历年江苏高考数学立体几何真题汇编含详解
历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解）
（2008年第16题）
在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD
（2）平面EFC ⊥平面BCD
证明：（1）
?
???
?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）???????
??
?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ?
???
?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD
（2009年第16题）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，
A 1D ⊥
B 1
C .
求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C
证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ，
因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC
（2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1，
又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ，
又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
证明：（1）因为PD⊥平面ABCD，
BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC＝D，PD、DC?平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC?平面PCD，故PC⊥BC．
解：（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF＝
2
2
，故点A到平面PBC的距离等于2．
（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°．
从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．
由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P—ABC的体积V＝1
3
S
△ABC
×PD＝
1
3
．
因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD＝DC＝1，所以PC＝PD2＋DC2＝2．