高考理科数学试卷及答案

绝密★启封并使用完毕前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页, 150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。

在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。

（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是（A）(–∞, 1)（B）(–∞, –1)（C）(1, +∞)（D）(–1, +∞)（2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB=（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}（3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为（A）2（B）3 2（C ）53（D ）85（4）若x, y 满足, 则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9（5）已知函数1(x)33xx f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 则(x)f（A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数（D ）是偶函数, 且在R 上是减函数（6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0⋅＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2（8）根据有关资料, 围棋状态空间复杂度的上限M 约为, 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题, 每小题5分, 共30分。

（9）若双曲线221y x m-=3则实数m =_______________. （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1, a 4=b 4=8, 则22a b =__________. （11）在极坐标系中, 点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=, 点P 的坐标为(1,0), 则|AP|的最小值为 .（12）在平面直角坐标系xOy 中, 角α与角β均以Ox 为始边, 它们的终边关于y 轴对称。

若1sin 3α=, cos()αβ-= .（13）能够说明“设a, b, c 是任意实数.若a ＞b ＞c, 则a+b ＞c ”是假命题的一组整数a, b, c 的值依次为______________________________.（14）三名工人加工同一种零件, 他们在一天中的工作情况如图所示, 其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数, 点B i 的横、纵坐标学科&网分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数, i =1, 2, 3。

①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数, 则Q 1, Q 2, Q 3中最大的是_________。

②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数, 则p 1, p 2, p 3中最大的是_________。

三、解答题共6小题, 共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分） 在△ABC 中, A =60°, c =37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7,求△ABC 的面积. （16）（本小题14分）如图, 在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为正方形, 平面P AD ⊥平面ABCD , 点M 在线段PB 上, PD//平面MAC ,P A =PD =6,AB=4.(I)求证：M 为PB 的中点； (II)求二面角B-PD-A 的大小；(III)求直线MC 与平面BDP 所成角的正炫值。

（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效, 选100名患者随机分成两组, 每组个50名, 一组服药, 另一组不服药。

一段时间后, 记录了两组患者的生理指标xy 和的学科.网数据, 并制成下图, 其中“·”表示服药者, “+”表示为服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人, 求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人, 记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数, 求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）（18）（本小题14分）已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N , 过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B , 其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程, 并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点. （19）（本小题13分） 已知函数f (x )=e x cos x −x .（Ⅰ）求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值和最小值. （20）（本小题13分） 设{a n }和{b n }是两个等差数列, 记c n =max{b 1–a 1n ,b 2–a 2n ,…,b n –a n n }(n =1,2,3,…),其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数． （Ⅰ）若a n =n , b n =2n –1, 求c 1,c 2,c 3的值, 并证明{c n }是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M , 存在正整数m , 当n ≥m 时, nc M n>；或者存在正整数m , 使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列．2017年北京高考数学（理科）参考答案与解析1．A【解析】集合{}|21=-<<A x x 与集合{}|13=<->或B x x x 的公共部分为{}|21-<<-x x , 故选A ． 2．B【解析】(1i)(i)(1)(1)i -+=++-a a a , Q 对应的点在第二象限, ∴1010+<⎧⎨->⎩a a 解得：1<-a故选B ．3．C【解析】当0=k 时, 3<k 成立, 进入循环, 此时1=k , 2=s ；当1=k 时, 3<k 成立, 继续循环, 此时2=k , 32=s ； 当2=k 时, 3<k 成立, 继续循环, 此时3=k , 53=s ；当3=k 时, 3<k 不成立, 循环结束, 输出s ． 故选C ．4．D【解析】设2=+z x y , 则122=-+zy x , 由下图可行域分析可知, 在()33，处取得最大值, 代入可得max 9=z ,故选D ．5．A【解析】奇偶性：()f x 的定义域是R , 关于原点对称,由()()113333--⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭xxxx f x f x 可得()f x 为奇函数． 单调性：函数3=xy 是R 上的增函数, 函数13⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 是R 上的减函数, 根据单调性的运算, 增函数减去减函数所得新函数是增函数, 即()1=33⎛⎫- ⎪⎝⎭xxf x 是R 上的增函数．综上选A6．A【解析】由于u r m , r n 是非零向量, “存在负数λ, 使得λ=u r r m n ．”根据向量共线基本定理可知u r m 与rn 共线, 由于0λ<, 所以u r m 与r n 方向相反, 从而有0⋅<u r r m n , 所以是充分条件。

反之, 若0⋅<u r r m n , u r m 与rn 方向相反或夹角为钝角时, u r m 与rn 可能不共线, 所以不是必要条件。

综上所述, 可知λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分不必要条件, 所以选A ．7．B【解析】如下图所示, 在四棱锥-P ABCD 中, 最长的棱为PA ,所以2222=2(22)23++PA PC AC 故选B ．8．D【解析】由于36180lglg lg lg3lg103610.488093.28=--⨯-=MM N N=≈, 所以93.2810MN≈, 故选D ． 9．2【解析】∵3∴3ca∴223=c a∵1=a , b m , 222+=a b c ∴222223312==-=-=-=b m c a a a10．1【解析】∵{}n a 是等差数列, 11=-a , 48=a ,∴公差3=d ∴212=+=a a d∵{}n b 为等比数列, 11=-b , 48=b ∴公比2=-q ∴212==b b q 故221=a b 11．1【解析】把圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=改写为直角坐标方程222440+--+=x y x y , 化简为22(1)(2)1x y -+-=, 它是以()1,2为圆心, 1为半径的圆。

画出图形, 连结圆心O 与点P , 交圆于点A , 此时AP 取最小值, A 点坐标为()1,1, 1=AP ．12．79-【解析】∵因为角α和角β的终边关于y 轴对称∴1sin sin 3αβ==, cos cos αβ=-∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+2227cos sin 2sin 19ααα=-+=-=-13．1-, 2-, 3-【解析】由题意知a , b , c 均小于0, 所以找到任意一组负整数, 满足题意即可． 14．① 1Q ② 2p【解析】①设线段i i A B 的中点为()，i i i C x y , 则2=i i Q y , 其中123=，，i ． 因此只需比较1C , 2C , 3C 三个点纵坐标的大小即可． ②由题意, =ii iy p x , 123=，，i , 故只需比较三条直线1OC , 2OC , 3OC 的斜率即可． 15．【解析】（1）37=Q c a由正弦定理得：33sin sin 77===C A （2）37=<Q c a a60∴∠<∠=︒C A ∴∠C 为锐角由sin =C 得：13cos 14=Csin sin[π()]sin()B A C A C ∴=-+=+sin cos cos sin A C A C =+313133142=⨯+⨯43=又337377==⨯=Q c a1sin 2ABC S ac B ∆∴=143732=⨯⨯⨯63=16．【解析】（1）取AC 、BD 交点为N , 连结MN ．∵PD ∥面MAC PD ⊂面PBD面PBD ∩面MAC MN = ∴PD MN ∥在PBD △中, N 为BD 中点 ∴M 为PB 中点 （2）方法一：取AD 中点为O , BC 中点为E , 连结OP , OE ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥ 又面PAD ⊥面ABCD 面PAD ∩面ABCD AD = ∴PO ⊥面ABCD以OD 为x 轴, OE 为y 轴, OP 为z 轴建立空间直角坐标可知()200D ，，, ()200A -，，, ()240B -，，, ()002P ，， 易知面PD 的法向量为()010m =u r，， 且()202PD =-u u u r ，，, ()242PB =--u u u r，，设面PBD 的法向量为()n x y z =r，，2202420x z x y z ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 可知()112n =r，，∴1cos 2m n <>==u r r， 由图可知二面角的平面角为锐角 ∴二面角B PD A --大小为60︒ 方法二：过点A 作AH PD ⊥, 交PD 于点E , 连结BE ∵BA ⊥平面PAD , ∴PD BA ⊥, ∴PD ⊥平面BAH , ∴PD BH ⊥,∴AEB ∠即为二面角B PD A --的平面角AD PO AE PD⋅=⋅, 可求得AE =tan AEB ∠=∴60AEB ∠=︒（3）方法一：点12M ⎛- ⎝⎭，, ()240C，， ∴32MC ⎛= ⎝⎭u u u u r ，，由（2）题面BDP 的一个法向量(11n =r，设MC 与平面BDP 所成角为θ∴sin cos MC n θ=<>==u u u u r r， 方法二：记AC BD F =I , 取AB 中点N , 连结MN , FN , MF 取FN 中点G , 连MG , 易证点G 是FN 中点, ∴MG PO ∥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD , PO AD ⊥, ∴PO ⊥平面ABCD ∴MG ⊥平面ABCD 连结GC ,GC 12MGPO =∴MC∵PDBD =,PB =由余弦定理知cosPDB ∠=∴sinPDB ∠, ∴1sin 2PDB S PD DB PDB =⋅⋅∠=△设点C 到平面PDB 的距离为h ,13P DBC PDB V S h -=⋅△又13P DBC C PDB BCD V V S PO --==⋅△, 求得2h =记直线MC 与平面BDP 所成角为θ∴sin h MC θ=17．【解析】（1）50名服药者中指标y 的值小于60的人有15人, 故随机抽取1人, 此人指标y 的值小于60的概率为1535010= （2）ξ的可能取值为：0, 1, 2()222106ξ===C P C , ()1122242163ξ⋅====C C P C , ()2224126ξ===C P C 121()0121636ξ=⨯+⨯+⨯=E（3）从图中服药者和未服药者指标y 数据的离散程度观察可知, 服药者的方差大。