2020高考数学专题复习----立体几何专题

2020高考数学专题复习----立体几何专题
2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明

一、近几年高考试卷部分立几试题

1、(全国8)正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1底面边长为1,侧棱长为2,则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是()

A、90°

B、60°

C、45°

D、30°

[评注]主要考查正六棱柱的性质,以及异面直线所成角的求法。

2、(全国18)如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF 上移动,若CM=NB=a(0

(1)求MN的长;

(2)当a为何值时,MN的长最小;

(3)当MN长最小时,求面MNA与面

MNB所成的二面角的大小。

[评注]考查线面关系,二面角函数最值等基础知识,考查空间想

象力和推理能力。

3、(

全国19)如图,四棱锥P-ABCD

C

的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。

(1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°,

求这个四棱锥的体积;

(2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面

PCD所成的二面角恒大于90°。

[评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。

4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。

(1)(2)

(二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。

[评注]主要考查空间想象能力,动手操作能力,探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力。

5、(年上海14)已知直线l、m、平面α、β,且l⊥α,m β,给出下列四个命题。

(1)α∥β,则l⊥m (2)若l⊥m,则α∥β

(3)若α⊥β,则l∥m (4)若l∥m,则α⊥β

[评注]主要考查线面关系的判断。

6、(上海4)若正四棱锥的底面边长为23cm,体积为4cm3,则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________.

[评注]主要考查正棱锥中有关量的计算,以及二面角的求法。7、(03全国15)在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面积的关系,可以得出正确结论是:“设三棱锥A-BCD的一个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则________”.

[评注]主要考查三棱锥基本知识,考查运用联想、类比、猜想的手法进行探索的能力。

8、(03年江苏7)棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为()

A 、33a

B 、43a

C 、63a

D 、12

3a [评注]考查多面体积的计算方法。

9、(年江苏12)一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )

A 、3π

B 、4π

C 、33π

D 、6π

[评注]考查几何组合体知识以及多面体与球的计算问题。

10、对于四面体ABCD ,给出下列四个命题①若AB=AC ,BD=CD ,则BC ⊥AD ;②若AB=CD ,AC=BD ,则BC ⊥AD ;③若AB ⊥AC ,BD ⊥CD ,则BC ⊥AD ;④AB ⊥CD, BD ⊥AC ,则BC ⊥AD ;其中真命题的序号是_______________.

[评注]考查多面体中线线关系的判断。

11、(年江苏19)如图,在直三棱

柱ABC -A 1B 1C 1中,底面是等腰直

角三角形,∠ACB=90°,侧棱

AA 1=2,D 、E 分别是CC 1与A 1B

的中点,点E 在平面ABD 上的射影

是△ABD 重心G 。 (1)求A 1B 与平面ABD 所成的角大小;

B1A1

(2)求点A 1到平面AED 的距离。

12、(年上海14)在下列条件中,可判断平面α与β平行的是( )

A 、α、β都垂直于平面γ

B 、α内存在不共线的三点到β的距离相等

C 、l 、m 是α内两条直线,且l ∥β,m ∥β

D 、l 、m 是两条异面直线,且l ∥α,m ∥α, l ∥β,m ∥β

[评注]主要考查线面、面面位置关系等基本知识,考查分析判断能力。

13、(年上海5)在正四棱锥P -ABCD 中,若侧面与底面所成的二面角的大小为60°,则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于____________.

[评注]主要考查异面直线所成角的度数的求法,正四棱锥的性质等基本知识,考查运算能力。

14、(年上海18)如图,已知平

行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1A ⊥平面ABCD ,AB=4,AD=2,若B 1D

⊥BC ,直线B 1D 与 C'

A'

平面ABCD 的所成的角等于30°,

求平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积。

[评注]主要考查平行六面体等基本知识。

15、(04年全国理16)已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a 、b 在α上的射影有可能的是

①两条平行直线

②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点

在上面结论中,正确结论的编号是_____________(写出所有正确结论的编号)

[评注]主要考查线面关系的判断。

16、(04全国理20)如图,已知四棱锥P -

ABCD ,PB ⊥

AD ,

侧面PAD 为边长等于2的正三角形,底面

ABCD 为菱形,

侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为

120°.

(1)求点P 到平面ABCD 的距离;

(2)求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.

[评注]主要考查线面关系,点面距离及二面角的求法,以及空间

C

P

想象力和逻辑推时能力。

17、(04全国理10)已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H 。设四面体EFGH 的表面积为T ,则S T 等于( )

A 、91

B 、94

C 、41

D 、31

[评注]主要考查多面体表面积的求法。

18、(04江苏18)在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心,点P 在棱CC 1上,且CC 1=4CP .

(1)求直线AP 与平面BCC 1B 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);

(2)设O 点在平面D 1AP 上射影是H ,求证:D 1H ⊥AP ;

(3)求点P 到平面ABD 1的距离.

[评注]本题主要考查线面角求法,线线垂直的判定方法,点面距及逻辑推理能力。

19、(04江苏4)一平面截一球得到直径是6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是4cm ,则该球的体积是( )

A 、cm 3100π 3

B 、cm 3208π 3

C 、cm 3

500π 3 D 、3

313416cm π

[评注]球的概念及性质,及球的体积计算公式。

二:近几年高考立几试题特点概述。

1,分值及难易程度。

近几年高考立几试题题量往往是两小(或三小)一大,均分在15到20多分之间,分值基本稳定,以容易题和中等题为主,偏难题一般作为选择题,大题都在前三题。考查方向始终把空间直线与直线、直线与平面、平面下平面的平行与垂直的性质与判定,考查的重点往往在角与距离的计算且算中有证。

(2)立几主客观题概述。

选择、填空题注重符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化,表现为对图形的识别,理解和加工。解答题形成一些规律,一般将几何元素集中于一个几何体中,即以一个多面体为依托,设置几个小问,设问形式以证明或计算为主。这方面上海高考卷普遍评价较好。从试卷命题来看,上海卷的立几部分也更体现上述精神,突出表现在:考查内容非常基本,各方面系数很稳定。选择题基本上考查线面关系的判定,更注重运用符号语言、文字语言、图形语言。今年取消了题型比例,上海高考卷更有研究的价值。希望大家更为关注。

(3)在稳定立体几何试题的同时,在创新方面也作了一些

有益的尝试。如年把“平面勾股定理”拓展为“空间勾股定理”是首次出现的“研究性问题”,把平面几何题中的结论用模拟的方法推广到立体几何中,着重考查直觉、以及归纳猜想能力,由于考生平时少见少练这类试题,有利于推动研究性学习的开展,有利于营造公平竞争的环境,也有利于考查考试说明中新增的要求、即个性品质的要求。特别是在大题上进行了改革,使其更具有综合性、开放性,目的在于激发学生独立思考,从数学角度去发现和提出问题,并加以探索和研究,有利于提高学生的思维能力和创新意识,再者以立体几何题为试验,试图在改变试卷形式上有所突破。立体几何作为命题者的试验题,基本上每年都会出现。如2001年的第11题民房问题,年的第18题,综合运用代数函数求最值,年的第19题,借助于空间向量求角与距离,等等。

三、考试说明中立体几何部分解读与2005年命题展望。

1、今年高考说明立几部分与04年相比,有几处小的调整。

①04年“了解三垂线定理及其逆定理”05年改为“掌握三重线定理及逆定理。”

②今年删去了“了解多面体的欧拉公式”。

○3“多面体,棱柱,棱锥,正多面体,球”调为“多面体,正多面体,棱柱,棱锥,球”

2、分析考试说明立几部分,命题内容虽有小的调整,但仍保持一定的稳定性与连续性,考查的重点仍是点线面的位置关系及空间距离和空间角,突出空间想象能力,突出突间图形的特点,侧重于空间元素位置关系和定性与定量考查。

3、立体几何第一部分线面关系的内容要求全是“掌握”,而第二部分很多概念只需“了解”,如多面体、凸面体、正多面体的概念,球的概念,要“掌握”的主要是这些几何体的性质以及球的表面积与体积公式。二轮复习重点仍在第一部分不能动摇。

4、纵观近几年高考立几部分相对比较稳定,高考试题中没有出现运用所学的立体几何知识来分析和解决较为复杂的和综合性的问题。我认为这种命题的格局今年仍不会改变。当然,不排除用其他知识来解决立体几何问题,如用代数知识来解决立几中的最值问题,也可综合运用三角、排列组合方法来解决立几中的其它问题等。

5、根据近几年高考立几解答题所选载体看,主要还是以常见的三棱柱,四棱柱,三棱锥,四棱锥为主,但要关注非常规放置问题,也要兼顾非规则多面体模型,由于江苏各所学校所选教材

的具体情况不同而且近两年也不是以二选一模式,故解答题应是既能用空间向量知识解也能用传统知识解。平时在教学时留心三线垂直问题。

6、欧拉公式不会考。

四、二轮复习策略

1、二轮复习紧紧抓住立几第一部分不动摇,除了突出知识的主干体系,让学生整体把握好所学知识外,还应突出重点,不必面面俱到。复习时可安排三课时左右,集中解决三类问题:一是线面、面面关系;二是空间角;三是距离、面积与体积的计算,关注用代数方法解决立几的最值问题。

2、二轮复习更应注重变式训练,拓展,举一反三,在激发学生学习兴趣的同时,增加了容量,拓展了学生的思维空间。由于时间紧,任务重,更要注意时间的有效利用,比如为减少课堂画图时间,我们可以用一个四面体为载体,解决一系列问题,包括特征图形、特殊几何体,共点、共线、共面问题,线面关系的判定问题,各种角与距离、面积与体积的计算问题,“割”与“补”的方法,一些重点结论(公式)的问题,如cosα=cosβcosγ,cosα=s' /s,l2=a2+b2+c2等等,以基本图形带动一系列知识的复习,达到系统复习内容、突出重点的目的。

3、二轮复习是“转化”与“降维”思想,“割”与“补”思想的综合运用阶段。“转化”思想,①常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化为所求角的位置,②常用平行线面间或平行平面间的距离相等为依据,转化为所求距离的位置,③常用割补法或等积变换解决有关距离或体积问题。

另外空间向量作为一种工具还会考查,或许会以定义形式给出来解决立体几何问题,所以对于平面向量与空间向量应当适当给予关注。

4、针对高考中常以判断题的形式考查元素关系问题,要在复习中运用运动变化的思想,让点或直线或平面在满足条件的情况下充分运动,要注意对定理条件的加强或减弱的变化来考查元素位置关系的变化,要注意考察其逆命题、否命题的对与错。通过反复比较分清是非。针对大题中的线面关系的证明题,要注意线线、线面、面面关系的相互转化,用定理时要先申明条件,再由定理得出相应的结论。作为空间中线面角与距离的计算,要明确角或距离的位置,学会用平移和补形的方法来寻找,尤其注意两“足”(斜足和垂足)的应用,而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理,作为三垂线定理及其逆定理的运用,特别在求线与面成角和二面角时往往用此定理,先设法确定面的垂线,搭建用三垂线定理的结构。另外立体几何中的组合体问题近几年也常考,特别是球内的组合体问题,我们复习时要引导学生能认清基本图形,能画出截面图,并根据截面图来研究组合体中各元素的关系。还有图形的变化,特别是翻折与展开的问题,也应予适当的重视。

5、二轮复习,我们也要注意关注、搜集、分析学生一轮复习的学情,针对出现的问题做到有的放矢的复习并进行强化训练。

6、规范书写、应对网上阅卷

今年网上阅卷的选择题、填空题、解答题书写在一份答卷纸上,与以往高考的答题模式不一样。为了便于网上阅卷,要求考生在做图和书写时,要用50毫米的黑色签字笔,希望考生要强化适应训练。因为,高考的得分是以学生的书写为依据,书写规范不规范,会不会书写直接影响高考的评分。

五附三课时教案

垂直与平行

垂直与平行是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质,并能利用它们解决一些问题.

例一:选择题与填空题

1.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( ) A.38 B.83 C.34 D.4

3

解析:如图,设A1C1∩B1D1=O1,∵B1D1⊥A1O1,B1D1⊥AA1,∴B1D1⊥平面AA1O1,故平面

AA1O1⊥AB1D1,交线为AO1,在面

AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H,则易

知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距

离,在Rt△A1O1A中,A1O1=2,AO1=32,由

4.

A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=

3

答案:C

2.在直二面角α—l—β中,直线a?α,直线b?β,a、b与l 斜交,则( )

A.a不和b垂直,但可能a∥b

B.a可能和b垂直,也可能a∥b

C.a不和b垂直,a也不和b平行

D.a不和b平行,但可能a⊥b

2.解析:如图,在l上任取一点P,过P分别在α、β内作a′

∥a,b′∥b,在a′上任取一点A,过A作AC⊥l,垂足为C,则AC ⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B,连AB,由三垂线定理知AB⊥b′,∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角.

答案:C

二、填空题

3设X、Y、Z是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z且Y⊥Z X∥Y”为真命题的是_________(填序号).

①X、Y、Z是直线②X、Y是直线,Z是平面③Z是直线,X、Y是平面④X、Y、Z是平面

、3.解析:①是假命题,直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例,②③是真命题,④是假命题,平面X、Y、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例.

答案:②③

4.设a,b是异面直线,下列命题正确的是__.④_______.

①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

③过a一定可以作一个平面与b垂直

④过a一定可以作一个平面与b平行

例二:两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证:MN∥平面BCE.

命题意图:本题主要考查线面平行的判定,面面平行的判定与性质,以及一些平面几何的知识。

知识依托:解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行,即线(内)∥线(外)?线(外)∥面.或转化为证两个平面平行.

技巧与方法:证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想,通过证面面平行来证线面平行.

证法一:作MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q为垂足,则MP∥AB,NQ∥AB.

∴MP∥NQ,又AM=NF,AC=BF,

∴MC=NB,∠MCP=∠NBQ=45°

∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形

∴MN∥PQ

∵PQ?平面BCE,MN在平面BCE外,

∴MN∥平面BCE.

证法二:如图过M 作MH ⊥AB 于H ,则MH ∥BC , ∴AB AH AC AM

=

连结NH ,由BF =AC ,FN =AM ,得AB AH

BF FN =

∴MN ∥平面BCE .

[例2]在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中,

底面是等腰三角形,AB =AC ,侧面BB 1C 1C ⊥

底面ABC .

(1)若D 是BC 的中点,求证:AD ⊥CC 1;

(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ,若AM =MA 1,求证:截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ;

(3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗?请你叙述判断理由.

命题意图:本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质, 知识依托:线面垂直、面面垂直的判定与性质.

技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于对题目中条件的思考与分析,掌握做此类题目的一般技巧与方法,以及如何巧妙作辅助线.

(1)证明:∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC

∵底面ABC⊥平面BB1C1C,∴AD⊥侧面BB1C1C

∴AD⊥CC1.

(2)证明:延长B1A1与BM交于N,连结C1N

∵AM=MA1,∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1,∴A1C1=A1N=A1B1

∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C,∴C1N⊥侧面BB1C1C

∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C

∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.

(3)解:结论是肯定的,充分性已由(2)证明,下面证必要性.

过M作ME⊥BC1于E,∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C

∴ME⊥侧面BB1C1C,又∵AD⊥侧面BB1C1C.

∴ME∥AD,∴M、E、D、A共面

∵AM∥侧面BB1C1C,∴AM∥DE

∵CC1⊥AM,∴DE∥CC1

∵D 是BC 的中点,∴E 是BC 1的中点

∴AM =DE =21211 CC AA 1,∴AM =MA 1. 课堂小结:垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系:

1.平行转化

2.垂直转化

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.

例如:有两个平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值

2020高考数学立体几何练习题23题

2020高考数学之立体几何解答題23題 一.解答题(共23小题) 1.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点. (Ⅰ)求证:AN∥平面MEC; (Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由. 2.如图,三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点,侧面A1ACC1为边长为2 的菱形,AC⊥CB,BC=1. (Ⅰ)证明:AC1⊥平面A1BC; (Ⅱ)求二面角B﹣A1C﹣B1的大小.

3.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°. (I)求点P到平面ABCD的距离, (II)求面APB与面CPB所成二面角的大小. 4.在正三棱锥P﹣ABC中,底面正△ABC的中心为O,D是PA的中点,PO=AB=2,求PB与平面BDC所成角的正弦值.

5.如图,正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知. (1)求证:B1C1⊥平面OAH; (2)求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小. 6.如图,在三棱锥A﹣BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形. (1)求证:AD⊥BC. (2)求二面角B﹣AC﹣D的大小. (3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由.

高考数学专题复习立体几何(理科)练习题

A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A

(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E

最新-江苏高考数学立体几何真题汇编

A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD

B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C

P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一) 1.如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,⊥PD 平面ABCD , 2PD AB ==,点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证:EF PA ⊥; (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示,该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成,AF AD ⊥,2AE AD ==. (1)证明:平面⊥PAD 平面ABFE ; (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ,使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角,M为PB的中点. (Ⅰ)求证:PD∥面ACM. (Ⅱ)求证:PA⊥CD. (Ⅲ)求三棱锥P ABCD -的体积. 4.如图,四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD,90 DAB ABC ∠=∠=?.SA AB BC a ===,2 AD a =. (Ⅰ)求证:面SAB⊥面SAD. (Ⅱ)求证:CD⊥面SAC. S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,测棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,点E 是 BC 的中点,作EF PB ⊥交PB 于F . (Ⅰ)求证:平面PCD ⊥平面PBC . (Ⅱ)求证:PB ⊥平面EFD . 6.在直棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥,设1AB 中点为D ,1A C 中点为E . (Ⅰ)求证:DE ∥平面11BCC B . (Ⅱ)求证:平面11ABB A ⊥平面11ACC A . E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析

【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A . 643 π B .8316π π+ C .28π D .8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图,还原直观图,得到一个圆锥和一个圆柱,计算体积,即可. 【详解】 结合三视图,还原直观图,得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+,故选B . 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图,考查了组合体体积计算方法,难度中等. 2.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ,使得1AP D P +取得最小值,则此最小值为( )

A .7 B .3 C .1+3 D .2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上,连接1MD 并求出,就 是最小值. 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上,连接1MD .1MD 就是1||||AP D P +的最小值, Q ||||3AB AD ==,1||1AA =,∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=. 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A . 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征,考查计算能力,空间想象能力,解决此类问题常通过转化,转化为在同一平面内两点之间的距离问题,是中档题. 3.已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍,且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等,则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为( ). A 10 B .3:1 C .2:1 D 102 【答案】A

全国高考理科数学:立体几何

2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 .(2013年新课标1(理))如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ) A 2 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是( )[] A .若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B .若//αβm α?n β?则//m n C .若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D .若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 .(2013年上海市春季数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为( ) A .1:2 B .1:4 C .1:8 D .1:16 4 .(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( ) A 5 .(2013年新课标1(理))某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 6 .(2013年湖北卷(理))一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有( ) A .1243V V V V <<< B .1324V V V V <<< C .2134V V V V <<< D .2314V V V V <<< 7 .(2013年湖南卷(理))已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能...等于( ) A .1 B 8 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。

2.83 3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD (Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 ()1,0,0A ,()03,0B ,,() 1,3,0C -,()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=(0,-1,3-) 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB ⊥⊥(Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

(一) 1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。

(一) 1.D 2.83 3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD (Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 ()1,0,0A ,()03,0B ,,()1,3,0C -,()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=(0,-1,3-) 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27-

(二) 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB//DC ,AD ⊥DC ,AB=AD=1, DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .

2019高考数学试题汇编之立体几何(原卷版)

专题04 立体几何 1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 3.【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是 A.158 B.162 C.182 D.324

4.【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成的角为α,直线PB 与平面ABC 所成的角为β,二面角P –AC –B 的平面角为γ,则 A .β<γ,α<γ B .β<α,β<γ C .β<α,γ<α D .α<β,γ<β 5.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC , BC P 到平面ABC 的距离为___________. 6.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.) 7.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方 体1111ABCD A B C D 挖去四棱锥O ?EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E ,F ,G ,H 分别为所在棱的中点,16cm 4cm AB =BC =AA =,,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3 ,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为___________g. 8.【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网 格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为__________.

历年江苏高考数学立体几何真题汇编含详解

历年江苏高考数学立体几何真题汇编(含详解) (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ? ??? ?E ,F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)??????? ?? ?CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,E ,F 分别是A 1B ,A 1C 的中点,点D 在B 1C 1上, A 1D ⊥ B 1 C . 求证:(1)EF ∥平面ABC (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明:(1)由E ,F 分别是A 1B ,A 1C 的中点知EF ∥BC , 因为EF ?平面ABC ,BC ?平面ABC ,所以EF ∥平面ABC (2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1, 又A 1D ?平面A 1B 1C 1,故CC 1⊥A 1D , 又因为A 1D ⊥B 1C ,CC 1∩B 1C =C , CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ,又A 1D ?平面A 1FD , 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C (2010年第16题)

2007年高考理科数学“立体几何”题

2007年高考“立体几何”题 1.(全国Ⅰ) 如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =, 则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( ) A . 15 B . 25 C . 3 5 D . 45 解:如图,连接BC 1,A 1C 1,∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD 所成的角,设AB=a ,AA 1=2a ,∴ A 1B=C 1B=5a , A 1C 1=2a ,∠A 1BC 1的余弦值为4 5 ,选D 。 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知 正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 . 解:一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在 正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知 正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形 的斜边EF 上的中线DG=3. ∴ 斜边EF 的长为23。 四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =∠, 2AB = ,BC = SA SB == (Ⅰ)证明SA BC ⊥; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. 解法一: (Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD , 得SO ⊥底面ABCD . 因为SA SB =,所以AO BO =, 又45ABC =∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO ⊥, 由三垂线定理,得SA BC ⊥. (Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC ∥, 1 A A B 1B 1A 1D 1C C D C 1A C F A D B C A S

2021-2022年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理 新人教A版

2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理 新人教A 版 一、选择题 1.空间中四点可确定的平面有( ) A .1个 B .3个 C .4个 D .1个或4个或无数个 答案 D 解析 当这四点共线时,可确定无数个平面;当这四点不共线且共面时,可确定一个平面;当这四点不共面时,其中任三点可确定一个平面,此时可确定4个平面. 2.一个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图,如图所示,则这个几何体的体积为( ) A .8 B .4 C .2 D .1 答案 C 解析 根据该几何体的三视图知,该几何体是一个平放的三棱柱;它的底面三角形的面积为S 底面=1 2×2×1=1,棱柱高为h =2,∴棱柱的体积为S 棱柱=S 底面·h =1×2=2. 3.下列命题中,错误的是( ) A .三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面 B .平面α∥平面β,a ?α,过β内的一点B 有唯一的一条直线b ,使b ∥a C .α∥β,γ∥δ,α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ,则a ∥b ∥c ∥d D .一条直线与两个平面成等角,则这两个平面平行

答案D 解析A正确,三角形可以确定一个平面,若三角形两边平行于一个平面,而它所在的平面与这个平面平行,故第三边平行于这个平面;B正确,两平面平行,一面中的线必平行于另一个平面,平面内的一点与这条线可以确定一个平面,这个平面与已知平面交于一条直线,过该点在这个平面内只有这条直线与a平行;C正确,利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的;D错误,一条直线与两个平面成等角,这两个平面可能是相交平面,故应选D. 4.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不能确定 答案B 解析作AE⊥BD,交BD于E, ∵平面ABD⊥平面BCD, ∴AE⊥平面BCD,BC?平面BCD,∴AE⊥BC, 而DA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴DA⊥BC, 又∵AE∩AD=A,∴BC⊥平面ABD, 而AB?平面ABD,∴BC⊥AB, 即△ABC为直角三角形.故选B. 5.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC上的一点,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是( )

2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题

2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积 是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱 的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表 面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为()

A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积 为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0

立体几何 高考真题全国卷

(2018 文 I )在平行四边形中,,,以为折痕将折起,使点到达点的位置,且. ⑴证明:平面平面; ⑵为线段上一点,为线段上一点,且,求三棱锥的体积. (2018 文 I I )如图,在三棱锥中,, ,为的中点. (1)证明:平面; (2)若点在棱上,且,求点到平面的距离. ABCM 3AB AC ==90ACM =?∠AC ACM △M D AB DA ⊥ACD ⊥ABC Q AD P BC 2 3 BP DQ DA ==Q ABP -P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C POM A B C P O M

(2018 文 III )如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点. ⑴证明:平面AMD ⊥平面BMC ; ⑵在线段AM 上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ?说明理由. (2017 文 I )如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠= (1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ; (2)若PA=PD=AB=DC,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8 3 ,求该四棱锥的侧面积.

(2017 文 II )如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD , 1 ,2 AB BC AD BAD == ∠90.ABC =∠=? (1)证明:直线BC ∥平面PAD ; (2)若△PCD 的面积为P ABCD -的体积. (2017 文 III )如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD=CD . (1)证明:AC ⊥BD ; (2)已知△ACD 是直角三角形,AB=BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.

【新课标】备战高考数学专题复习测试题_立体几何(文科)

高考第一轮复习专题素质测试题 立体几何(文科) 班别______学号______姓名_______评价______ (考试时间120分钟,满分150分,试题设计:隆光诚) 一、选择题(每小题5分,共60分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确) 1.(10全国Ⅱ)与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱 AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点( ) A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无数个 2.(09福建)设,m n 是平面α内的两条不同直线;12,l l 是平面β内的两条相交直线, 则//αβ的一个充分而不必要条件是( ) A. 1////m l βα且 B. 12////m l l 且n C. ////m n ββ且 D. 2////m n l β且 3.(08四川)直线l α?平面,经过α外一点A 与l α、都成30?角的直线有且只有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.(08宁夏)已知平面α⊥平面β,α∩β= l ,点A ∈α,A ?l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,m ∥β,则下列四种位置关系中,不一定...成立的是( ) A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥β D. AC ⊥β 5.(10湖北)用a 、b 、c 表示三条不同的直线,y 表示平面,给出下列命题: ①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;②若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥c ;③若a ∥y ,b ∥y ,则a ∥b ; ④若a ⊥y ,b ⊥y ,则a ∥b .其中真命题是( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 6.(10新课标)设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为( ) A.3πa 2 B.6πa 2 C.12πa 2 D. 24πa 2 7.(08全国Ⅱ)正四棱锥的侧棱长为32,侧棱与底面所成的角为?60,则该棱锥的体积

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.

(1)证明:PO⊥平面ABC; --为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科: 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲.

相关文档
最新文档