2012数值分析试卷答案
2012数值分析试题及答案
aii
(bi
n
aij
x
(k j
)
)
,
j 1
i 1,2,, n
(1) 求此迭代法的迭代矩阵 M ；
(2) 证明：当 A 是严格对角占优矩阵， 0.5 时，此迭代格式收敛.
解：迭代法的矩阵形式为：
x(k1) x(k) D 1 (b Ax (k) ) D 1 (D A)x(k) D 1b
x2 3/5
）.
线 …
8．对离散数据 xi yi
1 0 1 2 的拟合曲线 y 5 x 2 的均方差为( 2.5 1.58 ).
2 1 1 3
6
…
…
…
9．设求积公式
2
f (x)dx
1
A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1) 是插值型求积公式，则积分系
… 数 A0 3/ 4 , A1 0 , A2 9 / 4 .
2
2
2
2
2
2
R[ f ] 0 f (x)dx 0 p1 (x)dx 0 f (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 p1(x)dx
2 f (4) ( x ) (x 1 )2 (x 1 )2 dx f (4) () 2 (x2 1)2 dx
…
四、(10 分)利用复化 Simpson 公式 S2 计算定积分 I
2
cos
xdx
的近似值，并估
0
… 计误差。
… …
解：
I
S2
1 [cos0 6
cos2
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析期末考试题带答案
湖北民族学院2012年秋季期末试卷A或BA卷课程数值分析使用班级0210403、4、5、6 制卷份数86 考生姓名命题人刘波课程负责人单位审核人答题纸数班级题号一二三四五六七八九十合计学号评分分数阅卷人注意：所有答案必须填写在答题纸上！ 一、填空题（4分⨯10=40分）1、向量T x )3,2,1(-=的范数1x = ，∞x = ，2x 。
2、已知,3)2(,1)1(==f f 那么)(x f y =以2,1=x 为节点的拉格朗日线性差值多项式为 。
3、设矩阵A 是对称正定矩阵，则用 迭代法接线性方程组,b AX =其迭代解数列一定收敛。
4、辛普森公式： 。
5、牛顿-柯特斯求积分公式的系数和=∑=nk n k C 0)( 。
6、,1)(2+=x x f 则=]3,2,1[f ,=]4,3,2,1[f 。
7、积分公式)42(32)21(31)41(32)(10f f f dx x f +-≈⎰具有 次代数精度。
二、计算题（10分⨯3=30分） 1、求01162=+-x x 的小正根。
2、给定形如)0()1()0()('01010f B f A f A dx x f ++≈⎰的求积公式，试确定系数,,,010B A A 使公式具有尽可能高的代数精确度。
3、求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=242422221A 的特征值及普半径。
三、证明题（20分⨯1=20分） 1、用直接三角分解法解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201814513252321321x x x四、讨论题（10分⨯1=10分）1、用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算xdx x I cos 22⎰=π答案：一：1: 6，3，14 解： ∞x=||max 1i ni x ≤≤；1x =∑=n i i x 1||；2x =2112)(∑=ni ix ；向量的p 范数：p x =pni p ix 11)||(∑=2： 2x-1 3、高斯-赛德尔4、)]()2(4)([6)(b f b a f a f a b dx x f b a +++-≈⎰5、16、1,07、3二：1：解：6381+=x ，*2206.094.78638x x ==-≈-=,*2x 只有一位有效数字，若改用0627.094.15163816382≈≈+=-=x ，具有三位有效数字。
2012年春季学期(本科生)数值分析课程考试试卷(A卷)答案及评分标准
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2012年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1.设T x )3,4,2(-=,则 2x 29= (1分) ∞x4= (1分).2. 为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确（2分）.3.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ(2分).4. 设()1537++=x x x f ，则差商0]2,,2,2,2[821= f （2分）.5. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分) .6.矩阵范数),2,1(||||∞=p A p 与谱半径)(A ρ有一个不等式关系，表现为p A A ||||)(≤ρ（2分）.7.将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231264A 进行LU 分解(即Doolittle 分解),则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1301L (2分);⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5064U (2分).二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+7262353114221212121x x x x x x x x 解： +-+=221)1142(),(x x y x Q 221)353(--x x+-++221)62(x x 221)72(-+x x要使总残差达到最小，必有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0021x Q x Q⇒⎩⎨⎧-=-=-48463513182121x x x x⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9111327383021x x 或⎩⎨⎧≈≈24.104.321x x （10分）三、（10分）给定函数表84.087.090.092.094.096.097.098.099.011/sin 19.08.07.06.05.04.03.02.01.00x x x 利用所有数据，用复合辛普森（Simpson ）公式计算dxx xI ⎰=10sin 的近似值. 解: 用复合辛甫生Simpson 公式,小区间数5=n , 步长2.0)00.1(51=-⨯=h)90.094.097.099.0(21[62.05+++⨯+=≈S I]84.0)87.092.096.098.01(4++++++ 9453.0= （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号四、（12分）设nn ij Ra A ⨯∈=)(对称,顺序主子式),,2,1(0n i i =≠∆则T LDL A =分解存在,其中L 为单位下三角形矩阵,D 为对角阵, 试写出求方程组b Ax =解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组：⎩⎨⎧=+=+635310121022121x x x x 解: 由T LDL A =可得b Ax =的方程为b x LDL T=,令y x DL T =,则b Ly =.计算步骤： (1) 将A 直接分解TLDL A =，求出 D L , (2) 求解方程b Ly =(3) 求解方程y D x L T 1-= （4分）⎢⎣⎡102 ⎥⎦⎤5310⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10121l ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100d d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10121l 比较矩阵两边的元素,可得: ,521=l ,21=d .32=d由b Ly =可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1501⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6312 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒31221y y 由y D x L T1-=得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=16 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒1112x x （12分）五、(12分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为 ()x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=1101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=. （8分） ())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()1)0(max 2110--≤≤≤x x x 令 ),1()(-=x x x h 由0)(='x h ，求得一个驻点得211=x于是 =≤≤|)(|max 10x h x 41)}1(),(),0({max 110=≤≤h x h h x 所以有())()(11x L x y x R -=)(max 2110x h x ≤≤≤81= （12分）六、(10分) 在区间[0,2]上利用压缩映像原理验证迭代格式1012.k x k +==，，，的敛散性. 解：(1) 记x x +=2)(ϕ，则xx +='221)(ϕ.当]2,0[∈x 时,];2,0[]2,2[)]2(),0([)(⊂=∈ϕϕϕx (5分) (2) .1221)0(|)(|<='≤'ϕϕx 因此,对]2,0[0∈∀x ,迭代格式1012.k x k +==，，， 产生的序列∞=0}{k k x 收敛. (10分)线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（12分）已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a （1）写出解此方程组的雅可比(Jacobi)迭代法公式； （2）证明当4>a 时，雅可比(Jacobi)迭代法收敛； （3）取5=a ,T x)101,51,101()0(=，求出)2(x . 解：（1）对.,3,2,1 =i 从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1n x x a x x x a x x x a x n n n n n n n n n （5分） （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛. （10分）（3）取5=a ，Tx )101,51,101()0(= 由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)1(3=x . 25013)2(1=x ， 258)2(2=x ， 25013)2(3=x . （12分）八、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤++='0)0(10,122y x y x y , (1) 写出用Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式. 解: （1）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的Euler 公式为；9,,1,0),1(1.0),(0221==++⨯+=+=+y n y x y y x hf y y n n n n n n n （5分）（2）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的改进Euler 公式为：)2(21.0)1(1.002121221221=⎪⎩⎪⎨⎧+++++=++⨯+=++++y y x y x y y y x y y n n n n n n n n n n （10分）九、（8分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.解: 答案略.。
2012年武汉科技大学数值分析试题答案
2012年武汉科技大学数值分析试题答案一、单选题（4*5分=20分）1、A ；2、C ；3、D ；4、D ；5、D二、填空题（4*5分=20分）1、0；2、b-a ；3、)335(21+4、)3(211kk k x x x +=+； 5、)100(221n n n n y x h y y ++=+ 三、解：2120212010)1)(2()()2)(1()()1)(52()()2)(12()(1)(,2)(--=--=---=--=-=-=x x x x x x x x x x x x x x l x x l ββαα则：917133)(233+-+-=x x x x H …………………………………………….….8分 余项22)4(3)2()1(!4)()(--=x x f x R ξ………………………………………………….2分 四、解：设2)3()(-=x x f ，则：),3(6)(32-='x x x f 于是牛顿迭代格式为： ,,,,,,3,2,1,0,2165)3(6)3()()(232231=+=---='-=+n x x x x x x x f x f x x nn n n n n n n n …………..8分 迭代函数05.0)3(3365)3(333≠=-='ϕ，因此牛顿迭代格式是线性收敛的。
…..2分五、解：1835.2)(2122111211≈+-=⎰e e dx e x ……………………………………….4分 0263.2)4(612213*2111211≈++-=⎰e e e dx e x ……………………………………………4分 改公式则代数精度为7……………………………………………………………………..2分六、解：设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111323121l l l A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321d d d ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111323121l l l计算可得:3/2;2;3/5;2,1,3332322211======d l l d l d ……………………4分 由LY=b,求得y=(10,6,4/3); ……………………………………………………….4分 由y D x L T 1-=，求得x=(1,-1,2) …………………………………………………2分七、解：（i ）、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=-02/32003202/1001)(1U L D B j 则13)(>=j B ρ，因此，Jacobi 迭代是发散的。
西南大学2012年《数学分析》考研试题答案
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分）1、C2、B3、A4、D5、B6、D二、计算题（本题共7小题，每小题10分，共70分）1、求极限⎪⎭⎫⎝⎛++--→11111lim 0x e x x x . 解：因为011lim 1x x x e →⎛⎫-= ⎪-⎝⎭000111lim lim lim (1)122x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e xe →→→---===--++， 6分 所以00011111113lim lim lim 111112 2.x x x x x x e x x e x →→→⎛⎫⎛⎫-+=-+=+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭10分 2、设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttsin cos ，求22dx y d . 解：sin cos ,cos sin t t t tdy e t e t dx e t e t +=- 5分 2223322(cos sin )(cos sin )t t t t d y e dx e t e t e t t ==-- 10分 3、设⎰=21sin )(x dt ttx f ，求⎰10)(dx x xf .解：11122120000111()()()()222xf x dx f x dx x f x x f x dx '==-⎰⎰⎰12221001111(1)sin (1)cos 22221[(1)cos11].2f x dx f x f =-=+=++⎰4、设22z u v uv =-，y x u cos =，y x v sin =，求x z ∂∂和yz ∂∂.解：22(2)cos (2)sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x ∂∂∂∂∂=+=---∂∂∂∂∂，22(2)sin (2)cos .z z u z v v uv x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=-+-∂∂∂∂∂ 5、将函数xx f 3)(=在00=x 点处展开成泰勒级数。
数值分析2012考试卷沈阳工业大学
研究生考试命题纸沈阳工业大学 2012 / 2013 学年 第 一 学期课程名称：数值分析 课程编号：000304 任课教师：陈欣 曲绍波 考试形式：闭 卷一、填空（每题3分，共15分）1. 二分法是求解 方程f (x )=0的 根一种方法，其前提是f (x )在有根区间[a ,b ]内单调且 。
2. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112A ，则1A = 、=2A 、)(A ρ= 。
3. 对于正数a ，使用牛顿法于方程02=-a x 所得到的迭代格式为 ，其收敛阶为 、求110（取x 0=10）的第一个近似值为 。
4. 幂法用来计算实矩阵A 的 特征值及对应的 ，在计算过程中进行“归一化”处理的原因是为了 。
5. 高斯求积公式)33()33()(11f f dx x f +-≈⎰-的代数精度为 ，当区间不是[-1,1]，而是一般区间[a , b ]时，需要做变换 ，使用该公式计算≈⎰311dx x。
二、解答下列各题（每题5分，共10分）1. 请写出经过点A (0,1)，B (2,3)，C (4,5)的拉格朗日插值多项式形式。
说明插值基函数的性质以及拉格朗日插值法的优缺点。
2. 设n 阶可逆矩阵A 已经分解成A =LU ，其中L 下三角矩阵，U 单位上三角矩阵，推导出解线性方程组AX =b 的计算公式。
三、（10分）用不选主元的直接三角分解法解下面线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-=-342424344343232121x x x x x x x x x x 四、（20分，每题10分）对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+9223122321321321x x x x x x x x x 1. 分别写出使用GS 迭代法，SOR 迭代法（ω=1.3）求解的迭代格式，并对初始向量（1，0，0）T ，分别计算第一步近似解向量；2. 分别讨论求解此方程的J —方法和GS —方法的收敛性。
五、（10分）给出函数表如下，用牛顿向前插值公式求f (2.03)的近似值。
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昆明理工大学2012级硕士研究生试卷科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号：考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。
一、 填空题（每空2分，共40分）1．设*0.231x =是真值0.228x =的近似值，则*x 有 位有效数字，*x 的相对误差限为 。
2．设133)(47+++=x x x x f ，则=]2,,2,2[710 f ，=]2,,2,2[810 f 。
3. 过点)0,2(),0,1(-和)3,1(的二次拉格朗日插值函数为)(2x L = ， 并计算=)0(2L 。
4．设32()3245f x x x x =+-+在[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为 ，最佳二次平方逼近多项式为 。
5．高斯求积公式)()()(11010x f A x f A dx x f x +≈⎰的系数0A = ，1A = ，节点0x =，1x=。
6．方程组b Ax =，,U L D A --=建立迭代公式f Bx xk k +=+)()1(，写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，=Jacobi B ，=-Seidel Gauss B 。
7．00100A ⎤⎥⎥=⎢⎥⎢⎥，其条件数2()Cond A = 。
8．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2113A ，计算矩阵A 的范数，1||||A = ， 2||||A = 。
9．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。
10．对矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=513252321A 作LU 分解，其L=________________， U= __________________。
二、计算题（每题10分，共50分）1. 求一个次数不高于4次的多项式P (x ), 使它满足:1)1(,0)0(,0)0('===p p p ,1)1(,'=p,1)2(=p 并写出其余项表达式（要求有推导过程）。
2. 若用复合梯形公式计算积分dx e x ⎰1，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超过51021-⨯? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。
3. 线性方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=18.04.08.014.04.04.01A ，T b ]3,2,1[=，（1）建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的分量形式。
（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗 ?4. 已知如下实验数据4,,1,0),,( =i y x i i , 用最小二乘法求形如x a a y 10+=的经验公式，并计算最小二乘法的误差。
5. 用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题0)0(,10022=+=y y x dx，取步长,1.0=h 计算到2.0=x （保留到小数点后四位）。
三、证明题（共10分）1． 如果 A 是对称正定矩阵，则A 可唯一地写成T LL A =，其中L 是具有正对角元的下三角阵。
昆明理工大学2012级硕士研究生试卷答案一填空题（每空2分，共40分）1. 2 0.025或0.02162. 3 03. )2)(1(23-+-x x ，3 4. 2754x x -+ 2119255x x -+5. 0.28 0.39 0.29 0.826. U L D H U L D H S G J 11)(),(----=+=7. 18. | A ||1 = 3_，2316299||||2++=A9. 1()1'()k k k k k x f x x x f x +-=--10. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=153012001L ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2400410321U二、计算题（每空10分，共50分）1．求一个次数不高于4次的多项式P (x ),使它满足:P (0) =0，P’(0) =0，P (1) =1，P’(1)=1，P (2) =1，并写出其余项表达式。
解：由题意 P (x ) = x 2(ax 2 + b x + c )，由插值条件得方程组1)24(412341=++=+++=++c b a c b a c b a 求解，得 a =1/4，b= – 3/2 ，c =9/4。
所以)492341()(22+-=x x x x P插值余项为)2()1()(!51)(22)5(--=x x x f x R ξ 2． 若用复合梯形公式计算积分dx e x ⎰1，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超过51021-⨯？若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等分？由下表数据用复合辛普森公式计算该积分。
解：由于xe xf =)(，则x e x f x f ==)()()4(''在区间[0,1]上为单调增函数，b-a=1，设区间分成n 等分，则h=1/n., 故对复合梯形公式，要求≤--=|)(12|)(''2ηf h a b f R T 521021)1(121-⨯≤e n ，)1,0(∈η 即52106⨯≥en ，85.212≥n ，因此n=213，即将区间[0,1]分成213等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过51021-⨯。
若用复合辛普森公式，则要求≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=|)(2180|)(()42ηf h a b f R S 5441021)1(21801-⨯≤⨯e n ，)1,0(∈η 4410144⨯≥en ，7066.3≥n ，因此n=4，即将区间[0,1]分成8等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过51021-⨯。
=++=∑-=++1401214)]()(4)([6)(k k k k x f x f x f h h S 7125.1))()(4)()()(4)((65.0432210=+++++x f x f x f x f x f x f 3. 线性方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=18.04.08.014.04.04.01A ，Tb ]3,2,1[=，（1）建立Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。
（2）问Jacobi 迭代和Gausse-Seidel 迭代法都熟收敛吗？ 解：（1） Jacobi 迭代法的分量形式⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,2,1,0,)8.04.03()8.04.02()4.04.01()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k x x x x x x x x x k k k k k k k k k ，)0(x 为任意初始值。
Gauss-Seidel 迭代法的分量形式⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=--=++++++ ,2,1,0,)8.04.03()8.04.02()4.04.01()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k x x x x x x x x x k k k k k k k k k ，)0(x 为任意初始值。
(2)Jacobi 迭代法的迭代矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=+=-08.04.08.004.04.04.00)(1U L D B J)32.08.0)(8.0(||2-+-=-λλλλJ B I10928203.1)(>=J B ρ，故Jacobi 迭代法不收敛。
Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--672.0032.0064.016.004.04.00)(1U L D B SG18.0)(<=-S G B ρ，故G-S 迭代法收敛。
4. 已知实验数据5,,2,1),,( =k y x k k ，如下表，用最小二乘法求形如x a a y 10+=的经验公式，并计算均方误差。
解：令x a a x S 101)(+=,10=ϕ,1x =ϕ 故51),(4000==∑=i ϕϕ15),(4010==∑=i i x ϕϕ15),(401==∑=i i x ϕϕ55),(4211==∑=i i x ϕϕ31),(400==∑=i i f f ϕ5.105),(41==∑=i i i f x f ϕ由法方程得线性方程组⎩⎨⎧=+=+5.1055515311551010a a a a 解得25.1,45.210==a a 于是所求拟合曲线为x x S 2429.17143.3)(1+=2-范数的误差0.8216 675.0))((||||2412==-=∑=i i i y x S δ5. 用改进的欧拉公式（预估-校正方法） 解初值问题0)0(,10022=+=y y x dxdy，h 为步长，（1）取步长,1.0=h 计算到2.0=x （保留到小数点后四位）。
解：（1）由改进的欧拉公式⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++),(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 因为,1.0=h 00=y ，22100),(y x y x f += 所以2.0,1.0,0210===x x x=+=),(0001y x hf y y 0，),(),([2110001y x f y x f hy y ++==0.0005=+=),(1112y x hf y y 0.0015)],(),([2|221112.02y x f y x f hy y x ++===0.0030三、证明题（共10分）1、证明：如果 A 是对称正定矩阵，则A 可唯一地写成T LL A =，其中L 是具有正对角元的下三角阵。
法一：因为A 对称正定，A 的所有顺序主子式不为零。
A 有唯一的Doolittle 分解U L A =其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112222223111111311122211u a u a u a u a u a u u u U n n nn 0DU = D 为对角阵，0U 为单位上三角矩阵。
又因为A 是对角正定矩阵T A A DU L ==0=TTL D U 0由分解的唯一性TU L 0=，代入分解式子 T LDL A =又A 对称正定知道n i D D u D u i iii ,,2,0,1111 =>==- 2121221122112211D D u u u u u u u u u D nn nn nn =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=所以TTLL D L D L A ==)(2121，其中21D L 为对角元为正的下三角矩阵。