与一元二次方程的面积问题含答案
一元二次方程的应用(面积问题)
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 4 1 30 20 0
此方程无解. 所以用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
例4：如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方 形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折 成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘 米.求截去正方形的边长。
练习：如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直), 把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积 为570平方米,问:道路宽为多少米?
例2：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积 是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如 何设计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题 央的矩形两边之比也为9:7
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩 形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与 左右边衬的宽度之比也为9:7
解：设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm
3 依题意得 (27 18 x)(21 14 x) 27 21 4 63 3 解方程得 x 4
左右边衬的宽度为:
21 7 x 2
21 7
3 3 2 42 21 3 1.4 2 4
例2：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积 是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如 何设计四周边衬的宽度?
变式：一块长方形铁皮的长是宽的两倍，四个角各截 去一个正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的无盖长 方体容器，求这块铁皮的长和宽. 2xcm 高 长 xcm 宽 那么制成的长方体容器底面的宽是 (x-10)cm, ； 长是(2x-10)cm. .
一元二次方程面积问题
一元二次方程面积问题例1：将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．:解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，18x+15x-x2=18×15×13，解得x1=3，x2=30（不合题意，舍去）；答：图①中小路的宽为3米．（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得，πy2=18×15×13，解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）；答：扇形的半径约为5.4米．点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系例2：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米?分析：（1）设路的宽为x m，那么道路所在的面积（40x＋26x×2－2x2）㎡，于是六块草坪的面积为[40×26－（40x＋26x×2－2x2）]㎡，根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6（2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为x m，则草坪的总面积为（40－2x）（26－x）㎡所列方程为（40－2x）（26－x）=144×6解法1：设道路的宽为x m，则根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6整理，得x2－46x＋88=0，解得x1=44（舍去），x2=2解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40－2x）（26－x）=144×6 解得，x1=44（舍去），x2=2 答：略练习1、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少。
一元二次方程应用 面积问题 专项训练
一元二次方程应用面积问题专项训练命题人：潘五洲1. 【题文】要建如图所示两个长方形养鸡场, 养鸡场总面积为150m 2 ，，为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙（无限长）,另外的边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m。
且在BC边上开一扇长为2米的门GH，在EF边上开一扇长为2米的门MN。
若设鸡场的AB长为x米。
则所列方程为（）A．x（35－2x）=150 B．x（31－3x）=150C．x（39－2x）=150 D．x（39－3x）=1502. 【题文】如图，在长为100m，宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m 2 ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为（）A．100×80－100x－80x=7644B．（100－x）（80－x）＋x 2 ="7644"C．（100－x）（80－x）="7644"D．100x＋80x－x 2 =76443. 在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm 2 ，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )A．x 2 ＋130x－1 400＝0 B．x 2 ＋65x－350＝0C．x 2 －130x－1 400＝0 D．x 2 －65x－350＝04. 利用墙为一边，用13 m的铁丝网作另三边，围成一个面积为20 m 2 的长方形养鸡场，则这个养鸡场的长和宽各是( )A．5 m,4 m B．8 m,2.5 m C．10 m,2 m D．5 m,4 m或8 m,2.5 m5. 如图，在宽为20 m、长为30 m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551 m 2 ，则修建的路宽应为( )A．1 m B．1.5 m C．2 m D．2.5 m6. 从一块正方形的铁片上剪掉2 cm宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2 ，则原来铁片的面积为( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27. 利用墙为一边，用13 m的铁丝网作另三边，围成一个面积为20 m 2 的长方形养鸡场，这个鸡场的长和宽各是( )A.5 m，4 mB.8 m，2.5 mC.10 m，2 mD.5 m，4 m或8 m，2.5 m8. 用长 4米的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为平方米,若设它的一边长为x 米,根据题意列出关于x 的方程为（）A. x （4－x ）＝B.2 x （2－x ）＝C. x （4－2 x ）＝D. x （2－x ）＝9. 在一幅长为80 cm ,宽为50 cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400 cm 2 ,设金色纸边的宽为xcm ,那么x 满足的方程是（）A. x 2 ＋130 x －1400＝0B. x 2 ＋65 x －350＝0C. x 2 －130 x －1400＝0D. x 2 －65 x －350＝010. 利用墙的一边，再用13 m的铁丝网围三边，围成一个面积为20 m 2 的长方形，设长为x m，可得方程( )A.x(13-x)=20B.x =20C.x(13- x)=20D.x =20分卷II二、解答题11. 【题文】如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m 2 ，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）．12. 【题文】一块矩形菜地的面积是120m 2 ，如果它的长减少2cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m．13. 【题文】把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍，设小圆形场地的半径为x米，若要求出未知数x，则应列出方程（列出方程，不要求解方程）。
一元二次方程方程专项训练 ---------面积、道路问题
一元二次方程方程专项训练---------面积、道路问题M1．一块长方形菜地的面积是150m2，如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽？M2．如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？M3．如图，小华要为一个长3分米，宽2分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框，要求边框的四条边宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等，小华添加的边框的宽度应是多少分米？M4．要在一个8cm×12cm的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边．并且要使银边的面积和照片的面积相等．那么银边的宽应该是多少？M5．在西安市争创全国教育强市的宏伟目标指引下，高新一中初中新校区在今年如期建成．在校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．M6．某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为32m的栅栏围成（如图所示）．如果墙长16m，满足条件的花园面积能达到120m2吗？若能，求出此时BC的值；若不能，说明理由．M7．如图，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，并且剩下的长方框四周的宽度一样，求这个宽度．M8．某花卉种植基地准备围建一个面积为100平方米的矩形苗圃园园种植玫瑰花，其中一边靠墙，另外三边用29米长的篱笆围成．已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），求这个苗圃园垂直于墙的一边长为多少米？M9．如图，有长为46米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．为了方便出入，在BC上用其他材料建了两扇宽为1米的门，问：当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2？。
用一元二次方程解决几何图形问题含答案
用一元二次方程解决几何图形问题含答案用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1：一般图形的问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米。
设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+10)=900.2.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是64平方米。
3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米，则它的两条直角边长分别为2cm和7cm。
4.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12米。
5.一个矩形周长为56厘米。
1) 当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为18厘米和10厘米。
2) 不能围成面积为200平方厘米的矩形，因为方程y^2-28y+200=0无实数根。
知识点2：边框与甬道问题6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1米，另一边减少了2米，剩余空地的面积为18平方米。
求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x米，则可列方程为(x-1)(x-2)=18.7.在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为22米，因为可列方程为100×80-100x-80x=7644.10.某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则草坪的面积为(32-2x)(20-x)，因此正确的方程是A：(32-2x)(20-x)=570.11.在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1/8，则路宽x应满足的方程是C：(40-2x)(70-3x)=2450.。
一元二次方程(面积问题)
用适当的方法解下列方程
(16 2x)(12 2x) 96
北师大版九年级上册第二章
2.2 一元二次方 程应用（面积）
1、利用解方程的方法解决实际问题， 2、能根据具体问题的实际意义检验结果的
合理性．
分组分享一：合作探究
请同学们先独立思考，然后小组讨论，看哪 个小组设计的方案最多？ 在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一 个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半. (注：只需画出你的设计意图即可）
∵x为扇形的半径不能为负数，
∴x=-5.5不符合题意故舍去
方案如图所示.其中花园是两条互相垂 直的且宽度相等小路. 你能通过解方程,帮她得到小路的宽x吗?
16m
xm
12m xm
分组分享二：新知理解
请同学们先独立思考完成，然后小组交流展示， 看哪个小组理解最好。
14(1 a) a2 1(14 a)
D
18
2
2
2
解得：a1=3，a2=12
本节课我们主要学习了什么知识和方法? 作业:P57第9题;第11题
答 :小路的宽为2m.
12m
新知归纳：方案二
12m xm
小亮的设计方案如图所示.其中花园每个
角上的扇形都相同.你能通过解方程,帮他
得到扇形的半径xm吗?
解 : 设扇形的半径为xm, 根据题意得
16m
x2 16 12 .
2
整理，得 x2 96.
解这个方程, 得
x1
96 5.5
x2
96 5.5
1.课本P44习题2.6第1题、第2题、第3题（在课 本上直接完成）
能力提升
如图，由点P（14,1）,A（a,o）,B（0,a）(a>0) 确定的三角形PAB的面积为18，求a的值。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
与一元二次方程有关的面积 问题(含答案)
1、如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路 (两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大 小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多 宽？ 解：设道路为x米宽，
由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=570， 整理得：x2﹣36x+35=0，
= 所以时，面积有最大值 但墙长15米,所观m能取的最大值为15米 当m=15时，鸡场面积最大为1515=225（平方面） （3）不能
理由：设围成的鸡场长为y米，则宽为 由题意得： 整理得： 解得均大于15米，不合题意 所以，围成的鸡场的面积不能达到250 m （本题也可以将鸡场面积表示出来，用配方法求出最大值是小于250 的，从而判断不能围成鸡场面积是250 m） （4）能， 理由：由（3）得 整理得 解得： 因为墙长为15米 所以y=5 当长为5米时，可围成的鸡场的面积能达到100 m 4、已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90，BC=7cm, AC= 5 cm,.点P从 点A开始沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿BC边向点 C以2cm/s的速度移动. （1）如果Q、P,分别从C、A,同时出发，那么几秒后，△PCQ的面积等 于4 m？ （2）如果Q、P,分别从C、A,同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于 5cm？ （3）在（1）中，△PCQ的面积能否等于7 m?说明理由 解：（1）设x秒后，△PCQ的面积等于4 m，由题意得： ，解得
Q B A C P
所以1秒后，△PCQ的面积等于4 m （2）设，y秒后 PQ的长度等于5cm 解得 所以，2秒后， PQ的长度等于5cm （3）在（1）中，若△PCQ的面积能否等于7 m，则 整理得： 原方程无解
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与一元二次方程有关的面积问题（含答案）
1、如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)
的面积是570平方米，问道路应该多宽
解：设道路为x米宽，?
由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=570，?
整理得：x2﹣36x+35=0，?
解得：x=1，x=35，?
经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去．
答：道路为1m宽．
2、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少解：设纸盒的高是xcm
（40-2x)(25-2x)=450
(2x-55)(x-5)=0
x1=27.5(不符合题意，舍去）,x=5
答：纸盒的高是5cm
3、如图所示（1）小明家要建面积为150m 2的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m 。
若墙的长度为18m ，鸡场的长、分别是多少
（2）如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场最大面积是多少平方米
(3) 如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场的面积能达到250 m 2吗通过计算说明理由。
（4）如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场的面积能达到100 m 2吗通过计算并画草图说明。
（2）设围成的鸡场长为m 米，则宽为
米2
45m
- 则围成的鸡场面积为：245m m -⋅
=m m 2
45
212+- =8
2025
)245(212+--m
所以2
45
=
m 时，面积有最大值 但墙长15米,所观m 能取的最大值为15米
当m=15时，鸡场面积最大为15⨯15=225（平方面）
（3）不能
理由：设围成的鸡场长为y 米，则宽为
米2
45y
- 由题意得：2502
y
-45y =⋅
整理得：0500452=+-y y
解得25y 2021==，y 均大于15米，不合题意
所以，围成的鸡场的面积不能达到250 m 2
（本题也可以将鸡场面积表示出来，用配方法求出最大值是小于250 m 2的，从而判断不能围成鸡场面积是250 m 2）
（4）能，
理由：由（3）得1002
y
-45y =⋅
整理得0200452=+-y y
解得：5y 4021==，y
因为墙长为15米
所以y=5
当长为5米时，可围成的鸡场的面积能达到100 m 2
4、已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=900，BC=7cm, AC= 5 cm,.点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.
（1）如果Q 、P,分别从C 、A,同时出发，那么几秒后，△PCQ 的面积等于4 m 2
（2）如果Q 、P,分别从C 、A,同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm
（3）在（1）中，△PCQ 的面积能否等于7 m 2?说明理由
解：（1）设x 秒后，△PCQ 的面积等于4 m 2，由题意得：
42)5(2
1
=⋅-x x ，解得1,421==x x 所以1秒后，△PCQ 的面积等于4 m 2
（2）设，y 秒后 PQ 的长度等于5cm
解得2y 021==（不合题意，舍去），
y 所以，2秒后， PQ 的长度等于5cm
（3）在（1）中，若△PCQ 的面积能否等于7 m 2，则
72)5(2
1
=⋅-x x 整理得：0752=+-x x ∴原方程无解
∴在（1）中，△PCQ 的面积不能等于7 m 2
5、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
①如果要围成面积为45平方米的花圃，AB 的长是多少米
②能围成面积比45平方米更大的花圃吗如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
Q B A
C
P
6、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。
①要使这两个正方形的面积之和等于17平方厘米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 ②两个正方形的面积之和可能等于12平方厘米吗若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由； ③要使这两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长度应该是多少
（3）由（1）知，两个正方形的面积和为
22)5(x x -+=2
25)25(22+-x
所以，剪成的两段铁丝的长都为10cm 时，两个正方形的面积和最小，最小值为2
25
平方厘米
7、在矩形ABCD 中，AB=6 cm ，BC=12 cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同
时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，问几秒后△积等于8 m 2
PBQ 的面
P
Q
C
B
A D。