2018-2019年扬州大学考研试题 644高等数学农
2018年考研数学(一)真题与答案解析(完整版)
2018年考研数学一试题与答案解析（完整版)1.下列函数中不可导的是（）。
A.()sin()f x x x =B.()f x x =C.()cos f x x=D.()f x =【答案】D 【解析】【解析】A 可导：()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导：()()-000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导：()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x--+++→→→→--''=====D 不可导：()()()()()-000-11-11220lim lim 0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''====''≠2.过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为A.0z =与1x y z +-= B.0z =与222x y z +-=一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.C.y x =与1x y z +-=D.y x =与222x y z +-=【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故C 、D 排除，22(2,2,1),(1,0,0)2(1)20(0,1,0)z x y x y x X yY Z x y=+--+-==曲面的法向量为因为平面过，则平面方程为，又因为平面过，故由此，取特殊值；令x=1,则法向量为(2,2,1)-，故B 选项正确。
2018-2019学度江苏扬州高一上年末数学试卷(含解析解析).doc.doc
2018-2019学度江苏扬州高一上年末数学试卷（含解析解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上〕1、〔5分〕tan＝、2、〔5分〕2lg2＋lg25的值等于、3、〔5分〕假设幂函数f〔x〕＝x a的图象过点〔4，2〕，那么f〔9〕＝、4、〔5分〕角α的终边经过点P〔2，m〕〔m》0〕，且cosα＝，那么m＝、5、〔5分〕在用二分法求方程x3﹣2x﹣1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间〔1，2〕内，那么下一步可断定该根所在的区间为、6、〔5分〕某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，那么该扇形面积为cm2、7、〔5分〕假设a＋b＝3，那么代数式a3＋b3＋9ab的值为、8、〔5分〕a＝log5，b＝2，c＝sin1，将a，b，c按从小到大的顺序用不等0.6号“《”连接为、9、〔5分〕将正弦曲线y＝sinx上所有的点向右平移π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍〔纵坐标不变〕，那么所得到的图象的函数解析式y＝、10、〔5分〕函数f〔x〕为偶函数，且f〔x＋2〕＝﹣f〔x〕，当x∈〔0，1〕时，f〔x〕＝〔〕x，那么f〔〕＝、11、〔5分〕f〔x〕＝在【2，＋∞〕上是单调增函数，那么实数a的取值范围为、12、〔5分〕如下图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是边CD的中点，＝，假设•＝﹣4，那么sin∠BAD＝、13、〔5分〕f〔x〕＝，假设对任意θ∈【0，】，不等式f〔cos2θ＋λsinθ﹣〕＋》0恒成立，整数λ的最小值为、14、〔5分〕函数f〔x〕＝ln〔a﹣〕〔a∈R〕、假设关于x的方程ln【〔4﹣a〕x ＋2a﹣5】﹣f〔x〕＝0的解集中恰好有一个元素，那么实数a的取值范围为、【二】解答题：〔本大题共6道题，计90分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕x《2｝，C＝15、〔14分〕全集U＝R，集合A＝｛x｜2≤x《7｝，B＝｛x｜0《log3｛x｜a《x《a＋1｝、A〕∩B；〔1〕求A∪B，〔∁U〔2〕如果A∩C＝∅，求实数a的取值范围、16、〔14分〕：θ为第一象限角，＝〔sin〔θ﹣π〕，1〕，＝〔sin〔﹣θ〕，﹣〕，〔1〕假设∥，求的值；〔2〕假设｜＋｜＝1，求sinθ＋cosθ的值、17、〔14分〕某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q〔万元〕，它们与投入资金m〔万元〕的关系有经验公式P＝m＋65，Q＝76＋4，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元、〔1〕设对乙产品投入资金x万元，求总利润y〔万元〕关于x的函数关系式及其定义域；〔2〕如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？18、〔16分〕函数y＝sin〔ωx＋〕〔ω》0〕、〔1〕假设ω＝，求函数的单调增区间和对称中心；〔2〕函数的图象上有如下图的A，B，C三点，且满足AB⊥BC、①求ω的值；②求函数在x∈【0，2〕上的最大值，并求此时x的值、19、〔16分〕函数f〔x〕＝〔e为自然对数的底数，e＝2.71828…〕、〔1〕证明：函数f〔x〕为奇函数；〔2〕判断并证明函数f〔x〕的单调性，再根据结论确定f〔m2﹣m＋1〕＋f〔﹣〕与0的大小关系；〔3〕是否存在实数k，使得函数f〔x〕在定义域【a，b】上的值域为【ke a，ke b】、假设存在，求出实数k的取值范围；假设不存在，请说明理由、20、〔16分〕设函数f〔x〕＝｜ax﹣x2｜＋2b〔a，b∈R〕、〔1〕当a＝﹣2，b＝﹣时，解方程f〔2x〕＝0；〔2〕当b＝0时，假设不等式f〔x〕≤2x在x∈【0，2】上恒成立，求实数a 的取值范围；〔3〕假设a为常数，且函数f〔x〕在区间【0，2】上存在零点，求实数b的取值范围、2016－2017学年江苏省扬州市高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上〕1、〔5分〕tan＝、【解答】解：tan＝tan〔〕＝tan＝、故答案为：、2、〔5分〕2lg2＋lg25的值等于2、【解答】解：lg25＋2lg2＝2lg5＋2lg2＝2〔lg5＋lg2〕＝2故答案为：2、3、〔5分〕假设幂函数f〔x〕＝x a的图象过点〔4，2〕，那么f〔9〕＝3、【解答】解：∵幂函数f〔x〕＝x a的图象经过点〔4，2〕，∴4a＝2；解得a＝、故f〔x〕＝，那么f〔9〕＝3，故答案为：3、4、〔5分〕角α的终边经过点P〔2，m〕〔m》0〕，且cosα＝，那么m＝1、【解答】解：∵角α的终边经过点P〔2，m〕〔m》0〕，且cosα＝＝，那么m＝1，故答案为：1、5、〔5分〕在用二分法求方程x3﹣2x﹣1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间〔1，2〕内，那么下一步可断定该根所在的区间为〔，2〕、【解答】解：令f〔x〕＝x3﹣2x﹣1，那么f〔1〕＝﹣2《0，f〔2〕＝3》0，f〔〕＝﹣《0，由f〔〕f〔2〕《0知根所在区间为〔，2〕、故答案为：〔，2〕、6、〔5分〕某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，那么该扇形面积为1cm2、【解答】解：设该扇形的半径为r，根据题意，有l＝αr＋2r4＝2r＋2rr＝1S扇形＝αr2＝×2×12＝1、故答案为：1、7、〔5分〕假设a＋b＝3，那么代数式a3＋b3＋9ab的值为27、【解答】解：∵a＋b＝3，∴代数式a3＋b3＋9ab＝〔a＋b〕〔a2＋b2﹣ab〕＋9ab＝3〔a2＋b2﹣ab〕＋9ab＝3【〔a＋b〕2﹣3ab】＋9ab＝3〔9﹣3ab〕＋9ab＝27、故答案为：27、8、〔5分〕a＝log0.65，b＝2，c＝sin1，将a，b，c按从小到大的顺序用不等号“《”连接为a《c《b、【解答】解：∵a＝log0.65《log0.61＝0，b＝2》20＝1，0《c＝sin1《1，∴a《c《B、故答案为：a《c《B、9、〔5分〕将正弦曲线y＝sinx上所有的点向右平移π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍〔纵坐标不变〕，那么所得到的图象的函数解析式y＝、【解答】解：由题意，将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π个单位长度，利用左加右减，可所函数图象的解析式为y＝sin〔x﹣π〕，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍〔纵坐标不变〕，利用x的系数变为原来的3倍进行横向变换，可得图象的函数解析式是、故答案为：、10、〔5分〕函数f〔x〕为偶函数，且f〔x＋2〕＝﹣f〔x〕，当x∈〔0，1〕时，f〔x〕＝〔〕x，那么f〔〕＝、【解答】解：∵当x∈〔0，1〕时，f〔x〕＝〔〕x，∴f〔〕＝f〔﹣〕＝，又∵f〔x＋2〕＝﹣f〔x〕，∴f〔x＋4〕＝﹣f〔x＋2〕＝f〔x〕，f〔〕＝f〔﹣〕＝，故答案为：11、〔5分〕f〔x〕＝在【2，＋∞〕上是单调增函数，那么实数a的取值范围为【，＋∞〕、【解答】解：f〔x〕＝＝ax＋＋1，函数的导数f′〔x〕＝a﹣，∵f〔x〕在【2，＋∞〕上是单调增函数，∴f′〔x〕＝a﹣≥0在【2，＋∞〕上恒成立，即a≥，∵≤，∴a≥，即实数a的取值范围是【，＋∞〕，故答案为：【，＋∞〕12、〔5分〕如下图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是边CD的中点，＝，假设•＝﹣4，那么sin∠BAD＝、【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是边CD的中点，＝，∴＝＋＝＋，＝﹣＝﹣，∴•＝〔＋〕•〔﹣〕＝﹣﹣•＝﹣﹣｜｜•｜｜cos∠BAD＝6﹣8﹣8cos∠BAD＝﹣4，∴cos∠BAD＝，∴sin∠BAD＝，故答案为：13、〔5分〕f〔x〕＝，假设对任意θ∈【0，】，不等式f〔cos2θ＋λsinθ﹣〕＋》0恒成立，整数λ的最小值为1、【解答】解：∵f〔x〕＝，令f〔x〕，解得：x，假设对任意θ∈【0，】，不等式f〔cos2θ＋λsinθ﹣〕＋》0恒成立，那么对任意θ∈【0，】，cos2θ＋λsinθ﹣恒成立，即1﹣sin2θ＋λsinθ﹣恒成立，当θ＝0时，不等式恒成立，当θ≠0时，1﹣sin2θ＋λsinθ﹣可化为：λ》＝sinθ﹣，当θ＝时，sinθ﹣取最大值，故λ》，故整数λ的最小值为1，故答案为：1、14、〔5分〕函数f〔x〕＝ln〔a﹣〕〔a∈R〕、假设关于x的方程ln【〔4﹣a〕x＋2a﹣5】﹣f〔x〕＝0的解集中恰好有一个元素，那么实数a的取值范围为〔1，2】∪｛3，4｝、【解答】解：由ln【〔4﹣a〕x＋2a﹣5】﹣f〔x〕＝0，得ln【〔4﹣a〕x＋2a﹣5】＝ln〔a﹣〕，即a﹣＝〔4﹣a〕x＋2a﹣5》0，①那么〔a﹣4〕x2﹣〔a﹣5〕x﹣1＝0，即〔x﹣1〕【〔a﹣4〕x＋1】＝0，②，当a＝4时，方程②的解为x＝1，代入①，成立；当a＝3时，方程②的解为x＝1，代入①，成立；当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝1或x＝﹣，假设x＝1是方程①的解，那么a﹣＝a﹣1》0，即a》1，假设x＝﹣是方程①的解，那么a﹣＝2a﹣4》0，即a》2，那么要使方程①有且仅有一个解，那么1《a≤2、综上，关于x的方程ln【〔4﹣a〕x＋2a﹣5】﹣f〔x〕＝0的解集中恰好有一个元素，那么a的取值范围是1《a≤2，或a＝3或a＝4，故答案为：〔1，2】∪｛3，4｝、【二】解答题：〔本大题共6道题，计90分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕x《2｝，C＝15、〔14分〕全集U＝R，集合A＝｛x｜2≤x《7｝，B＝｛x｜0《log3｛x｜a《x《a＋1｝、〔1〕求A∪B，〔∁A〕∩B；U〔2〕如果A∩C＝∅，求实数a的取值范围、x《2，得1《x《9∴B＝〔1，9〕，【解答】解：〔1〕由0《log3∵A＝｛x｜2≤x《7｝＝【2，7〕，∴A∪B＝〔1，9〕A＝〔﹣∞，2〕∪【7，＋∞〕，∁U∴〔∁A〕∩B＝〔1，2〕∪【7，9〕U〔2〕C＝｛x｜a《x《a＋1｝＝〔a，a＋1〕∵A∩C＝∅，∴a＋1≤2或a≥7，解得：a≤1或a≥716、〔14分〕：θ为第一象限角，＝〔sin〔θ﹣π〕，1〕，＝〔sin〔﹣θ〕，﹣〕，〔1〕假设∥，求的值；〔2〕假设｜＋｜＝1，求sinθ＋cosθ的值、【解答】解：〔1〕∵＝〔sin〔θ﹣π〕，1〕，＝〔sin〔﹣θ〕，﹣〕，∥，∴﹣sin〔θ﹣π〕＝sin〔﹣θ〕，可得：sinθ＝cosθ又∵θ为第一象限角，可得：tanθ＝2，∴＝＝5、〔2〕∵｜＋｜＝1，＋＝〔cosθ﹣sinθ，〕，∴〔cosθ﹣sinθ〕2＋〔〕2＝1，解得：2sinθcosθ＝，∴sinθ＋cosθ＝＝、17、〔14分〕某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q〔万元〕，它们与投入资金m〔万元〕的关系有经验公式P＝m＋65，Q＝76＋4，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元、〔1〕设对乙产品投入资金x万元，求总利润y〔万元〕关于x的函数关系式及其定义域；〔2〕如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？【解答】解：〔1〕根据题意，对乙种商品投资x〔万元〕，对甲种商品投资〔150﹣x〕〔万元〕〔25≤x≤125〕、所以y＝〔150﹣x〕＋65＋76＋4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔4分〕其定义域为【25，125】﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔6分〕〔2〕令t＝，因为x∈【25，125】，所以t∈【5，5】，有y＝﹣＋203﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔12分〕所以当t＝6时，即x＝36时，ymax＝203﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔14分〕答：当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为203万元、﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔16分〕18、〔16分〕函数y＝sin〔ωx＋〕〔ω》0〕、〔1〕假设ω＝，求函数的单调增区间和对称中心；〔2〕函数的图象上有如下图的A，B，C三点，且满足AB⊥BC、①求ω的值；②求函数在x∈【0，2〕上的最大值，并求此时x的值、【解答】解：〔1〕ω＝时，函数y＝sin〔x＋〕，令﹣＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得：﹣3＋8k≤x≤1＋8k，k∈Z，∴函数y的单调增区间为【﹣3＋8k，1＋8k】，〔k∈Z〕；…〔4分〕令x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣1＋4k，k∈Z，∴函数y的对称中心为〔﹣1＋4k，0〕，〔k∈Z〕；…〔8分〕〔2〕①由图知：点B是函数图象的最高点，设B〔xB，〕，设函数最小正周期为T，那么A〔xB ﹣，0〕，C〔xB＋，0〕；∴＝〔，〕，＝〔，﹣〕，…〔10分〕由⊥，得•＝T2﹣3＝0，解得：T＝4，∴ω＝＝；…〔12分〕②由x∈【0，2】得x＋∈【，】，∴sin〔x＋〕∈【﹣，1】，∴函数y在【0，2】上的最大值为，…〔14分〕此时x＋＝＋2kπ，k∈Z，那么x＝4k，k∈Z；又x∈【0，2】，∴x＝、…〔16分〕19、〔16分〕函数f〔x〕＝〔e为自然对数的底数，e＝2.71828…〕、〔1〕证明：函数f〔x〕为奇函数；〔2〕判断并证明函数f〔x〕的单调性，再根据结论确定f〔m2﹣m＋1〕＋f〔﹣〕与0的大小关系；〔3〕是否存在实数k，使得函数f〔x〕在定义域【a，b】上的值域为【ke a，ke b】、假设存在，求出实数k的取值范围；假设不存在，请说明理由、【解答】解：〔1〕证明：函数f〔x〕定义域为R，…〔1分〕对于任意的x∈R，都有f〔﹣x〕＝＝＝﹣f〔x〕，所以函数f〔x〕为奇函数…〔4分〕〔2〕f〔x〕＝在R上为增函数，理由如下：∵f′〔x〕＝》0恒成立，∴f〔x〕＝在R上为增函数，…〔7分〕∵∴f〔m2﹣m＋1〕≥f〔﹣〕＝﹣f〔〕，∴f〔m2﹣m＋1〕＋f〔﹣〕≥0…〔10分〕〔3〕∵f〔x〕为R上的增函数且函数f〔x〕在定义域【a，b】上的值域为【ke a，ke b】、∴k》0且，＝ke x在R上有两个不等实根；…〔12分〕令t＝e x，t》0且单调增，问题即为方程kt2＋〔k﹣1〕t＋1＝0在〔0，＋∞〕上有两个不等实根，设h〔t〕＝kt2＋〔k﹣1〕t＋1，那么，解得：0《k《3﹣2…〔16分〕20、〔16分〕设函数f〔x〕＝｜ax﹣x2｜＋2b〔a，b∈R〕、〔1〕当a＝﹣2，b＝﹣时，解方程f〔2x〕＝0；〔2〕当b＝0时，假设不等式f〔x〕≤2x在x∈【0，2】上恒成立，求实数a 的取值范围；〔3〕假设a为常数，且函数f〔x〕在区间【0，2】上存在零点，求实数b的取值范围、【解答】解：〔1〕当a＝﹣2，b＝﹣时，f〔x〕＝｜x2＋2x｜﹣15，所以方程即为：｜2x〔2x＋2〕｜＝15解得：2x＝3或2x＝﹣5〔舍〕，所以x＝；…〔3分〕〔2〕当b＝0时，假设不等式：x｜a﹣x｜≤2x在x∈【0，2】上恒成立；当x＝0时，不等式恒成立，那么a∈R；…〔5分〕当0《x≤2时，那么｜a﹣x｜≤2，在【0，22】上恒成立，即﹣2≤x﹣a≤2在〔0，2】上恒成立，因为y＝x﹣a在〔0，2】上单调增，ymax ＝2﹣a，ymin＝﹣a，那么，解得：0≤a≤2；那么实数a的取值范围为【0.2】；…〔8分〕〔3〕函数f〔x〕在【0，2】上存在零点，即方程x｜a﹣x｜＝﹣2b在【0，2】上有解；设h〔x〕＝当a≤0时，那么h〔x〕＝x2﹣ax，x∈【0，2】，且h〔x〕在【0，2】上单调增，所以h〔x〕min ＝h〔0〕＝0，h〔x〕max＝h〔2〕＝4﹣2a，那么当0≤﹣2b≤4﹣2a时，原方程有解，那么a﹣2≤b≤0；…〔10分〕当a》0时，h〔x〕＝，h〔x〕在【0，】上单调增，在【】上单调减，在【a，＋∞〕上单调增；①当，即a≥4时，h〔x〕min ＝h〔0〕＝0，h〔x〕max＝h〔2〕＝4﹣2a，那么当那么当0≤﹣2b≤2a﹣4时，原方程有解，那么2﹣a≤b≤0；②当，即2≤a《4时，h〔x〕min ＝h〔0〕＝0，h〔x〕max＝h〔〕＝，那么当0≤﹣2b≤时，原方程有解，那么﹣；③当0《a《2时，h〔x〕min ＝h〔0〕＝0，h〔x〕max＝max｛h〔2〕，h〔〕＝max｛4﹣2a，｝当，即当﹣4＋4≤a《2时，h〔x〕max＝，那么当0≤﹣2b≤时，原方程有解，那么；当，即那么0时，h〔x〕max＝4﹣2a，那么当0≤﹣2b≤4﹣2a时，原方程有解，那么a﹣2≤b≤0；…〔14分〕综上，当0《a《﹣4＋4时，实数b的取值范围为【a﹣2，0】；当﹣4＋4≤a《4时，实数b的取值范围为【】；当a≥4时，实数b的取值范围为【2﹣a，0】；。
江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试题高三数学(WORD版含答案)
扬州市2018—2019学年度第一学期期末检测试题高三数学2019．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0}，N ＝1()22x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝ ．2．若i 是虚数单位，且复数z 满足(1i)2z +=，则z ＝ ．3．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ．4．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ．5．根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为 ．6．甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3．两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a ，乙抽出卡片的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为 ． 7．若直线l 1：240x y -+=与l 2：430mx y -+=平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为 ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则1a ＝ ．9．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ．10．已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则CP CQ⋅＝ ．11．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为．12．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝ ．13．已知函数4()3f x a x a x=++-+有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为 ．14．若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln ey x z z -=，则xy的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-，R x ∈． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求方程()0f x =在(0，π]内的所有解． 16．（本题满分14分）如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，点E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．（1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）BB 1⊥AC ．17．（本题满分14分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，左右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4．P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C ．（1）若点C 的横坐标为﹣1，求P 点的坐标；（2）直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围．19．（本题满分16分）已知函数()(3)xf x x e =-，()(R)g x x a a =+∈．（e 是自然对数的底数，e≈2.718…）（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()()y f x g x =在区间[1，2]上单调递增，求a 的取值范围； （3）若函数()()()f x g x h x x+=在区间(0，+∞)上既存在极大值又存在极小值，并且()h x 的极大值小于整数b ，求b 的最小值．20．（本题满分16分）记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ．（1）若数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求n B ；（2）若数列{}n b 是等差数列，试问数列{}n a 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；（3）若2100nn b n =-，求n A ．第一部分（附加题）21．（本题满分10分）已知矩阵A ＝ab ⎡⎢⎣ 12⎤⎥⎦，满足A 13⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝68⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值． 22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=--⎩（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为)4πρθ=+，求直线l 被圆C 截得的弦长．23．（本题满分10分）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，又AE ⊥平面ABD ．（1）若AE DE 与直线BC 所成角； （2）若二面角A —BE —D 的大小为3π，求AE 的长度．24．（本题满分10分）已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程； （2）已知定点M(12-，0)，N(12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．参 考 答 案2019．1第 一 部 分1． 234．10 5． 6．78．1 910．0 11．1213．或 14． 15．解： (4)分 （1）由，解得：∴函数的单调增区间为 …………8分（2）由得，解得：，即 ∵ ∴或． …………14分 16．证明：（1）∵三棱柱 ∴四边形，四边形均为平行四边形∵分别是侧面，对角线的交点 ∴分别是，的中点 ∴ ………………4分 ∵平面，平面∴平面 ………………8分 （2）∵四边形为矩形 ∴∵平面平面，平面，平面平面∴平面 ………………12分 ∵平面 ∴………………14分17．解：（1）在中，由，得，又………………2分 ∵∴{2}-2-499m ≤1161-2e 22()cos cos sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x x π=+-+=+222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x [,],36k k k Z ππππ-++∈()0f x =2sin(2)06x π+=26x k ππ+=,122k x k Z ππ=-+∈(0,]x π∈512x π=1112x π=111ABC A B C -11AA B B 11BB C C ,E F 11AA B B 11BB C C ,E F 1AB 1CB //EF AC EF ⊄ABC AC ⊂ABC //EF ABC 11AA B B 1BB AB ⊥11AA B B ⊥ABC 1BB ⊂11ABB A 11ABB A ABC AB =1BB ⊥ABC AC ⊂ABC 1BB ⊥AC ABD △2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅214BD θ=-cos =θ-BD =(,)2πθπ∈sin θ=由，解得：， ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴ ………………5分在中，，解得：………………7分 （2）由（1）得：， ，此时，且 (10)分当时，四边形的面积最大，即，此时∴，即…………13分 答：当cos =θ-小路百米；草坪的面积最大时，小路的百米．…………14分18．解：由题意得，解得，∴2223b a c =-=∴椭圆M的方程是且(2,0),(2,0)A B - …………3分（1）方法一：设，，∵1l PA ⊥ ∴直线AC 的方程为， 同理：直线BC 的方程为． sin sin BD AB BAD ADB =∠∠3sin ADB =∠3sin 5ADB ∠=BCD △D 3cos cos()sin 25ADC ADB ADB π∠=∠+=-∠=-ACD △2222232cos 2()375AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=+--=AC =214BD θ=-2113sin 7sin 22ABCD ABDBCDS S SBD θθθ=+=⨯+⨯=+-1572cos )7sin()2θθθφ=+-=+-sin φφ=(0,)2πφ∈2πθφ-=ABCD 2πθφ=+sin θθ==21414(26BD θ=-=-=BD =AC ABCD BD 1224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩12c a =⎧⎨=⎩22143x y +=00(,)P x y 002PA y k x =+02(2)x y x y +=-+002(2)x y x y -=--联立方程，解得，又∵， ∴点C 的坐标为， (6)分∵点的横坐标为1- ∴，又∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………8分（2）设(,)Q Q Q x y ∵AC AQ λ= ∴002(2)43Q Q x x y y λλ-+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：002243Q Qx x y y λλλ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点Q 在椭圆M 上 ∴22001214(2)()1433x y λλλ-+-+-= 又22003(1)4x y =- 整理得：200736(1)721000x x λλ--+-=，解得：02x =或036507x λ-= …………14分∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴3650027λ-<<，解得：2516189λ<< …………16分方法二：（1）设的斜率为，， ∵P 为椭圆上第一象限内一点∴0k << ∵ ∴的斜率为． 联立方程，解得，即2226812(,)4343k k P k k -++ ∵，∴，则AC 的方程为 ∵，∴，则BC 的方程为． 由，得，即2228616(,)4343k k C k k --++ …………6分∵点的横坐标为1- ∴，解得：00002(2)2(2)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩02004x x x y y=-⎧⎪-⎨=⎪⎩22000004444433y x y y y ---==-004(,)3x y --C 01x =032y =P AP k 00(,)P x y M 2000200032244AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--BP 34k-(2)3(2)4y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩22268431243k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1l PA ⊥1AC k k =-1(2)y x k =-+2l PB ⊥43BCk k =4(2)3y k x =-1(2)4(2)3y x k y k x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩22286431643k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩C 2286143k k -=-+12k =±∵0k <<∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………8分 （2）设(,)Q Q Q x y ，(,)C C C x y ，又直线AC 的方程为：联立方程221(2)143y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222(34)1616120k x x k +++-= ∴221612234Q k x k --⋅=+，解得：226834Q k x k -=+ ∵AC AQλ= ∴222222222862216(34)743168212(43)129234C Q k x k k k k x k k k k λ-++++====+-+++++， …………14分∵0k <<∴ …………16分 19．解：（1），，令，解得，列表：∴当时，函数取得极大值，无极小值 …………3分 （2）由，得∵0x e >，令，∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立 ∴，解得3a ≥-． …………8分（3）， 令，∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根， 即在上有两个不等实根． …………10分∵12k =P 1(2)y x k=-+2516(,)189λ∈()(3)x f x x e =-'()(2)x f x x e =-'()0f x =2x =2x =()f x 2(2)f e =()()(3)()xy f x g x x x a e ==-+22'[(3)32(3)][(1)23]x x y e x a x a x a e x a x a =-+-+-+-=-+-++2()(1)23m x x a x a =-+-++()()y f x g x =[1,2][1,2]x ∈()0m x ≥(1)0(2)0m m ≥⎧⎨≥⎩()()(3)()x f x g x x e x a h x x x +-++==22(33)'()x e x x a h x x -+--=2()(33)x r x e x x a =-+--()h x (0,)+∞'()0h x =(0,)+∞2()(33)0x r x e x x a =-+--=(0,)+∞1212,()x x x x <22'()(3323)()(1)x x x r x e x x x e x x x x e =-+--+=-+=-∴当时，，单调递增，当时，，单调递减 则，∴，解得，∴∵()r x 在(0,)+∞上连续且3(0)(1)0,(1)()02r r r r ⋅<⋅<∴()0r x =在(0,1)和3(1,)2上各有一个实根∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值1()f x ，在区间上存在极大值2()f x ．∴，且 ，…………13分令()(2),'()(1)x x H x e x H x e x =-=-，当时，'()0H x <，()H x 单调递减∵，∴23()()(1)2h h x h <<，即3221()(1,1)2h x e e ∈++，则32131142e e <+<+<∵()h x 的极大值小于整数b ，∴满足题意的整数的最小值为． …………16分20．解：（1）∵数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，则，∴ (4)分（2）方法（一）若数列是等差数列，设其公差为 ∵11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-根据的定义，有以下结论：，，且两个不等式中至少有一个取等号， …………6分①若，则必有，∴，即对，都有 ∴，， ∴，即为等差数列；(0,1)x ∈'()0r x >()r x (1,)x ∈+∞'()0r x <()r x 101x <<(0)0(1)0r r <⎧⎨>⎩3a e -<<-3322333()30244r e a e =--<-+<()h x (0,)+∞3a e -<<-(0,1)3(1,)222222(3)()x x e x a h x x -++=2222222(33)'()0x e x x ah x x -+--==2222(33)x a e x x =-+-22222222222(3)(33)()(2)1x x x x e x e x x h x e x x -++-+-==-+(1,)x ∈+∞23(1,)2x ∈b 4{}n a 2n n a =2n m =2n n n M a ==122122n n n b -+==+1212112n n n B n n -=+⨯=-+-{}n b 'd 11'22n n n n M M m m d ----=+=,n n M m 1n n M M -≥1n n m m -≤'0d >1n n M M ->11n n n n a M M a --=>≥2,*n n N ≥∈1n n a a ->n n M a =1n m a =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-1111'222n n n n a a a a a a d --++-=-==12'n n a a d --={}n a②当时，则必有，所以，即对，都有∴，，所以，即为等差数列； ③当， ∵，中必有一个为0，∴根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即，，∴为常数数列，所以为等差数列，综上，数列也一定是等差数列． …………10分 方法（二）若数列是等差数列，设通项公式为，则．对于数列：，增加时，有下列情况：①若时，则，此时，∴对恒成立 则，，∴即为常数，则数列是等差数列． …………7分 ②若时，则， ∴ ∵数列是等差数列且 ∴， ∴ ∴，即，即为常数数列 ∴数列是公差为0的等差数列． ③若时，则，此时，∴对恒成立 则，，∴即为常数，则数列是等差数'0d <1n n m m -<11n n n n a m m a --=<≤2,n n N ≥∈1n n a a -<1n M a =n n m a =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-1111'222nn nn a a a aaad --++-=-==12'n n a a d --={}n a '0d =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-11022n n n n M M m m ----=+=1n n M M --1n n m m --1n n M M -=1n n m m -={}n a {}n a {}n a {}n b (,n b p n q p q R =+∈1n n b b p +-={}n a 12,,,n a a a 1n a +1n n a M +>111,n n n n M a m m +++==11n n n n a M M a ++=>≥1n n a a +>*n N ∈n nM a =11n n m m a +==111111122222n n n n n n nnn n M m M m a a a a a a b b p +++++++++--=-=-==12n n a a p +-={}n a 1n nn m a M +≤≤11,n n n n M M m m ++==1n n b b +={}n b n b p n q =+0p =n b q =111111,n n nnnn M M M Ma q m m mm a q+-+-============1n q a q +≤≤n a q ={}n a {}n a 1n n a m +<11,n n n n M M m +++==11n n n n a m m a ++=<≤1n n a a +<*n N ∈11n n M M a +==n nm a =111111122222n n n n n nnnn n M m M m a a a a a ab b p +++++++++--=-=-==12n n a a p +-={}n a列． …………10分 （3）∵， ∴当时，，即，当时，，即．以下证明：，当7n <时，若1n n n m a M +≤≤，则1n n M M +=，1n n m m +=，所以1n n b b +=，不合题意； 若1n n a M +>，则11n n M a ++=，1n n m m +=，则1122n n n n M m M m ++++<，得：1n n b b +<，与1n n b b +>矛盾，不合题意；∴1n n n a m a +<≤，即；同理可证：，即时，．①当时，， ∴ ∴， ∵ ∴∴ …………13分②当时，，且∴，则n M 为1a 或n a ．若n M 为1a ，则n b 为常数，与题意不符∴ ∴ ∴ ∴9797892(12)(8)(7)249001442001046(7)122n n n n n A A a a a n --+-=++++=---+-⨯+--2221009466640n n n +=-+-∴2222210024,7*21009466640,8n n n n n n A n N n n n ++⎧---≤⎪=∈⎨-+-≥⎪⎩，． …………16分第二部分（加试部分）21．（B ）解：∵ ∴ …………5分 11[2100(1)][2100]2100n n n n n b b n n ++-=-+--=-7n <10n n b b +-<1267b b b b >>>>7n ≥10n n b b +->789b b b <<<1267a a a a >>>>789a a a <<<1267a a a a >>>>789a a a <<<7,*n n N ≥∈1n n a a +<7n ≤1n M a =n n m a =12nn a a b +=12n n a b a =-1198a b ==-2100n n b n =-1220098n n a n +=-+224(12)(1)20098210024122n n n n n A n n n +-+=-⨯+=----7n >1267a a a a >>>>789a a a <<<8722007981046n m a ==-⨯+=-n n M a =72n n a a b +=17222001046n n n a b a n +=-=-+1113632368a a A b b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦32a b =⎧⎨=⎩矩阵A 的特征多项式为231()(3)(2)254022f λλλλλλλ--==---=-+=--， 令，解得矩阵的特征值为或． …………10分 21．（C ）解：将直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩化为方程：240x y ++= …………2分圆C的方程为)4πρθ=+化为直角坐标系方程：24(cos sin )ρρθθ=-， 即22440x y x y +-+=，22(2)(2)8x y -++=，其圆心(2,2)-，半径为…………5分∴圆心C 到直线l的距离为d ==∴直线被圆截得的弦长为． …………10分 22．解：∵正方形边长为2 ∴，， 又⊥平面∴以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 作，垂足为∵平面⊥平面，平面，平面平面 ∴平面∵ ∴点为的中点，…………2分 （1）∵∴，，，，∴ ∴ ∴ ∴直线与直线所成角为； …………5分 （2）设的长度为，则∵AD ⊥平面ABE∴平面ABE 的一个法向量为1(0,1,0)n = …………6分 设平面的法向量为，又∴ ∴，解得：，取，则∴平面的一个法向量为 …………8分 ∴121212cos ,||||n n n n n n a ⋅<>===()0f λ=A 14l C ABCD AB AD ⊥CB CD ⊥2AB AD CD BC ====AE ABD A ,,AB AD AE ,,x y z CF BD ⊥F ABD CBD CF ⊂CBD ABD CBD BD =CF ⊥ABD 2CB CD ==F BD CF AE =E (2,0,0)B (0,2,0)D (1,1,0)F C (0,2,2),(1,1DE BC =-=-0DE BC ⋅=DE BC ⊥DE BC 2πAE (0)a a >(0,0,)E a BDE 2111(,,)n x y z =(2,0,),(2,2,0)BE a BD =-=-22,n BE n BD ⊥⊥21121120220n BE x az n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩11112a x z x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩12z =11x y a ==BDE 2(,,2)n a a =∵二面角A BE D --的大小为12=，解得：a ∴的长度为 …………10分23．解：（1）设点，则 ∴∵ ∴，即 …………2分 （2）设，直线与轴交点为，内切圆与的切点为．设直线的方程为：，则联立方程，得： ∴且120x x << ∴ ∴直线的方程为：，与方程联立得：，化简得：解得：或 ∵ ∴轴 设的内切圆圆心为，则在轴上且……5分 方法（一）∴2211()|2|22MBD S x y =⋅+⋅△，且MBD △的周长为：22||y∴2221112||]()|2|222MBD S y r x y =⋅=⋅+⋅△∴221()||x y r +=== ……8分方法（二）设，直线的方程为：，其中 直线的方程为：，即，且点H 与点O 在直线AB 的同侧3πAE (,)P x y (2,)Q y -(,),(2,)OP x y OQ y ==-0OP OQ ⋅=220OP OQ x y ⋅=-+=22y x =112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y BD x E AB T AM 1()2y k x =+21()22y k x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2222(2)04k k x k x +-+=1214x x =1212x x <<AN 111()122y y x x =--22y x =222221111111(+22)024y x y x x x y --++=22111112(2)022x x x x x -++=114x x =1x x =32114x x x ==BD x ⊥MBD △HHx HT AB ⊥2(,0)H x r -BD 2x x =2222y x =AM 221()22y y x x =++22211()022y x x y y -++=∴22222211|()|()x r y y x r y y r -+-+=，解得：2221x y y r +==…8分方法（三）∵ ∴，解得：…8分令，则∴在上单调增，则，即的取值范围为．……10分MTHMEB △△MH HT MB BE=221||x rr y +-=2222111()||x y x x r +++===212t x =+1t >r =(1,)+∞r r 1,)+∞。
扬州大学《离散数学》2018-2019第一学期期末试卷
扬州大学《离散数学》2018-2019第一学期期末试卷注意事项：1. 答卷前请将密封线内的项目填写清楚。
重修学生需明确标注重修。
2. 所有试题不得在试卷上作答，均填写到答题纸上，考试结束后将答题纸和试卷一并交回。
一、选择题（每小题3 分，本题共24分）[ ] 1. 下列语句中不是命题的是（ ）A 、《西游记》的作者是曹雪芹B 、这里风景太美了！C 、1+1≠2D 、生命起源于海洋 [ ] 2. 取个体域为自然数集，则下列公式中为真命题的是（ ） A 、(+0)∃∀=x y x y B 、(0)∀∃+=x y x y C 、(0)∃∃+=x y x y D 、(0)∀∀+=x y x y [ ] 3.下列关系中能构成函数的是（ ）A 、{,|,N,}=<>∈=F x y x y x yB 、{,|,Z,}=<>∈=F x y x y x yC 、{,|,Q,}=<>∈=F x y x y y xD 、{,|,N,}=<>∈=F x y x y y x [ ] 4. 设集合{1,2,3}=A 中有下列关系，则其中具有传递性的是（ ）A 、{1,2,2,1}<><>B 、{1,2,2,2}<><>C 、{1,2,2,3}<><>D 、{1,2,3,1}<><>[ ] 5. 设S 为实数集，×与＋分别为普通乘法与加法运算，则S （ ）A 、对×运算封闭，对＋运算封闭B 、对×运算封闭，对＋运算不封闭C 、对×从运算不封闭，对＋运算封闭D 、对×运算与＋运算均不封闭 [ ]6. 在正实数集上定义的下列运算中，不满足交换律的只有（ ）A 、=+a b a bB 、=a b abC 、+=a ba b eD 、=a b a[ ]7. 关于偏序集A 的上确界，最大元，下列说法正确的是（ ）A 、上确界一定存在B 、有上界则上确界一定存在C 、最大元一定是上确界D 、上确界一定是最大元 [ ]8. S 为集合，()P S 为S 的幂集，对于代数系统(),<⊕>P S ，下列说法正确的是（ ）A 、有幺元，无零元B 、无幺元，有零元C 、无幺元，无零元D 、有幺元，有零元二、填空题（每小题2分，本题共 16分）[ ]1. ⌝∧∧⌝p q r 的成真赋值为 。
（完整版）2018考研数学二真题
（完整版）2018考研数学二真题2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）2120lim()1,x x x e ax bx →++=若则（） (A)112a b ==-， (B)1,12a b =-=- (C)1,12a b == (D)1,12a b =-= （2）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x = (B) ()f x x =(C) ()cos f x x = (D) ()f x =（3）2,11,0(),(),10,()()1,0,0ax x x f x g x x x f x g x R x x b x -≤-?-<<+??≥??-≥?设函数若在上连续，则（）(A)3,1a b == (B) 3,2a b ==(C) 3,1a b =-= (D) 3,2a b =-=（4）10()[0,1]()0,f x f x dx =?设函数在上二阶可导，且则（）(A)1()0,()02f x f '<<当时 (B) 1()0,()02f x f ''<<当时(C) 1()0,()02f x f '><当时 (D) 1()0,()02f x f ''><当时（5）设()(2222222211,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππππππ---++===++则（）(A)M N K >> (B)M K N >>(C)K M N >> (D)K N M >>（6）22021210(1)(1)x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=（）(A)53 (B) 56 (C) 73 (D) 76（7）下列矩阵中与矩阵110011001??相似的为（）(A) 111011001-??(B) 101011001-??(C) 111010001-?? ? ? ???(D) 101010001-?? ? ? ???（8）()(),,A B n r X X X Y 设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（） (A) ()(),r A AB r A = (B) ()(),r A BA r A =(C) ()()(){},max ,r A B r A r B =(D) ()(),T T r A B r A B =二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-= （10）22ln y x x =+曲线在其拐点处的切线方程是（11）25143dx x x +∞=-+? （12）33cos 4sin x t t y tπ?==?=?曲线，在对应点处的曲率为（13）()1,ln ,1(2,)2z z z x y z e xy x -?=+==?设函数由方程确定则（14）12311232233233,,,,2,2,,A A A A ααααααααααααα=++=+=-+设为阶矩阵是线性无关的向量组若则A 的实特征值为 .三、解答题：15~23小题，共94分。
2019年数学考研试题及答案
2019年数学考研试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间(-∞, -3]上是减函数，则下列哪个选项是正确的？A. f(-1) < f(-2)B. f(-2) < f(-3)C. f(-3) < f(-4)D. f(-4) < f(-5)答案：B3. 以下哪个数不是有理数？A. √2B. πC. 1/3D. 0.333...答案：A4. 设集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B5. 如果一个数列是等差数列，且a3 = 7，a4 = 9，则该数列的公差d 等于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + y = 0的解？A. y = e^(-x)B. y = e^xC. y = e^(2x)D. y = e^(-2x)答案：A7. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=k)等于：A. λ^k / k!B. e^(-λ)λ^k / k!C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. k * λ^(k-1) / e^λ答案：B8. 以下哪个矩阵是可逆的？A. | 1 2 || 3 4 |B. | 1 0 || 0 1 |C. | 2 0 || 0 2 |D. | 0 1 || 1 0 |答案：B9. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫[a, b] f(x) dx = 5，则∫[a, b] f(x)^2 dx的值：A. 一定等于5B. 一定小于5C. 一定大于5D. 无法确定答案：D10. 以下哪个选项是傅里叶级数的特例？A. 泰勒级数B. 洛朗级数C. 傅里叶变换D. 拉普拉斯变换答案：A11. 设椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a > b > 0，若椭圆经过点(2a, 0)，则椭圆的离心率e等于：A. 0B. 1C. √2/2D. 2/3答案：A12. 以下哪个选项是线性方程组的解集？A. {(1, 2, 3)}B. {(x, y, z) | x + y + z = 1}C. R^3D. 空集答案：B二、填空题（每题4分，共24分）13. 若函数f(x) = 2x - 3，则f(5) = _______。
考研数学历年真题2017年2018年2019年真题和答案(数学二)
目录2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (1)2018年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (8)2019年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (15)2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定的括号内。
）1.若函数10,(), 0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩0x =在处连续，则（ ） A.12ab =B.12ab =-C.0ab =D.2ab =2.设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1,0,f f f f x ''=-==->且（）则（ ）. A.1-1()0f x dx >⎰B.1-1()0f x dx <⎰C.11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ D.110()()f x dx f x dx -<⎰⎰3.设数列{}n x 收敛，则（ ）.A.n n limsin 0lim 0n n x x →∞→∞==当时，B.(lim 0lim 0n n n n x x →∞→∞==当时，C.()2lim 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时，D.()lim sin 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时， 4.微分方程()24+81cos2xy y y e x '''-=+的特解可设为*y =（）.A.()22cos2sin 2xx Ae e B x C x ++ B.()22cos2sin 2xx Axee B x C x ++ C.()22cos2sin 2xx Aexe B x C x ++D.()22cos2sin 2xx Axexe B x C x ++5.设(),f x y 具有一阶偏导数，且任意的(),x y 都有()(),,0,0,f x y f x y x y∂∂><∂∂则（ ）.A.()()0,01,1f f >B.()()0,01,1f f <C.()()0,11,0f f >D.()()0,11,0f f <6.甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)，图中，实践表示甲的速度曲线()1v v t =（单位m/s ）,虚线表示乙的速度曲线 ()2,v v t = 三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追甲的时刻为0t (单位:s),则（ ）.A.010t =B.01520t <<C.025t =D.025t >7.设A 为3阶矩阵, ()123,,P ααα= 为可逆矩阵，使得1000010,002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则()123A ααα++=（ ）.A.12+ααB.13+2ααC.23+ααD.13+2αα8.已知矩阵200210100021020020001001002A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则（ ）.A. A C B C 与相似，与相似B. A C B C 与相似，与不相似C. A C B C 与不相似，与相似D. A C B C 与不相似，与不相似二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分。
2018考研数学三试题及答案解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.(1)下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)()sin f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】（D）【解析】根据导数的定义：（A）sin limlim0,x x x x x x →→== 可导；（B）0,x x →→==可导；（C）1cos 12limlim0,x x xx x→→--==可导；（D）000122limlim,x x x xx x→→→-==极限不存在，故选D。
(2)()[]()10,10,f x f x dx =⎰设函数在上二阶可导，且则（）(A)1()0,()02f x f '<<当时(B)1()0,()02f x f ''<<当时(C)1()0,()02f x f '><当时(D)1()0,(02f x f ''><当时【答案】（D ）【解析】2111()11()()()()(,2222!22f f x f f x x x ξξ'''=+-+-介于，之间，故1111220000120111()11()10=()()(()((2222!222!2()11()0()0,()0..2!22f f f x dx f f x dx x dx f x dxf f x x dx f D ξξξ'''''=+-+-=+-''''>⇒-><⎰⎰⎰⎰⎰由于所以，应选(3)设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xxxxx e x N dx dx Mee πππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ-->==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。