第六章 网络计划技术
网络计划技术第6章时限
有强制开始时限的时间坐标网络图（最早时间）
3 7
5
1
2
6
8
11
4
9
10
t
1 2 3
4
5
6 7
8
9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
2 7
2 8
有强制结束时限的网络计划
2 B 5 6 F 11
5 E 2
8 H 4
1 A 2
3 C 8
4
5
6 7
8
9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 1 6 7
1 8
1 9
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
有强制开始时限的时间坐标网络图
（将受限活动安排在强制中断时间之前）
3 7 活动7的强 制中断时限
5
1
2
6
8
11
4
9
10
t ２ １ 1
2
3
4 5
6
7 8
9
1 0
1 1 1 2
பைடு நூலகம்
1 3
1 4
有强制开始时限的时间坐标网络图（最迟时间）
3 7
5
1
2
6
8
11
4
9
10
t ２ １ 1
2
3
4 5
6
7 8
《运筹学》第六章网络计划方法
关键路径分析
什么是关键路径?
是需要在规定时限内完成的，不 能被延误的最长任务序列。
为什么重要?
因为这条路径上的任何延误都会 导致整个项目的延误。
如何确定?
通过计算出每个任务的最早开始 时间和最晚结束时间，从而找出 关键路径。
项目进度管理
1
制订进度计划
确定任务的完成时间，为项目进度的管
进度监控
2
理提供基础。
风险管理的好处?
有助于降低项目失败风险，增强 规划的稳健性，避免额外成本损 失和延迟。
关键路径法和PERT/CPM方法的比较
相似点
都是用来解决项目延误问题、进行进度计划、任务分析等。
不同点-PERT/CPM
适合单一的大规模计划，对时间的估计更加准确，适合波动较大的工作。
不同点-关键路径法
更适合复杂的工作计划，可以快速有效地过滤重要的任务，以使项目进度良好地推进。
运筹学网络计划方法
运筹学网络计划是一个强大的项目管理工具，能够帮助团队更好地理解项目， 并更好地规划工作。
定义
1 网络计划
是指通过图形化的方式，展现了项目中各项 任务的工作量、执行时间以及任务间的依赖 关系。
2 网络计划方法
是利用网络图形的结构，为项目管理提供项 目的计划、实施、控制和组织，以确保项目 的顺利开展。
网络计划在实际项目中的应用
1
建筑
对建筑贸易来说，它是一种标准的工具，用于确定工作任务，减少延误、提早完 成。
2
IT 项目
在软件和硬件开发过程中，它被广泛使用，以便跟踪任务、减少重叠和缺陷，并 计划偏差管理方法。
3
制造业
网络计划可帮助管理、确定生产期、调度工作、支持制造商的计划和进度控制。
网络计划技术
网络计划技术网络计划技术是指利用计算机网络和相关技术进行规划、设计、管理和实施网络系统的一种技术。
随着信息技术的不断发展，网络计划技术在各个领域的应用越来越广泛，成为企业和组织管理网络系统的重要工具。
本文将对网络计划技术进行介绍和分析，以便读者更好地了解和掌握这一技术。
首先，网络计划技术包括网络规划、设计和管理三个方面。
网络规划是指根据组织的需求和资源情况，制定网络系统的整体规划和布局，确定网络拓扑结构、设备配置和连接方式等。
网络设计则是在网络规划的基础上，进行具体的网络系统设计和方案制定，包括网络设备的选型、布线、安全策略等。
而网络管理则是指对网络系统进行监控、维护、优化和故障处理，确保网络系统的稳定运行和高效管理。
其次，网络计划技术的核心是网络规划和设计。
在网络规划阶段，需要充分了解组织的业务需求和发展方向，结合现有的网络资源和技术条件，进行网络系统的整体规划和布局。
在网络设计阶段，需要根据网络规划的要求，进行具体的网络系统设计和方案制定，包括网络设备的选型、布线、安全策略等。
网络规划和设计的质量直接影响到网络系统的性能和稳定性，因此在实际应用中需要认真对待，进行充分的规划和设计工作。
另外，网络计划技术还涉及到网络管理和优化。
网络管理是指对网络系统进行监控、维护、优化和故障处理，确保网络系统的稳定运行和高效管理。
网络优化则是指对网络系统进行性能优化和资源调配，提高网络系统的性能和效率。
网络管理和优化是网络计划技术的重要组成部分，对于确保网络系统的稳定运行和高效管理具有重要意义。
最后，随着信息技术的不断发展，网络计划技术也在不断演进和完善。
新一代的网络技术如云计算、大数据、物联网等的发展，为网络计划技术的应用提供了新的机遇和挑战。
网络计划技术需要不断更新和改进，以适应新的网络环境和需求。
同时，网络计划技术的应用也需要结合实际情况，充分发挥其作用，为组织的发展和管理提供有力支持。
综上所述，网络计划技术是一种利用计算机网络和相关技术进行规划、设计、管理和实施网络系统的技术。
运筹学第六章网络计划
工序(i,j)的总时差=(j)最迟开始时间-t(i,j) -(i)最早开始时间
工序(i,j)的自由时差=(j）最早开始时间- (i）最早完成时间
所有时间参数
例3（P136）某项课题研究工作分解的作业表如下。根据此表绘制此项科研工作的网络图，计算时间参数，并确定关键路线。
工序代号
工序
紧前工序
工序时间
（3）按照工作的新工时，重新计算网络计划的关键 路线及关键工序。
（4）再比较关键工序的直接费用率与间接费用率。
不断重复，直到使总费用上升为止。 （直接费用率>间接费用率）
注：若压缩引起出现多于一条新的关键路线时，需同时压缩各关键路线.
（因为不同时压，则工期不能缩短， 工期=关键工序上工时之和）
表示相邻工序时间分界点，称为事 项，
用 表示
（3）相邻弧：
表示工序的前后衔接关系，称为紧前 （或紧后）关系。
如
A
B
A是B的紧前工序，B是A的紧后工序。
A
（4）虚工序（虚箭线）
为表示工序前后衔接关系的需要而增加的。
6.1 网络计划图的绘制 6.2 时间参数计算与关键路线确定 6.3 网络图的调整及优化
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1.问题的一般提法：
设有一项工程，可分为若干道工序，已知各工序间 的先后关系以及各工序所需时间t。
问：
（1）工程完工期T？
（2）工程的关键工序有哪些？
若再各压缩1天
则应压缩B、C（同时压）
此时的直接费用率将是3+4=7>5
故最低成本工期为10天。
注：
（1）有时资料未给可压缩时间，但给了正常工作时间及最短工作时间。则压缩时间=正常工作时间-最短工作时间。
网络计划技术
网络计划技术网络计划技术是项目管理中的一种工具，用于规划、安排和控制项目的进度。
它提供了一种可视化的方法，将项目的各个任务和活动按照时间顺序排列，并确定它们之间的依赖关系和关键路径。
网络计划技术能够帮助项目团队有效地管理、协调和追踪项目的进度，从而提高项目的成功率和交付质量。
网络计划技术主要有两种方法：程序评审与评估技术（PERT）和关键路径法（CPM）。
PERT方法侧重于评估项目活动的持续时间，并根据三个时间估计（最乐观时间、最悲观时间和最可能时间）计算出活动的预期持续时间。
CPM方法则更加注重活动之间的依赖关系和关键路径的分析，以确定项目进度的瓶颈和关键活动。
在网络计划技术中，项目的各项任务和活动根据其先后顺序和依赖关系绘制在一个时间线上，形成一个称为项目网络图的结构。
在这个网络图中，任务和活动以节点表示，活动之间的依赖关系则用箭头连接。
通过分析这个网络图，可以确定项目的关键路径，即最长的路径，决定了项目的总持续时间。
在关键路径上的活动是项目进度的关键，任何延误都会对项目的进度产生重大影响。
网络计划技术还可以提供项目进度的可视化展示，并通过不同的图表和报告形式，帮助项目团队了解项目的进展情况和潜在的风险。
例如，甘特图可以直观地展示出项目各个活动的开始和完成时间，帮助团队成员了解项目的时间安排。
此外，网络计划技术还可以根据实际完成情况进行比较和分析，以便及时调整项目计划，提高项目的执行效率。
网络计划技术在项目管理中具有重要的作用，特别是对于复杂、时间紧迫的项目。
它能够帮助项目团队明确项目目标，制定合理的时间计划，并在项目执行过程中进行跟踪和控制，确保项目按时交付。
网络计划技术也可以帮助项目经理和团队成员更好地沟通和协作，减少沟通和协调的成本，提高项目的整体效能。
总而言之，网络计划技术是项目管理中不可或缺的工具之一。
它能够帮助项目团队有效地规划、追踪和控制项目进度，提高项目的成功率和交付质量。
通过合理运用网络计划技术，项目经理和团队成员能够更好地协商、协调和管理项目，从而实现项目的成功完成。
第十五讲 网络计划技术
试绘制：⑴按工种排列的双代号网络图； ⑵按施工段排列的双代号网络图。
5．已知工作之间的逻辑关系如表所示，试绘制双代号网络图， 并给节点编号。
工作 紧前 工作 A —— B —— C —— D ABC E BC F C H E I EF K ED
练习
A
3
D
7
K
2
B
5
E
6
H
9
C
4
F
8
I
G、 H
I
——
4
5
练习
B 4
3
E 5
7
G 6
1
A 3
2
5
D 8
6
9
I 5
10
C ６
4
F 4
8
H 4
练习
2．某工程有九项工作组成，它们的持续时间和网络逻辑关系如 下表所示，试绘制双代号网络图。
工作名称 A B C D 前导工作 —— —— —— A、 B、 C 后续工作 D D、E、H F、D、G I 持续时间（天） 4 6 6 5
2
垫层1
3
砼基础1
5
墙基1
7
回填1
挖基槽2
4
垫层2
6
砼基础2
8
墙基2
回填1 9 10
8．如图所示某工程双代号网络计划，把它改绘成时标网络图。
5 5 3
1
5
3
6
4
5
6
1
2
3
2
d 网 络 计 划
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
管理学之网络计划技术
时间费用优化表
活动 紧后 代号 活动 A B C D E F
作业时间 正常 赶工 3 D、G 6 C 5 1 2 E、F 6 5 E、F 7 I 9 6 H 6 4
费用（千元） 正常 赶工 40 52 30 50 40 70 40 100 30 60 30 60
费用变化率 （千元/每天） 4 5 7.5 30 10 15
ET（j）=max{ET（i ） +t（i,j ）}
2)结点最迟结束时间(TiL) 终点最迟结束时间的计算公式为: TiL=min｛TjL-Tij｝ 网络终止节点的最迟必须结束时间可以等于它的 最早开始时间。其余节点最迟必须结束时间可按 下式计算： LT（i）={LT（j）-t（i，j）}
关键线路的确定一般有以下3种方法。 1)周期比较法 它是指从网络图始点到终点有多条线路，而 延续时间周期最长的线路就是关键线路。 2)时差法 在网络图中，计算各项作业的时差时，若时 差为零的作业就是关键作业，而由这项时差为零 的关键作业组成的线路即为关键线路。
5.关键线路的确定
3)破圈法 从网络图的始点出发，沿着箭线方 向到达另一结点，若存在两条线路就 形成了一个封闭的环，即形成一个圈。 如果形成圈的两条线路的作业时间不 等，可以将其中作业时间较短的一条 线路删去，剩下作业时间较长的线路， 这个过程叫做破圈。破圈从始点开始， 一直到终点为止，最后剩下的就是关 键线路。
LT（i）=min{LT（j）-t（i，j）}
在网络图中，一般把结点最早开始时间用“□”表 示，把结点最迟结束时间用“△”表示。如图4-5所 示。 19 5 7 13 13
2 A
0
C 6
4
F 6
6
第六章网络规划与网络计划技术
第六章网络规划与网络计划技术第六章网络规划与网络计划技术网络规划是图论的一个重要内容，也是近几十年来运筹学领域中发展迅速、且十分活跃的一个分支.由于它对实际问题的描述具有直观性，使网络规划在工程设计和管理中得到广泛应用，已成为对各种系统进行分析、研究、管理的重要工具.网络规划的内容十分丰富，本章主要介绍了在路径问题、网络流问题等领域中的一些应用方法，如：最小树问题、最大流问题和最小费用流问题.网络计划技术是指计划评审法和关键路径法，它们是五十年代在美国彼此独立发展起来的一种组织生产和进行计划管理的科学方法.网络计划技术的基本原理是利用网络图来表达工程的进度安排及其组成的各项活动之间的制约关系，计算各项活动的有关时间参数，使管理者对工程的全局能有全面、清晰的了解，从而制定工程进展的日程计划以求得完工期、资源和成本的优化方案.§1 图与网络的基本概念一、图什么是图？首先我们通过下面的几个例子来认识什么是图. 例6.1 哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡（konigsberg ）城域有一个普雷格尔（Pregel ）河系，由旧河、新河及其交汇而成的大河组成，它把该城分成了一岛三岸共四块陆地，陆地之间有七座桥连通，如图6-1(a).这个城里的居民当时热衷于这样一个问题：从岸上任一地方开始，能否通过每座桥一次且仅仅一次就能回到原地.1736年欧拉发表了图论方面的第一篇论文，将此难题化成了一个数学问题：用点表示两岸或小岛，用点之间的联线表示陆地之间的桥，这样就得到了图6-1(b)所示的一个图.从而原问题就变为：在图6-1(b)中，是否能从某一点出发只经过各条边一次且仅仅一次而又回到出发点，即一笔画问题.在图6-1(b)中，虽然没有画出两岸、岛屿的大小形状和桥的长短，但保持了陆地间的关联情况.(a) (b)图6-1例6.2 在一群人中，他们分别是赵、钱、孙、李、周、吴、陈七人，对他们之间相互认识的关系，我们用图6-2来表示.()v 32()v 4DAB图6-2 图6-3从上面的例子可以看到图可以很好地描述、刻画反映对象之间的特定关系.一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是很重要，如例6.2也可以用图6-3来表示.可见图论中的图是对现实现实的具体事物及其相互关系的一种抽象表示，它比地图、天文图、电路图、几何图等更抽象，也更具随意性，因而它是帮助人们认识客观事物的一种更一般的工具.所谓图就是点和边的集合.图的定义如下：一个图G 为一个有序二元组（V ，E ），记为 G =（V ，E ）其中，V 是一个有限非空的集合，其元素称为G 的结点或顶点，简称点，而V 成为G 的结点集，简称点集，一般表示为V = {v 1, v 2,…, v n }；E 是由V 中的无序对（v i ,v j ）所构成的一个集合，其元素称为G 的边，一般表示为e i j =（v i , v j ），而E 称为G 的边集.例6.3 用图表示哥尼斯堡七桥问题. 哥尼斯堡七桥问题的图G 表示如下： G =（V ，E ）其中：点集V = {v 1, v 2, v 3, v 4} 边集E={e 14, e 14, e 42, e 42, e 13, e 43, e 23}边e 14 = (v 1, v 4)，e 14 = (v 1, v 4)，e 42 = (v 4, v 2)，e 42 = (v 4, v 2) e 13 = (v 1,v 3)，e 43 = (v 4, v 3)，e 23 = (v 2, v 3) 为了便于叙述，以图6-4为例，介绍有关术语与概念.图6-41、端点和关联边对于e ij = (v i , v j )，则称v i , v j 是e ij 的端点，e ij 是v i , v j 的关联边.在图6-4中，v 1,v 3是e 13的端点，e 23是v 2, v 3的关联边.2、相邻相邻的概念包括了点相邻与边相邻两种.若点v i , v j 都有同一条关联边，则称点v i 与钱()v 2陈()v 7李()v 4孙()v 3赵()v 1e 12e 34e 24吴()v 6()v 5e 13e 6723611223344e 14534354v j 相邻；若两边具有同一个端点，则称该两边相邻.在图6-4中，点v 2, v 3相邻，边e 13, e 13, e 23, e 34相邻.3、重边、简单图若一条边的两个端点是同一点，则称该边为环.图6-4中e 22称为环.若两个端点之间有多条边，则称这些边为多重边.图6-4中的e 13, e 13为多重边.没有环和多重边的图称为简单图.如图6-2、6-3.4、次、奇点、偶点、孤立点、悬挂点和悬挂边点v 的关联边的数目称为点v 的次，记为d (v )；若d (v )为奇数的点称为奇点；若d (v )为偶点的点称为偶点；次为0的点为孤立点；次为1的点为悬挂点；悬挂点的关联边称为悬挂边.在图6-4中，d (v 3) = 4，d (v 1) = 3；由于存在环e 22，所以d (v 2) = 5；点v 5为悬挂点，边e 45为悬挂边.5、链、开链、闭链、简单链、初等链和圈在图G=（V, E ）中，设V v v v ki i i ∈,,,1，E e e e kj j j ∈,,,21.若),(1t i i j V V e t t-=，t = 1, 2,…, k ，则交替序列},,,,,{211kki j j i j i v e e v e v =μ称为一条从0i v 至kv 1的链，简记为ki i i v v v ,,,1=μ.在μ中，0i v 称为始点，ki v 称为终点；若始点与终点相同，则称μ为闭链；若始点与终点是不同的点，则称μ为开链；若链μ中的边都不相同，则μ为简单链；若链μ中的边都不相同，也没有相同的结点，则链μ称为初等链.若在初等链μ中，始点与终点相同，即ki i v v =0则初等链μ称为圈.在图6-4中，链43211v v v v =μ是初等链，链342312v v v v v =μ是简单链. 6、连通图在一个图中，若任意两点之间至少存在一条链，则该图就称为连通图，否则称为不连通图.如图6-1(b)、6-4为连通图，而图6-2、6-3为不连通图.7、子图、真子图、支撑子图设有图G =（V ，E ）和图)','('E V G =. (1) 若E E V V ??','，则称'G 是G 的子图； (2) 若E E V V ??','，则称'G 是G 的真子图； (3) 若E E V V ?=','，则称'G 是G 的支撑子图.在图6-5中，(a)、(b)、(c)、(d)是图(a)的子图，(a)、(b)、(c)是(a)的支撑子图.因为(d)比(a)少了一个点v 3，所以(d)不是支撑子图.(a) (b) (c) (d)图6-5v 1v 5v 4v 2e1v 6v 3v 1v 5v 6v 4v 2v 34234255二、有向图、无向图 1、有向图、无向图在例6.2中，若我们将“相互认识”的关系改成“认识”的关系，那么只用两点之间的联线就很难表示清楚他们之间的关系了.若引用一个带箭头的联线，我们称之为弧，记为a .在图6-6中，弧a 51表示周认识赵，而赵并不认识周.图6-6反映了例6.2中七个人的“认识”关系.在图中，赵、钱“相互认识”，可以用两条反向的弧a12、a 21表示.图6-6我们把像图6-2那样由点和边构成的图称为无向图，简称图，记为G =（V , E ），V , E 的含义前面已述.像图6-6那样由点和弧构成的图称为有向图D .一个有向图D 定义为一个有序二元组（V , A ），记为D =（V ,A ），其中(1) V = {v 1, v 2,…, v n }是结点集；(2) A 是由V 中元素的有序对（v i , v j ）所构成的一个集合，其元素称为D 的有向边或弧，一般表示为a ij （v i , v j ），而A 称为D 的弧集.有序对（v i , v j ）是指当v i ≠v j 时，（v i , v j ）与（v j , v i ）不同.弧a ij =（v i , v j ）在图中表示为一条从始点v i 指向终点v j 的箭线.2、基础图、路、回路若在有向图D 中，将所有弧都用边来替代，所得到的一个无向图称为该有向图的基础图，记为G （D ）.如图6-7(b)就是6-7(a)的基础图.基础图G （D ）中的链和圈就是有向图D 的链和圈.若交替序列},,,,,,{211kkj i j i j i e v e v e v =μ是有向图D =（V , A ）的一条链，且有k t v v a tt ti i j ,,2,1},{1==-v 3v 1v 4v 2v 3v 1v 4v 2(a) (b)图6-74赵7()v 6a则称μ是有向图D 的一条从0i v 到ki v 的路，记为ki i i v v v ,,,1=μ若0i v =ki v ，则称μ为有向图D 中的一条回路；否则称为开路.对于无向图G 来说，链和路（闭链和回路）这两个概念是一致的.概括地说，一条路必定是一条链，然而在有向图中，一条链未必是一条路.在图6-6中，v 1, v 2, v 4, v 5, v 6, v 7是一条链，也是一条路，而v 1, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7是一条链但不是一条路. 三、网络设在图G =（V , E ）中，每一条边e 都有相应的一个权值)(e ω，则称G 为赋权图，)(e ω称为边e 的权.图6-8是一个赋权图.图6-8.3)(),,(;2)(),,(;5)(),,(;1)(),,(;3)(),,(;2)(),,(;4)(),,(;1)(),,(3553354554452 55225344334244224233223133113122112============= ===e v v e e v v e e v v e e v v e e v v e e v v e e v v e e v v e ωωωωωωωω 可见，赋权图不仅指出各点之间的邻接关系，而且也表示各点之间的数量关系，所以赋权图在图的理论及其应用方面有着重要的地位.同样，对于有向图D =（V , A ）中，每一条弧a ij 都有相应的一个权值)(ij a ω，则称D 为赋权有向图，)(ij a ω称为弧的权，简记为ij ω（权可以表示距离、费用和时间等）.图6-9是一个赋权有向图，这是某地区的交通运输的公路分布、走向及相应费用示意图.箭头表示走向，箭头旁边的数字表示费用.图6-9在实际工作中，有很多问题的可行解方案都可通过一个赋权有向图表示，例如：物流渠道的设计、物资运输路线的安排、排水管道的铺设等.所以，赋权图被广泛应用于解决工程技术及科学管理等领域的最优化问题.通常，我们把赋权图称为网络，赋权有向图称为有向网络，赋权无向图称为无向网络.v 35vv 76网络分析内容主要涉及网络优化问题，即最小树问题、最短路问题、最大流问题、最小费用最大流问题、网络计划问题等等.§2 最小支撑树问题一、树树是图论中的一个重要概念.所谓树就是一个无圈的连通图.如图6-10中的(a)就是一棵树，而(b)因为有圈（v 3, v 4, v 5, v 3），所以(b)就不是树，(c)也不是树，因为(c)不是连通图.一个家族的家谱，一个单位的组织结构，一个城镇的自来水管道等等，都可以用树来表示.(a) (b) (c)图6-10二、最小支撑树若图G 的一个支撑图T 是树，则称T 为图G 的一棵支撑树.在图6-11中给出了图G 的几个支撑树T 1, T 2, T 3.图G T 1 T 2 T 3图6-11设)',(E V T =是网络（赋权图）G =（V , E ）的一棵支撑树，'E 中的所有边的权数之和称为支撑树T 的权数，记为ij T v v j i T ωω∑∈=),()(.如果支撑树T *的权数)(*T ω是G 的所有支撑树的权中最小者，即)}(min{)(*T T ωω= 则称T *是G 的最小支撑树，简称最小树.那么，如何找出网络最小树呢？这就是最小树问题. 三、最小支撑树的求法求最小树通常用以下两种方法：1、破圈法：在给定的连通图G 中，任取一圈，去掉圈中权最大的一条边（若有多条边的权最大，则去掉任意一条边）；在G 的余图中再任取一圈，去掉圈中权最大的一条边；重6v 677v 7v v5v 4v1v 2v v 3复取圈，直到余图中不再有圈为止，此时即可得到图G 的最小树.例6.4 用破圈法求图6-8的最小树. 解：求解过程如图6-12示.具体步骤如下：(1) 在图6-8中，任选一图{v 1 v 2 v 3 v 1}，在该圈中由于边（v 1, v 3）的权413=ω最大，所以去掉边（v 1, v 3），得图6-12(a).(2) 在图6-12(a)中，任选一圈{v 2, v 3, v 4, v 2}，在该圈中由于边（v 2, v 3）的权223=ω最大，所以去掉边（v 2, v 3），得圈6-12(b).(3) 在图6-12(b)中，任选一圈{v 2, v 3, v 4, v 5, v 2}，在该圈中由于边（v 2, v 5）的权525=ω最大，所以去掉边（v 2, v 5），得圈6-12(c). (4) 在图6-12(c)中，只有一圈{v 3, v 4, v 5, v 3}，去掉权为最大的边（v 3, v 5），得图6-12(d).在图6-12(d)中，由于已没有圈，故已得图6-8的最小树.图6-122、避圈法（kruskal 算法）：在给定的连通图G 中，取权值最小的一条边（若有多条边权值最小，则任取一条边），在余下的边中选一条权值最小的边（要求此边与已选中的边不构成圈）；重复取边，直到不存在与选边能构成圈的边为止，此时，已选边与结点构成的图T 就是连通图G 的最小树.例6．5 用避圈法求图6-8的最小树. 解：求解过程过如6-13示.具体步骤如下：(1) 在图6-8中，有边（v 1, v 2）、（v 3, v 4）的权为最小权值1，任取一边（v 1, v 2），得图6-13(a)，在图中（v 1, v 2）用粗线表示.(2) 在余下的边中，边（v 3, v 4）权最小，权值为1，并与（v 1, v 2）不构成圈，故选取（v 3, v 4），得图6-13(b).(3) 在余下的边中，边（v 2, v 3）、（v 4, v 5）的权最小，权值为2，任取一边（v 4, v 5）.边（v 1, v 2）、（v 3, v 4）、（v 4, v 5）没有构成圈，得图6-13(c).(4) 在余下的边中，取最小权边（v 2, v 3），得图6-13（d ）.在余下的边中，（v 2, v 4）与（v 3, v 5）的权值最小，但取它们之间的任一条边，都会构成圈，故此时已得到最小树，v 35v 35v 35v 35如图6-13(d)中，粗线所标出.图6-13§3 最短路问题最短路问题一般可描述如下：在一个网络中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求出一条路，使得路长最短（即路的所有边权数之和最小）.许多实际问题都可以通过求解最短路解决.如两地之间的货物运输路线、管道铺设；再如设备更新问题也可转化为最短路问题.一、Dijkstra 标号法本节先介绍求最短路的一种算法：狄克斯屈标号法（E.D.Dijkstra ）.该法是狄克斯屈在1959年提出的，适用于所有权数均为非负（即一切ij ω≥0）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其他各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.Dijkstra 算法是一种标号法，它的基本思路是从起点v s 出发，逐步向外探寻最短路，执行过程中给每一个顶点v j 标号（j j l ,λ）.其中j λ是正整数，它表示顶点v j 获得此标号的前一点的下标；l j 表示从起点v s 到v j 点的最短路，即权之和（称为固定标号，记为P 标号）或表示从起点v s 到点的最短路的权的上界（称为临时标号，记为T 标号）.Dijkstra 算法将所有点集分为两类：P 标号点和T 标号点.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一.若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了.开始将起点v s 设为P 标号点，而其余点设为T 标号点，方法的每一步是去修改T 标号，并且把某一个具有T 标号的点变为具有P 标号点，从而使网络D 中的P 标号的顶点多一个.这样至多经过p -1步就可以求出从v s 至v t 及各点的最短路，再根据每个点标号的第一个数j λ反向追踪找出最短路径.Dijkstra 算法的具体步骤如下：开始时令i = 0，S 0 = {v s } = 0，0=s λ，P (v s ) = 0，对每一个v j ≠v s ，令T (v j ) = +∞，j λ= s ，k = s .(1) 如果S i = V ，算法终止.这时对每一个)(,j j i j V P L S v =∈；否则转下一步.v 35v 35v 35v 35(2) 设v k 是刚获得P 标号的点.考察每个使A v v j k ∈),(且i j S v ?的点v j ，将T (v j )修改为})(),(min{)(j k k j j v P v T v T ω+= (6.2) 如果j k k j v P v T ω+>)()(，则把T (v j )修改为j k k v P ω+)(，把j λ修改为k ；否则不修改.(3) 令)}({min )(j S v j v T v T i=如果+∞<)(ij v T ，则把ij v 的T 标号变为P 标号，即令)()(iij j v T v P =，令}{1i j i i v S S =+，k = j i ，把i 换i +1，返回(1)；否则终止，这时对每一个i j S v ∈，有l (v j ) = P (v j )；而对每一个i j S v ?，有l (v j ) = T (v j ).例6.6 图6-14所示是某地区交通运输的示意图.试问：从v 1出发，经哪条路线到达v 8才能使总行程最短？用Dijkstra 算法求解.图6-14解：令i = 0，s = 1，S 0 = {v 1}，01=λ，P (v 1) = 0；令T (v j ) = +∞，)8,,3,2(1 ==j j λ，k = 1.即给起点v 1标（0,0），给其余的点标（1,+∞）.P 标号点为v 1，其余为T 标号点.因此有：1),8,,3,2(,1,)(,0,0)(11===+∞===k j v T v P j j λλ (1) 对v 1的相邻点v 2, v 3, v 4，（见图6-14(a)）因为A v v ∈),(21，02S v ?，故修改v 2的临时标号. })(),(min{)(12122ω+=v P v T v T 1;3}30,min{2==++∞=λ.同理得：})(),(min{)(13133ω+=v P v T v T 1;5}50,min{3==++∞=λ.})(),(min{)(14144ω+=v P v T v T1;6}60,min{4==++∞=λ.结果如图6-14(a)，其余点的T 标号不变.v 1v 3v 6v 8v 2v 5v 7769524136135521图6-14(a) 图6-14(b)(2) 在所有的T 标号中，T (v 2) = 3最小，所以令：P (v 2) = 3，S 1 = }{}{2120v v v S = ，k = 2, i = 1.(3) 对v 2的相邻点，v 3, v 5, v 6（见表6-14(b)），因为1552,),(S v A v v ?∈，故修改v 5的临时标号.})(),(min{)(25255ω+=v P v T v T 2;10}73,min{5==++∞=λ.同理得：})(),(min{)(26266ω+=v P v T v T2;7}43,min{6==++∞=λ. })(),(min{)(23233ω+=v P v T v T 2;4}13,5min{3==+=λ.(4) 在所有的T 标号中，T (v 3)=4为最小，所以令：P (v 3) = 4，}{312v S S =},,{321v v v =，k = 3，i = 2.(5) 对v 3的相邻点v 4，v 6（见图6-14(c)），因为2443,),(S vA v v ?∈，故修改v 4的临时标号.})(),(min{)(34344ω+=v P v T v T 3;5}14,6min{4==+=λ.同理得：})(),(min{)(36366ω+=v P v T v T 3;6}24,7min{6==+=λ.(6) 在所有的T 标号中，T (v 4) = 5为最小，所以令：P (v 4) = 4，}{423v S S =},,,{4321v v v v =，k = 4，i = 3.图6-14(c) 图6-14(d)(7) 对v 4的相邻点v 6, v 7（见图6-14(d)），因为3664,),(S v A v v ?∈，故修改v 6的临时标号.})(),(min{)(46466ω+=v P v T v T6}34,6min{=+=此时v 6的临时标号不修改，即为（3.6），36=λ.v 1(0,03(1,5)v 3(2,4)v 2(1,3)v 5(2,10)741v 6(2,6)v 3(2,4)v 6(3,6)v 4(3,5)21v 6(3,6)v 4(3.5)V 7(4,10)35对于})(),(min{)(47477ω+=v P v T v T 4,10}55,min{7==++∞=λ.(8) 在所有的T 标号中，T (v 6) = 6为最小，所以令：P (v 6) = 6，}{634v S S =},,,,{64321v v v v v =，k = 6，i = 6.(9) 对v 6的相邻点v 5, v 7, v 8（见图6-14(e)），因为4656,),(S v A v v ?∈，故修改v 5的临时标号.})(),(min{)(65655ω+=v P v T v T 6;8}26,10min{5==+=λ. 同理得：6;7}16,10min{)(77==+=λv T . 6;15}96,min{)(88==++∞=λv T .图6-14(e) 图6-14(f) 图6-14(g)(10) 在所有的临时标号中，T (v 7) = 7为最小，所以令：P (v 7) = 7，}{745v S S =},,,,,{764321v v v v v v =，k = 7，i = 5.(11) 对v 7的相邻点v 8（见图6-14(f)），因为5887,),(S v A v v ?∈，故修改v 8的临时标号.})(),(min{)(78788ω+=v P v T v T 7;12}57,15min{8==+=λ.(12) 在所有的临时标号中，T (v 5) = 8为最小，所以令：P (v 5) = 8，}{556v S S =},,,,,,{7654321v v v v v v v =，k = 5，i = 6.(13) 对v 5的相邻点v 8（见图6-14(g)），因为6885,),(S v A v v ?∈，故修改v 8临时标号.})(),(min{)(58588ω+=v P v T v T 12}68,12min{=+=. 故v 8的临时标号没有修改，78=λ.(14) 现在只剩下v 8一个临时标号点，所以令：P (v 8) = 12，}{867v S S =},,,,,,,{87654321v v v v v v v v =，因为S 7 = V ，故停止.此时已找到从起点v 1到终点v 8的最短距离为12.再根据第一个标号j λ反向追踪，由于8λ= 7，所以v 8前面一点为v 7，由于7λ=6，所以v 7前面一点为v 6，……，最终求出最短路径为：v 1→v 2→v 3→v 6→v 7→v 8.事实上，按照这个算法，也找到了从起点v 1到各个中间点的最短路径和最短距离.例如：v 1→v 2→v 3→v 6→v 5就是从v 1到v 5的最短路径，距离为8.例6.7 用Dijkstra 算法求解设备更新问题.某厂拟于明年初购置某种设备一台，以后每年初都要决定是继续使用还是更新.更新要v 6(3,6)v 8(6,15)v 5(6,8)v 7(6,7)921v 8(7,12)v 7(6,7)v 5(6,8)6v 8(7,8)花购置费，使用旧设备则要花维护费.已知今后五年内每年初该设备的购置费如表5-1所示，又知使用不同年份的设备在各年内全年的维护费如表6-2所示.问该厂在今后五年内应如何使用和更新设备能使总费用最少？解：设以v i (i = 1,2,3,4,5)表示“第i 年初购进一台新设备”这种状态，以v 6表示“第5年末”；以弧（v i , v j ）表示“第i 年初购置的一台设备一直使用到第j 年初（或第j -1年末）”这一方案，以ij ω表示这一方案所需购置费和维护费之和，有∑-=+=ij k ki ij cP 1ω对于本例，可建立如图6-15的网络模型.求解本例问题就是找出图6-15中从v 1到v 6的最短路.图6-15令i = 0, s = 1, S 0 = {v 1}, 01=λ, P (v 1) = 0, 令T (v j ) = +∞, 1=j λ（j = 2,3,…,6）, k = 1. P (v 1) = 0, 01=λ (1) 对于v 1点：})(),(min{)(12122ω+=v P v T v T 1;21}210,min{2==++∞=λ；})(),(min{)(13133ω+=v P v T v T 1;31}310,min{3==++∞=λ；})(),(min{)(14144ω+=v P v T v T 1;44}440,min{4==++∞=λ；})(),(min{)(15155ω+=v P v T v T1;62}620,min{5==++∞=λ；})(),(min{)(16166ω+=v P v T v T 1;89}890,min{6==++∞=λ.在所有T 标号中，T (v 2) = 21最小，所以令P (v 2) = 21，k = 2.(2) 对于v 2点：})(),(min{)(23233ω+=v P v T v T 1;31}2221,31min{3==+=λ；})(),(min{)(24244ω+=v P v T v T 1;44}3221,44min{4==+=λ；})(),(min{)(25255ω+=v P v T v T 1;62}4521,62min{5==+=λ；})(),(min{)(26266ω+=v P v T v T 2;84}6321,89min{6==+=λ.在所有T 标号中，T (v 3) = 31最小，所以令P (v 3) = 31，k = 3. (3) 对于v 3点：表6-1 各年初购价表6-2 各年维护费})(),(min{)(34344ω+=v P v T v T 1;44}2431,44min{4==+=λ；})(),(min{)(35355ω+=v P v T v T 1;62}3431,62min{5==+=λ；})(),(min{)(36366ω+=v P v T v T 3;78}4731,84min{6==+=λ.在所有T 标号中，T (v 4) = 44最小，所以令P (v 4) = 44，k = 4. (4) 对于v 4点：})(),(min{)(45455ω+=v P v T v T 1;62}2744,62min{5==+=λ；})(),(min{)(46466ω+=v P v T v T 3;78}3744,78min{6==+=λ.在所有T 标号中，T (v 5) = 62最小，所以令P (v 5) = 62，k = 5. (5) 对于v 5点：})(),(min{)(56566ω+=v P v T v T 3;78}3262,78min{6==+=λ.只剩下v 6点为T 标号点，所以令P (v 6) = 78，k = 6. 此时已找到最短路径：v 1→v 3→v 6本题答案为：在第一年初，第三年初分别购进一台新设备，五年内总费用为78千元. 二、Warshall-Floyd 算法对于ij ω≥0，Dijkstra 标号法不仅可求出v s 到v t 的最短路，同时还可求出v s 到网络D 中各点的最短距离.但当网络D 中有ij ω<0的弧时，dijkstra 标号法不再适用.如图6-16，要求从v 1到v 2的最短路.如果用Dijkstra 标号法最短路为v 1→v 2，路长为2，但实际上是零.下面介绍的Warshall-Floyd 方法则适用于求解网络（有ij ω<0的网络）最短路问题.设给定网络D = (V ，E )，若V 中的两点v i 和v j 之间无弧相连，则令ij ω= +∞，这样便可认为任何两点之间都有弧相连了.要求始点v 1到各点的最短路.令 =)(1k j l 从v 1走k 步到达v j 的最短距离，j = 1,2,…, n 其中 j jl 1)1(1ω=，j = 1,2,…, n可以把从v 1走k 步到达v j 的路分为两段：先从v 1走k -1步到达v i ，其最短距离为)1(1-r s l ；再从v i 走一步到达v j ，其距离为ij ω.故有 {}ij k ini k ijl l ω+=-≤≤)1(11)(min ，j = 1,2,…, n(6.3)按(6.3)进行多次迭代，可以证明最多经过n -1次迭代必定成敛.即对于某个k （0≤k ≤n -1），有)1(1)(1-=k jk jl l （j = 1,2,…, n ）.例6.8 求图6-17中从点v 1到各点的最短路.图6-162图6-17解：我们可以设计一张表，求解过程在表上进行，见表6-3.表的左边是初始数据，右边部分是各次迭代的计算结果，括号内的数字表示最后一步的一段弧，如)2(12l 中的（3, 2），表示从v 1到v 2点，走的第二步是从v 3到v 2；最右边的一列数字就是v 1到各点v j 的最短路长. 计算过程举例如下：对)1(1jl ：011)1(11==ωl212)1(12==ωl313)1(13==ωl∞==14)1(14ωl∞==15)1(15ωl对)2(1jl ：}{min 1)1(151)2(11i ii l l ω+=≤≤ },,,min{51)1(1541)1(1421)1(1211)1(11ωωωω++++=l l l l},5),2(3,22,00min{∞+∞+∞-+++=0=}{min 2)1(151)2(12i ii l l ω+=≤≤}3,),4(3,02,20min{+∞∞+∞-+++= 1-= }{min 3) 1(151)2(13i ii l l ω+=≤≤}7,3,03,2,30min{+∞+∞+∞++= 3= }{min 4)1(151)2(14i ii l l ω+=≤≤}4,0,3,2,0min{+∞+∞∞+∞+∞+= ∞=}{min 5)1(151)2(15i ii l l ω+=≤≤}0),1(,3),2(2,0min{+∞-+∞∞+-+∞+= 0=同理计算出)3(1jl 列与)4(1jl 列，从表6-3中可见,由于)3(1jl 列与)4(1jl 相同，故迭代终止.从v 1到各点v 1, v 2, v 3, v 4, v 5的最短距离分别是0, -1, 3, 1, -3.如何获得最短路线.在求得)(1k jl 后，采用反向追踪的办法寻求.例如：3)3(15-=l ，表示从v 1点到v 5点走三步的最短路长是-3.如何走？因为：)3(15l 的第三步是)2(1252l v v ?→的第二步是)1(1323l v v ?→的第一步是31v v →.所以我们可以得到最短路径是5231v v v v →→→.§4 最大流问题最大流问题是网络分析的另一个基本问题.现实中的许多系统都存在着各种各样的流，如公路系统中的车辆流、自来水管网中的水流、金融系统中的现金流、控制系统中的信息流等.最大流问题是解决给定的网络系统所能承受的最大流是多少及如何达到最大流的问题.一、概念 1、网络与网络流本节所讨论的网络均指满足以下条件的网络：(1) 网络有一个始点v s 和一个终点v t （始点是指只有发出去的弧，终点只有指向它的弧，其余的点称为中间点）.(2) 有关流过网络的流量具有一定的方向，一般用有向网络G =（V , A ）加以描述，弧的方向就是流量的流动的方向.(3) 对每一弧A v v j i ∈),(，都赋予一个容量0),(≥=ij j i r v v r ，表示通过该弧的最大流量.在满足上述条件下流过一个网络的某种流在各边上的流量的集合称为网络流.在网络G =（V , A ）中，设x ij = x (v i , v j )表示通过弧A v v j i ∈),(的流量，则集合}),(|{A v v x x j i ij ∈= 就称为该网络的网络流. 2、可行流在实际的运输问题中，对于流有两个基本要求：一是每条弧上的流量必须是非负的且不能超过该弧的最大通过能力（即弧的容量）；二是始点发出的流的总和（称为流量）必须等于终点接收的流的总和，且每个中间点的流入量之和必须等于该点的流出量之和，也就是说各中间点的作用只起到转运的作用.因此给出可行流的定义如下.满足下述条件的流}),(|{A v v x x j i ij ∈=称为可行流： (1) 容量限制条件A v v r x j i ij ij ∈≤≤),(,0 (6.4)(2) 中间点平衡条件 t s i xx jjijij ,0≠=-∑∑(6.5)设以f = f (x )表示可行流x 从v s 到v t 的流量，则有 ??=-==-∑∑ti f s i f x x jji jij 当当,, (6.6)这意味着可行流x 的流量f (x )等于始点的净流出量，也等于终点的净流入量. 可行流永久存在，如果}),(|0{A v v x x j i ij ∈==也是一可行流，称为零流，其流量f (x ) = 0.如图6-18是联接某农产品产地v s 到销地v t 的交通网，该网络流是一个可行流，图中每条弧旁的数字均为（r ij , x ij ）.流量f (x ) = 5+3 = 5+2+1= 8.图6-183、最大流所谓网络最大流问题就是求一个流x ，使得总流量f (x )达到最大，并且满足可行流的两个条件（6.3），（6.4），即max f (x )(6.7)s.t. ∑∑??=-≠==-jjjiij ti f t s i s i f xx )8.6(,,,0,当当当)9.6()),(,0(A v v r x j i ij ij ∈≤≤网络最大流问题是一个特殊的线性规划问题，用网络分析的方法求解较线性规划的一般方法要方便和直观得多.4、链的前向弧与后向弧设μ是网络G 中的一条从v s 到v t 的链，在链中与链的方向一致的弧称为前向弧，其集合记作+μ；在链中与链的方向相反的弧称为后向弧，其集合记作-μ.在图6-18中，在链746321v v v v v v =μ中，前向弧集合与后向弧集合为：+μ={(v 1, v 2), (v 3, v 6), (v 4, v 7)} -μ={(v 3, v 2), (v 4, v 6)}} 5、增广链设x = {x ij }是一可行流，μ是从v s 到v t 的一条链.若链上的弧的流量满足以下条件：∈>∈<-+μμ),(0),(j i ij j i ijij v v x v v r x (6.10)则称μ为一条关于可行流x 的增广链，记为)(x μ.我们称+μ中的每条弧为非饱和弧，-μ中的每条弧为非零流弧.在图6-18中，链7645231v v v v v v v =μ就是一条增广链，因为+μ和-μ中的所有弧的流量都满足条件（6.9）.显然，在网络D 中，增广链不止一条.可见，沿着增广链)(x μ去调整链上各弧的流量，可以使网络的流量f (x )增大，即得到一个比x 的流量更大的可行流.求网络最大流的方法正是基于这种增广链.6、截集给定的网络，若点集V 被分割为两个非空集合S 和S ，且S v s ∈，S v t ∈，则把始点在S ，终点在S 的弧的集合称为分离v s 和v t 的一个截集.在图6-18中，设S = {v 1 v 2 v 5}，S = {v 3 v 4 v 6 v 7}，则截集为（S ,S ）={(v 1, v 3), (v 2, v 4), (v 5, v 7)}而弧（v 3, v 2）和（v 4, v 5）不是该截集中的弧，因为这两条弧的起点在S 中. 一个网络的截集是很多的（但只有有限个），若把某截集的弧从网络中去掉，则从v s到v t 便不存在路，所以直观上说，截集是从v s 到v t 的必经之路.7、截量某一截集（S ,S ）中所有弧的容量之和称为这个截集的截集容量，简称截量，记为r (S ,S )，有∑∈=),(),(),(S S v v ijj i rS S r上述例子中，r (S ,S ) = r 13+ r 24+ r 57 = 9 + 6 + 9 = 24.8、最小截集截集不同显然截量也就不同.由于截集的个数是有限的，故其中必有一个截集的容量是最小的，称为最小截集，记为（S *,S *），其截量r (S *,S *)称为最小截量.二、基本定理为了求网络最大流，我们先介绍下面的重要定理. 定理1 (流量——截量定理)在网络G =（V , A ）中，设}),(|{A v v x x j i ij ∈=是任一可行流，(S ,S )是任一截集，则f (x )≤r (S ,S )定理1表明：网络的任一可行流的流量恒不超过任一截集的截量.因此，网络的最大流也不会超过最小截量，即有f (x *)≤r (S *,S *)定理2 (增广链调整法)设}),(|{A v v x x j i ij ∈=是网络G =（V , A ）的一可行流，t k s v v v v 1=μ是关于x 的一条增广链.令=∞≠-=+++φμφμθμ当当ijij x r min 1=∞≠-=---φμφμθμ当当ijij x r min 2},min{21θθθ=再令∈∈-∈+=-+μμθμθ),(),(),('j i ijj i ij j i ij ij v v x v v x v v x x 当当当则}'{'ij x x =也是G 的一个可行流，且有θ+=)()'(x f x f(6.11)该定理表明：只要网络中还存在关于可行流x 的增广链μ，则x 就不是最大流，其流量还能增加θ(>0).定理2给出了一种沿着增广链μ上的弧去调整流量，从而得到一个流量更大的新可行流'x 的方法，即增广链调整法.定理3 (最大流充要条件) 设}),(|{**A v v xx j i ij∈=是网络G= (V , A )的一可行流，则x *是最大流的充要条件是：网络G 中不存在增广链)(*x μ.定理4 (最大流——最小截量定理)网络G 从v s 到v t 的最大流的流量等于分离v s 和v t 的最小截集的截量.即，若设x *为一最大流，(S *,S *)为一最小截集，则有f (x *) = r (S *,S *)三、求最大流的标号法（Ford, Fulkerson ）这种标号法由福特（Ford ）和富尔克逊（Fulkerson ）于1956年提出，故称为福特—富尔克逊标号法.该法从某一可行流x （如零流）出发，按一定规划找出一条增广链)(x μ，并按定理2的方法调整x ，得到一个流量增大θ的新可行流'x .对'x 重复上述做法……直到找不出增广链为止，这时就得到一个最大流，同时还得到一个最小截集.该标号法的步骤如下：1°给始点标号（0, ∞），则v s 已标号待检查；2°取一个已标号待检查的点v i ，对所有与v i 相邻而未标号的v j依次判断、执行如下： (1)若关联v j 与v i 的弧为（v i , v j ），则当该弧上的流量x ij < r ij 时给v j 标号（v i ,b (v j )），其中}),(min{)(ij ij i j x r v b v b -=表示弧（v i , v j ）上的流量的最大可调整量；而当x ij= r ij 时不给v j 标号.(2)若关联v j 与v i 的弧为（v j ，v i ），则当该弧上的流量x ji >0时给v j 标号（-v i ,b (v j )），其中}),(min{)(ji i j x v b v b =而当x ji =0时不给v j 标号.当所有与v i 相邻而未标号的点v j 都执行完上述手续后，就给v i 打√，表示对它已检查完毕.3°重复2°，可能出现两种结果：（1）点v t 得到标号.则从v t 回溯标号点的第一个标号，就能找出一条由标号点和相应的弧连接而成的、从v s 到v t 的增广链μ（X ），转4°.（2）所有标号点均已打√（检查过），而v t 又未得标号.这说明不存在增广链，而当前的可行流即最大流，算出其流量，停止.4°取调整量θ=b(v t )(即终点v t 的第二个标号)，令+∈+=μθ）对一切（j i ij ij v v x x ,,: -∈-=μθ）对一切（j i ij ij v v x x ,,:非增广链上的各弧流量ij x 不变. 5°删除网络中原有一切标号，返回1°.。
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三、双代号网络图的绘制
[例4] 已知各工作之间的逻辑关系如下表所示，试绘制双代号网络图。
工作名称 紧后工作 A C、D B E、F C E、F D G、H E G、H F I G I H —.按施工段排列 3.按楼层排列
第三节 网络计划时间参数的计算
一、网络计划时间参数的概念及符号
4．常用符号 双代号网络图 Di-j ——工作i-j的持续时间 ESi-j——工作i-j的最早开始时间 EFi-j——工作i-j的最早完成时间 LFi-j——工作i-j的最迟完成时间 LSi-j——工作i-j的最迟开始时间 TFi-j——工作i-j的总时差 FFi-j——工作i-j的自由时差
2.横道图进度计划与网络计划的特点 （1）横道图 我国长期以来一直应用流水施工原理，采用横道图的形式来编制工 程施工进度计划。这种方式有其优点：简单、清晰、形象、易懂、使用 方便。 但它在表现内容上也有不足： ①不能全面反映各工序之间相互依赖、相互制约、相互影响的关系。 ②不能反映出整个计划中的主次部分，即其中的关键工作。 ③难以在有限的资源下挖掘计划的潜力。 ④不能应用现代计算机技术。
二、双代号网络计划时间参数的计算
6.总时差的计算 工作总时差是指在不影响工期的前提下，该工作可以利用的机动 时间，以TFi-j表示。 总时差等于最迟开始时间减去最早开始时间，或最迟完成时间减 去最早完成时间。 即：TFi-j＝LSi-j－ESi-j 或 TFi-j＝LFi-j－EFi-j 7.自由时差的计算 一项工作的自由时差是指在不影响紧后工作最早开始时间的前提 下，该工作所具有的机动时间，其计算公式如下： FFi-j＝ESj-k－EFi-j
第二节 网络计划的绘制
一、双代号网络计划的绘制原则
1.双代号网络图中二个代号只能表示一个工作。 2.网络图中，严禁出现循环回路。 3.工作中间可以插入，但宜增加节点。 4.绘制网络图时，箭线不宜交叉；当交叉不可避免时，可用过桥法或 指向法。 5.双代号网络图中应只能有一个起点节点和一个终点节点，其他所有 节点均应是中间节点。 6.没有逻辑关系的工作不能相通。 7.尽可能减少虚工作的出现。 8.双代号网络图必须正确表达已定的逻辑关系。
一、网络计划时间参数的概念及符号
3.网络计划中工作的时间参数 网络计划中的时间参数有六个： 最早开始时间、最早完成时间、最迟完成时间、最迟开始时间、总时差、自由 时差。 （1）最早开始时间和最早完成时间 最早开始时间指各紧前工作全部完成后，本工作有可能开始的最早时间，用ES 表示。 最早完成时间指各紧前工作全部完成后，本工作有可能完成的最早时间，用EF 表示。 （2）最迟完成时间和最迟开始时间 最迟完成时间指在不影响整个任务按期完成的前提下，工作必须完成的最迟时 刻，用LF表示。 最迟开始时间指在不影响整个任务按期完成的前提下，工作必须开始的最迟时 刻。用LS表示。 （3）总时差和自由时差 总时差是指在不影响总工期的前提下，本工作可利用的机动时间，用TF表示。 自由时差是指在不影响其紧后工作最早开始时间的前提下，本工作可以利用的 机动时间，用FF表示。
工作代号i 工作名称 持续时间
三、网络计划的组成
双代号网络图是由工作、节点、线路三个基本要素组成。 1.工作 （1）实工作 ①既消耗时间又消耗资源的工作 如：绑扎钢筋、浇筑混凝土。 ②只消耗时间而不消耗资源的工作 如：钢筋混凝土养护、油漆干燥、砂浆找平层干燥等。 （2）虚工作 既不消耗时间也不消耗资源的工作。 虚工作是虚设的，只表示相邻工作之间的逻辑关系。
二、双代号网络图常用的逻辑关系模型
书P124-125
三、双代号网络图的绘制
1.绘制网络草图。 2.去掉多余虚工作，并对网络进行整理。 3.检查编号。 [例1] （书P125） 某工程的工作明细表如下图所示，绘制网络图。
工作名称 紧前工作 A — B A C A D B E B、C F D、E
三、双代号网络图的绘制
双代号网络计划时间参数的计算步骤
ES → EF（确定Tc）→ LF → LS → TF → FF 1.ESi-j= ESh-i＋Dh-i （紧前工作最早开始时间＋紧前工作持续时间） 2.EFi-j＝ESi-j＋Di-j （本工作最早开始时间＋本工作持续时间）（确定Tc） 3.LFi-j＝LFj-k－Dj-k（紧后工作最迟完成时间－紧后工作持续时间） 4.LSi-j＝LFi-j－Di-j （ 本工作最迟完成时间－本工作持续时间） 5.TFi-j＝LSi-j－ESi-j 或 TFi-j＝LFi-j－EFi-j 6.FFi-j＝ESj-k－EFi-j（紧后工作最早开始时间－本工作最早完成时间） 关键工作的确定 关键工作指网络计划中总时差最小的工作 。 （TFi-j＝0， FFi-j＝0） 关键线路的确定 把关键工作自左而右依次首尾相连而成的线路就是关键线路。 一个双代号网络中至少有一条关键线路。
二、双代号网络计划时间参数的计算
（一）工作计算法 工作计算法多采用在网络图上标注时间参数的方法。 1.工作最早时间ESi-j的计算 （1）从起点节点引出的外向工作的最早开始时间都为零。 即令ES1-i=0 （2）当工作i-j只有一项紧前工作h-i时，其最早开始时间 ESi-j= ESh-i+Dh-i （3）当工作i-j有多个紧前工作h-i时，其最早开始时间 ESi-j=max{ESh-i+Dh-i} 2.工作最早完成时间的计算 一项工作最早完成时间计算公式为：EFi-j＝ESi-j＋Di-j 3.网络图计划的计算工期和计划工期的计算 计算工期等于以终点节点为结束点的各工作最早完成时间的最大值，用Tc表示。 即Tc＝max{EFi-n}
[例2] 已知各工作之间的逻辑关系如下表所示，试绘制双代号网络图。
工作名称 紧前工作 A — B — C — D B E B F C、D
[例3] 已知各工作之间的逻辑关系如下表所示，试绘制双代号网络图。
工作名称 紧前工作 A — B — C A D A 、B E B F C、D G D、E
练习（书P150 — 151 21 、22、23、24、25）
（2）网络计划技术 网络计划技术是以系统工程的概念，运用网络的形式，来设计和表 达一项计划中的各个工作的先后顺序和相互关系，通过计算关键线路和 关键工作，并根据实际情况的变化不断优化网络计划，选择最优方案并 付诸实施。 网络计划技术克服了横道图的不足，与横道图相比具有以下优点： ①网络图把施工过程中的各有关工作组成了一个有机整体，表达出 它们的先后顺序和它们之间相互制约、相互依赖的关系。 ②能进行各种时间参数的计算，通过对时间参数的计算，可对网络 计划进行调整和优化，更好地调配人力、物力和财力，达到降低材料消 耗和工程成本的目的。 ③可以反映出整个工程和任务的全貌，明确对全局有影响的关键工 作和关键线路，便于管理者抓住主要矛盾，确保工程按计划工期完成。 ④能够从许多可行方案中选出最优方案。 ⑤在计划实施中，某一工作由于某种原因推迟或提前时，可以预见 到它对整个计划的影响程度。 ⑥能利用计算机进行绘制和调整网络图。
三、网络计划的组成
2.节点 在双代号网络图中，用带编号的圆圈表示节点。 它表达的内容有以下几个方面： （1）节点表示前面工作结束和后面工作开始的瞬间，所以节点不需要消耗时 间和资源。 （2）箭线的箭尾节点表示该工作的开始，箭头节点表示该工作的结束。 （3）根据节点在网络图中的位置不同，可以分为起点节点、终点节点、中间 节点。 3.线路 网络图中从起点节点开始，沿箭头方向顺序通过一系列箭线与节点，最后到 达终点节点的通路。 一个网络图中，从起点节点到终点节点，一般存在许多条线路，线路上各工 作持续时间之和称为该线路的长度，即线路上总的工作持续时间。 网络图中所需时间最长的线路称为关键线路。其余线路为非关键线路。 位于关键线路上的工作为关键工作。关键工作没有机动时间，其完成快慢直 接影响整个工程项目的计划工期。
四、网络计划的基本名词
（四）虚工作及其应用 在网络计划中，只表示前后相邻工作之间的逻辑关系，既不占用时间，也 不耗用资源的虚拟的工作称为虚工作。虚工作用虚箭线表示，其表达形式可垂 直方向向上或向下，也可水平方向向右。 虚工作的作用： 1.联系作用 虚工作可表达工作间的逻辑关系。 2.区分作用 双代号网络计划是用两个代号表示一项工作，如果两项工作用同一代号， 则不能明确表示出该代号表示哪一项工作。因此，不同的工作必须用不同代号。 3.断路作用 为了正确表达工作间的逻辑关系，在出现逻辑错误的圆圈（节点）之间增 设新节点（即虚工作），切断毫无关系的工作关系联系，这种方法称为断路法。 双代号网络图中虚工作是非常重要的，但在应用时恰如其分，不能滥用， 以必不可少为限。 另外，增加虚工作后要进行全面检查，不要顾此失彼。
二、网络的基本表达方式
1.双代号网络图 以箭线及其两端节点的编号表示工作的网络图称为双代号网络图。 即用两个节点一根箭线代表一项工作，工作名称写在箭线上面，工 作持续时间写在箭线下面，在箭线前后的衔接处画上节点编上号码，并 可用箭线前后两个节点的编号来代表一项工作名称。
i 工作名称 持续时间 j
2.单代号网络图 以节点及其编号表示工作，以箭线表示工作之间的逻辑关系的网络 图称为单代号网络图。 即每一个节点表示一项工作，节点所表示的工作名称、持续时间、 工作代号等标注在节点内。可用圆形或方形表示。
四、网络计划的基本名词
（一）紧前工作、紧后工作、平行工作 紧前工作：紧排在本工作之前的工作。 紧后工作：紧排在本工作之后的工作。 平行工作：可与本工作同时进行的工作称为本工作的平行工作。 （二）内向箭线和外向箭线 1.内向箭线 指向某个节点的箭线称为该节点的内向箭线。 2.外向箭线 从某节点引出的箭线称为该节点的外向箭线。
二、双代号网络计划时间参数的计算
4.工作最迟完成时间的计算 （1）以终点节点为结束点的工作最迟完成时间按计划工期Tp确定。 即：LFi-n＝Tp （2）其他工作i-j的最迟完成时间等于其紧后工作j-k最迟完成时间与持 续时间之差的最小值。 即：LFi-j＝min{LFj-k－Dj-k} 5.最迟开始时间的计算 各工作最迟开始时间等于其最迟完成时间减去工作持续时间。 即：LSi-j＝LFi-j－Di-j