论文二重极限计算方法
二元函数重极限的计算方法
二元函数重极限的计算方法一、定义二元函数重极限是指，当自变量趋近于某个值的时候，函数值趋近于另一个值的极限。
用数学符号表示为:lim (x→a) [f(x, g(x))] = l其中，a 是某个实数，f(x, g(x)) 是一个二元函数，l 是一个实数。
二、性质1. 重极限具有有序性：如果 lim (x→a) [f(x, g(x))] = l 且lim (x→a) [g(x)] = b，那么当 x 趋近于 a 的时候，f(x, b) 的极限也等于 l。
2. 重极限具有连续性：如果 lim (x→a) [f(x, g(x))] = l 且g(x) 在 x=a 处可导，那么 f(x, g(x)) 在 x=a 处也存在导数，且导数等于 l。
三、计算方法1. 代入法将 g(x) 的极限代入到 f(x, g(x)) 中，得到 f(x, b),然后再求 f(x, b) 在 x 趋近于 a 时的极限，即为所求的重极限。
例如，求 f(x, g(x)) = x^2 + g(x) 在 x 趋近于 0 时的重极限。
先求 g(x) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 g(0) = 1。
然后将 g(0) 代入到 f(x, g(x)) 中，得到 f(x, 1) = x^2 + 1。
最后求 f(x, 1) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 l = 1。
2. 替换法将 g(x) 替换为它的极限值 b，然后求 f(x, b) 在 x 趋近于 a 时的极限，即为所求的重极限。
例如，求 f(x, g(x)) = x^2 + g(x) 在 x 趋近于 0 时的重极限。
先求 g(x) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 g(0) = 1。
然后将 g(x) 替换为 1，得到 f(x, 1) = x^2 + 1。
最后求 f(x, 1) 在 x 趋近于0 时的极限，得到 l = 1。
3. 级数法将 f(x, g(x)) 展开成级数形式，然后利用级数的性质求解重极限。
论文二重极限计算方法
论文二重极限计算方法二重极限是函数在二元自变量趋于特定点$(a,b)$的过程中的极限。
在求解二重极限时，可以使用两种常用方法：路径法和极限法。
下面将详述这两种方法。
1.路径法路径法是通过沿着不同路径逼近极限点，观察函数极限的行为。
常见的路径有$x=a$和$y=b$，以及通过以$(a,b)$为中心的射线等。
路径法的基本思想是，如果函数在不同路径下极限都存在，并且极限值相等，那么二重极限存在，并且等于这个共同的极限值。
举例说明，假设要求函数$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。
可以沿着不同路径逼近这个点。
对于路径$x=0$，有$f(0, y)=0$；对于路径$y=0$，有$f(x, 0)=0$。
所以根据路径法，得到$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$。
2.极限法极限法通过使用不等式，将二重极限的计算转化为一重极限的计算。
具体步骤如下：(1)假设要求函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限。
(2)令$x=a+h$，$y=b+k$，其中$h$和$k$表示趋于0的变量。
(3)将$f(x,y)$转化为一个关于$h$和$k$的函数$F(h,k)$。
(4) 计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。
举例说明，求$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。
可以将$x$和$y$表示为$x = h$和$y = k$。
代入函数$f(x,y)$得到$F(h, k) = \frac{h^2k}{h^2+k^2}$。
接下来计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。
由于这是一重极限，可以使用一元极限的计算方法，比如夹逼定理或洛必达法则。
以上就是求解二重极限的路径法和极限法的详细介绍。
学术界对于二重极限的计算方法还有很多探索，包括利用极坐标、球坐标等多种数学工具。
二重极限的计算方法总结
239科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION学 术 论 坛DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.08.239二重极限的计算方法总结①张敏(郑州商学院 河南巩义 451200)摘 要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。
一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。
该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。
关键词：二元函数 二重极限 连续中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2019)03(b)-0239-02①作者简介：张敏（1988—），女，汉族，河南郑州人，研究生，助教，研究方向：数学教育，计算数学。
1 预备知识1.1 二元函数的定义定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点(,)x y ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数Z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在点(,)x y 处的函数值记为f (,)x y ，即Z =f (,)x y ，其中(,)x y 称为自变量，Z 称为因变量。
点集D 称为该函数的定义域，数集{|(,),(,)}z z f x y x y D =∈称为该函数的值域。
1.2 二重极限的定义定义2 设函数Z =f (,)x y 的定义域为D ,000(,)P x y 是xOy 平面内的定点。
若存在常数A ，0ε∀>，0δ∃>，当点0(,)(,)P x y D U P δ∈时，恒有|()||(,)|f P A f x y A ε−=−<，则称常数A为二元函数f (,)x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限（也称为二重极限），记作00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A→=或00(,)((,)(,))f x y A x y x y →→，也可记作0lim ()P P f P A →=或0()()f P A P P →→。
二重极限的几种求法
点 p 0 ( x 0 , y 0 ) 时 , 二元函数 f ( p ) 的极限都存在 , 但 不相等 , 则
( x , y) →( x , y ) 0 0
理 1 得出
lim ( x + y ) ln ( x 2 + y 2 ) = 0
x→ 0 y→ 0
lim
f ( x , y ) 不存在 . x 4 + y4 不存在 x + y
不存在 综上所述 , 二重极限与一元函数的极限从定义 到性质 , 再到证明的方式 , 有很多类似之处 , 但也有 很明显的不同之处 . 对于一元函数而言 , 自变量的变 化只有左右两种方式 , 而二元函数可以有无数种沿 曲线趋于某点的方式 , 这是二者最大的差别 . 把握住 这一点 , 再在具体的题上具体分析 , 就能找到解决问 题的方法 .
作者简介 : 张雅平 ( 1967 - ) ,男 ,河北高阳人 ,学士 ,大同职业技术学院数理系讲师 . 研究方向 : 高等数学教学与研究 .
雁 北 师 范 学 院 学 报 2005 年 66
1
例 4 求 lim+ ( 1 + x y ) sin xy
x→ 0 y→ 0
+
解:
x→ 0
( | x | +| y | ) 2 x 2 + y2 Φ = | x | +| y | | x | +| y | | x | +| y | ,
0 Φ
lim+ ( 1 + x y ) sin xy =
y→ 0
) | r > 0 , cos3θ+ sin3θ ≠0 ,θ ∈[ 0 , D = { ( r ,θ
计算二重极限的几种方法00
lim f ( x , y ) 一定不存在。 x →x
0 y →y 0
例 8 求 lim
x - y + x + y 。 2 2 x →0 x + y y →0
2
2
3
3
解 由于 y ≠0 时恒有 lim f ( x , y ) = y - 1= Υ( y ) , 故 x →0
li m lim f ( x , y ) = - 1
(x , y →
li m ) (0,
x y
0) 2
2
2 2
x + y
= 0
4 利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量
定理 4 若 (
x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
f ( x , y ) = 0, 而 g ( x , y ) 于 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有界, 则
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
f (x , y ) = A ,
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
g (x , y ) = B
则 ( ( (
y →∞
x , y ) → (x 0 , y 0 ) x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim lim lim
定理 3 若于点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有 h ( x , y ) ≤f ( x , y ) ≤g ( x , y ) , 且
x →x 0 y →y 0
li m h ( x , y ) = lim g ( x , y ) = A
x →x 0 y →y 0 x →x 0 y →y 0
第二类重要极限的简易算法
第二类重要极限的简易算法作者：孙明岩来源：《教育教学论坛·上旬》2012年第08期摘要：两个重要极限的计算问题是极限这一章的重点和难点，本文通过证明推导出关于第二类重要极限计算的一种简易算法。
关键词：第二类重要极限；系数；指数中图分类号：O13；G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0053-02一、第二类重要极限及其常规算法第二类重要极限是高等数学、微积分极限这部分内容的难点之一，学生在计算时很容易出错。
第二类重要极限的公式形式有两种：■（1+■）x=e，■（1+x）■=e。
对于第二类重要极限计算题可以用换元法来做。
例1 求■（1+■）x解令u=■，当x→∞时，u→0，于是有■（1+■）x=■（1+u）■=[■（1+u）■]2=e2。
例2 求■（1+2x）■解令u=2x，当x→0时，u→0，于是有■（1+2x）■=■（1+2x）■=[■（1+u）■]2=e2第二类重要极限的推广型：x→x0，g（x）→0，■（1+■）g(x)=e（参见[1]）。
第二类重要极限的一些题目不换元，也可以直接计算：例3 求■（1-■）2x+1解■（1-■）2x+1=■（1-■）2x（1-■）=■（1-■）2x■（1-■）=■[（1-■）■]■■（1-■）=e■·1=e■二、第二类极限简易算法定理1：若a≠0，c≠0，则■（1+■）■=e■。
证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。
定理2：■（1+■）■=e■证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。
这类极限计算值里底数都是e，计算这类的极限值关键是计算e的指数。
根据上述证明的两个定理，我们可以得出一个重要的结论：推论1：第二类重要极限■（1+■）■极限值中的指数为x与■的系数乘积。
证明：易见■的系数为■，x的系数为■，根据定理1，■（1+■）■=e■，e的指数为■，恰为x与■的系数乘积。
用极坐标求二重极限的一点注记
用极坐标求二重极限的一点注记极坐标，是指一种以极轴和极角为基础的坐标系统，它利用极角代表点的位置，而极轴的长度表示这个点的距离，从而可以从极坐标中得出该点在极坐标坐标系中的位置。
极坐标的运用范围非常广泛，几何学中的所有概念在采用极坐标系的时候都可以简化，在物理学中，极坐标系可以用来表示一些复杂的图形，如圆锥、椭圆和双曲线。
极坐标还可以用来表示连续函数，而且可以用来求解和处理多种极限问题，其中一种极限问题叫做二重极限。
一般情况下，二重极限式表示为：lim(x->α,y->β)f(x,y)其中f(x,y)表示一般的函数，α和β表示当x和y分别趋近于α和β之后，函数f(x,y)的值。
如果我们想要用极坐标来求解这样一个二重极限，那么我们必须先将其转换成极坐标来求解。
首先，我们定义二重极限式为：lim(r->,->)f(r,θ)其中，r是极轴，θ是极角，α和β分别表示当r和θ分别趋近于α和β之后，函数f(r,θ)的值。
我们可以用以下的公式将二重极限的形式给转换成普通坐标的形式：lim(r->α,θ->β)f(r,θ)=lim(x->αcosβ,y->αsinβ)f(x,y)即：lim(r->α,θ->β)f(r,θ)=lim(x->αcosβ,y->αsinβ)f(x,y)注意：以上公式定义的二重极限是在极坐标系中求解的，它不是在普通坐标系中求解的。
我们再来看一个具体的例子，假设我们的函数定义为f(r,θ)=rcosθ，那么我们可以将它转换成普通坐标的形式：f(r,θ)=rcosθ=xcosy，我们可以将其写成以下的形式：lim(r->α,θ->β)f(r,θ)=lim(x->αcosβ,y->αsinβ)f(x,y)=lim(x->αcosβ,y->αsinβ)xcosy那么，我们可以将上述式子带入f(x,y)中，根据极限定义，我们就可以求得：lim(x->αcosβ,y->αsinβ)f(x,y)=αcosβcos(αsinβ) 所以，用极坐标求解一个二重极限的话，首先要将其转换成普通坐标的形式：lim(r->α,θ->β)f(r,θ)=lim(x->αcosβ,y->αsinβ)f(x,y)然后，我们可以将该函数带入，再按照极限的定义来求解。
论文二重极限计算方法
师学院本科毕业论文题目：二重极限的计算方法学生：王伟学院：数学科学学院专业：数学与应用数学班级：应数一班指导教师：国明老师二〇一四年四月摘要函数极限是高等数学中非常重要的容。
关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。
二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性AbstractThe limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist.keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity目录序言 (1)1二重极限的计算方法小结 (2)1.1利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (2)1.2由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)1.3采用对数法求极限 (3)1.4利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)1.5等价无穷小代换 (4)1.6利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)1.7多元函数收敛判别方法 (4)1.8变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)1.9极坐标代换法 (6)1.10用多元函数收敛判别的方法 (6)1.11利用连续性求极限 (6)1.12利用洛必达法则求极限 (7)1.13利用单调有界准则求极限 (7)1.14利用导数的定义求极限 (7)1.15变量代换法 (8)1.16复合函数求极限的方法 (8)1.17无穷大分除法( 或叫抓大头的方法) (8)1.18取倒数方法 (9)1.19利用微分中值定理求极限限求极限 (9)1.20利用定积分的定义及性质求极限 (9)1.21利用麦克劳林展开式求极限 (10)1.22利用级数收敛必要条件求极限 (10)1.23利用幂级数的和函数求极限 (11)1.24利用matlab求二重极限 (11)2、证明二重极限不存在的几种方法 (11)总结 (14)参考文献 (15)致 (16)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
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包头师范学院本科毕业论文题目：二重极限的计算方法****：**学院：数学科学学院专业：数学与应用数学班级：应数一班指导教师：李国明老师二〇一四年四月摘要函数极限是高等数学中非常重要的内容。
关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。
二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性AbstractThe limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist.keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity目录序言 (1)1二重极限的计算方法小结 (2)1.1利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (2)1.2由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)1.3采用对数法求极限 (3)1.4利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)1.5等价无穷小代换 (4)1.6利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)1.7多元函数收敛判别方法 (4)1.8变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)1.9极坐标代换法 (6)1.10用多元函数收敛判别的方法 (6)1.11利用连续性求极限 (6)1.12利用洛必达法则求极限 (7)1.13利用单调有界准则求极限 (7)1.14利用导数的定义求极限 (7)1.15变量代换法 (8)1.16复合函数求极限的方法 (8)1.17无穷大分除法( 或叫抓大头的方法) (8)1.18取倒数方法 (9)1.19利用微分中值定理求极限限求极限 (9)1.20利用定积分的定义及性质求极限 (9)1.21利用麦克劳林展开式求极限 (10)1.22利用级数收敛必要条件求极限 (10)1.23利用幂级数的和函数求极限 (11)1.24利用matlab求二重极限 (11)2、证明二重极限不存在的几种方法 (11)总结 (14)参考文献 (15)致谢 (16)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
1、二重极限的计算方法小结1.1 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
例1 、讨论223),(yx yx y x f +=，在点(0,0)的极限。
解： 令mx y = 01lim )1(lim lim 2202402230=+=+=+→→→→→mm x m mx y x y x x mx y x mx y x 应为此路径为特殊路径，故不能说明.0lim 22300=+→→y x y x y x 可以猜测值为0。
下面再利用定义法证明：0>∀ε，取εδ2=当δ<-+-<22)0()0(0y x 有ε2222<+≤y x x由于232232120x xy y x yx y x =≤-+ 即有ε<≤+222321x y x y x 故.0lim 22300=+→→y x yx y x 注意 （1）ε的任意性（2）δ一般随而变化（3）若函数以A 为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+ε，A-ε）。
1.2 由累次极限猜想极限值再加以验证先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证例2 、 设)0(1sin)(),(222222≠+++=y x yx y x y x f 。
求),(lim 00y x f y x →→ 解： 0),(lim lim 00=→→y x f y x 可以猜测有极限值为0. 事实上对任意的)0,0(),(≠y x有222222221sin)(0),(y x y x yx y x y x f +≤+≤++=-， 0>∀ε 取2εδ=， 当δ<x ，δ<y ，)0,0(),(≠y x 时，就有ε<-++01sin)(2222yx y x ，即有0),(lim 00=→→y x f y x 1.3 采用对数法求极限利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。
或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。
例3 、求xyy x xy sin 100)1(lim +++→→解：xyxy xyxy y x xyxyy x xyy x xy exy exy )1ln(lim )1ln(lim)1(lim sin 001sin 100sin 100+=+=+++++++→→→→→→因为 1sin lim00=++→→xyxyy x 而且1ln )1ln(lim 100==+++→→e xy xy y x 所以 e xy xyy x =+++→→sin 100)1(lim1.4 利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→1)1(lim 11lim 1sin lim0=→xxx 类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。
通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之例4 、求（1）)(120)1(lim y x x y x x +→→+ （2）x xya y x sin lim0→→解：（1）因为e x xx =+→10)1(lim ，211lim20=+→→y x y x 所以211120)(120)1(lim )1(lim e x x yx xy x y x x y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++→→+→→（2） 由于0,sin sin ≠•=y y xyxyx xy , 又因为)0,(1sin sin lim00≠===→→→x t xy t tlin xyxy t a y x所以a y lin t tlin x xy ay t a y x ==→→→→sin sin lim001.5 等价无穷小代换利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限例5 、求yx y x y x ++→→)sin(lim 330解：因为,0,0→→y x 故有033→+y x所以)sin(33y x +等价于33y x +故原式为0)(lim lim )sin(lim 220033003300=+-=++=++→→→→→→y xy x yx y x y x y x y x y x y x注 无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。
利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”1.6 利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。
例6 、求 ()()()()2222,32323lim -+---→→y x y x y x解： 因为()()()()()()()()()32323lim2323lim 222,32222,3--+---=-+---→→→→x y x y x y x y x y x y x 而()()()()21232322≤-+---y x y x 为有界变量又 ()03lim2,3=-→→x y x 故有 原式=01.7 多元函数收敛判别方法当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。
例7 、求2200limx y x y yx →→++解：由)(2220x yx yx yx y yx +≤≤=++++ 而()00,0x y x y +→→→ ，故可知 22lim0x y x yy x →→+=+1.8 变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。
1、讨论当0,0→→y x ，二元函数),(y x f 的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有0→t 从而求得结果。
例8 、求 22220,0)1ln(lim yx y x y x +++→→ 解；令,22μ=+y x 则当0,0→→y x 时 0→μ，于是1)1ln(lim )1ln(lim 022220,0=+=+++→→→μμμyx y x y x 2、讨论当()常数0,≠→∞→a a y x 时，二元函数),(y x f 的极限，作变量代换，相应有∞→t ，利用已知一元函数的极限公式。