.反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.
(3)真命题.∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.
(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
反思与感悟要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
跟踪训练2下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；
②四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________.
[答案]①④
[解析]①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.
题型三命题的构成形式
例3(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p则q”的形式，则p是______________________，q是_________________________________. [答案]一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.
①已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
②当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
解①已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题.
②若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题.
反思与感悟把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不惟一.
跟踪训练3指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假.
(1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分；
(2)若a>0，b>0，则a＋b>0；
(3)面积相等的三角形是全等三角形.
解(1)条件p：四边形是平行四边形，结论q：四边形的对角线互相平分.真命题.
(2)条件p：a>0，b>0，结论q：a＋b>0.真命题.
(3)条件p：两个三角形面积相等，结论q：它们是全等三角形.假命题.
1.下列语句不是命题的个数为( )
①2<1；②x <1；③若x <1，则x <2；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.
A.0
B.1
C.2
D.3 [答案] B
[解析] ①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题.
2.下列命题为真命题的是( )
A.互余的两个角不相等
B.相等的两个角是同位角
C.若a 2＝b 2，则|a |＝|b |
D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
[答案] C
[解析] 由平面几何知识可知A 、B 、D 三项都是错误的.
3.下列命题是真命题的是( )
A.若a 2＝4，则a ＝2
B.若a ＝b ，则a ＝b
C.若1a ＝1b
，则a ＝b D.若a <b ，则a 2<b 2
[答案] C
[解析] 判断是假命题，只需举反例，用排除法，得到正确选项.
由a 2＝4得a ＝±2，排除A ；
取a ＝b ＝－1，排除B ；
－2<1，但(－2)2>12，排除D.故选C.
4.给出下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是()
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
[答案] D
[解析]当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①错；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交也可以异面，故③错；若两个平面垂直，在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确.
1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.
2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.。