杭州市高中毕业班第二次质量检测

杭州市高中毕业班第二
次质量检测
Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
杭州市高中毕业班第二次质量检测
数学试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.
参考公式：
三角函数的和差化积，积化和差公式：
sin α+sin β=2sin 2β
α+cos 2
βα-，
sin α-sin β=2cos 2βα+sin 2
βα-， cos α+cos β=2cos 2βα+cos 2
βα-， cos α-cos β=-2sin 2βα+sin 2
βα-， sin θcos φ=2
1［sin(θ+φ)+sin(θ-φ)］, cos θsin φ=2
1［sin(θ+φ)-sin(θ-φ)］， cos θcos φ=2
1［cos(θ+φ)+cos(θ-φ)］, sin θsin φ=-2
1［cos(θ+φ)-cos(θ-φ)］. 正棱锥、圆锥的侧面积公式Ｓ锥侧＝2
1ｃｌ 其中ｃ表示底面周长，ｌ表示斜高或母线长.
台体的体积公式 Ｖ台体＝31（S ′＋S S '＋S ）ｈ
其中S ′、S 分别表示上、下底面积，ｈ表示高.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A =｛-1，2｝，B =｛x ｜mx +1=0｝,若A ∩B =B ，则所有实数m 的值组成的集合是
A.｛-1，2｝
B.｛1，-21｝
C.｛-21，0，1｝
D.｛-1，2
1｝ =2
2是tg x =1成立的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.双曲线3
42
2y x -=1的共轭双曲线方程是
A.3422y x -=-1
B.4322y x -=1
C.4322y x -=-1
D.4
32
2x y -=-1 4.函数f (x )在定义域上单调递减，且过点(-3，2)和(1，-2)，则使｜f (x )｜＜2的自变量x 的取值范围是
A.(-3，+∞)
B.(-3，1)
C.(-∞，1)
D.(-∞，+∞)
5.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意的n ∈N ，都有a n =n 2+λn ,则实数λ的取值范围是
A.λ＞-4
B.λ＜0
C.λ≠0
D.λ＞-3
6.下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是
7.(理)设曲线y =｜3-x 2｜和直线y =a (a ∈R )的公共点的个数为m ，则下列四种情况中不可能的是
=1 =2 =3 =4
(文)圆x 2+y 2+4x -2y +4=0上的点到直线y =x -1的最小距离为
2 2 C. 2-1
8.(理)不等式log 6πarcsin
2
x ＜1的解集为 A.｛x ｜x ＞1｝ B.｛x ｜-2＜x ≤1} C.｛x ｜1＜x ≤2} D.｛x ｜x ＜1｝
(文)不等式log 3
1(x -1)＞1的解集为 A.｛x ｜x ＞4｝ B.｛x ｜x ＜4} C.｛x ｜1＜x ＜4} D.｛x ｜1＜x ＜
32｝ 9.(理)已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，当它的内接圆柱的体积最大时，内接圆柱的高是
A.33
B.23
C.46
D.3
6 (文)已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，当它的内接圆柱的侧面积最大时，内接圆柱的高是
A.33
B.23
C.46
D.3
6 10.方程y 2=ax +b 与y =ax +b (a ≠0)表示的图形可能是
11.首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有 个 个 个 个
12.设有四个条件：①平面γ与平面α，β所成的锐二面角相等；②直线a ∥b ,a ⊥平面α,b ⊥平面β；③a ,b 是异面直线，a ⊂α，b ⊂β,且α∥β,b ∥α；④平面α内距离为d 的两条平行线在平面β内的射影仍为两条距离为d 的平行线.其中能推出平面α∥β的条件有
A.①③
B.②③
C.③④
D.①②③④
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
13.已知(2x 2+31x
)n (n ∈N )的展开式中含有常数项，则n 的最小值应为 . 14.设A 是圆C ：x 2+y 2+ax +4y -5=0上任意一点，若点A 关于直线x +2y -1=0的对称点也在圆C 上，则实数a 的
值是 .
15.无盖的圆柱形容器的底面半径为1，母线长为3，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器内的水是原来的3
2时，圆柱的母线与水平面所成的角为 . 16.对于函数f (x )=x ｜x ｜+px +q ，现给出四个命题：
①q =0时，f (x )为奇函数.②y =f (x )的图象关于点(0，q )对称.③p =0,q ＞0时，方程f (x )=0只有一个实数根.④方程f (x )=0至多有两个实数根.
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足sin A (cos B +cos C )=sin B +sinC,且cos B ＞
23，求角C 的取值范围. 18.(本小题满分12分)
将复数i 对应的向量按顺时针方向旋转3
2π，所得的向量对应的复数为zi +23，设ω=z +ai (a ∈R )且｜ω｜≤1，求arg ω的最大值. 19.(本小题满分12分)已知PA ⊥矩形ABCD 所在平
面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.
(Ⅰ)求证：MN ⊥AB ；
(Ⅱ)求体积V M —PCD 与V P —ABCD 的比值；
(Ⅲ)设平面PDC 和平面ABCD 所成的二面角为锐角
θ，问能否确定θ，使得直线MN 为异面直线AB 和PC 的公垂线.若能求出对
应的θ值；若不能则
说明理由. 20.(本小题满分12分)
在各项为正数的等比数列｛a n ｝中，已知a 3+a 4=11a 2a 4，且前2n 项和等于它的偶数项之和的11倍.
(Ⅰ)求｛a n ｝的首项a 1及公比q ；
(Ⅱ)若数列｛c n ｝满足c n =4
2lg lg 1++⋅n n a a ，求｛c n ｝的前n 项的和S n 及∞→n lim S n . 21.(本小题满分12分)
有一个受到污染的湖泊，其湖水容积为V 立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r 立方米.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合.用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t 时的湖水污染质量分数.已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式：g (t )=r p +［g (0)- r
p ］e -v r t (p ≥0)，其中g (0)是湖水污染的初始质量分数. (Ⅰ)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
(Ⅱ)求证：当g (0)＜r
p 时，湖泊的污染程度将越来越严重； (Ⅲ)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停止时)污染水平的5%
22.(本小题满分14分)
已知圆的方程是(x -1)2+y 2=1，四边形PABQ 为该圆内接梯形，底边AB 为圆的直径且
在x 轴上，以A ，B 为焦点的椭圆C 过P ，Q 两点.
(Ⅰ)(理)当梯形PABQ 周长最大时，求椭圆C 的方程.
(Ⅱ)(文)当｜PQ ｜=1时，求椭圆C 的方程.
(Ⅲ)若直线QP 与椭圆C 的右准线相交于点M ，求点M 的轨迹方程.。