高考理科数学试卷及答案
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是
（A）(–∞, 1)
（B）(–∞, –1)
（C）(1, +∞)
（D）(–1, +∞)
（2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB=
（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}
（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}
（3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为
（A）2
（B）3 2
（C ）53
（D ）85
（4）若x, y 满足
, 则x + 2y 的最大值为
（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9
（5）已知函数1(x)33x
x f ??
=- ???
, 则(x)f
（A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数
（D ）是偶函数, 且在R 上是减函数
（6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为
（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2
（8）根据有关资料, 围棋状态空间复杂度的上限M 约为
, 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为
.则下列各数中与
M
N
最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）
（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题, 每小题5分, 共30分。
（9）若双曲线2
2
1y x m
-=3则实数m =_______________. （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1, a 4=b 4=8, 则
2
2
a b =__________. （11）在极坐标系中, 点A 在圆2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=, 点P 的坐标为(1,0), 则|AP|的最小值为 .
（12）在平面直角坐标系xOy 中, 角α与角β均以Ox 为始边, 它们的终边关于y 轴对称。若1sin 3
α=
, cos()αβ-= .
（13）能够说明“设a, b, c 是任意实数.若a ＞b ＞c, 则a+b ＞c ”是假命题的一组整数a, b, c 的值依次为______________________________.
（14）三名工人加工同一种零件, 他们在一天中的工作情况如图所示, 其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数, 点B i 的横、纵坐标学科&网分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数, i =1, 2, 3。
①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数, 则Q 1, Q 2, Q 3中最大的是_________。 ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数, 则p 1, p 2, p 3中最大的是_________。
三、解答题共6小题, 共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分） 在△ABC 中, A =60°, c =3
7
a . （Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）若a =7,求△ABC 的面积. （16）（本小题14分）
如图, 在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为正方形, 平面P AD ⊥平面ABCD , 点M 在线段PB 上, PD//平面MAC ,P A =PD =6,AB=4.
(I)求证：M 为PB 的中点； (II)求二面角B-PD-A 的大小；
(III)求直线MC 与平面BDP 所成角的正炫值。 （17）（本小题13分）
为了研究一种新药的疗效, 选100名患者随机分成两组, 每组个50名, 一组服药, 另一组不服药。一段时间后, 记录了两组患者的生理指标xy 和的学科.网数据, 并制成下图, 其中“·”表示服药者, “+”表示为服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人, 求此人指标y 的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人, 记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数, 求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）
（18）（本小题14分）
已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,
1
2
)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N , 过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B , 其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程, 并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点. （19）（本小题13分） 已知函数f (x )=e x cos x ?x .
（Ⅰ）求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,2
π
]上的最大值和最小值. （20）（本小题13分） 设{a n }和{b n }是两个等差数列, 记
c n =max{b 1–a 1n ,b 2–a 2n ,…,b n –a n n }(n =1,2,3,…),
其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数． （Ⅰ）若a n =n , b n =2n –1, 求c 1,c 2,c 3的值, 并证明{c n }是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M , 存在正整数m , 当n ≥m 时, n
c M n
>；或者存在正整数m , 使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列．
2017年北京高考数学（理科）参考答案与解析
1．A
【解析】集合{}|21=-<或B x x x 的公共部分为{}|21-<<-x x , 故选A ． 2．B
【解析】(1i)(i)(1)(1)i -+=++-a a a , Q 对应的点在第二象限, ∴10
10+?
a a 解得：1<-a
故选B ．
3．C
【解析】当0=k 时, 3 当1=k 时, 3 s ； 当2=k 时, 3 3 =s ； 当3=k 时, 3 4．D 【解析】设2=+z x y , 则122 =-+z y x , 由下图可行域分析可知, 在()33，处取得最大值, 代入可得max 9=z , 故选D ． 5．A 【解析】奇偶性：()f x 的定义域是R , 关于原点对称, 由()()113333--?? ?? -=-=-=- ? ??? ?? x x x x f x f x 可得()f x 为奇函数． 单调性：函数3=x y 是R 上的增函数, 函数13?? = ??? x y 是R 上的减函数, 根据单调性的运算, 增函数 减去减函数所得新函数是增函数, 即()1=33?? - ??? x x f x 是R 上的增函数．综上选A 6．A 【解析】由于u r m , r n 是非零向量, “存在负数λ, 使得λ=u r r m n ．”根据向量共线基本定理可知u r m 与r n 共线, 由 于0λ<, 所以u r m 与r n 方向相反, 从而有0? n 方向相反或夹角为钝角时, u r m 与r n 可能不共线, 所以不是必要条件。综上所述, 可知λ=m n ”是 “0? 7．B 【解析】如下图所示, 在四棱锥-P ABCD 中, 最长的棱为PA , 所以2222=2(22)23++PA PC AC 故选B ． 8．D 【解析】由于36180lg lg lg lg3lg103610.488093.28=--?-=M M N N =≈, 所以 93.2810M N ≈, 故选D ． 9．2 【解析】∵3∴ 3c a ∴223=c a ∵1=a , b m , 222+=a b c ∴222223312==-=-=-=b m c a a a 10．1 【解析】∵{}n a 是等差数列, 11=-a , 48=a , ∴公差3=d ∴212=+=a a d ∵{}n b 为等比数列, 11=-b , 48=b ∴公比2=-q ∴212==b b q 故 2 2 1=a b 11．1 【解析】把圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=改写为直角坐标方程222440+--+=x y x y , 化简为 22(1)(2)1x y -+-=, 它是以()1,2为圆心, 1为半径的圆。画出图形, 连结圆心O 与点P , 交圆于点A , 此时AP 取最小值, A 点坐标为()1,1, 1=AP ． 12．79 - 【解析】∵因为角α和角β的终边关于y 轴对称 ∴1 sin sin 3 αβ==, cos cos αβ=- ∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 2227 cos sin 2sin 19 ααα=-+=-=- 13．1-, 2-, 3- 【解析】由题意知a , b , c 均小于0, 所以找到任意一组负整数, 满足题意即可． 14．① 1Q ② 2p 【解析】①设线段i i A B 的中点为()，i i i C x y , 则2=i i Q y , 其中123=， ，i ． 因此只需比较1C , 2C , 3C 三个点纵坐标的大小即可． ②由题意, = i i i y p x , 123=， ，i , 故只需比较三条直线1OC , 2OC , 3OC 的斜率即可． 15． 【解析】（1）3 7 =Q c a 由正弦定理得：33sin sin 77=== C A （2）3 7 = 60∴∠<∠=?C A ∴∠C 为锐角 由sin = C 得：13cos 14=C sin sin[π()]sin()B A C A C ∴=-+=+ sin cos cos sin A C A C =+ 313133 142=?+? 43 = 又33 7377==?=Q c a 1 sin 2 ABC S ac B ?∴= 143 732= ??? 63= 16． 【解析】（1）取AC 、BD 交点为N , 连结MN ． ∵PD ∥面MAC PD ?面PBD 面PBD ∩面MAC MN = ∴PD MN ∥ 在PBD △中, N 为BD 中点 ∴M 为PB 中点 （2）方法一： 取AD 中点为O , BC 中点为E , 连结OP , OE ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥ 又面PAD ⊥面ABCD 面PAD ∩面ABCD AD = ∴PO ⊥面ABCD 以OD 为x 轴, OE 为y 轴, OP 为z 轴建立空间直角坐标 可知()200D ，，, ()200A -，，, ()240B -，，, () 002P ，， 易知面PD 的法向量为()010m =u r ， ， 且()202PD =-u u u r ，，, () 242PB =--u u u r ，， 设面PBD 的法向量为()n x y z =r ，， 220 2420x z x y z ?-=?? -+-=?? 可知() 112n =r ，， ∴ 1cos 2 m n <>= =u r r ， 由图可知二面角的平面角为锐角 ∴二面角B PD A --大小为60? 方法二： 过点A 作AH PD ⊥, 交PD 于点E , 连结BE ∵BA ⊥平面PAD , ∴PD BA ⊥, ∴PD ⊥平面BAH , ∴PD BH ⊥, ∴AEB ∠即为二面角B PD A --的平面角 AD PO AE PD ?=?, 可求得 AE = tan AEB ∠= ∴60AEB ∠=? （3）方法一： 点12M ?- ??，, ()240C ，， ∴32MC ?= ?? u u u u r ，， 由（2）题面BDP 的一个法向量(11n =r ， 设MC 与平面BDP 所成角为θ ∴sin cos MC n θ=<>= = u u u u r r ， 方法二： 记AC BD F =I , 取AB 中点N , 连结MN , FN , MF 取FN 中点G , 连MG , 易证点G 是FN 中点, ∴MG PO ∥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD , PO AD ⊥, ∴PO ⊥平面ABCD ∴MG ⊥ 平面ABCD 连结GC , GC 12MG PO =∴ MC ∵PD BD =, PB =由余弦定理知cos PDB ∠=∴sin PDB ∠, ∴1sin 2PDB S PD DB PDB =??∠=△ 设点C 到平面PDB 的距离为h , 1 3 P DBC PDB V S h -=?△ 又1 3 P DBC C PDB BCD V V S PO --==?△, 求得2h = 记直线MC 与平面BDP 所成角为θ ∴ sin h MC θ= 17． 【解析】（1）50名服药者中指标y 的值小于60的人有15人, 故随机抽取1人, 此人指标y 的值小于60的 概率为 1535010 = （2）ξ的可能取值为：0, 1, 2 ()222 106ξ===C P C , ()1122242163ξ?====C C P C , ()222 41 26 ξ===C P C 121 ()0121636 ξ=?+?+?=E （3）从图中服药者和未服药者指标y 数据的离散程度观察可知, 服药者的方差大。 18． 【解析】（1）由抛物线22=y px 过点(1,1), 代入原方程得21=21?p , 所以1 2 = p , 原方程为2=y x ． 由此得抛物线焦点为1,04?? ??? , 准线方程为14=-x ． （2） 法一： ∵⊥BM x 轴 设()()()()112211,,,,,，，A B M x y N x y A x y B x y , 根据题意显然有10≠x 若要证A 为BM 中点 只需证2=+A B M y y y 即可, 左右同除1x 有111 2=+A B M y y y x x x 即只需证明2=+OA OB OM k k k 成立 其中1,===OA OP OB ON k k k k 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时, 显然与抛物线只有一个交点不满足题意, 所以直线MN 斜率存在且不为零． 设直线()1 02 =+ ≠：MN y kx k 联立212? =+?? ?=? y kx y x 有()221 104+-+=k x k x , 考虑()2 2114124?=--??=-k k k , 由题可知有两交点, 所以判别式大于零, 所以12 由韦达定理可知：1221-+=k x x k ……①, 12214=x x k ……② 21 21 21122112 11 2222+=+=++ ++= +=+OB OM ON OM y y k k k k x x kx kx x x k x x x x 将①②代入上式, 有()21212 2 12222121224-++ =+=+-=?k x x k k k k k x x k 即22+=+==ON OM OB OM OA k k k k k , 所以2=+A B M y y y 恒成立 ∴A 为BM 中点, 得证． 法二： 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时, 显然与抛物线只有一个交点不满足题意, 所以直线MN 斜率存在且不为零． 设10,2?? ??? 为点, 过Q 的直线MN 方程为()102=+≠y kx k , 设1122(,),(,)M x y N x y , 显然, 12,x x 均 不为零． 联立方程212?=??=+ ?? y x y kx 得22 1(1)04+-+=k x k x , 考虑, 由题可知有两交点, 所以判别式大于零, 所以1 2 1-+= k x x k ……①, ……② 由题可得,A B 横坐标相等且同为1x , 且2 2 := ON y l y x x , B 在直线ON 上, 又A 在直线OP ：=y x 上, 所以121112(,),,?? ?? ?x y A x x B x x , 若要证明A 为BM 中点, 只需证2=+A B M y y y , 即证 12 112 2+=x y y x x , 即证1221122+=x y x y x x , 将11221212? =+????=+ ?? y kx y kx 代入上式, 即证21121211 ()()222 +++=kx x kx x x x , 即12121(22)()02-++=k x x x x , 将①②代入得2211(22) 042k k k k --+=, 化简有恒成立, 所以2=+A B M y y y 恒成立, 所以A 为BM 中点． 19． 【解析】（1）∵()e cos =-x f x x x ∴(0)1,()e cos e sin 1e (cos sin )1'==--=--x x x f f x x x x x ∴0(0)e (cos0sin0)10'=--=f ∴()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为(0)(0)(0)'-=-y f f x , 即10y -=． （2）令()()e (cos sin )1'==--x g x f x x x ()e (cos sin )+e (sin cos )2e sin '=---=-x x x g x x x x x x ∵π02x ? ?∈ ?? ?，时, ()2e sin 0'=- ∴()g x 在π02? ? ???，上单调递减 ∴π02x ? ?∈ ?? ?，时, ()(0)(0)0g x g f '<==, 即()0' ∴()f x 在π02? ? ?? ?，上单调递减 ∴0=x 时, ()f x 有最大值(0)1=f ； π 2 =x 时, ()f x 有最小值 2ππππe cos 2222π ?? =-=- ??? f ． 20． 【解析】（1）易知11=a , 22=a , 33=a 且11=b , 23=b , 35=b ． ∴1110=-=c b a , {}{}21122max 22max 111=--=--=-，，c b a b a , {}{}3112233max 333max 2342=---=---=-，，，，c b a b a b a ． 下面我们证明, 对*?∈N n 且2n ≥, 都有11=-?n c b a n ． 当*∈N k 且2k n ≤≤时, ()()11-?--?k k b a n b a n ()211??=---+??k nk n ()()221=---k n k ()()12=--k n ∵10->k 且20-n ≤, ∴()()11110-?--??-?-?k k k k b a n b a n b a n b a n ≤≥． 因此, 对*?∈N n 且2n ≥, 111=-?=-n c b a n n , 则11+-=-n n c c ． 又∵211-=-c c , 故11+-=-n n c c 对*?∈N n 均成立, 从而{}n c 为等差数列． （2）设数列{}n a 与{}n b 的公差分别为a d , b d , 下面我们考虑n c 的取值． 对11-?b a n , 22-?b a n , …, n n b a n -?, 考虑其中任意项-?i i b a n （*∈N i 且1i n ≤≤）, -?i i b a n ()()1111b a b i d a i d n =+--+-????????? 11()(1)()b a b a n i d d n =-?+--? 下面我们分0=a d , 0>a d , 0 此时11+-=-n n c c a , 故{}n c 为等差数列． ②若0>b d , 则()()()0-?--?=-?i i n n b b a n b a n i n d ≤ 则对于给定的正整数n 而言, 1=-?=-?n n n n c b a n b a n ． 此时11n n b c c d a +-=-, 故{}n c 为等差数列． 此时取1=m , 则123L ， ，，c c c 是等差数列, 命题成立． （2）若0>a d , 则此时-?+a b d n d 为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数． 故必存在*∈N m , 使得当n m ≥时, 0-?+ 则当n m ≥时, ()()()()1110-?--?=--?+i i a b b a n b a n i d n d ≤（*∈N i , 1i n ≤≤）． 因此, 当n m ≥时, 11=-?n c b a n ． 此时11n n c c a +-=-, 故{}n c 从第m 项开始为等差数列, 命题成立． （3）若0a b d n d 则当n s ≥时, ()()()()0i i n n a b b a n b a n i n d n d -?--?=--?+≤（*∈N i , 1i n ≤≤） 因此, 当n s ≥时, =-?n n n c b a n ． 此时 n c n -?=n n b a n n =-+n n b a n ()11-=-?+-++ b a a b b d d n d a d n 令0-=>a d A , 1-+=a b d a d B , 1-=b b d C 下面证明 =++n c C An B n n 对任意正数M , 存在正整数m , 使得当n m ≥时, >n c M n ． ①若0C ≥, 则取1?? -=+????M B m A （[]x 表示不大于x 的最大整数） 当n m ≥时, 1n M B c An B Am B A B n A ???-?++=++ ??? ?? ???≥≥->?+=M B A B M A , 此时命题成立． ②若0 m A ?--? =+? ?? ? 当n m ≥时, --++++>?++--++=n M C B c An B C Am B C A B C M C B B C M n A ≥≥≥． 此时命题也成立． 因此, 对任意正数M , 存在正整数m , 使得当n m ≥时, >n c M n ． 综合以上三种情况, 命题得证． 每日一题|小学数学1——6年级天天练 习 姓名：__________ 指导：__________ 日期：__________ 2. 一件上衣278元，一条裤子245元妈妈500元钱买这件上衣和这条裤子，够吗？如果不够，还差多少钱？ 3. 直接写出得数。 320+260= 740-160= 516+194= 54÷9= 9×8- 52= 63÷7+32= 三年级 1. 给长6米，宽4米的客厅地面铺地砖。如果用边长是2分米的地砖铺地，一共需要多少块?如果每块地砖5元，一共需要多少元? 2.一辆洒水车每分钟行驶200米，洒水的宽度是8米，洒水车行驶1小时能给多大的地面洒上水? 3. 我校三年级（1）班有4个小组，每个小组有9人，他们在植树节共植树180棵。平均每人植树多少棵？ 四年级 1.李明参加自行车比赛集训，每天骑200千米，骑10小时，一个月一共骑行多少千米?(一个月按30天计算） 2. 小明身上的钱是小华的5倍，小明如果给小华40元，那么两人的钱就一样多。小明和小华原来各有多少元? 3.学校有一块正方形试验田，若将一组对边增加3米，面积比原来增加48平方米，现在试验田的面积是多少平方米?(先图整理，再解答) 五年级 1.一块地2公顷，其中种西红柿，种黄瓜，剩下的种青菜，种青菜的面积是多少公顷? 2.一个圆形养鱼池周长是11 3.04米，中间有一个圆形小岛，半径是6米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米? 3.两根铁丝长分别是18分米、30分米，现在要将它们截成相等的小段，每根都不得有剩余，最少可以截成多少段? 六年级 1. 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14) 2. 一堆由苹果和梨子组成的水果，苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，现加入8斤梨子，水果的总质量变为64斤，求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为多少？ 参考答案 一年级 1.6+6=12（粒）12+12=24（粒） 高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值 高一数学每日一练 命题人： 时间：2014年12月5日 姓名： 1、已知函数)2(-x f 是偶函数，当212->>x x 时，2121[()()]()0f x f x x x -->恒成立，设)1(),2(),3(f c f b f a =-=-=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c << 2．下列函数中在［１，２］上有零点的是（ ） A.543)(2+-=x x x f B.55)(3+-=x x x f C.63ln )(+-=x x x f D.63)(-+=x e x f x 3、函数1241++=+x x y 的值域是 . 4．已知函数)(x f y =是Ｒ上的奇函数，其零点1x ，2x ……2007x ，则 200721x x x +++ ＝ 。 高一数学每日一练 命题人： 时间：2014年12月6日 姓名： 1．若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2．设，用二分法求方程 内近似解的 过程中得 则方程的根落在区间（ ） A ． B ． C ． D ．不能确定 3、当0>x 时，函数x a y )8(2-=的值恒大于1，则实数a 的取值范围是_ _____. 4．函数的零点个数为 。 5．已知函数，则函数的零点是__ __． ()833-+=x x f x ()2,10833∈=-+x x x 在()()(),025.1,05.1,01<> 1．(本小题满分12分)(2019陕西咸阳一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 ＝1(a >1)的上顶点为B , 右顶点为A ,直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2 ＝1相切． (1)求椭圆C 的方程． (2)过点N (0,－1 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,求证：BP ⊥BQ . 1．(1)解：由题意知,A (a ,0),B (0,1),则直线AB 的方程为x ＋ay －a ＝0. 由直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切,得圆心M 到直线AB 的距离d ＝2 1＋a 2 ＝1,求得a ＝3, 故椭圆C 的方程为x 23 ＋y 2 ＝1. (2)证明：直线l 的方程为y ＝kx －1 2 ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立? ??y ＝kx －1 2 ， x 23 ＋y 2＝1，消去y 整理得(4＋12k 2)x 2－12kx －9＝0. ∴x 1＋x 2＝12k 4＋12k 2,x 1x 2 ＝－9 4＋12k 2 . 又BP →＝(x 1,y 1－1),BQ → ＝(x 2,y 2－1), ∴BP →·BQ → ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(kx 1－32)·(kx 2－32)＝(1＋k 2)x 1x 2－32k (x 1＋x 2)＋94 ＝ －9（1＋k 2）4＋12k 2－18k 24＋12k 2 ＋94＝0,∴BP ⊥BQ . 2．(本小题满分12分)(2019内蒙古一模)已知函数f (x )＝2ax ＋bx －1－2ln x (a ∈R )． (1)当b ＝0时,确定函数f (x )的单调区间． (2)当x >y >e －1时,求证：e x ln(y ＋1)>e y ln(x ＋1)． 2．(1)解：当b ＝0时,f ′(x )＝2a －2x ＝2（ax －1） x (x ＞0)． 当a ≤0时,f ′(x )＜0在(0,＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0,＋∞)上单调递减． A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A （Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为 棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． （Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ； （Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ； （Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E 2017年高考数学空间几何高考真题 2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π 1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为． 2017年普通高等学校招生全国统一考试（xx卷）数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年xx，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D． （2）【2017年xx，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D） 【答案】A 【解析】由得，所以，故选A． （3）【2017年xx，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题， 即，均是真命题，故选B． （4）【2017年xx，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0（B）2（C）5（D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现， 当其经过直线与的交点时，最大为 ，故选C． （5）【2017年xx，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） （A）160（B）163（C）166（D）170 【答案】C 【解析】，故选C． （6）【2017年xx，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第 二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D． （7）【2017年xx，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，故选B． （8）【2017年xx，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1xx，则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是（） （A）（B）（C）（D） 2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 （ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是 2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题（共9小题） 1 ?如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M , N, Q为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） 2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（） A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左）视圄 C 5?某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的体积（单位：cm 2） 是（ ） 6?如图，已知正四面体 D -ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1 4 角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1，则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为（ ） A . B. C. D. 二.填空题（共5小题） 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2，1，其顶点都在球0的球面上，则球0的 表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的 江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1- 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 第 1 页 共 1 页 2020年高考数学导数压轴题每日一题 例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. 例1 (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－10＋m ＝0?m ＝1， 定义域为{x |x >－1}， f ′(x )＝e x －1x ＋m ＝e x (x ＋1)－1x ＋1， 显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)， 则g ′(x )＝e x －1x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1(x ＋2)2 >0， 所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－12)＝1e －132 <0，g ′(0)＝1－12>0， 所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－12，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0????－12 高考数学１７题(1)：解三角形 1.正弦定理：______________________ 2.余弦定理：______________________ ______________________ ______________________ 3.三角形面积公式： Ｓ＝____________________________ ４.三角形中基本关系：A+B+C=_____ sin(A+B)=___________ cos(A+B)=___________ tan(A+B)=___________ 注：基本不等式：若________，则______________ 重要不等式：若________，则______________ 高考数学１７题(2)：数列 1.知S n 求a n:( 这个关系式对任意数列均成立) a n= _________________ ２．等差数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等差数列性质:若_____________，则__________________３．等比数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，q为常数)． (2)等比中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等比数列性质:若_____________，则__________________ 2020年高考数学空间几何体解答题专练 1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为 棱AB、PD的中点． （1）求证：AF∥平面PCE； （2）求证：平面PCE⊥平面PCD； （3）求三棱锥C－BEP的体积． 2.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AB=AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点。 1 （1）求证：PQ//平面A1BC1； （2）求证：BC⊥PQ。 3.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证： 1 （1）DE∥平面B1BCC1； （2）平面A1BC⊥平面A1ACC1． 4.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC， CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM． （1）求证：OM∥平面PAD； （2）求证：OM⊥平面PCD． 5.如图，在直四棱柱ABCD–A B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点． 1 （1）求证：AC1∥平面PBD； （2）求证：BD⊥A1P． 6.如图，直四棱柱ABCD–A B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC， 1 BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值． 7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中 点． （1）证明：ED⊥PE； （2）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由． 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是棱长为1的菱形，∠ADC=60°，， M是PB的中点． （1）求证：PD∥平面ACM； （2）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值． 每日一练6.18 1．已知函数()f x 满足()12f =，()() () 111f x f x f x ++=-， 则()()()()1232007f f f f ????L 的值为 。-3 2．若圆0422 2 2 =-+-+m mx y x 与圆084422 2 2 =-+-++m my x y x 相切，则实数m 的 取值集合是 _________}2,0,2 5 ,512{-- 3.已知()x f ＝x 3-3ax ，R x ∈。 （1）若当x=1时，()x f 取得极值，求证：对任意x 1，x 2()1,1-∈都有()()421<-x f x f ； （2）若()x f 是[)+∞,1上的单调函数，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若x 01≥，()10≥x f 有()[]00x x f f =，求证：()00x x f = 解：（1）∵()x f '＝3x 2 -3a ，x=1是y=()x f 的一个极值点 ∴()1f '＝3-3a=0 ∴()x f '＝3x 2 -3 ()x f ＝x 3-3x ∵当-1≤x ≤1时, ()x f '≤0 ∴()x f 在[]1,1-上是减函数 ∴当x ∈[]1,1-时，()x f 的最大值为()1-f ＝1，最小值为()1f ＝-2 ∴对任意x 1，x 2()1,1-∈时都有()()()()41121<--<-f f x f x f 。 （2）()x f '＝3x 2 -3a 若()x f 在[)+∞,1上是减函数，则3x 2 -3a ≤0在[)+∞,1上恒成立， 即a ≥x 2在[)+∞,1上恒成立，此时a 不存在 若()x f 在[)+∞,1上是增函数，则3x 2 -3a ≥0在[)+∞,1上恒成立， 即a ≤x 2在[)+∞,1上恒成立，∴a ≤1。 （3）若()100≥>x x f ，由（2）知()[]()00x f x f f > ∵()[]00x x f f = ∴()00x f x >这与假设矛盾。 若()100≥>x f x ，由（2）知()()[]00x f f x f > ∵()[]00x x f f = ∴()00x f x <这与假设矛盾，因此()00x x f = 每日一练6.19 1. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 面积的最小值为 ____________。当2 1 -=k 时，OAB S ?有最小值4 2.两圆1)1(22=+-y x 和1)1(2 2=-+y x 3.已知4()log (41)x f x kx =++()k R ∈是偶函数． (1) 求k 的值； (2) 证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图象与直线b x y +=2 1 最多只有一个交点； (3)设?? ? ? ?- ?=a a x g x 342log )(4，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． .解：(1) 由题设()()f x f x -=，即44log (4 1)log (41)x x kx kx -+-=++ 整理得 kx kx x x x ++=-+)14(log 4 14log 44, 44log (41)(1)log (41)x x k x kx +-+=++，解得2 1-=k . (2)由(1)得41()log (41)2 x f x x =+- . 令b x x x +=-+2121)14(log 4，得4144x b x +=?． 假设方程有两个不相同的实根x 1、x 2，则 1 1 4414x b x ?=+， ① 2 2 4414x b x ?=+，② ②-①得 )44(4441 2 1 2 x x b x x -=-． 因为21 44 x x ≠，所以4b =1，即b =0， 代入①或②不成立，假设错误，命题成立． （注：本小题也可利用函数单调性质求解如下： 对于22 4414 x b x ?=+，若0b =，则414x x +=，矛盾；若0b ≠，则1 441 x b = -， 当0b <时，40x <，方程4144x b x +=?无解； 当0b >时，1 4041 x b = >-，由指数函数的性质可知，x 的值存在且唯一， 所以4144x b x +=?有唯一解，命题成立． (3) 由()()f x g x =得 4414log (41)log 22 3x x x a a ??+-=?- ?? ? ， 即2 414(2)3 4x x x a +=-，4412(2)3 x x x a +=?-，整理得0123 42)1(2=---x x a a 令2x t =，则0t > 由题设，方程24(1)103 a a t t ---=只有一个正实根. ① 当a =1时，方程4103t --=无正实根； ② 当a ≠1时，若0)1(49162=-+=?a a ，解得4 3 =a 或a=-3. 而 43=a 时，t=-2；a=-3时，t =21 >0 ． 若0)1(49162>-+=?a a ，即a <-3或43>a ，则应有t 1t 2=1 1--a <0，所以a >1． 高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由． 3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围. 2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积 是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱 的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表 面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为() A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积 为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0每日一题-小学数学1——6年级天天练习
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