百校联盟20届高考名师保温猜题卷理科数学试卷

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2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(理)(一) word版

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国I 卷·理数(一)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0}，B ＝{x|y ＝，则A ∩B ＝(A)[0，34] (B)∅ (C)[0，12] (D)[12，34] (2)设复数2573i z i +=-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3)已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有(A)2人 (B)18人 (C)40人 (D)36人(4)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个顶点为M ，点N(6，0)，若|MN|＝3b ，则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.2y x =±C.y =±D.4y x =± (5)执行如图所示的程序框图，若输人x 的值为256，则输出x 的值为(A)8 (B)3 (C)log23 (D)log2(log23)(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”。

译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅱ卷)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（一）（全国Ⅱ卷）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,5}，B={x|x2+mx−10=0}，若A∩B={5}，则A∪B=()A. {−1,3，5}B. {−1,−2,5}C. {−1,2，5}D. {−1,−3,5}2.若m为实数，且复数z=(m−3i)(2+5i)为纯虚数，则m=()A. −65B. 65C. −152D. 1523.已知某地区在职特级教师、高级教师．中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有()A. 2人B. 18人C. 40人D. 36人4.已知圆C过点(4,6)，(−2,−2)，(5,5)，点M，N在圆C上，则△CMN面积的最大值为()A. 100B. 25C. 50D. 2525.执行如图所示的程序框图，若输入x的值为256，则输出x的值为()A. 8B. 3C. log23D. log2(log23)6.《九章算术(卷第五)⋅商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为()(注：1丈=10尺．)A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=54，a 4=5，则数列{1Sn −n}前2019项的和为( )A. 20182019B. 10091010C. 40362019D. 201910108. (1+2x 2−1x )(3x −2)5的展开式中x 2的系数为( )A. 296B. −296C. −1864D. −13769. 如图，网格小正方形的边长为1.粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. 120+8√2+8√6B. 120+8√5C. 120+8√2+4√6D. 120+16√210. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为M ，以M 为圆心作圆，圆M 与直线bx −ay =0交于A ，B 两点，若∠AMB =60°，2OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( ) A. √52B. √72C. 32D. √6211. 定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)2−2<f(x)，若f(0)=−1，则不等式e 2x −f(x)<2的解集为( )A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,−1)D. (−1,+∞)12. 已知数列{a n −n}的前n 项和为S n ，且∑[n i=1a i+1+(−1)i a i ]=n 2，S 2018=1，则a 1=( )A. 32B. 12C. 52D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量m⃗⃗⃗ =(2,−3)，m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ =(4,−7)，则m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 夹角的余弦值为______． 14. 已知实数x ，y 满足{x +1≥yx +y ≥1x ≤2y +1，则z =3x +y 的最小值为______．15. 当0<x 1<x 2<m 时，不等式x 1x 2<x 2x1恒成立，则实数m 的最大值为______．16. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象如图所示，其中M(π3,3)是图象的一个最高点，N(4π3,0)是图象与x 轴的交点，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，再向右平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，∠BAC =π4，AB =2，BC =√172，M 是线段AC 上的一点，且tan∠AMB =−2√2．(Ⅰ)求AM 的长度； (Ⅱ)求△BCM 的面积．18. 如图所示，在三棱锥S −BCD 中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，△SBD 为等边三角形，∠BCD =30°，CD =2DB =4． (Ⅰ)若SA =AD ，求证：SD ⊥CA ； (Ⅱ)若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为4√19565，求AD 的长．19.为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空．回馈活动设计了两种方案：方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；方案二：消费者全部选择单选题进行回答；其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品．为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如表所示：(Ⅰ)是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；(Ⅱ)小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75．(ⅰ)若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；(ⅰ)如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．20.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2．(Ⅰ)若|PF1|+|PF2|=4，求点P到点M(12,0)距离的最大值；(Ⅱ)若过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线与椭圆C分别交于E，F两点，点A(0,y A)，B(0,y B)分别在直线F2E，F2F上，比较|F2A|，|F2B|的大小关系，并说明理由．21.已知函数f(x)=x2+mln√x．(Ⅰ)若m=−12，证明：函数f(x)在区间(2,3)上有且仅有1个零点；(Ⅱ)若关于x的不等式2f(x)≥m2在[1,2]上恒成立，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=3√5cosθy=3+3√5sinθ(θ为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosα．(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线C1，C2交于M，N两点，求直线MN的极坐标方程以及M，N的极坐标(要求写出的极径非负，极角在[0,2π)上)．23.已知函数f(x)=|x+3|+|2x−4|．(Ⅰ)求不等式f(x)>8的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)+m>|x+3|−x2的解集为R，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A ={−1,5}，B ={x|x 2+mx −10=0}，A ∩B ={5}， ∴依题意，25+5m −10=0，解得m =−3，故B ={x|x 2+mx −10=0}={x|x 2−3x −10=0}={−2,5}，故A ∪B ={−1,−2,5}．故选：B ．依题意，25+5m −10=0，解得m =−3，从而B ={x|x 2+mx −10=0}={x|x 2−3x −10=0}={−2,5}，由此能求出A ∪B ．本题考查一元二次方程的解法、集合的运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想．2.【答案】C【解析】解：依题意z =(m −3i)(2+5i)=2m +5mi −6i +15=(2m +15)+(5m −6)i ，故{2m +15=05m −6≠0，则m =−152，故选：C ．先把复数z 化为标准形式，再利用纯虚数的概念求解．本题主要考查了复数的基本运算，以及纯虚数的概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为1：9：20，则随机抽取60人，高级教师有60×930=18人，故选：B ．用样本容量乘以高级教师占的比例，即为所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，将(4,6)，(−2,−2)，(5,5)代入可得，{52+4D +6E +F =08−2D −2E +F =050+5D +5E +F =0，解得D=−2，E=−4，F=−20，故圆C的一般方程为x2+y2−2x−4y−20=0，即(x−1)2+(y−2)2=25，故△CMN的面积S=12⋅|CM|⋅|CN|⋅sin∠MCN≤12×5×5=252，故选：D．设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意利用待定系数法求出圆的方程．本题主要考查用待定系数法求圆的方程，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得：第一次，y=8，n=2，x=8；第二次，y=3，n=3，x=3；第三次，y=log23，n=4，x=log23；第四次，y=log2(log23)，n=5，x=log2(log23)；第五次，y=2log2(log23)=log23，n=6，x=log23；第六次，y=log2(log23)，n=7，x=log2(log23)；第七次y=2log2(log23)=log23，n=8，x=log23，此时输出x的值为log23.故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】B【解析】解：进行分割如图所示，故V=2(V A−A1MNE +V AMN−DPQ+V D−PQFD1)+V BCGH−ADFE=2×(13×15×6×65×2+12×65×15×8)+(8+20)×652×40=52000立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】D【解析】解：由等差数列性质可知，S9=9a5=54，解得a5=6；而a4=5，故d=1，则a1=a4−3d=2，故S n=2n+n(n−1)2=n2+3n2,1S n−n=2n2+n=2(1n−1n+1)，设{1Sn−n }的前n项和为T n，则T n=2(1−12+12−13+13−14…+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1，故T2019=2×20192019+1=20191010．故选：D．先由等差数列的性质求出首项与公差，再求1S n−n，最后解决前2019项的和．本题主要考查等差数列的基本量的求法及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：依题意，所求x2的系数为C52×32×(−2)3+2×(−2)5−1×C53×33×(−2)2=−720−64−1080=−1864；故选：C．直接根据二项展开式的特点求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为多面体ABCDEFGH ，其中ABCD 为边长是4的正方形，AH ，BE ，CF ，DG 均与底面垂直， AH =DG =8，BE =4，CF =6，求得EH =4√2，EF =2√5，EG =√(4√2)2+16=4√3，FG =2√5． ∴S △EGH =12×4×4√2=8√2，S △EFG =12×4√3×√(2√5)2−(2√3)2=4√6．∴该几何体的表面积为：S =4×4+4×8+12(4+8)×4+12(6+8)×4+12(4+6)×4+8√2+4√6=120+8√2+4√6．故选：C ．由三视图还原原几何体，该几何体为多面体ABCDEFGH ，其中ABCD 为边长是4的正方形，AH ，BE ，CF ，DG 均与底面垂直，AH =DG =8，BE =4，CF =6，求解三角形得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．10.【答案】B【解析】解：∵∠AMB =60°，AM =BM ，∴△AMB 为正三角形，记圆M 的半径为r ，则圆心M 到直线A ，B 的距离d =√32r ，由2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗|=r2； ∵|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，由勾股定理得，(√32r)2+r 2=a 2，解得r =2a√7，点M(a,0)到bx −ay =0的距离为√a 2+b 2=√32⋅√7，化简可得4b 2=3a 2，∴e =c a=√1+b 2a2=√72．故选：B ．由题意画出图形，由已知求解三角形可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r2，由|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，结合勾股定理得(√32r)2+r 2=a 2，解得r =√7M(a,0)到bx −ay =0的距离列式并整理，可得4b 2=3a 2，则双曲线C 的离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查圆与双曲线关系的应用，考查计算能力，是中档题．11.【答案】A【解析】解：构造函数g(x)=f(x)+2e 2x−1，x ∈R ．∵f′(x)2−2<f(x)，∴g′(x)=f′(x)e 2x −2e 2x (f(x)+2)(e 2x )2=f′(x)2−f(x)−212e 2x <0，∴函数g(x)在R 上单调递减，又g(0)=−1+21−1=0，∴不等式g(x)>0=g(0)的解集为{x|x <0}．故选：A ．构造函数g(x)=f(x)+2e 2x−1，x ∈R.利用f′(x)2−2<f(x)，可得g′(x)<0，利用其单调性即可得出不等式的解集．本题考查了利用导数研究的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：依题意，a n+1+(−1)n a n =n 2−(2n −1)2=2n −1．当n 为奇数时，{a n+1−a n =2n −1a n+2+a n+1=2n +1⇒a n +a n+2=2；当n 为偶数时，{a n+1+a n =2n −1a n+2−a n+1=2n +1⇒a n +a n+2=4n ．∵S 2018=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2018−(1+2+3+⋯+2018)=1，即a 1+a 2+⋯+a 2018=2018(1+2018)2+1=1009×2019+1，又a 1+a 2+⋯+a 2018=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 2017)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 2018)=(a 1+2×504)+[1+a 1+252×(16+2016×4)]=1+2a 1+1008×2021=1009×2019+1，解得：a 1=32．故选：A ．依题意，a n+1+(−1)n a n =n 2−(2n −1)2=2n −1，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于a 1的方程，解方程即可得到答案．本题考查数列递推关系式的运用，属于一道有难度的题．13.【答案】8√6565【解析】解：根据题意，向量m ⃗⃗⃗ =(2,−3)，m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ =(4,−7)，则n ⃗ =(m ⃗⃗⃗ +2n ⃗⃗ )−m ⃗⃗⃗2=(1,−2)，则cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=√13⋅√5=8√6565；故答案为：8√6565．根据题意，求出向量n⃗ 的坐标，由数量积的坐标计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，平移直线3x +y =0，当直线z =3x +y 过点A 时，纵截距最小，由{x +1−y =0x +y −1=0解得A(0,1)，所以z =3x +y 有最小值1．故答案为：1．画出约束条件的可行域，判断最优解，然后求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力，是基础题．15.【答案】e【解析】解：当0<x 1<x 2<m 时，不等式x 1x 2<x 2x1恒成立，可得：x 2lnx 1<x 1lnx 2，化简得lnx 1x 1<lnx 2x 2，故f(x)=lnx x在(0,m)上为增函数．f′(x)=1−lnx x 2≥0⇒0<x ≤e ，故m 的最大值为：e ．故答案为：e ．由题意可得：x 2lnx 1<x 1lnx 2，化简得lnx 1x 1<lnx 2x 2，故f(x)=lnx x在(0,m)上为增函数．利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究的单调性、方程与不等式对解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】为[π9+kπ3,5π18+kπ3](k ∈Z)．【解析】解：依题意，A =3,T 4=4π3−π3=π，即T =4π，故ω=12,f(x)=3sin(12x +φ)；将(π3,3)代入f(x)中，可知12×π3+φ=π2+2kπ,k ∈Z ，故φ=π3+2kπ,k ∈Z ；不妨设k =0，得φ=π3，故函数f(x)=3sin(12x +π3)；将函数f(x)的图象压缩为原来的112后，得到y =3sin(6x +π3)，再向右平移π4个单位，得g(x)=3sin[6(x −π4)+π3]=−3sin(6x −π6)；要求函数的增区间，只需π2+2kπ≤6x −π6≤3π2+2kπ,k ∈Z ．解得π9+kπ3≤x ≤5π18+kπ3,k ∈Z ．故函数g(x)的单调递增区间为[π9+kπ3,5π18+kπ3](k ∈Z)．故答案为：[π9+kπ3,5π18+kπ3](k ∈Z)．先根据图象的最值点、零点等，结合平移变换、伸缩变换规律求出系数A ，ω，φ的值，然后ωx +φ代入y =sinx 的增区间，解出函数的增区间．本题考查三角函数图象的变换规律以及复合函数单调区间的求法，要注意复合函数单调区间求法中的“同增异减”的思路应用．属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵tan∠AMB =−2√2；∴sin∠AMB =2√23，cos∠AMB =−13；由正弦定理，BMsin∠A =ABsin∠AMB ，即√22=2√23，解得BM =32；由余弦定理，cos∠AMB =AM 2+BM 2−AB 22AM⋅BM，即−13=AM 2+94−42×AM×32，解得AM =√2−12；(Ⅱ)∵cos∠CMB =cos(π−∠AMB)=−cos∠AMB =13，∴sin∠CMB =2√23，在△BCM 中，由余弦定理，有BC 2=BM 2+CM 2−2BM ⋅CM ⋅cos∠CMB ∴CM =2，∴S △BCM =12BM ⋅CM ⋅sin∠CMB =12×32×2×2√23=√2．【解析】(Ⅰ)先求出∠AMB 的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM 的长，利用余弦定理求出AM 的长； (Ⅱ)利用正弦定理求出sin∠CMB 的值，利用余弦定理求出CM 的值，最后使用公式S △BCM =12BM ⋅CM ⋅sin∠CMB 求出△BCM 的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题． 18.【答案】解：(Ⅰ)∵SA =AD ，△SBD 为等边三角形，∴AB ⊥SD ，取BD 中点O ，连结SO ，CO ，∵平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，△SBD 为等边三角形，∠BCD =30°，CD =2DB =4． ∴SO ⊥底面BCD ，cos30°=CB 2+CD 2−BD 22×BC×CD=CB 2+16−48BC，解得BC =2√3，∴cos∠BDC =BD 2+CD 2−BC 22×BD×DC=4+16−122×2×4=12，∴∠BDC =60°，∠DBC =90°，∴BC ⊥BD ，∴BC ⊥平面SBD ，∵SD ⊂平面SBD ，∴BC ⊥SD ， ∵SD ∩BA =A ，∴SD ⊥平面ABC ， ∵CA ⊂平面ABC ，∴SD ⊥CA ．(Ⅱ)解：SO =√SB 2−BE 2=√3.CO =√BC 2+BO 2=√12+1=√13， SC =√SO 2+CO 2=√3+13=4，设点B 到平面SCD 的距离为h ，由V B−SDC =V S−BCD ，得13×12×2×√42−12×ℎ=13×12×2√3×2×√3，解得ℎ=6√15，∵直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为4√19565，sinθ=ℎBA ，解得BA =√15×4√195=√132，∵BA 2=BD 2+AD 2−2BD ⋅AD ⋅cos60°， ∴134=4+AD 2−2AD ，解得AD =32或AD =17．【解析】(Ⅰ)推导出AB ⊥SD ，取BD 中点O ，连结SO ，CO ，推导出BC ⊥BD ，从而BC ⊥平面SBD ，进而BC ⊥SD ，由此能证明SD ⊥平面ABC ，从而SD ⊥CA ．(Ⅱ)求出SO =√SB 2−BE 2=√3.CO =√BC 2+BO 2=√13，SC =√SO 2+CO 2=4，设点B 到平面SCD的距离为h ，由V B−SDC =V S−BCD ，求出ℎ=√15，由直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为4√19565，sinθ=ℎBA，求出BA =√15×4√195=√132，由余弦定理能求出AD ．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)依题意，完善列联表如下所示：K 2=500×(150×120−150×80)2230×270×300×200≈4.831<6.635，故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关． (Ⅱ)(ⅰ)X 的所有可能取值为0，2，3，4，则P(X =0)=14×15×15=1100，P(X =2)=2×14×15×45=8100，P(X =3)=34=75100，P(X =4)=14×45×45=16100，故X 的分布列为：所以E(X)=0×1100+2×8100+3×75100+4×16100=305100=3.05．(ⅰ)小明选择方案一获得奖品的概率为P 1=P(X ≥3)=75100+16100=91100=0.91，小明选择方案二获得奖品的概率为P 2=P(X ≥3)=2×15×45×45+45×45=112125=8961000=0.896，因为P 2<P 1，所以小明选择方案一更有可能获得奖品．【解析】(Ⅰ)利用已知条件，完成联列表，求出k 2，即可判断是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关．(Ⅱ)(ⅰ)X 的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率，得到分布列，然后求和期望即可．(ⅰ)求出小明选择方案一获得奖品的概率，小明选择方案二获得奖品的概率，通过半径P 2<P 1，得到小明选择方案一更有可能获得奖品．本题考查独立检验思想方法的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的期望，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)依题意，点P 在椭圆C 上，设点P(x 0,y 0)，则x 024+y 023=1，故|PM|2=(x 0−12)2+y 02=x 02−x 0+14+3−34x 02=14x 02−x 0+134，其中x ∈[−2,2]，故当x 0=−2时，|PM|有最大值52．(Ⅱ)设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)(x 1≠1且x 2≠1)，由{y =k(x −4)x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12>0；依题意△=(−32k 2)2−4⋅(4k 2+3)⋅(64k 2−12)>0，即0<k 2<14，则{x 1+x 2=32k 24k 2+3x 1x 2=64k 2−124k 2+3，因为k AF 2+k BF 2=k EF 2+k FF 2=y 1x1−1+y 2x2−1=k(x 1−4)x 1−1+k(x 2−4)x 2−1=k[2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8](x 1−1)(x 2−1)=0=k[2⋅(64k 2−124k 2+3)−5⋅(32k 24k 2+3)+8](x 1−1)(x 2−1)=0，所以直线AF 2的倾斜角与直线BF 2的倾斜角互补，即∠OF 2A =∠OF 2B . 因为OF 2⊥AB ，所以|F 2A|=|F 2B|．【解析】(Ⅰ)点P 在椭圆C 上，设点P(x 0,y 0)，则x 024+y 023=1，求出|PM|的表达式，利用二次函数求解最值即可．(Ⅱ)设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)(x 1≠1且x 2≠1)，由{y =k(x −4)x 24+y 23=1，利用韦达定理，结合向量的关系，推出直线AF 2的倾斜角与直线BF 2的倾斜角互补，即∠OF 2A =∠OF 2B .得到结果．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．21.【答案】(Ⅰ)证明：依题意，x∈(0,+∞)，m=−12时，f(x)=x2+m2lnx=x2−6lnx，此时，f′(x)=2x−6x =2x(x2−3)=2x(x+√3)(x−√3)，故当x∈(2,3)时，f′(x)>0；又f(2)⋅f(3)=(4−6ln2)⋅(9−6ln3)<0，故函数f(x)在(2,3)上有且仅有1个零点．(Ⅱ)解：令g(x)=2f(x)=2x2+mlnx，故g′(x)=4x+mx =4x2+mx,x∈[1,2]；当m≤−16时，g′(x)≤0对x∈[1,2]恒成立，则g(x)在[1,2]上单调递减，从而g(x)min=g(2)=8+mln2≥m2，又m≤−16，则m∈⌀；当m≥−4时，g′(x)≥0对x∈[1,2]恒成立，则g(x)在[1,2]上单调递增，从而g(x)min=g(1)=2≥m2，又m≥−4，所以−√2≤m≤√2；当−16<m<−4时，令g′(x)=0，得x=√−m2∈(1,2)，若1<x<√−m2,g′(x)<0；若√−m2<x<2,g′(x)>0；从而g(x)min=g(√−m2)=−m2+m2ln(−m4)≥m2，则−m+12ln(−m4)≤12；令t=−m4(1<t<4)，则4t+12lnt≤12，易知y=4t+12lnt在t∈(1,4)上单调递增，则4t+12lnt>4，从而4t+12lnt≤12不可能成立．综上所述，实数m的取值范围为[−√2,√2]．【解析】(Ⅰ)m=−12时，f′(x)=2x−6x =2x(x2−3)=2x(x+√3)(x−√3)⇒x∈(2,3)时，f′(x)>0；又f(2)⋅f(3)<0，可证得函数f(x)在(2,3)上有且仅有1个零点；(Ⅱ)令g(x)=2f(x)=2x2+mlnx，利用导数，通过对m范围的讨论，求得当x∈[1,2]时，g(x)min≥m2，即可求得实数m 的取值范围．本题考查利用导数研究函数的极值与最值，突出考查运用分类讨论思想，等价转化思想解决不等式恒成立问题，考查化简运算能力和逻辑推理能力，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)依题意，曲线C 1：x 2+(y −3)2=45，故x 2+y 2−6y =36即曲线C 1的极坐标方程为ρ2−6ρsinθ−36=0；曲线C 2：ρ2=6ρcosα，即x 2+y 2−6x =0，则曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−6x =0． (Ⅱ)联立{x 2+y 2−6y =36x 2+y 2−6x =0两式相减可得x −y =6，即ρcosθ−ρsinθ=6，故√2ρcos(θ+π4)=6，即直线MN 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=3√2；联立{x −y =6x 2+y 2−6x =0故x 2−9x +18=0，解得{x =3y =−3或{x =6y =0 故M ，N 的极坐标为M(3√2,7π4),N(6,0)或M(6,0),N(3√2,7π4)【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． (Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用求出结果．23.【答案】解：(Ⅰ)依题意，|x +3|+|2x −4|>8，当x <−3时，原式化为−x −3+4−2x >8，故x <−73，解得x <−3；当−3≤x ≤2时，原式化为x +3+4−2x >8，故x <−1，解得−3≤x <−1；当x >2时，原式化为x +3+2x −4>8，即x >3，解得x >3．综上所述，不等式f(x)>8的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)； (Ⅱ)依题意，|x +3|+|2x −4|+m >|x +3|−x 2，即m >−x 2−|2x −4|，∵m >−x 2−|2x −4|对x ∈R 恒成立，令g(x)=−x 2−|2x −4|={−x 2+2x −4,x ≤2−x 2−2x +4,x >2={−(x −1)2−3,x ≤2−(x +1)2+5,x >2，∴g(x)max =g(1)=−3，∴m >−3，故实数m 的取值范围是(−3,+∞)．【解析】(Ⅰ)由题意可得|x +3|+|2x −4|>8，由零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)由题意可得|x +3|+|2x −4|+m >|x +3|−x 2，即m >−x 2−|2x −4|，由题意可得m >(−x 2−|2x −4|)max ，结合二次函数的最值求法和绝对值的定义，计算可得所求最大值，进而得到m 的范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和二次函数的最值求法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（二）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<6且x∈N∗}，则A的非空真子集的个数为()A. 30B. 31C. 62D. 632.复数z满足z⋅(1+i)=1+3i，则|z|=()A. 2B. 4C. √5D. 53.已知sin(3π2+α)=13，则cosα=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√234.李冶，真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法)，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为()A. x2+z2=y2？B. x2+y2=z2？C. y2+z2=x2？D. x=y？5.已知袋中有3个红球，n个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则n=()A. 1B. 2C. 6D. 76. 已知双曲线C ：x 24−y 25=1，圆F 1：(x +3)2+y 2=16.Q 是双曲线C 右支上的一个动点，以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切，则以下命题正确的是( )A. ⊙Q 过双曲线C 的右焦点B. ⊙Q 过双曲线C 的右顶点C. ⊙Q 过双曲线C 的左焦点D. ⊙Q 过双曲线C 的左顶点7. 在△ABC 中，AB =5，AC =3，BC =4，△ABC 内有一点O ，满足：CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ>0，μ>0，4λ+3μ=2，则CO 的最小值为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√28. 已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6，且f(x)在(π,4π3)上单调，则ω的最大值为( )A. 52B. 3C. 72D. 839. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为B ，右焦点为F ，延长BF 交椭圆E 于点C ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，则椭圆E 的离心率e =( ) A. √λ−1λ+1B. λ−1λ+1C. √λ2−1λ2+1D. λ2−1λ2+110. 已知(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，其中a 0+a 1+⋯+a n =243，则a1+a 12+a 23+⋯+a n n+1=( )A. 182B.1823C. 913D.182911. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为( )A. 2√3B. 2√2C. 3D. √612. 已知函数f(x)=a+lnx x，g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数)，∃x ∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立，则实数a 的最小值为( )A. 1B. eC. 2D. ln2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)=xlg(√x 2+a +x)是偶函数，则f(2x −1)≤f(x)的解集为______．14.已知x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,目标函数z=−2x+y的最大值为2，则实数k的取值范围是______．15.已知点O(0,0)，A(4,0)，M是圆C：(x−2)2+y2=1上一点，则|OM||AM|的最小值为______．16.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ.则tanθ=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}满足a1=13，a2=415，且数列{√a n4a n−1}是等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n．18.四棱锥P−ABCD中，PA=AD=2，AB=BC=CD=1，BC//AD，∠PAD=90°.∠PBA为锐角，平面PBA⊥平面PBD．(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．19.直线l过点(4,0)，且交抛物线y2=2px(p>0)于A，B两点，∠AOB=90°．(1)求p；(2)过点(−1,0)的直线交抛物线于M，N两点，抛物线上是否存在定点Q，使直线MQ，NQ斜率之和为定值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由．20.某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x(单位：只)的统计情况如表：这300天内(假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样)，养鸡厂每天出栏土鸡7a(14≤a≤18)只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56−a元的价钱处理．(Ⅰ)若a=16，求养鸡厂当天在A饭店得到的利润y(单位：元)关于需求量x(单位：只，x∈N∗)的函数解析式；(Ⅱ)以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？21. 已知函数f(x)={x 24e 2,x ≥02x,x <0，g(x)=ln(x +a)．(1)若f(x)，g(x)有公共点M ，且在点M 处有相同的切线，求点M 的坐标； (2)判定函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[0,+∞)上的零点个数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosϕy =1+tsinϕ(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ．(Ⅰ)当φ=π3时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为M(2,1)，求直线l 的斜率．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x −2|．(Ⅰ)若f(x)≥3恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)f(x)≤x 的解集为[2,m]，求a 和m ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x<6且x∈N∗}={1，2，3，4，5}，故A的子集个数为25=32，非空真子集个数为30．故选：A．求出集合A={x|x<6且x∈N∗}={1，2，3，4，5}，由此能求出A的非空真子集个数．本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由z⋅(1+i)=1+3i，得z=1+3i1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，∴|z|=√5．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：sin(3π2+α)=sin3π2cosα+cos3π2sinα=−cosα=13，故cosα=−13．故选：B．利用两角和与差公式直接求解．本题考查三角函数值的求法，考查两角和与差公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.【答案】A【解析】解：由题知，AC=x，AB=y，BC=z，由勾股定理可知x2+z2=y2．故选：A．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】B【解析】解：袋中有3个红球，n个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则p=33+n ×n3+n+n3+n×33+n=1225，解得n=2．故选：B．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：如图；因为以Q为圆心作圆Q与圆F1相外切，∴QF1=4+r；∵QF1−QF2=2a⇒QF1=2a+QF2=4+QF2；∴r=QF2；故圆Q过双曲线C的右焦点；故选：A．根据两圆外切得到QF1=4+r；再结合双曲线的定义即可求解结论．本题考查双曲线的方程和性质以及两圆的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：△ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2， ∴AC ⊥BC ， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0， |CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λμCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16λ2+9μ2， ∵λ>0，μ>0，4λ+3μ=2， ∴2−4λ>0，解得λ<12， ∴0<λ<12．∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=16λ2+9μ2=16λ2+(2−4λ)2=32(λ−14)2+2，∴∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2≥2， ∴CO 的最小值为√2．故选：C ．根据题意，易知△ABC 为直角三角形，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，根据题意，确定λ的取值范围，给CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方，化为关于λ的二次函数，求得最值再开平方即得答案．本题主要考查平面向量的模长公式和数量积的应用，需要学生有转化的思想，属于中档题，解题时要认真审题．8.【答案】D【解析】解：函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6，整理得：x =kω6−π6(k ∈Z)，由于f(x)在(π,4π3)上单调，所以{k 0πω−π6≤π(k0+1)πω−π6≥4π3，解得：67k 0≤ω≤23(k 0+1)，由于ω>0，所以{k 0>067k 0≤23(k 0+1)，解得0<k 0≤72．所以k 0=1，2，3，当k 0=3时，ω的最大值为83．故选：D ．首先利用正弦型函数的对称轴建立等量，进一步利用函数的单调性的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：设C(x,y)，根据BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：{c =λ(x −c)−b =λy ，则{x =(1+λ)λc y =−b λ，因为C 在椭圆上，带入方程可得(1+λ)2λ2⋅e 2+1λ2=1，即e 2=λ2−1(1+λ)2=λ−1λ+1，则e =√λ−1λ+1．故选：A ．设点C(x,y)，利用条件BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得{x =(1+λ)λcy =−bλ，代入椭圆方程整理即可求得e 的值．本题考查椭圆离心率的表示，抓住向量表示是关键，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，令x =1，则3n =a 0+a 1+⋯+a n =243，解得n =5．∴(1+2x)5的通项公式T k+1=∁5k (2x)k =2k ∁5k x k ，∴a k =2k ∁5k ，∴a k k+1=2k ∁5k k+1．则a 01+a 12+a 23+⋯+ann+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823．故选：B ．(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，令x =1，可得3n =a 0+a 1+⋯+a n =243，解得n =5.利用(1+2x)5的通项公式可得a k k+1=2k ∁5kk+1.代入即可得出．本题考查了二项式定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD ，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：AB =CD =√5，AC =2√2，BC =1，BD =√6，BD =3．最长的棱的长度为3．故选：C ．由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD ，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：∵f(x)=a+lnx x，g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数)，∃x ∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立，即∃x ∈(0,+∞)，使得a+lnx x ≥e x −1成立，即∃x ∈(0,+∞)，使得a ≥xe x −x −lnx 成立．令g(x)=xe x −x −lnx(x >0)，则a ≥g(x)min ，∵g′(x)=(1+x)e x −1−1x (x >0)，∴g″(x)=(2+x)e x +1x 2>0，∴g′(x)=(1+x)e x −1−1x 在(0,+∞)上单调递增，又g′(13)=43e 13−4<0，g′(1)=2e −2>0，∴∃x 0∈(13,1)使得g′(x 0)=0，此时g(x)=xe x −x −lnx 取得极小值，也是最小值．令g′(x 0)=0，则(1+x 0)e x 0=1+x 0x 0，即e x 0=1x 0．∴g(x 0)=x 0e x 0−x 0−lnx 0=1−x 0−lne −x 0=1，即g(x)min =1， ∴a ≥1，∴实数a的最小值为1，故选：A．∃x∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立，分离参数a，可转化为∃x∈(0,+∞)，使得a≥xe x−x−lnx成立．构造函数g(x)=xe x−x−lnx(x>0)，利用导数法可求得g(x)min，从而可得答案．本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查推理能力与综合运算能力，是难题．13.【答案】[13,1]【解析】解：∵f(x)为偶函数，y=x为奇函数，∴g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数，∴g(0)=0，解得a=1，对0<x1<x2，可知0<g(x1)<g(x2)，故0<x1g(x1)<x2g(x2)，∴函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，∴f(2x−1)≤f(x)等价于|2x−1|≤|x|，即(2x−1)2≤x2，解得13≤x≤1，即f(2x−1)≤f(x)的解集为[13,1]．故答案为：[13,1]．根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数，g(0)=0，解得a=1，利用函数的单调性解不等式，即可求出f(2x−1)≤f(x)的解集．本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式，考查计算求解能力．14.【答案】(−1,2]【解析】解：x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,表示的可行域如图：目标函数化为y=2x+z，z=2时，可知：最优解在直线2x−y+2=0上，而(0,2)在可行域内，且满足2x−y+2=0.故可知：实数k的取值范围是(−1,2]．故答案为：(−1,2]．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】13【解析】解：如图，由图可知，当M为(1,0)时，|OM|最小为1，|AM|最大为3．则|OM||AM|的最小值为13．故答案为：13．由题意画出图形，通过图形得到|OM|的最小值与|AM|的最大值，则答案可求．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.【答案】3√7777【解析】解：如图；DE⊥面ACE，∠EAB=45°，∠EBD=30°；由题可得：AE=DE=60；AB=BC=80；∴EB=DEtan30∘=60√3；∴cos∠EAB=AE2+AB2−BE22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒602+802−(60√3)22×60×80=602+1602−EC 22×60×160⇒EC =20√77；∴tanθ=6020√77=3√7777；故答案为：3√7777．画出示意图，知道边长和角度，然后利用cos∠EAB =AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒EC ，即可求出结论．本题考查三角形的实际应用，根据条件画出示意图是解决本题的关键，理解本题是立体图形．17.【答案】解：(1)由a 1=13，a 2=415，可得√a 14a 1−1=1，√a 24a 2−1=2，∵数列{√an4a n−1}是等差数列，且首项为1，公差d =1，∴√an 4a n−1=n ，∴a n =n 24n 2−1=14+14×14n 2−1=14+18(12n−1−12n+1)， ∴S n =n 4+18[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=n 4+18−116n+8．【解析】(1)先由题设条件求√an4a n−1，再求出a n ；(2)由(1)中求得的a n ，再利用裂项相消法求出S n ．本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：作AM ⊥PB 于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD ⇒AM ⊥平面PBD ⇒AM ⊥BD ．取AD 中点为Q ，则BC −//̲QD ⇒BQ =CD =1=QD =QA ⇒∠ABD =90°．又∠PBA 为锐角，∴M 、B 不重合．{DB ⊥AB DB ⊥AM⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．(2)取AQ 中点H ，如图建立空间直角坐标系(其中x 轴与HB 平行)，则B(√32,12,0)，C(√32,32,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由(1)的证明知：平面PAB 的法向量为BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,0)．设平面PCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{2y −2z =0−√32x +12y =0．令x =1⇒m =(1,√3,√3)，cos〈m ⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√32+3√32√3⋅√7=√77．平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值：√77．【解析】(1)作AM ⊥PB 于M ，推出AM ⊥BD.取AD 中点为Q ，通过{DB ⊥ABDB ⊥AM ⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．(2)取AQ 中点H ，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 法向量，平面PCD 法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，计算能力．19.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由∠AOB =90°，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得x 1x 2+y 1y 2=0，即有y 122p⋅y 222p +y 1y 2=0，即y 1y 2=−4p 2，设直线l 的方程为x =my +4，联立抛物线的方程y 2=2px ，可得y 2−2pmy −8p =0，则y 1y 2=−8p =−4p 2，可得p =2；(2)抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q(x 0,y 0)，MN 的方程为x =ty −1，代入抛物线的方程y 2=4x ，可得y 2−4ty +4=0，则y M +y N =4t ，y M y N =4，则k MQ +k NQ =y M −y 0x M−x 0+y N −y0x N−x 0=y M −y 0y M 24−y 024+y N −y 0y N 24−y 024=4y M +y 0+4y N +y 0=4(2y 0+y M +y N )y 02+y 0(y M +y N )+y M y N=4(2y 0+4t)y 02+4ty 0+4=16(t+y 02)4y 0(t+y 02+44y 0)．当且仅当y 02=4+y 024y 0时，上式为定值．解得y 0=±2.故Q(1,2)或(1,−2)．【解析】(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，运用向量垂直的条件和联立直线方程与抛物线的方程，解方程可得p ；(2)抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q(x 0,y 0)，MN 的方程为x =ty −1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和斜率公式，计算可得结论．本题考查直线和抛物线的位置关系，注意直线方程与抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)当x <a 时，y =(70−40)x +(56−a −40)(a −x)=(14+a)x +16a −a 2，当x ≥a 时，y =30a ，∴y ={(14+a)x +16a −a 2,x <a30a,x ≥a (x ∈N ∗)，由a =16，得y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗)； (Ⅱ)若出栏112只，则a =16，y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗)．记Y 1为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 1可求420，450，480．P(Y 1=420)=0.15，P(Y 1=450)=0.2，P(Y 1=480)=0.65， Y 1的分布列为：E(Y 1)=420×0.15+450×0.2+480×0.65=465；若出栏119只，则a =17，y ={31x −17,x <17510,x ≥17(x ∈N ∗)．记Y 2为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 2可求417，448，479，510．P(Y 2=417)=0.15，P(Y 2=448)=0.2，P(Y 2=479)=0.25，P(Y 2=510)=0.4， Y 2的分布列为：E(Y 2)=417×0.15+448×0.2+479×0.25+510×0.4=475.9． ∵E(Y 1)<E(Y 2)，∴养鸡场出栏119只时，或利润最大．【解析】(Ⅰ)根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量x <a ，剩下的鸡只能以每只56−a 元的价格处理，建立分段函数模型，再将a =16代入求解；(Ⅱ)根据离散型分布列的特点，分类讨论，分别求出出栏112与119只时的期望，比较大小得结论．本题主要考查样本估计总体，考查分段函数的应用与运算求解能力，考查离散型随机变量的分布列与期望，是中档题．21.【答案】解：(1)设M(x 0,y 0)，则当x 0≥0时，{x 024e 2=ln(x 0+a)①x 02e 2=1x 0+a ②，由②得x 0+a =2e 2x 0，代入①得x 024e 2=ln2e 2x 0=ln(2e 2)−lnx 0，对函数φ(x)=x 24e 2−ln(2e 2)+lnx，求导得φ′(x)=x2e 2+1x >0， ∴φ(x)为增函数，且φ(2e)=0，故x 0=2e ；当x 0<0时，{2x 0=ln(x 0+a)2=1x 0+a，则2x 0=ln 12，即x 0=−ln22；综上，M 的坐标为(2e,1)或(−ln22,−ln2)；(2)由(1)知，x 0=2e 时，a =−e,ℎ(x)=x 24e 2−ln(x −e)，则ℎ′(x)=x2e 2−1x−e ,ℎ″(x)=12e2+1(x−e)2>0，故ℎ′(x)在定义域上单调递增，则易知ℎ′(x)有唯一零点为x =2e ，则ℎ(x)≥ℎ(2e)=0，故ℎ(x)有唯一零点；当a <−e 时，ℎ(x)=x 24e2−ln(x +a)>x 24e 2−ln(x −e)≥0，ℎ(x)无零点；当−e <a ≤1时，ℎ′(x)=x 2e 2−1x+a 在[0,+∞)上至多一个零点，ℎ(x)在(0,+∞)上至少两个零点，而ℎ(0)=−lna ≥0，ℎ(2e)=1−ln(2e +a)<0，x →+∞时，ℎ(x)→+∞，故ℎ(x)在(0,2e)，(2e,+∞)上各一个零点；当a >1时，ℎ′(x)=x2e 2−1x+a 满足ℎ′(0)<0，ℎ′(2e)>0，故在(0,2e)上，ℎ′(x)仅一个零点，设为m ，在(0,m)上，ℎ(x)为减函数，在(m,+∞)上，ℎ(x)为增函数，而ℎ(0)=−1a <0,ℎ(m)<ℎ(0)<0，x →+∞时，ℎ(x)→+∞，故仅在(m,+∞)上有一个零点．综上可得，当a <−e 时，ℎ(x)无零点；当a =−e 或a >1时，ℎ(x)有1个零点；当−e <a ≤1时，ℎ(x)有2个零点．【解析】(1)设M(x 0,y 0)，分x 0≥0和x 0<0两种情况讨论，每种情况下利用两个函数在x =x 0处的导数值和函数值相等建立方程求解；(2)结合(1)中得到的结论，分a=−e、a<−e、−e<a≤1、a>1四种情况讨论．本题考查的是导数的几何意义及利用导数研究函数的零点个数，考查分类讨论思想，属于压轴题目．22.【答案】解：(Ⅰ)直线l的普通方程为：√3x−y+1−2√3=0；椭圆C的直角坐标方程为：x216+y212=1．(Ⅱ)将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得：(3+sin2φ)t2+(12cosφ+ 8sinφ)t−32=0，由题意得：t1+t2=0，故12cosφ+8sinφ=0⇒k=tanφ=−32，所以直线l的斜率为−32．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力生的运算能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣，当且仅当(x−a)(x−2)≤0时取等号，故f(x)的最小值为∣a−2∣，∴∣a−2∣≥3⇔a≥5或a≤−1．(Ⅱ)由不等式解集的意义可知：x=2时，f(2)=2，即∣a−2∣=2，解得a=0或4．a=0时，如图所示：不合题意，舍去；a=4时，如图所示：由y=x与y=2x−6，解得：x=6．即m=6，综上，a=4，m=6．【解析】(Ⅰ).根据绝对值三角不等式，由f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣，求得f(x)最小值，再由∣a−2∣≥3求解；(Ⅱ)不等式的解集与相应方程根的关系，当x=2时，f(2)=2，即∣a−2∣=2，解得a=0或4.再分类求解．本题主要考查绝对值不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．。

2020届全国百师联盟新高考押题仿真模拟(二十)理科数学

2020届全国百师联盟新高考押题仿真模拟（二十）数学试卷（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题相应答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题相应答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持答题卡卡面清洁，无污渍，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2=680A x N x x ∈-+≤，集合{}=28xB x ≥，则A ∩B ＝（） A. {3，4} B. {2，3，4}C. {2，3}D. {4}【答案】A 【解析】【分析】直接计算出A 、B 两集合，就能求出答案【详解】集合{}2,3,4A =，{|B x x =≥}3，所以{}3,4A B =I .选A ．【点睛】集合的交集运算.属于简单题2.设复数z 满足()1+2i z =，则复平面内z 表示的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】由复数的四则运算求出z ，就能判别相应选项. 【详解】因为(1i)2z +=，所以22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限.选D ．【点睛】复数四则运算，属于简单题.3.已知正项等比数列{}n a 中，234a a a ⋅=,若331S =，则n a ＝（） A. 2•5n B. 2•-15nC. 5nD. -15n【答案】D 【解析】【分析】考查等比数列的定义，通过234a a a ⋅=,331S =就可以求出数列通项公式.【详解】由234·a a a =得23111·a q a q a q =，即211a a =，解得11a =.又因为3S =12331a a a ++=，即2131q q ++=，解得5q =，所以15n n a -=.选D ．【点睛】考查等比数列定义，属于简单题.4.设a ＝0.60.6，b ＝log 0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（） A. a ＜b ＜c B. a ＜c ＜bC. b ＜a ＜cD. b ＜c ＜a【答案】C 【解析】【分析】这是三个不同类型的数字，所以和中间值0和1比较大小，从而得到,,a b c 的大小关系.【详解】解析：因为0.6000.60.61a <=<<，0.60.6log 1.5log 10b =<<，0.601.5 1.51c =>>，所以b ac <<，选C .【点睛】本题考查了指数和对数比较大小，一般同类型的数按单调性比较大小，或是和中间值0，1比较大小.5.若平面单位向量a r ，b r ，c r不共线且两两所成角相等，则a b c ++r r r =（）A.B. 3C. 0D. 1【答案】C 【解析】【分析】首先判断向量两两所成的角为120o，再根据a b c ++=r r r计算结果.【详解】解析：设向量,a b rr 两两所成的角为θ ，则平面不共线向量a r ，b r ，c r 的位置关系只有一种，即两两所成的角为120o ，所以120θ=o .a b c ++===r r r当120θ=o时，0a b c ++=r r，选C .【点睛】本题考查了向量数量积的运算，本题的关键是确定向量两两所成的角是120o ，意在考查向量数量积求模的基本知识.6.棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径为（）A. B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.【详解】因为球O 与正方体的所有棱相切，所以该球的直径等于正方体的面对角线长.设球的半径为R ，则2R =R =选C .【点睛】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.多画图找关系.7.函数()2cos f x x x =⋅在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的图象大致是()n n A. B.C. D.【答案】C 【解析】分析：利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值判断即可. 详解：由于()()f x f x -=，故函数为偶函数,排除,A B 两个选项.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()22cos sin f x x x x x -'=，令22cos sin 0x x x x -=，可得tan 2x x =，方程的解4x π>，即函数的极大值点4x π>，排除D.故选C ：.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．8.为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A. 1i i =+B. 2i i =+C. 3i i =+D. 4i i =+ 【答案】B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（）A.45B.25C.910D.710【答案】A【解析】试题分析：记其中被污损的数字为x ，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是1(80290389210)905⨯⨯+⨯+++++=，乙的5次综合测评的平均成绩是1442(8039023379)55x x +⨯⨯+⨯+++++=，令442905x +>，解得8x <，即x 的取值可以是07~，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是84105=. 考点：茎叶图和古典概型的求法.10.古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，k ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A （﹣3，0），B （3，0），动点M 满足MA MB ｜｜｜｜＝2，则动点M 的轨迹方程为（） A. （x ﹣5）2+y 2＝16 B. x 2+（y ﹣5）2＝9 C. （x +5）2+y 2＝16 D. x 2+（y +5）2＝9【答案】A 【解析】【分析】首先设(),M x y ，代入两点间的距离求MA 和MB ，最后整理方程. 【详解】解析：设(),M x y ，由2MA MB=，得()()2222343x y x y ++=-+，可得：（x +3）2+y 2＝4（x ﹣3）2+4y 2，即x 2﹣10x +y 2+9＝0整理得()22516x y -+=，故动点M 的轨迹方程为()22516x y -+=.选A .【点睛】本题考查了轨迹方程的求解方法，其中属于直接法，一般轨迹方程的求解有1.直接法，2.代入法，3.定义法，4.参数法.11.设函数222cos ()2()x x e f x x e ππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，则()20191M m +-的值是（） A. 1 B. 2C. 22019D. 32019【答案】A 【解析】【分析】将函数()f x 构造为()f x =奇函数+常数形函数.【详解】22222cos (e)sin 2e 2()1e e x x x x f x x x πππ⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭==+++，设22sin 2e ()ex xg x x π+=+，则()g x 为奇函数，故max min ()()0g x g x +=，则2M m +=，所以2019(1)1M m +-=.选A . 【点睛】一般像这种较为复杂函数求最大值与最小值和相关问题，常会考虑函数本身或者能否构建成奇偶函数相关问题.12.棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么正方体内过E ，F ，G 的截面面积为（） A. 32 B. 33C. 23D. 22【答案】B 【解析】分析】正方体截面的考查，可以通过正方体的结构画图可以完成【详解】的正六边形，其面积为26＝.选B.【点睛】通过正方体的机构特征，多画图，将三点所构成的平面去和正方体的棱判断交点位置.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为_____．【答案】320x y--=【解析】【分析】首先求1x=处的导数，再根据切线公式()()000y y f x x x'-=-求切线方程.【详解】解析：12y xx'=+，在点（1，1）处的切线斜率为3，所以切线方程为320x y--=.【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14.在公差为3的等差数列{a n}中，a1，a3，a11成等比数列，则数列{a n}的前n项和S n＝_____【答案】232n n+【解析】【分析】考查等差数列的定义，通过指定的三项的等量关系及公差的值求出1a，从而能完成本题.【详解】由题意得23111·a a a=，即()()21116?30a a a+=+，解得12a=，所以31na n=-，所以()21322nna a n n nS++==.【点睛】考查利用等差数列的定义求其通项公式，进而求前n项和.15.甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8．且各局比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是_____ 【答案】10243125【解析】【分析】直接利用二项分布公式的，但是要注意实际问题4:1不能简单的二项分布.【详解】甲队以4∶1获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获胜3局，第5局必胜，则概率314144C 555P ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=10243125. 【点睛】本题属于易错题，高考中就出现过，4:1获胜是需要前4场3胜一负，并且第五场赢下.16.已知双曲线2222:1?(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF ．若6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，则该双曲线的离心率为．【答案】5e = 【解析】试题分析：6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，由余弦定理可求得10AB =，90BFA ∠=︒，将A ，B 两点分别与双曲线另一焦点连接，可以得到矩形，结合矩形性质可知，210c =，利用双曲线定义，2862a =-=，所以离心率5e =．考点：双曲线的定义，双曲线的离心率，余弦定理．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、计明过稈或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选专题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23cos 3cos cos 0a B b B A c +-= （1）求cos B ;（2）若2,3sin 2sin AB A B ==,求△ABC 的面积．【答案】（1）1cos 3B =（2）829【解析】【分析】本题考查了三角形中正余弦定理的应用.(1)通过条件用正弦定理，将所有边的形式化成角的形式.(2)将条件中3sin 2sin A B =化成边的关系，最后选择余弦定理求另外边，最后再用面积公式. 【详解】解：（1）23cos 3cos cos 3cos (cos cos )0a B b B A c B a B b A c +-=+-=，由正弦定理，有3cos (sin cos cos sin )sin 0B A B A B C +-=，即3cos sin sin 0B C C -=，所以1cos 3B =. （2）因为1cos 3B =，所以22sin 3B =.又3sin 2sin A B =，所以32a b =.根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得43a =，2b =，所以ABC △的面积为182sin 2S ac B ==. 【点睛】本题单一的考查了正余弦定理，属于简单题.18.如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA 1，E 是A 1C 的中点．（1）若P 为AB 的中点证明：DE ∥平面PBA 1．（2）若平面PDA 1⊥平面PDA ，且DE ⊥平面CBA 1，求二面角P ﹣A 1D ﹣C 的正弦值．【答案】（1）详见解析（26【解析】【分析】（1）通过线线平行去得到线面平行，这也是线面平行证明中十分重要的手段. （2）利用空间向量求二面角的平面角的正弦值，向量法做题，一定要细心运算. 【详解】（1）证明：取1A B 的中点F ，连接EF ，PF .因为P 为AB 的中点且//PD BC ,所以PD 是△ABC 的中位线.所以PD //BC ，且PD ＝12BC . 又因为E 是1A C 的中点,且1A B 的中点为F ,所以EF 是△1A BC 的中位线, 所以EF //BC ，且EF ＝12BC ,所以PD 与EF 平行且相等, 所以四边形PDEF 是平行四边形,所以//DE PF .因为PF ⊂平面1PBA ，DE ⊄平面1PBA ，所以//DE 平面1PBA .（2）解：因为DE ⊥平面1CBA ，所以1DE A C ⊥.又因为E 是1A C 的中点，所以1A D DC DA ==，即D 是AC 的中点.由//PD BC 可得，P 是AB 的中点.在ABC △中,90B =o ∠，//PD BC ，PDA V 沿PD 翻折至1PDA V ，且平面1PDA ⊥平面PDA ，利用面面垂直的性质可得1PA ⊥平面PBCD ，以点P 为原点建立坐标系如图所示，则1(0,0,1)A ，(0,1,0)D ，(1,2,0)C -，1(0,1,1)A D =-u u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r . 设平面1A DC 的法向量为(,,)n x y z =r，有10,·0,(1,1,1)0·0x y n CD n y z n A D ⎧-==⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎩⎩u u u v r r u u uu v r ，容易得到平面1A PD 的法向量(1,0,0)m =r，设二面角1P A D C --的大小为θ，有cos cos ,3n m θ===r r，所以sin θ=【点睛】证明线面平行，一般三种途径:找线线平行、找面面平行、利用空间向量，第一种方法用的较多. 利用空间向量求相关夹角或者距离问题，运算要格外注意.19.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？【答案】（1)详见解析；（2)甲获得面试通过的可能性大【解析】试题分析：（1）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；（2）确定Dξ＜Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．试题解析：（1）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3()124236115C C P c ξ===；()214236325C C P c ξ===；()304236135C C P c ξ===；应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为P15 35 15()1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3()()3120133112160;13273327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2323332112282,33327327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭应聘者乙正确完成题数η的分布列为：η0 1 2 3P127 627 1227 827()161280123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. （或∵23,3B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭∴()2323E η=⨯=）（2）因为()()()()22213121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=， ()()213D np p η=-=所以()()D D ξη<综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题概率考查，甲获得面试通过的可能性大20.已知点M （x ，y 2222(1)(1)22x y x y ++-+=（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点N （﹣1，0）的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23（O 为坐标原点）．求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】【分析】（1）根据几何意义可知，点M 满足动点M 到定点()()1,0,1,0-的距离和为，且2>，所以点M 满足椭圆的定义，写出轨迹方程；（2）首先分直线l 与x 轴垂直和x 轴不垂直两种情况讨论，当斜率存在时，()1y k x =+与椭圆方程联立，设交点()11,A x y ，()22,B x y ，根据条件可知1212123S y y =⨯⨯-= ，即43=，利用根与系数的关系求k ，即得直线l 的方程.【详解】解：（1）由已知，动点M 到点()1,0P -，()1,0Q 的距离之和为且PQ <M 的轨迹为椭圆.而a =1c =，所以1b =，所以动点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l与x 轴垂直时，1,2A ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭，2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，此时AB =则112OAB S ==V ，不满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =+，由()221,12y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k-=+. 而121211·22OAB S ON y y y y =-=-V ，由23OABS =V 得1243y y -=.12y y-==又所以()22222441612912k kkk+=++，则4220k k+-=，所以1k=±，所以直线l的方程为10x y-+=或10x y++=．【点睛】本题考查了定义法求曲线方程和直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题，意在考查转化与化归和逻辑推理和计算能力的考查，直线与椭圆相交时，时常把两个曲线方程联立，消去x或y建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.21.已知函数f（x）＝ax﹣cosx，a≠0．（1）若函数f（x）为单调函数，求a的取值范围；（2）若x∈[0，2π]，求：当a≥23π时，函数f（x）仅有一个零点．【答案】（1）1a≤-或1a≥（2）详见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，()sinf x a x'=+，当函数单调递增时()0f x'≥恒成立，当函数单调递减时，()0f x'≤恒成立；（2）根据（1）可知当1a≥时，函数单调递增，根据零点存在性定理可知只有一个交点，当01a<<时，可得函数存在两个极值点，1233,22x xππππ<<<<，根据单调性可判断，()111cosf x ax x=-是极大值，()222cosf x ax x=-是极小值，因为()010f=-<，()10f x>，若函数只有一个零点，只需满足()20f x>，即可求得a的取值范围.【详解】（1）解：由()cosf x ax x=-，可得()sinf x a x=+',x R∈.因为1sin1x-≤≤，所以当1a≥时，()sin0f x a x'=+≥，()f x为R上的单调增函数；当1a≤-时，()sin0f x a x'=+≤，()f x为R上的单调减函数.综上，若函数()f x为单调函数，则1a≤-或1a≥.（2）证明：当1a ≥时，由（1）可知()f x 为R 上的单调增函数. 又()01f =-，022a f ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭所以函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个零点，满足题意. 当01a <<时，令()sin 0f x a x '=+=，则sin x a =-.由于02πx ≤≤，所以1sin 1x -≤≤，从而必有1x ，[]20,2πx ∈，使1sin x a =-，且2sin x a =-. 不妨设12x x <，且有13ππ2x <<，23π2π2x <<，所以当()10,x x ∈时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数；当()12,x x x ∈时，()sin 0f x a x '=+<，()f x 为减函数；当()2,2πx x ∈时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数.从而函数()f x 的极大值为()111cos f x ax x =-，极小值为()222cos f x ax x =-. 因为13ππ2x <<，所以1cos 0x <，从而极大值()111cos 0f x ax x =->. 又()01f =-，要使函数()f x 仅有一个零点，则极小值()222cos 0f x ax x =->，所以()22222cos 0f x ax x ax ax =-==>，即a >21x <，23π2π2x <<，所以当23πa ≥时，函数()f x 仅有一个零点. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和零点问题求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，极值和最值，以及零点存在的问题，考查学生逻辑推理和转化的思想，本题的第二问是一个证明题，可转化为已知函数有一个零点求参数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρcosθρsinθ＝3．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值．【答案】（1）30x -=（2）3【解析】【分析】（1）根据转化公式可知cos ,sin x y ρθρθ==，代入求得直线的直角坐标方程；（2）设曲线上的任意一点的坐标为),sin θθ，代入点到直线的距离d =，利用三角函数的范围求得d 的最大值.【详解】解：（1）直线l的直角坐标方程为30x +-=. （2）设曲线C上点的坐标为),sin θθ，则曲线C 上的点到直线l 的距离d ==sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取得最大值，所以max d =【点睛】本题考查了直线的极坐标方程和直角坐标方程的转化，以及考查坐标变换和点到直线的距离公式，利用三角函数求函数的最值，属于简单题型.23.已知a ，b ，c ，d 为正数，且满足abcd ＝1，证明：（1）（a +b ）（b +c ）（c +d ）（d +a ）≥16；（2）22221111a b c d ab bc cd ad+++≤+++．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式，a b +≥ ，b c +≥ ，c d +≥，d a +≥四个式子相乘即可得到正确结果；（2）首先等式左边变形为1111abcd cd ad ab bc ab bc cd ad ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式证明.【详解】证明：（1）因为a b c d ,,,为正数，所以a b +≥，b c +≥c d +≥d a +≥（当且仅当a b c d ===时等号同时成立），所以()()()()16a b b c c d d a abcd ++++≥=. 又1abcd =，所以()()()()16a b b c c d d a ++++≥(当且仅当a =b =c =d 时等号成立).(2)因为1abcd =，所以11111111abcd cd ad ab bc ab bc cd ad ab bc cd ad ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭. 又()()()()()22222222222222222a b c da b b c c d d a ab bc cd da +++=+++++++≥+++(当且仅当a b c d ===时等号成立)，所以()2222111122a b c dab bc cd ad ⎛⎫+++≥+++ ⎪⎝⎭，即22221111a b c d ab bc cd ad+++≤+++(当且仅当a =b =c =d 时等号成立). 【点睛】本题考查了不等式的证明，重点考查了基本不等式的应用，意在考查等价转化思想和逻辑推理能力.。

2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(全国ⅰ卷)

2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z 满足121z i i -+=+，则||(z = ) A ．5B ．2C ．3D ．32．（5分）已知集合{21A a =-，2a ，0}，{1B a =-，5a -，9}，且{9}A B =I ，则()A ．{9A =，25，0}B ．{5A =，9，0}C ．{7A =-，9，0}D ．{7A B =-U ，9，0，25，4}-3．（5分）已知向量2(2a x x =-r ，1)，(1,3)b =-r ，则“13x -<<”是“a r ，b r 的夹角为钝角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（5分）将函数2sin(2)4y x π=+的图象向右平移4π个单位长度，所得函数( )A ．在区间3(8π-，)8π上单调递增B ．在区间5(8π-，)8π-上单调递减 C ．以8x π=为一条对称轴D ．以3(8π，0)为一个对称中心 5．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A ．83πB ．8πC ．163πD ．12π6．（5分）改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12C ．25D ．347．（5分）已知函数212()log ()f x x ax a =-+在1(2，)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]B ．1[2-，1]C ．1(2-，1]D ．1(2-，)+∞8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为函数3||y x =图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线22330x y -+=上，则OAB ∆的面积为( ) A ．2B ．3C ．3 D ．3 9．（5分）一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 点出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为( )A ．2027B ．79C ．727D ．2910．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，3BC CD =，则ADB ∠的最大值为()A ．4πB ．3π C ．2π D ．23π 11．（5分）我国古代的数学著作《九章算术g 商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，M 、N 分别是1BB 和11A C 的中点，则平面AMN 截“堑堵” 111ABC A B C -所得截面图形的面积为( )A ．213B ．213C 27D 4712．（5分）已知函数()2f x alnx x =-，若存在*x N ∈，使()0f x >成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2,)e +∞B ．4(2ln ，)+∞ C ．6(3ln ，)+∞ D ．(2,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩„……，则|1|z x y =-+的最大值为．14．（5分）在25(1)()x x x a +--的展开式中，含5x 项的系数为14，则实数a 的值为． 15．（5分）已知实数x ，y 满足20y x >…，则92y xx x y++的最小值为． 16．（5分）巳知1F 、2F 为双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△12PF F 内切圆的圆心为I ，则圆心1到圆22(1)1x y +-=上任意一点的距离的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，210S =，*112()1n n n S a n N n +-=+∈+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*()2(1)!n n na b n N n =∈+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：112n T <„． 18．（12分）某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年齡在[20，60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如表的统计表格：年龄区间 [20，30)[30，40)[40，50)[50，60]教师人数 2000 1300 样本人数130。

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(理)(二)试题(解析版)

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（理）（二）试题一、单选题1．已知集合{|6A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为( )A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A【解析】先化简集合A ，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解. 【详解】因为集合{|6A x x =<且}{}*N1,2,3,4,5x ∈=，所以A 的非空真子集的个数为52230-= . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题. 2．复数z 满足()113z i i ⋅+=+，则z =（）A ．2B ．4C D ．5【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出复数z ，再求出模长|z |．【详解】()()13113212i i i z i i +-+===++，故z =故选：C . 【点睛】本题考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题．3．已知31sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=（）A ．13B ．13-C D ．【答案】B【解析】直接由诱导公式计算即可.【详解】由诱导公式可得：3sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭1cos 3α=-=，故1cos 3α=-.故选：B. 【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题.4．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A 处，甲看到乙，便从A 走到B 处，甲乙二人共行走1600步，AB 比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB ，则判断框中应填入的条件为( )A ．222?x z y +=B ．222?x y z +=C ．222?y z x +=D ．?x y =【答案】A【解析】根据题意得，,,,AC x AB y BC z === 则1600,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ，再根据ABC V 为直角三角形90C =o ∠ 求解. 【详解】由题意得，,,,AC x AB y BC z ===则1000,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ，符合程序框图所示:又ABC V 为直角三角形，且90C =o ∠，所以222x z y += . 故选：A 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 5．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是23，乙赢的概率是13，则甲以3:1获胜的概率是( ) A ．827B ．1627C ．1681D ．3281【答案】A【解析】根据题意，可知5局3胜制，甲以3:1获胜，则第4局甲胜，且前3局甲胜2局，根据二项分布即可求出概率. 【详解】解：由题可知，5局3胜制，甲以3:1获胜，则第4局甲胜，且前3局甲胜2局，故所求概率为223221833327P C ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查独立重复试验求概率以及二项分布的实际应用，属于基础题.6．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆2C ：()2221x y -+=相切，则双曲线1C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．13y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】D【解析】双曲线1C 的一条渐近线方程为0bx ay -=，根据渐近线与圆2C ：()2221x y -+=1=求解.【详解】双曲线1C 的一条渐近线方程为0bx ay -=，圆心()2,0到渐近线的距离为1，1=，得223a b =即3b a =. 所以双曲线1C的渐近线方程为：y x = 故选;D 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．已知向量a v 、b v 满足1a =v ，2b =v，2a b a b +=-v vv v ，则a v 与b v 夹角为（）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】根据|2a b +rr|=2a b -rr|，两边平方，根据|a r|，|b r|，得出向量的数量积，再根据夹角公式求解．【详解】由已知，（2a b +r r ）2＝3（2a b -r r ）2，即4a r 2+4a r •b b r r +2＝3（4a r 2﹣4a r •b b r r +2）．因为|a r|＝1，|b r|＝2，则a r21b =r，2＝4，所以8+4a r •b =r 3（8﹣4a r •b r），即a r •1b =r．设向量a r与b r的夹角为θ，则|a r|•|b r|cosθ1=，即cosθ12=，故θ＝60°．故选：B . 【点睛】本题考查了向量夹角的求法，考查了数量积的运算法则及模的求解方法，属于基础题8．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在()0,π上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为( )A ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．43,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．47,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】根据正弦函数的对称轴，令62x k ππωπ+=+，k Z ∈，则3k x ππω+=，k Z ∈.再根据()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象在()0,π上有且仅有两条对称轴，令()()()130,30,13,23,k k k k ππωππωπππωπππω⎧+-⎪≤⎪⎪⎪+⎪>⎪⎪⎨⎪++⎪<⎪⎪⎪++⎪≥⎪⎩求解.【详解】令62x k ππωπ+=+，k Z ∈，则3k x ππω+=，k Z ∈.因为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象在()0,π上有且仅有两条对称轴，所以()()()130,30,13,23,k k k k ππωππωπππωπππω⎧+-⎪≤⎪⎪⎪+⎪>⎪⎪⎨⎪++⎪<⎪⎪⎪++⎪≥⎪⎩则20,310,34,37,3k k k k ωω⎧-≤⎪⎪⎪+>⎪⎨⎪>+⎪⎪⎪≤+⎩ 解得47,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．1 B ．eC ．1eD【答案】B【解析】根据题意，对2112x x x x <两边取对数，化简得1212ln ln x x x x <，故()ln x f x x=在()0,m 上为增函数，利用导数求出单调增区间，即可得出答案.【详解】解：由题意得，当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，两边取对数，得2112ln ln x x x x <，化简得1212ln ln x x x x <，故()ln xf x x=在()0,m 上为增函数，因为()21ln 00xf x x e x -'=≥⇒<≤，故m 的最大值为e .故选：B. 【点睛】本题考查函数单调性的实际应用，利用导数研究单调性解决恒成立问题，考查转化思想和计算能力.10．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则0121231n a aa a n +++⋅⋅⋅+=+( ) A ．182 B ．1823C ．913D ．1829【答案】B【解析】由题可知，令1x =，得：32435n n =⇒=，根据导数的运算公式，得()()()666255101212112261226x x a x a x x a x '''⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⋅=+==++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令0x =和1x =，即可求出答案.【详解】解：根据题意，01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，令1x =，得：32435n n =⇒=，由于()612126x '⎡⎤+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦()512x =+()62551015026a x a x a a x a x a x ''⎛⎫⎛⎫'=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()662510121226x a x a x a x ''⎡⎤+⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()662510121226x a x a x a x C +∴=++⋅⋅⋅++，令0x =，解得112C =，而5n =，令1x =，得051218212363a a a a +++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开式以及导数的应用，考查转化能力和计算能力. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（）A．23B．22C．3 D．6【答案】C【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论．【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，画出图形如图所示：正方体的棱长为2，A、C为所在棱的中点，则CD=1，BC=AD5，BD=BE=CF=22结合图形可得, △AEB，△AFC，△AFD为直角三角形，由勾股定理得AB22CF AF+=+=，AC22=5+1=6+BE AE=813最长的棱为AB=3，故选：C.【点睛】本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.12．已知函数()()ln f x x a =-，若1x ∃，()2,x a ∈+∞，使得()()2212214x f x x f x -+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则实数a 的取值范围是( )A ．(,21⎤-∞-⎦ B ．2,2⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦C ．(,2⎤-∞⎦D ．(],2-∞【答案】A【解析】根据题意，()()221221x f x x f x -+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦表示两点()()11,x f x ，(),tt e a +距离的平方，画出图象，可知()1,0A a +，()0,1B a +，则1AB k =-，分类讨论a ，结合条件即可求出a 的取值范围. 【详解】解：令()2t f x =，则()()()22121221,S x x x f x x f x =-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦为两点()()11,x f x ，(),tt e a +距离的平方，画出()()ln x a y f x ==-与xy e a =+的图象.设()1,0A a +，()0,1B a +，两函数图象在A ，B 处的切线斜率都为1，1AB k =-，当1a >-时，可知2AB 为()12,S x x 最小值.即()2421a ⎡⎤≥+⎣⎦，解得121a -<≤-，当1a ≤-时，显然成立，故21a ≤-.故选：A.【点睛】本题考查指对数函数的应用，涉及切线斜率和两点间距离，考查转化和分析能力.二、填空题13．已知())lg f x x x =是偶函数，则()()21f x f x -≤的解集为______.【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出())lgg x x =为奇函数，()001g a =⇒=，利用函数的单调性解不等式，即可求出()()21f x f x -≤的解集.【详解】解：由题知，()f x 是偶函数，故())lgg x x =为奇函数，()001g a =⇒=，对()()()()12121122000x x g x g x x g x x g x <<⇒<<⇒<<，即()f x 在()0,∞+上为增函数，()()()22121212113f x f x x x x x x ∴-≤⇔-≤⇔-≤⇔≤≤，即()()21f x f x -≤的解集为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式，考查计算求解能力.14．已知x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩目标函数2z x y =-+的最大值为2，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(]1,2-【解析】根据x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，且直线20kx y -+=过定点()0,2 ，将目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，根据2z =时，最优解在直线220x y -+=上，而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=结合图形求解.x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，直线20kx y -+=，过定点()0,2目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，在y 轴上截距最大时，目标函数值最大，当2z =时，可知：最优解在直线220x y -+=上，而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=. 所以最大值点为()0,2 如图所示：所以实数k 的取值范围是(]1,2-. 故答案为：(]1,2- 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.15．已知椭圆C ：2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且190AF B ∠=︒.圆M 与1F A 的延长线，1F B 的延长线，直线AB 都相切，则圆M 的半径为______. 【答案】2【解析】根据题意，设M e 分别与直线AB ，1F A 延长线，1F B 延长线切于P ，Q ，R ，得出四边形1F RMQ 是正方形，利用椭圆的定义，列式转化即可求出圆M 的半径.解：由题知，设M e 分别与直线AB ，1F A 延长线，1F B 延长线切于P ，Q ，R ，则四边形1F RMQ 是正方形，而11F R F B BP =+，11FQ F A AP =+，故1111442F R FQ F A F B AB a +=++==，所以122M F R r ==. 故答案为：22.【点睛】本题考查圆的半径和椭圆的定义的应用，以及圆的切线，考查转化思想和计算能力. 16．四边形ABCD 中，5AB =，6BC =，7CD =，8DA =，则四边形ABCD 面积最大值为______. 【答案】4105【解析】在△CBD ，△ABD 中，由余弦定理可得21cos 20cos 1C A -=- 再由三角形面积公式，可得21sin 20sin ABCD C A S +=，结合同角基本关系可得()2222120840cos 1ABCD A C S +-+=+，利用余弦定理的有界性求得最值．【详解】ABD ∆中，22258258cos BD A =+-⨯⨯，①CBD ∆中，22267267cos BD C =+-⨯⨯，② 由①②得：21cos 20cos 1(*)C A -=-，1158sin 67sin 22ABCD S A C =⨯⨯+⨯⨯21sin 20sin (**)ABCD C A S ⇒+=,(*)(**)两式平方相加得：()2222120840cos 1ABCD A C S +-+=+， ∴222121208401681ABCD S +++=≤，∴ABCD S=故答案为：【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，考查运算能力与逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 满足：11223111,(1)(2)3n n a a a a a a a n n n +=+++=++L . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：122311111n n a a a a a a ++++<L . 【答案】（1）n a n =（2）见解析【解析】（1）根据已知利用递推关系式推出1(1)(2)n n a a n n n +=+≥，化为111n n a a n n +⋅=+，令nn a b n=，则11b =，且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11n n b b +-=，进一步推出1n n b a n ==，，即可得到{a n }的通项公式；（2）根据（1）求出12231111n n a a a a a a ++++L ，然后利用裂项相消法求和，即可证明. 【详解】（1）由122311(1)(2)3n n a a a a a a n n n ++++=++L 得： 122311(1)(1)(*)3n n a a a a a a n n n -+++=-+L ，两式相减得：1(1)(2)n n a a n n n +=+≥. 当1n =时，122a a =满足此式，故对*n N ∈，有1(1)n n a a n n +=+，化为111n n a a n n +⋅=+. 令nn a b n=，则11b =，且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11()0,0n n n n b b b b +--=≠，故11n n b b +-=，即212311k k b b b --====L ，故n 为奇数时，1n n b a n ==，. 又21b =，故22221k k b b b -====L ，故n 为偶数时，1n n b a n ==，，故n a n =.（2）由（1）可得：122311*********(1)n n a a a a a a n n ++++=+++⨯⨯⨯+L L 1111112231n n =-+-++-+L1111n =-<+.【点睛】本题考查数列的求和，数列递推式，涉及到的知识点有根据数列的和之间的关系类比着往前或往后写一个式子，两式相减得到数列的项之间的关系，构造新的关系式，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.18．四棱锥P ABCD -中，2PA AD ==，1AB BC CD ===，//BC AD ，90PAD ∠=︒.PBA ∠为锐角，平面PBA ⊥平面PBD .（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）先作AM PB ⊥于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD AM ⇒⊥平面PBD AM BD ⇒⊥，又在底面中可得90ABD ∠=︒，从而可得DB ⊥平面PAB PA DB ⇒⊥，结合90P D A PA ∠=︒⇒⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，可得所求. 【详解】（1）作AM PB ⊥于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD AM ⇒⊥平面PBD AM BD ⇒⊥，取AD 中点为Q ，则190BQ CD QD QA ABD BC QD ====⇒∠=⇒︒P，又PBA ∠为锐角，∴M 、B 不重合，DB ABDB DB AM ⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面PAB PA DB ⇒⊥与PA AD PA ⊥⇒⊥平面ABCD . （2）取AQ 中点H ，如图建立空间直角坐标系（其中x 轴与HB 平行），则31,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0D ，()002P ,,，由（1）的证明知：平面PAB 法向量为33,02BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，设平面PCD 法向量为(),,m x y z =u r，则220031002y z m PD m CD x y ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩u u u v v u u u v v ，令(13,3x m =⇒=，333722cos 77,3m BD m B m BD D-+⋅==⋅⋅=u r u u u r u r u u r u u u r u u r . 【点睛】本题考查面面垂直、线面垂直与线线垂直间的相互转化，考查了空间直角坐标系求二面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题；19．已知抛物线()220x py p =>上有两点A ，B ，过A ，B 作抛物线的切线交于点()2,1Q --，且90AQB ∠=︒.（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）斜率为1且过焦点的直线交抛物线于M ，N 两点，直线()1y x c c =+<交抛物线于C ，D 两点，求四边形MNDC 面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）128227. 【解析】（Ⅰ）根据过A ，B 作抛物线的切线交于点()2,1Q --，且90AQB ∠=︒，设过点Q 的直线方程为()12y k x +=+，即21y kx k =+-，代入22x py =，得到()222210--=-x pkx p k ，根据相切，则由0∆=，得2420pk k +-=，再根据两切线垂直求解.（Ⅱ）MN l ：1y x =+与24x y =联立，利用弦长公式得到8M N MN x x =-=.CD l ：y x c =+与24x y =，利用弦长公式得到=-=C D CD x x ，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC=，然后由梯形的面积公式求解. 【详解】（Ⅰ）过点Q 作22x py =的切线，方程为()12y k x +=+，即21y kx k =+-，代入()22210222x py x p k kx p ---⇒==，0∆=，化为2420pk k +-=，122112k k p p-=-⇒=-⇒=. （Ⅱ）MN l ：1y x =+与24x y =联立，得 2440x x --=，故8M N MN x x =-==.CD l ：y x c =+与24x y =，得：2440x x c --=，=-=C D CD x x且由1616011c c ∆=+>⇒-<<，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC=，故(()(1812=⨯+=-MNDCS c ，t =，则()()(()222MNDC S tt t =-∈.()()()(2222226463S t t t t t t ⎛⎫'=-+-⋅=--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭.在0,3⎛ ⎝⎭上，0S '>，在3⎛⎝上，0S '<.故当t =S 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系和平面几何图形的面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.20．某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如下表：这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡()71418a a ≤≤只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56a -元的价钱处理. （Ⅰ）若16a =，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，*N x ∈）的函数解析式；（Ⅱ）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？【答案】（Ⅰ）()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩；（Ⅱ）119只.【解析】（Ⅰ）根据题意，可求出利润y 关于需求量x 的函数解析式：()()2*1416,N 30,a x a a x ay x a x a⎧++-<=∈⎨≥⎩，即可求出当16a =时，y 关于x 的解析式；(Ⅱ)根据离散型分布特点，分类讨论，求出出栏112只和出栏119只时的分布列和期望，比较即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）当x a <时，()()()()2704056401416y x a a x a x a a =-+--⋅-=++-，当x a ≥时，30y a =，()()2*1416,N 30,a x a a x a y x a x a⎧++-<=∈⎨≥⎩，当16a =时，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩.（Ⅱ）若出栏112只，则16a =，由（Ⅰ）知，当16a =时，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩，记1Y 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.1Y 可取420，450，480，()14200.15P Y ==，()14500.2P Y ==，()14800.65P Y ==，1Y 的分布列为：()14200.154500.24800.65465E Y =⨯+⨯+⨯=，若出栏119只，则17a =，记2Y 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.当17a =时，()*3117,17N 510,17x x y x x -<⎧=∈⎨≥⎩， 2Y 可取417，448，479，510，()24170.15P Y ==，()24480.2P Y ==， ()24790.25P Y ==，()25100.4P Y ==，2Y 的分布列为：()24170.154480.24790.255100.4475.9E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.综上可知，()()1277E Y E Y <，则养鸡厂出栏119只时，利润最大. 【点睛】本题考查求函数的解析式以及离散型分布列和期望，考查利用已学知识解决实际利润问题，考查解题和计算能力.21．已知函数2()x f x e a =-，()x g x e b =-，且()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线（e 为自然对数的底数）. （1）求b a -；（2）设函数ln 21()()()22h x f x g x mx =--+-，讨论函数()h x 的零点个数. 【答案】（1）1ln 222b a -=-（2）见解析【解析】（1）由()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线，分别对()f x 与()g x 求导并求出切线方程，列出等量关系可得b a -；（2）利用换元将2()2x xh x e e m '=--转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数()h x 的零点个数. 【详解】（1）2()2=1xf x e '=，可得ln 2ln 21,()222x f a =--=-. ()f x 在ln 21(,)22a --处的切线方程为1ln 2()22y a x --=+，即ln 2122y x a =++-. ()1x g x e '==，0,(0)1x g b ==-. ()g x 在(0,1)b -处的切线方程为(1)y b x --=，1y x b =+-，故ln 21122a b +-=-，可得1ln 222b a -=-.（2）由（1）可得22ln 21()()22x x x x h x e a e b mx e e mx =----+-=--， 2()2x x h x e e m '=--，令x t e =，则22y t t m =--，=1+8m ∆，1m >时，220t t m --=有两根，12,t t 且120t t <<，12()2()()0x x h x e t e t '=--=，得：2ln x t =，在2(ln ),t -∞上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞上，()0h x '>，此时，2(ln )(0)0h t h <=.又x →-∞时，(),h x x →+∞→+∞时，()h x →+∞.故在2(ln ),t -∞和2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点.1m =时，1()2()(1)2x x h x e e '=+- ()h x 最小值为(0)0h =，故()h x 仅有1个零点.01m <<时，12()2()()x x h x e t e t '=--.其中120t t <<，同1m >，()h x 在2(ln ),t -∞与2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点，0m =时，2()x x h x e e =-，仅在(0)0h =有1个零点，108m -<<时，对方程220,180t t m m --=∆=+>. 方程有两个正根12,t t ，12()2()()x x h x e t e t '=--.在1(,ln )t -∞上，()0h x '>，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞，()0h x '>.由1212120t t t t ⎧+=⎪⎨⎪<<⎩，可得1211042t t <<<<，故22ln 0,(ln )(0)0t h t h <<=.222111111111(ln )ln (2)ln h t t t m t t t t t t =--=---1111[(1)(12)ln ]t t t t =-+-11110,120,ln 0t t t -<-><Q ，故1(ln )0h t <.故在1(,ln )t -∞上，1()(ln )0h x h t <<，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x <，在2(ln ,)t +∞上，()h x 有1个零点：0x =.18m ≤-时，2()20x x h x e e m '=--≥恒成立， ()h x 为增函数，()h x 仅有1个零点：0x =.综上，0m ≤或1m =时，()h x 有1个零点，01m <<或1m >时，()h x 有2个零点.【点睛】本题考查导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进行分析解决，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. （Ⅰ）当3πϕ=时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为()2,1M ，求直线l 的斜率.【答案】（Ⅰ10y -+-=，2211612x y +=；（Ⅱ）32-.【解析】（Ⅰ）根据直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，消去t 即可直线的的普通方程.根据椭圆C 的极坐标方程222483cos 4sin ρθθ=+，变形为22223cos 4sin 48ρθρθ+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求解.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=，利用A ，B 中点为()2,1M ，且直线过()2,1M ，利用参数的几何意义求解.【详解】（Ⅰ）因为直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，所以12212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t10y -+-=，所以直线l10y -+-=；因为椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. 所以22223cos 4sin 48ρθρθ+=，223448x y +=，椭圆C 的直角坐标方程为：2211612x y +=. （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得：()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=，因为A ，B 中点为()2,1M所以120t t +=，故312cos 8sin 0tan 2k ϕϕϕ+=⇒==-，所以直线l 的斜率为32-.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知函数()2f x x a x =-+-. （Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .【答案】（Ⅰ）5a ≥或1a ≤-；（Ⅱ），4a =，6m =.【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式，由()()222x a x x a x a -+-≥---=-，求得()f x 最小值，再由23a -≥求解.（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.，再分类求解.【详解】（Ⅰ）因为()()222x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()()20x a x --≤时取等，故()f x 最小值为2a -，235a a ∴-≥⇔≥或1a ≤-.（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.0a =时，如图所示：不合题意舍去.4a =时，如图所示：由y x =与26y x =-解得：6x =，即6m =，综上，4a =，6m =.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

2020届百校高考考前冲刺(四)全国i卷数学(理)试题(解析版)

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5．若集合
A x | sin 2x
1
Байду номын сангаас
，
B
y
y
k
,k
Z
，则（
）
42
A． A B A
B． CRB CR A
C． A B
D． CR A CRB
【答案】B 【解析】根据正弦函数的性质可得集合 A，由集合性质表示形式即可求得 A B ，进而
可知满足 CRB CR A .
A．
17 2
,
9
B．
,
17 2
9,
C．
17 4
,
9 2
D．
,
17 4
9 2
,
【答案】C
【解析】将函数 f x 解析式化简，并求得 f x ，根据当 x1 1,3 时 f ′ x 0 可得 f x1 的值域；由函数 g x x m 2 在 x2 1,3 上单调递减可得 g x2 的值域，
是奇函数；都有 f (x)=f (- x) ，则函数 f (x) 是偶函数
(2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点( y 轴)对称．
3．函数 f x 2x 3x 1 在2,1 上的最大值和最小值分别为（）
2
A．，-2
3
【答案】B
B． 2 ，-9 3
C．-2，-9
D．2，-2
【解析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得
2020 届百校高考考前冲刺全国 i 卷数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 A {x N | (x 3)(x 2) 0}， B y | y 2 ，则 A I ðRB （）

2020届百校联盟(全国卷)高三第二次模拟考试数学(理)试题

2020届百校联盟（全国卷）高三第二次模拟考试数学试题（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每小题5分，共60分） 1．i是虚数单位，41i z i=- 则||z =( )A. 2B.C. 4D. 2．集合{}|2lg 1A x x =<，{}2|90B x x =-≤，则A B =( )A.[3,3]-B.(C.(]0,3D.⎡-⎣3．已知向量2a =，1b =，2)2(=-⋅b a a,则a 与b 的夹角为 ( )A.o 30B.o 60C.o 90D.o 1504.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响, 某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本, 其中：城镇户籍与农村户籍各100人；男性120,女性80人, 绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示）, 其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例, 则下列叙述中错误的是（）A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别无关C ．倾向选择生育二胎的人群中, 男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中, 农村户籍人数少于城镇户籍人数5.设变量y x ,满足约束条件,042001⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+≤--y x y x y x 则y x z 2-=的最大值为（） A.23B.-12C.0D. 1 6.正项等差数列}{a n 的前n 项和为n S ，已知==+-+92573,015S a a a 则( )A.35B.36C.45D.547.b a ,是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,βα⊥⊂b a , ,则 “βα//”是 “b a ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知实轴长为22的双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的左,右焦点分别为)0,2(),0,2(21F F - 点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则21F BF ∆的重心到双曲线C 的渐近线的距离为（） A.32 B. 32 C. 33D. 31 9．将函数f （x ）＝sinx 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝f （x ）g （x ）的最大值为( )C.1D.1210.在ABC ∆中，C B A ,,所对的边分别为,2,3,,,-=⋅=B c b a π且满足,sin 2sin sin B C A =+则该三角形的外接圆的半径为（）A.334 B.332 C.3 D. 11.已知点A 是抛物线y x 42= 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA = ，若m 取得最大值时，点P 恰好在以F A ,为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A.13-B.12-C.215- D.212-12.已知函数a x x ax x f +-=221ln )(有且只有一个极值点，则实数a 构成的集合是（）A. {}0<a aB. {}0>a aC. {}1<a aD. {}1>a a 二、填空题（每小题5分，共20分）13．二项式51)x的展开式中2-x 的系数是_______________.14.已知)(x f 为奇函数，当0≤x 时，,3)(2x x x f -=则曲线)(x f y =在点)4,1(-处的切线方程为_______________.15.已知数列{}n a 满足()24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为_______________.16. 三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆满足BA BC =，2ABC π∠=，P 在面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为_______________.三、解答题17．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（I ）求证：MN//平面ABCD ；（II ）求二面角11D -AC B -的正弦值18. （本小题满分12分）支付宝宣布在肯德基的KPRO 餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频率分布直方图：若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”，利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”.（I ）若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.（II ）支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达人” “支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率. 附：参考公式与参考数据如下，其中.19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足n n n n n a b N n a a a a 4112321log ),(2222=∈=++++*+- （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列}b 1{1n +⋅n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分12分）椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>过点(0,1)P 做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于,A B 两点，当直线l 垂直于y 轴时||AB =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．21.（本小题满分12分）已知).ln()(2a x ex f x++=.（Ⅰ）当1a =时，①求()f x 在()0,1处的切线方程；②当0≥x 时，求证：()()21f x x x ++≥.（Ⅱ）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x ++＜成立，求实数a 的取值范围.选考题：本小题满分共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1:1C ρ=，).(1212:2为参数t t y t x C ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=（Ⅰ）求曲线1C 上的点到曲线2C 距离的最小值；（Ⅱ）若把1C 上各点的横坐标都扩大原来为原来的2倍，得到曲线1C '.设()1,1P -，曲线2C 与1C '交于A ，B 两点，求PA PB +.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.,322)(R m m x x x f ∈+++= （Ⅰ）当2-=m 时，求不等式3)(≤x f 的解集；（Ⅱ）),0,(-∞∈∀x 都有xx x f 2)(+≥恒成立，求m 的取值范围.数学试题（理科答案）1B 2C 3B 4C 5A 6C 7A 8D 9A 10B 11B 12A 13.-10 14.5x+y-1=0 15.1375 16.3.17【解析】(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD (II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-=，设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =，设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =- 因此有12121210cos ,n n n n n n ⋅==-⋅，于是123sin,n n =所以二面角11D AC B --. 18(1)(2)2813 19（Ⅰ）当1n =时，41=a 当2n ≥时由132121+23222n nn a a a a +-+++=- 312122+23222nn n a a a a --+++=- 两式相减得122nn n a -=，即212n n a -=………………………4分且上式对于1n =时不成立．所以数列{}n a 的通项公式⎩⎨⎧≥==-2,21,412n n a n n …… 6分（Ⅱ）因为2122,111-=≥==n b n b n n 时，当时，，…………………………………………8分114112()(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+所以12231111n n n T b b b b b b +=+++=12234+-n …………………………………………12分20（Ⅰ）由已知椭圆过点⎫⎪⎪⎝⎭，可得22222271143a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，.………………………………………………3分解得229,4a b ==所以椭圆的E 方程为22194x y +=. ……………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)C x y由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(49)18270k x kx ++-=，所以120002294, 124949x x k x y kx k k +-===+=++. …………………7分当0k ≠时，设过点C 且与l 垂直的直线方程22194()4949k y x k k k =-++++ 将(,0)M m 代入得：549m k k=-+……………………………9分若0k >，则49k k +≥，若0k <，则449[(9)]12k k k k -+=-+-≤- 所以5012m -≤<或5012m <≤………………………………………11分当0k =时，0m =综上所述，存在点M 满足条件,m 取值范围是551212m -≤≤.……………12分 21．（1）1a =时，2()ln(1)xf x e x =++，21()21xf x e x '=++--------1分 ①(0)1f =，1(0)231f '=+=，所以()f x 在(0,1)处的切线方程为31y x =+--------3分 ②设()()22()ln(1)10x F x e x x x x =++-+-≥()'21()22111x F x e x x =+-+-+--------4分 ()''222222l l ()42210(1)(1)x x x x F x e e e e x x ⎡⎤=--=-+-+>⎢⎥++⎣⎦ 所以，()'F x 在[)0,+∞上递增，所以''()(0)0F x F ≥=--------6分所以，()F x 在[)0,+∞上递增，所以()(0)0F x F ≥=--------7分（2）原问题00x ⇔∃≥使得02200ln()0x e x a x -+-<设22()ln()x u x e x a x =-+-21()22x u x e x x a'=--+ 221()420x u x e x a '=+->+（） ()u x '∴在[0,)+∞单调增1()(0)2u x u a''∴≥=- 1当12a ≥时，1(0)20u a'=-≥ ()u x ∴在[0,)+∞单调增，min ()(0)1ln 0u x u a ∴==-<a e ∴> --------10分 2当12a <时，1ln()ln()2x a x +<+ 设11()ln(),(0)22h x x x x =--+> 112()11122x h x x x -'=-=++ 另11()0,()0022h x x h x x ''>⇒><⇒<< ()h x ∴在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增1()()02h x h ∴≥= 设221()(),(0)2x g x e x x x =--->2()221x g x e x '=-- 2()42420x g x e ''=->-> ()g x '∴在(0,)+∞单调递增 ()(0)10g x g ''∴>=>()g x ∴在(0,)+∞单调递增()(0)0g x g ∴>>2211ln()ln()22x e x x x x a ∴->->+>+ ∴当12a <时，2()2ln()f x x a x >++恒成立，不合题意--------12分 22．（1）221:1C x y +=，圆心为(0,0)，半径为1；2:2C y x =+--------2分圆心到直线距离d ==分所以1C 上的点到2C1.--------5分（2）伸缩变换为2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，所以221:143x y C '''+=--------7分将2C 和1C '联立，得27100t +-=.因为120t t <--------8分1212||||||||||7PA PB t t t t ∴+=+=-=-----23.解：当m=-2时，, 当解得当恒成立当解得此不等式的解集为.当时，当时，不等式化为.由当且仅当即时等号成立.，.当时，不等式化为.，令，.，在上是增函数.当时，取到最大值为..综上.。

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