空间分析考试内容整理
空间分析建模与原理
第一章概论
地理实体具有三个基本特征：
1.属性特征
2.空间特征
3.时间特征
空间数据的类型：
1.属性数据
2.几何数据
3.关系数据
第二章数学基础拉格朗日插值基多项式
拉格朗日差值公式为：
n=1时，拉格朗日差值公式为
L1（x ）=y 0l 0+y 1l 1（x ）
即 L1（x ）=y 0 (x-x 1) / (x 0-x 1) + y1 (x-x 0) / (x 1-x 0)
埃尔米特插值要求插值函数与f （x ）在各结点处得函数值相等，而且还要求插值函数与f （x ）在各个结点处得导数值相等。
)
()()()])((21[)]
(~
)([)(2
2
012x l x x y x l x x x l y x h y x h y x H j n
j j j j n j j j j j n
j j j j j n ∑∑∑===+-'+-'-='+=
1:,01:01:,01:01:,01:01:,01:1443322114433221=++=-+=--=+-=+=-=-=+y x B B y x B B y x B B y x B B x A A y A A x A A y A A
），，（会求），（且使）应包含因子
，（方程，可知、、及）
（）（上，由式
在线段及上，、在线段及、、、）。由于，（先求3211
111414332j i ij j i 414143323243211y x ),1)(1(x)-1(y x 0y x ??????δ??=++-==y x y B B A A A A B A B B B B A A A A B B A A A 4
)
1)(1)(1(),(i y y x x y y x x y x i i i i --++=
?
数值微分
)
(3
)34(21)()
(6)(21)()
(3)43(21)()2()
(2
)(1)()(2)(1)(12
21022
2012
2100011010ξξξξξf h y y y h x f f h y y h x f f h y y y h x f f h
y y h x f f h
y y h x f n
a b h '''++-=''''-+-=''''+-+-='''+-='''--=
'-=
三点公式）两点公式（
图论基础
一个有p 个顶点和q 条边的图成为（p ，q ）图。
所有顶点和边都属于图G 的图成为G 的子图。含有G 的所有顶点的子图称为G 的生成子图。
设u=v 0e 1v 1e 2…v n-1e n v n 是路径，若路径u 的边e 1，e 2…，e n 均不同，则u 称为链。又若它的所有顶点都不同，它称为路。一条闭的路称为回路（或称为圈）。
（定理2.1）一个连通的无回路的图称为树。每个支都是树的分离图称为林。
设G是一个连通的（p，q）图，T是G的一棵生成树，由定理2.1知，树枝数为p-1，因而弦数为q-p+1。如果G是有k个支的分离的（p，q）图，则G的生成林有p-k个树枝，有q-p+k个弦。
避回路法是：任取图G的一条边e1，再取一条边e2，e1和e2不构成回路；然后再取一条边e3，e3和e1、e2不构成回路。如此继续下去，最后得到的不含回路的连通生成子图就是G的一棵生成树。
破回路发是：在G中任取一回路，去掉其中的一条边，然后取一条回路，再去掉这个回路中的一条边。如此继续下去，最后得到的连通的无回路的生成子图就是G的一棵生成树。
第三章叠置分析模型
叠置分析是在统一空间坐标系下，将同一地区的两个或两个以上地理要去图层进行叠置，以产生空间区域的多重属性特征的分析方法。
叠置分析根据数据结构的不同，通常分为栅格数据叠置分析和矢量数据叠置分析。
空间逻辑运算
（1）幂等律
A A A A A A =?=?,
（2）交换律
A B B A A B B A ?=??=?,
（3）结合律
C
B A
C B A C
B A
C B A ??=????=??)()()()(
（4）分配律
)
()()()
()()(C A B A C B A C A B A C B A ???=?????=??
（5）Demorgan 律
)
()()()
()()(C A B A C B A C A B A C B A -?-=?--?-=?-
第四章 缓冲区分析模型
缓冲区是指围绕地理要素一定宽度的区域。
空间目标主要是点目标、线目标、面目标以及由点、线、面目标组成的复杂目标。因此，空间目标的缓冲区分析包括点目标缓冲区、线目标缓冲区、面目标缓冲区和复杂目标缓冲区。
角平分线法的基本步骤是：
（1）确定线状目标左右侧的缓冲距离d l 和d r ；
（2）沿线状目标轴线前进方向，依次计算轴线转折各点的角平分线，线段
起始点和终止点处的角平分线取为起始线段或终止线段的垂线；
（3）在各点的角平分线的延长线上分别以左右侧缓冲距离d l 和d r ，确定各点的左右缓冲点位置；
（4）将左右缓冲点顺序相连，即构成该线状目标的左右缓冲边界的基本部分；
（5）在线状目标的起始端点和终止端点处，以（d l +d r ）为直径、以角平分线（即垂线）为直径所在位置分别向外作外接半圆；
（6）将外接半圆分别与左右缓冲边界的基本部分相连，即形成该线状目标的缓冲区。
第五章 统计分析模型
统计分析是通过某种统计方法对数据表示、分类、分析和处理，揭示数据所反映的自然规律，进而获得解决问题的方法。
1、算术平均值
n
x
x n
i i
∑-=
1
2、几何平均值
n
x
x x x x x x x n
i i
n
n n n g ∑-≤
=1
2121ΛΛ
3、算数加权平均值
∑∑--=
n
i i
n
i i
i w w
x
w x 1
1
4、中位数
其中位数是其中间的数据。若n 为偶数，则中位数是其中间的两个数。 5、众数
众数就是出现次数最多的数。 6、极值和最值
最大最小值是相对与全局而言的。局部围的最值称为极值。 7、极差、四分位极差 极差 R=最大值-最小值 四分位极差
QR=Q 3-Q 1
其中，Q 3为第三个四分位数（75%的点）；Q 1为第一个四分位数（25%的点）。
1、算术平均中心
n
y y n x x i i //∑∑==
2、加权平均中心
∑∑∑∑==)
(/)()(/)(i i i w i i i w P W P W y y P W P W x x
3、中位中心
∑
==-+-n
i m i m i y y x x 1
22min )()(
表示的点与其他所有点的距离之和最小
4、极值中心
min
)()(max )()(max )()(max 222222=-+--+->-+-i e i e i e i e i i y y x x y y x x y y x x 或
（x e ，y e ）为极值中心。
在点群中设置一个点位，使该点到点群中的所有点都不至过远，因此极值中心倾向于外围远离中心的点
聚类分析的基本思想是首先对要进行分类的个体之间定义一种能够反映各个个体之间亲疏程度的量，然后依这些量为依据，将一些相似程度较大的个体聚为一类，将另一类相似程度较大的个体聚为另一类，直到把所有的类别聚合起来。
聚类分析的方法： （1）聚合法 （2）分解法 （3）判别法
1、点间的距离 （1）欧氏距离
2
1
122)(),(??????-=∑=p
i i i y x Y X d
（2）绝对值距离
∑=-=p
i i i y x Y X d 1
1),(
（3）切比雪夫距离
i i p
i y x Y X d -=≤≤∞1max ),(
2、类间的距离
（1）最短距离：直观上表示两个类中最近两点的距离
{}),(min
,Y X d D q
p G Y G X pq ∈∈=
（2）最长距离：直观上表示两个类中最远两点的距离
{}),(m ax
,Y X d D q
p G Y G X pq ∈∈=
（3）重心距离：表示两个类中重心两点的距离
),(q p pq Y X d D =
（4）类平均距离：两两样本点距离的平均
∑∑∈∈=
q
j p i G Y j
i
G X q
p pq Y X d n n D ),(1
（5）离差平方和距离：同类间的样本之间离散平方和较小，而类与类间的离散平方和较大。
是
中的样本和离差平方和的重心，则在分别表示类别中的样本个数表示个样本，中的第表示维向量，用、类个样本分成t t t t t )i (k 21n i )(k G G X G G m X G G G n t t ?∑=--=t
n i t i t T t i t t X X X X S 1)()()
()(
整个类的平方和是
∑∑==--=k
t n i t i t T t i t t
X X X X S 11)()()()(
系统聚类法
1、最短距离法
{}),(min
,Y X d D q
p G Y G X pq ∈∈=
（1）规定样本之间的距离，计算样本两两之间的距离d ij （i ，j=1,2，…，n ），得对称阵D （0）。开始每个样本自成一类，因此D pq =d pq
（2）选择D （0）中最小非零元素，设为D （0），并将G u ，G v 合并，记为G r ={G u ，G v }。
（3）计算新类G r 与其他类G k （k ≠u ，v ）的距离。
}
,min{)}},({min )},,({min min{)},({min ,,,vk uk G Y G X G Y G X G Y G X rk D D Y X d Y X d Y X d D k
v k
u k
r ===∈∈∈∈∈∈并将D （0）的第u 、v 行及第u 、v 列删去，再将D rk 放在第u 行第v 列，得到的矩阵记为D （1）。
（4）对D （1）重复上面的步骤（2）和（3），直到所有样本成一类为止。 2、最长距离法
最长距离法即将类与类之间的距离用最长距离表示。
{}),(m ax
,Y X d D q
p G Y G X pq ∈∈=
最长距离法与最短距离法并类方法一致，只是类与类之间的距离不同。设某一步将G u ，G v 合并，记为G r ={G u ，G v }。则G r 与其他类G k 的距离
}
,max{)}},({max )},,({max max{)},({max ,,,vk uk G Y G X G Y G X G Y G X rk D D Y X d Y X d Y X d D k
v k
u k
r ===∈∈∈∈∈∈ 再找距离最小的合并，直到所有样本合并为一类。 3、重心法
),(q p pq Y X d D = 有如下递推公式
2
2222
uv r
v u kv r v ku r u kr D n n n D n n D n n D -+=
4、类平均法
递推公式2
22kv r
v ku r u kr
D n n D n n D += 5、中间距离法
递推公式2
222
4
12121pq qk pk kr D D D D -+=
6、离差平方和法
递推公式)
-(-2
121v u v u 2uv r v 2
222
X X X X D n n n D n n n D n n n n D n n n n D T
u uv
k
r k kv k r k v ku k r k u kr ）（，则有
，初始时，====+-+++++=
7、系统聚类参数表
8、聚类图
聚类图是根据聚类结果生成的一个图系，它将每一步并类的结果用图形的形式表示出来。
第六章 网络分析模型
最短路径的Dijktra 算法 （1）初始化
设置源s 点：d s =0，p s =?； 其他点：d s =∞，p s =？
将起源点s 标号，记k=s ，其他点尚未处理
（2）距离计算。计算从所有标记的点k 到其他直接连接的未标记的点j 的距离l kj ，并令
D j =min{d j ,d k +l kj }
（3）选取下一点.从上述结点集中，选取d j 最小所对应的点为最短路径中的下一连接点i ，并做标记。
（4）找到点i 的前一点。从已标记的点中找到直接连接到点i 的前一点j*，并令i=j*作为前一点。
（5）标记点i 。如果所有点已标记，则算法完全退出，否则，记k=i ，转到（2）再继续，直到所有点都已标记。
Floyd 算法步骤：