全国卷一专用2019年高考理科数学总复习 解三角形
2019年高考试题：正余弦定理解三角形
2019年高考试题训练一：2019年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
设C B A C B sin sin sin )sin (sin 22-=-。
（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若c b a 22=+，求C sin 。
本题解析：（Ⅰ）本题目是边角转化和余弦定理四项式综合的经典题型。
半角转化：方程中每一项都有内角的正弦，每一项中正弦次数相加相等，可以把每一项中的正弦全部转化为对边，保持次数不变。
CC B B C B A C B 2222sin sin sin 2sin sin sin sin )sin (sin +-⇒-=-CB AC B C B A sin sin sin sin sin sin sin sin 2222=-+⇒-=bc a c b =-+⇒222。
根据余弦定理得到：32122cos 222π=⇒==-+=A bc bc bc a c b A 。
（Ⅱ）本题目是边角转化和一个角的正弦等于另外两个角和的正弦综合的经典题型。
边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把每一项中的边全部转化为对角的正弦，保持次数不变。
C B A c b a sin 2sin sin 222=+⇒=+。
C C A C C A C A B sin 21cos 23cos sin cos sin )sin(sin +=+=+=C C C C C sin 23cos 2326sin 2sin 21cos 23232=+⇒=++⨯⇒6sin 3cos 3sin 3cos 36-=⇒=+⇒C C C C 2sin 3cos -=⇒C C 2cos sin 3=-⇒C C 2)6sin(22)cos 6sin sin 6(cos 2=-⇒=-⇒πππC C C 4622)6sin(πππ=-⇒=-⇒C C 或125436πππ=⇒=-C C 或1211π=C 。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
P 20 5 64 16
PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
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7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
2019版 第1部分 专题1 第2讲 解三角形
第2讲解三角形高考统计·定方向(对应学生用书第13页)■核心知识储备·1．正弦定理及其变形在△中，A)＝B)＝C)＝2R(R为△外接圆的半径)．变形：a＝2 A，A＝，a∶b∶c ＝A∶B∶C等．2．余弦定理及其变形在△中，a2＝b2＋c2－2 A；变形：b2＋c2－a2＝2 A，A＝，a2＝(b＋c)2－2(1＋A)．3．三角形面积公式S△＝C＝A＝B．■高考考法示例·【例1】(1)(2019·全国卷Ⅱ)在△中，＝，＝1，＝5，则＝()A．4B．C．D．2(2)在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，B－A＝C，则B＝()A．B．C．D．(3)(2019·全国卷Ⅰ)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2 C( B＋A)＝c.①求C；②若c＝，△的面积为，求△的周长．(1)A(2)A[(1)因为C＝22－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得2＝2＋2－2·C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以＝4，故选A．(2)由B－A＝C及正弦定理可得b2－a2＝，即b2＝a2＋，∵c＝2a，∴a2＋c2－b2＝a2＋4a2－a2－a×2a＝3a2，故B＝＝＝，又∵0＜B＜π，∴B＝B)＝＝.故选A．](3)[解]①2 C( B＋A)＝c，由正弦定理得：2 C( A B＋B A)＝C，即2 C (A＋B)＝C，∵A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，∴(A＋B)＝C＞0，∴2 C＝1，C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝.②由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2·C，7＝a2＋b2－2·，(a＋b)2－3＝7，S＝·C＝＝，∴＝6，∴(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5.∴△周长为a＋b＋c＝5＋.1．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝B，则△为() A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D[由题得A＝B，∴2A＝2B，∴ 2A＝2B，∵0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，2A＝2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B，或A＋B＝，∴△是等腰三角形或直角三角形. 故选D．] 2．(2019·全国卷Ⅰ)在平面四边形中，∠＝90°，∠A＝45°，＝2，＝5.(1)求∠；(2)若＝2，求．[解](1)在△中，由正弦定理得＝.由题设知，45°)＝，所以∠＝.由题设知，∠＜90°，所以∠＝＝.(2)由题设及(1)知，∠＝∠＝.在△中，由余弦定理得2＝2＋2－2···∠＝25＋8－2×5×2×＝25.所以＝5.题型2与三角形有关的最值(范围)问题(对应学生用书第14页)■核心知识储备·1．△中的常见的不等关系(1)内角A，B，C满足：A＋B＋C＝π，0＜A，B，C＜π；(2)三边a，b，c满足：b－c＜a＜b＋c；(3)三角形中大边对大角等．2．函数y＝x(或y＝x)的有界性、单调性、在区间[a，b]上的值域的求法等．3．不等式：a2＋b2≥2，≤等．■高考考法示例·►角度一长度的最值(范围)问题【例2－1】(2019·石家庄一模)在△中，＝2，C＝，则＋的最大值为()A．B．2 C．3 D．4D[由正弦定理，得C)＝B)＝A)＝π6)＝4，又∵A＋B＝，∴＋＝4 B＋4 A＝4 B＋4＝4 B＋4B＋32B))＝2 B＋10 B＝4φ＝3 5)).故当B＋φ＝时，＋的最大值为4.故选D．]【教师备选】(2019·安庆二模)在锐角△中，A＝2B，则的取值范围是()A．(－1,3)B．(1,3)C．(，) D．(1,2)D[＝B)＝B)＝3 B)＝3－42B，因为△是锐角三角形，所以错误!得＜B＜⇒2B∈.所以＝3－42B∈(1,2)．故选D．]►角度二面积的最值(范围)问题【例2－2】在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝C ＋B．(1)求B；(2)若b＝2，求△面积的最大值．[解](1)由题意及正弦定理得A＝C＋B①，又A＝π－(B＋C)，故A ＝(B＋C)＝C＋C②，由①，②和C∈(0，π)得B＝B，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△的面积S＝B＝.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2 .又a2＋c2≥2，故≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△面积的最大值为＋1.【教师备选】在△中，＝，D为中点，＝1，则△面积的最大值为．[在△中，由余弦定理得A＝＝－，则A＝)，所以△的面积为S＝b2A＝b2·)＝＋2569)≤，所以△的面积的最大值为.]1．在锐角△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)( A＋B)＝(c－b)·C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是()A．(3,6] B．(3,5)C．(5,6] D．[5,6]C[由(a－b)( A＋B)＝(c－b) C及正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝，∴A＝＝，又A∈，∴A＝，∵B)＝C)＝π3)＝2，∴b2＋c2＝4(2B＋2C)＝4[2B＋2(A＋B)]＝42B,2)＋1－[2(A＋B)]2))＝2B－2B＋4＝2＋4.∵△是锐角三角形，∴B∈，∴2B－∈，∴＜≤1，∴5＜b2＋c2≤6.故选C．]2．在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D满足＝2，若B＝，＝3，则2a＋c的最大值为．6[在△中，如图所示，由点D满足＝2，∴点D在的延长线上且|＝2|，由余弦定理得c2＋(2a)2－2×2×＝32，∴(2a＋c)2－9＝3×2.∵2≤，∴(2a＋c)2－9≤(2a＋c)2，即(2a＋c)2≤36，∴2a＋c≤6，当且仅当2a＝c，即a＝，c＝3时，2a＋c取得最大值，最大值为6.]题型3与解三角形有关的交汇问题(对应学生用书第15页)■核心知识储备·解三角形的问题常以平面几何图形、平面向量等知识为载体，体现知识交汇命题的特点，题设条件常涉及有关的几何元素：如角平分线、中线、高、三角形的内切圆等．其中角平分线问题的求解要注意三个方面：(1)对称性，(2)角平分线定理，(3)三角形的面积；中线问题的求解，注意邻角的互补关系．■高考考法示例·【例3】(1)在△中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若－|＝3，·＝6，则△面积的最大值为．(2)如图2-1-5，在四边形中，∠＝，∶＝2∶3，＝，⊥．图2-1-5①求∠的值；②若∠＝，求的长．(1)[因为－|＝3，所以＝3，又因为·＝6，所以C＝6，∴C＝由余弦定理得9＝a2＋b2－2 C＝a2＋b2－12≥2－12.∴≤.所以S＝C＝C)＝＝＝≤－36)＝.故面积的最大值为.](2)[解]①∵∶＝2∶3，∴可设＝2k，＝3k.又＝，∠＝.∴由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2 ，解得k＝1，∴＝2，＝3，∠＝＝＝.②∵⊥，∴∠＝∠＝，∴∠＝，∵＝，∴＝＝.【教师备选】(1)在△中，·＝－|＝3，则△面积的最大值为()A．B．C．D．3(2)(2019·湖北八校联考)如图2-1-6，在平面四边形中，⊥，＝1，＝，∠＝，∠＝.图2-1-6①求∠；②求的长．(1)B[设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵·＝－|＝3，∴A＝a＝3.又A＝≥1－＝1－A,2)，∴A≥，∴0< A≤，∴△的面积S＝A＝A≤×＝，故△面积的最大值为.](2)[解]①在△中，由余弦定理得：2＝2＋2－2·B，即2＋－6＝0，解得＝2或＝－3(舍)，由正弦定理得：＝B)⇒∠＝)＝.②由①有：∠＝∠＝，∠＝＝，所以D＝＝×＋×＝.由正弦定理得：＝D)⇒＝D)＝＝.1．(2019·大连双基测试)如图2-1-7所示，在圆内接四边形中，＝6，＝3，＝4，＝5，则四边形的面积为．图2-1-76[如图所示，连接，因为为圆内接四边形，所以A＋C＝180°，则A＝－C，利用余弦定理得A＝，C＝，解得2＝，所以C＝－.由2C＋2C＝1，得C＝，因为A＋C＝180°，所以A＝C＝，S四边形＝S△＋S△＝×5×6×＋×3×4×＝6.]2．(2019·濮阳二模)如图2-1-8，在△中，点D在边上，＝3，A＝，∠＝，＝13.图2-1-8(1)求B的值；(2)求的长．[解](1)在△中，A＝，A∈(0，π)，所以A＝A)＝)＝.同理可得，∠＝.所以B＝[π－(A＋∠)]＝－(A＋∠)＝∠－∠＝×－×＝.(2)在△中，由正弦定理得＝A)∠＝×＝20.又＝3，所以＝＝5.在△中，由余弦定理得，＝B)＝＝9.[高考真题]1.(2019·全国卷Ⅲ)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△的面积为，则C＝()A．B．C．D．C[根据题意及三角形的面积公式知C＝，所以C＝＝C，所以在△中，C＝.]2.(2019·全国卷Ⅲ)在△中，B＝，边上的高等于，则A＝()A．B．C．－D．－C[如图，设＝3，则边上的高＝1，又B＝，∴＝1，＝；同理＝2，＝.在△中，由余弦定理得A＝＝＝－.]3.(2019·全国卷Ⅲ)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＋A＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为边上一点，且⊥，求△的面积．[解](1)由已知可得A＝－，所以A＝.在△中，由余弦定理得28＝4＋c2－4，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠＝，所以∠＝∠－∠＝.故△面积与△面积的比值为＝1.又△的面积为×4×2∠＝2，所以△的面积为.[最新模拟]4．(2019·烟台诊断性测试)已知△的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝1，c＝，且C＋A＝，则a＝()A．1或B．1或C．1或2 D．或C[由C＋A＝，B( C＋A)＝B＝，又b＝1，所以B＝，又c>b，所以B角一定是锐角，所以B＝.再由π6)＝C)，C＝，C＝或C＝，当C＝，A＝，a＝2，当C＝，为等腰三角形，所以a ＝1，选C．]5．(2019·甘肃诊断性考试)设△的面积为S，若·＝1，A＝2，则S＝() A．1 B．2C．D．A[若·＝1，即A＝1，A＝2⇒A＝⇒＝，A＝.故S＝××A＝1.]6．(2019·四平市高三质量检测)在△中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△＝且2 B＝3 C，则△的周长等于()A．5＋B．12C．10＋D．5＋2A[在△中，∠A＝60°，∵2 B＝3 C，故由正弦定理得2b＝3c，再由S△＝＝·A，得＝6，∴b＝3，c＝2.再由余弦定理得a2＝b2＋c2－2·A＝7，所以a＝，故△的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A．]。
2019年高考数学一轮复习 第3单元 三角函数、解三角形 第21讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换 理
,
sin������sin������
=
-
1 15
,
所以 tan αtan
β=csoins
������sin ������ ������cos ������
=-14.
课前双基巩固
4.[教材改编] 已知 sin θ=35,θ 为第二象限角,则 sin 2θ 的值
为
.
[答案] -2245
[解析] ∵sin θ=35,θ 为第二象限角,
1 + sin6 + 1-sin6 + 2 (1 + sin6)(1-sin6)= 2 + 2cos6= 2 + 2(2cos23-1)= 4cos23
=-2cos 3.
(2)f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)=1-1-cos
2(������ 2
+������)+12sin
5
教学参考
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
1.[2017·山东卷] 已知 cos x=3,则 cos
4
2x= ( )
A.-1
B.1
4
4
C.-18
D.18
[答案] D [解析] 由二倍角公式得 cos 2x=2cos2x-1=2×196-1=18,故选 D.
教学参考
2.[2016·浙江卷] 已知 2cos2x+sin
课前双基巩固
知识聚焦
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α:sin 2α= 2sin αcos α
.
(2)公式 C2α:cos 2α=
cos2α-sin2α
2019年高考理数考前核心考点解读冲刺攻略专题8： 解三角形 Word版含答案【7页】
核心考点解读——解三角形正弦定理及其应用（II ） 余弦定理及其应用（II ） 三角形面积公式的应用（II ） 解三角形的实际应用（II ）1.涉及本单元的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.2.从考查难度来看，本单元试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3.从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.1.正弦定理及其应用(1)2sin sin sin a b cR A B C===表示三角形中对边与对角正弦值的比值关系及与其外接圆的直径之间的等量关系.(2)能够利用正弦定理进行边、角计算：已知两角和一边求其他的边、角；已知两边和一对角求其他的边、角等，此时要根据“大边对大角”的性质注意三角形解的问题.(3)注意利用正弦定理实现边、角的互化，如“a b =”可转化为“sin sin A B =”等，转化过程中要注意平衡，如“22a b =”不可转化为“2sin 2sin A B =”. 2.余弦定理及其应用(1)2222cos a b c bc A =+-表示三角形中三边与任意角之间的等量关系. (2)能够利用余弦定理进行边、角计算：已知三边求角；已知两边和一夹角求对边；已知两边和一对角求其他的边、角等.此时利用余弦定理可以通过解方程清楚了解三角形的解的问题. 3.三角形的面积公式及其应用 (1)三角形的面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===，利用三角形的两边及一夹角求面积.(2)注意三角形的面积公式与正弦定理、余弦定理之间的联系 4.解三角形的应用通过正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式所建立起来的边、角的等量关系，不仅要能够求解三角形的边与角，还要能够求解三角形的面积问题，考查三角形的形状问题，利用公式、定理转化，建立等边三角形、等腰三角形、直角三角形等的判定条件，确定三角形的形状. 5.解三角形的实际应用解三角形的实际应用主要是实际问题中的测量问题，如测量角度问题，仰角、俯角、方位角、视角等；测量距离问题；测量高度问题等.此类问题的关键在于通过构造三角形，应用正弦定理、余弦定理进行求解测量. 6.解三角形与其他知识的综合(1)解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.(2)注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.1．（2017高考新课标Ⅰ，理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.2．（2017高考新课标Ⅱ，理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．3.（2017新课标III ，理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知sin 30A A =，a 7,b =2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.4.（2016高考新课标II ，理13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .5.（2016高考新课标III ，理8）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos AA 310B 10C ．10D ．3106.(2016高考新课标I ，理17)错误!未找到引用源。
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D.}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y +=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D.22(+1)1y x +=【答案】C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ． 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.300.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则26261105x x y +==+，得42.07, 5.15x cmy cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以c o s θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D.A =112A+【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =-D.2122n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】 【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2s i n fx x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()s i n s i n 2s i nfx xx x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2s i n fx x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()s i n s i n 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R == 3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D .【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考理科数学复习总结解三角形大题
1. （2020 全国Ⅱ理 18）AB C 中，s in 2A －s in 2B －s in 2C=s inBs inC.（1）求 A ；（2）若 BC=3，求 AB C 周长的最大值. 2【答案】（1） ；（2）3 2 3 .3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 cos A 的形式，进而求得 A ； 2（2）利用余弦定理可得到A C AB AC AB 9 ，利用基本不等式可求得 AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得： BC 2 AC 2 AB 2 A C AB ，AC 2 AB 2 BC 2 1cos A ，2AC AB 22A0,A，3（2）由余弦定理得： BC 2 AC 2 AB 2 2A C AB cos A AC 2 AB 2 AC AB 9 ， 2即AC ABAC AB 9 .2AC ABAC AB （当且仅当 AC AB 时取等号），22AC AB3 2229 AC AB AC A B AC ABAC AB ，2 4解得： AC AB 2 3 （当且仅当 AC AB 时取等号），ABC 周长 L AC AB BC 3 2 3 ，ABC 周长的最大值为3 2 3 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、 三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中， 结合基本不等式构造不等关系求得最值.2. (2019 全 国 Ⅰ 理 17) △ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 设(s in B s inC)2 s in 2 A s in Bs inC ．（1）求 A ；2a b 2c （2）若 ，求 s inC ．解：（1）由已知得s in2B s in 2C s in 2 A s in Bs inC ，故由正弦定理得b 2 c 2a bc ．2 b 2 c a 2 21由余弦定理得 cos A ．2bc 2因为 0A 180 ，所以 A 60．（2）由（1）知 B 120C ，由题设及正弦定理得 2 s in As in 120 C2sinC， 6 3 12cosC s inC 2s inC ，可得 cos C 6． 即2 2 222由于 0C 120 ，所以 s in C 60，故 2s inC s in C 6060s in C 6c o s 6c os C 6s i n 66 2． 43. （2019 全国Ⅲ理 18）△AB C 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知A Cas inbs in A ． 2（1）求 B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围． AC解析（1）由题设及正弦定理得s in As ins in Bs in A ． 2AC因为s in A 0 ，所以s ins in B ． AC 2 B B B B由 A B C 180 ，可得s inc os ，故 cos 2s in cos ． 2 2 2 2 2B B 1因为 cos0，故s in ，因此 B 60． 2 2 23（2）由题设及（1）知△ABC 的面积 S △ABCa ． 4s in 120 Ccs in A s inC 3 1由正弦定理得a．s inC2tanC 2由于△AB C 为锐角三角形，故 0 A 90，0 C 90 ，由（1）知 A C 120 ，13 3所以30 C 90，故a 2 ，从而 ． S △ABC 2 8 23 3 因此，△AB C 面积的取值范围是 , ． 8 24. （2018 全国卷Ⅰ）在平面四边形 ABC D 中 ，A D C 90 ，A 45AB 2 BD 5，，．(1)求 cos ADB ； (2)若 D C 2 2 ，求 BC ． B D AB【解析】(1)在△AB D 中，由正弦定理得． ． s in A s in ADB5 2 2由题设知，，所以s in ADBs in 45 s in ADB 52 23由题设知， ADB 90，所以cos ADB 1． 25 52(2)由题设及(1)知， cos BD C s in ADB 在△BC D 中，由余弦定理得． 5B C 2 BD 2 DC 2 2 BD D C c os BD C2258 252 2所以 BC 5．25． 55. （2017 新课标Ⅰ） ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 ABC 的a2 面积为3sin A(1)求s in Bs inC ；(2)若 6 c os BcosC 1， a 3，求 ABC 的周长．1 a 21 a【解析】（1）由题设得 acs in B ，即 cs in B2 3sin A 2 3s in A1 s in A由正弦定理得 s inC sin B．2 3sin A2故s in Bs inC ．31 2 （2）由题设及（1）得 cos (B C) cos B cosC s i n Bs inC6 3 122π π 所以 B C，故 A ． 3 31 a2由题设得 bcs in A，即bc 8． 2 3sin A由余弦定理得b2c 2b c 9 ，即(b c ) 2 3bc 9，得b c 33 ． 故△ABC 的周长为3 33 ．6. （2017 新课标Ⅲ） AB C 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知s in A 3 c os A 0， a 2 7 ，b 2 ． (1)求 c ；(2)设 D 为 BC 边上一点，且 A DAC ，求 ABD 的面积．2【解析】（1）由已知得 tan A 3 ，所以 A． 3 2 在 ABC 中，由余弦定理得 解得 c 6 （舍去）， c 4 28 4 c 24ccos ，即 c 2 +2c 24=0 ．3（2）有题设可得 CA D，所以BA D BAC CA D ． 2 61 2AB AD s in6 故 ABD 面积与 AC D 面积的比值为 1． 1A C AD 21又 ABC 的面积为 42 s in BAC 2 3 ，所以 ABD 的面积为 3 ．27. （2017 新课标Ⅱ） AB C 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，B已知sin(A C) 8s in (1)求 cos B2 ．2(2)若 a c 6 ， ABC 面积为 2，求b ．B【解析】由题设及 AB C得s in B 8sin 2，故s in B 4(1 c os B) ． 2上式两边平方，整理得17cos 2B 32 c os B 15 0 ，15解得 cos B 1（舍去）， cos B． 1715 17 81 4（2）由 cos B 得s in B ，故 SABCac s inB ac ． 17172 172又 S ABC 2，则 ac ．由余弦定理及 ac 6得b 2 a 2c 2 2accos B (a c ) 2ac(1cos B)217 15) 4 ．36 2 (12 17所以b 2 ．8. （2016 年全国 I ）△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知2cosC(acos B +bcos A) c .（I ）求 C ；3 3（I I ）若 c 7,△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长． 2【解析】(1) 2cosC acosB b cos Ac由正弦定理得： 2cosC s i n A cos B s in B c o s A s inC2cosC s i n A Bs inC∵ A B C π ， A 、B 、C 0，π∴ s in A Bs inC 01∴ 2cosC 1， cosC 2∵ C0，ππ∴C ．3⑵ 由余弦定理得： c 2 a 2b 2abc osC 2 127 a 2b 2ab2 2a b 3ab 71 3 3 32 S ab s inC ab2 4 ∴ ab 6 2∴ a b 18 7a b 5∴△ABC 周长为 a b c 5 7。
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全国卷一专用2019年高考理科数学总复习解三角形一、基础巩固组1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=()A.B.1C.D.22.在△ABC中,已知a cos A=b cos B,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=,AB=2,则S△ABC=()A.3B.2C.3D.64.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B.C.-D.-5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos A+a cos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.56.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=sin A-sin B,则C= .7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积为S=c,则ab的最小值为.8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.9.(2017全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?二、综合提升组11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.12.在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则AC=()A.9B.8C.7D.613.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.14.(2017河南郑州一中质检一,理17)已知△ABC外接圆直径为,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°.(1)求的值;(2)若a+b=ab,求△ABC的面积.三、创新应用组15.(2018福建泉州期末,理10)已知点P是函数f(x)=A sin(ωx+φ)(φ>0)图象上的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点.若cos∠BPC=,则f(x)的图象的对称中心可以是()A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)16.(2017宁夏银川九中二模,理17)已知函数f(x)=sin ωx-2sin2+m(ω>0)的最小正周期为3π,当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cos B+cos(A-C),求sin A的值.解三角形1.B由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.D∵a cos A=b cos B,∴sin A cos A=sin B cos B,∴sin 2A=sin 2B,∴A=B,或2A+2B=180°,即A+B=90°,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.C∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B,即7=4+BD2-2BD,∴BD=3或-1(舍去),可得BC=6,∴S△ABC=AB·BC·sin B=2×6=34.C(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cos A===-,故选C.(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=设∠DAC=α,则∠BAC=α+∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=AD.∴sin α=,cos α=cos∠BAC=cos=cos αcos-sin αsin(cos α-sin α)==-,故选C.5.D∵b cos A+a cos B=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b+a=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6在△ABC中,=sin A-sin B,=a-b,∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=,∴C=7.12在△ABC中,由条件并结合正弦定理可得2sin C cos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B,即2sin C cos B=2sin B cos C+2sin C cos B+sin B,∴2sin B cos C+sin B=0,∴cos C=-,C=由于△ABC的面积为S=ab·sin C=ab=c,∴c=ab.再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cos C,整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当a=b时,取等号,∴ab≥12,故答案为12.8在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,则sin α=,所以tan α=9.解 (1)由已知可得tan A=-,所以A=在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为10.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=,所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC∥A D.故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.11.B由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin A cosC+cos A sin C+sin A sin C-sin A cos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=由正弦定理,得,即sin C=,所以C=,故选B.12.D设∠B=θ,则∠ADC=2θ,在△ADC中,由,所以AC=8cos θ,在△ABC中,由,可得,所以16cos2θ=9,可得cos θ=,所以AC=8=6.故选D.13.150在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100 m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理,得,因此AM=100 m.在Rt△MNA中,AM=100 m,∠MAN=60°,由=sin 60°,得MN=100=150(m).14.解 (1)由正弦定理可得=2R=,=2R=(2)由正弦定理可得,∴c=2.由余弦定理可得22=a2+b2-2ab cos 60°,化为a2+b2-ab=4.又a+b=ab,∴(a+b)2-3ab=a2b2-3ab=4,解得ab=4.∴△ABC的面积S=ab sin C=4×sin 60°=15.C如图,取BC的中点D,连接PD,则PD=4.设BD=x,则PB=P C=由余弦定理可得,(2x)2=()+()2-2()2cos∠BPC,解得x=3(负值舍去).则B-,-2,C,-2,故BP,CP的中点都是f(x)图象的对称中心.16.解 (1)f(x)=sin ωx-2sin2+m=sin ωx-1+cos ωx+m=2sin-1+m.依题意=3π,ω=,所以f(x)=2sin-1+m.当x∈[0,π]时,sin1,所以f(x)的最小值为m.依题意,m=0.所以f(x)=2sin-1.(2)因为f(C)=2sin-1=1,所以sin=1.而,所以解得C=在Rt△ABC中,因为A+B=,2sin2B=cos B+cos(A-C), 所以2c os2A-sin A-sin A=0,解得sin A=因为0<sin A<1,所以sin A=。