用提公因式法进行因式分解
小专题( 六 ) 因式分解的几种常见方法
小专题（六） 因式分解的几种常见方法 -3-
4.十字相乘法:x2+( p+q )x+pq型的多项式的因式分解.这类二次三项式的特点是:二次项的 系数是1,常数项是两个数的积,一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二 次项的系数是1的二次三项式因式分解:x2+( p+q )x+pq=( x+p )( x+q ).mx2+px+q型的多项
( 1 )1.992+1.99×0.01; 解:原式=1.99×( 1.99+0.01 )=3.98.
( 2 )20162+2016-20172.
解:原式=2016×[( 2016+1 )]-20172=2016×2017-20172=2017×( 2016-2017 )=-2017.
小专题（六） 因式分解的几种常见方法 -5-
m+n )2( m-n )2. 当 m=-3,n=2 时,原式 =( -3+2 )2×( -3-2 )2=( -1 )2×( -5 )2=1×25=25.
5.已知 x=156,y=144,求代数式12x2+xy+12y2 的值. 解:12x2+xy+12y2=12( x2+2xy+y2 )=12( x+y )2, 当 x=156,y=144 时, 原式=12×( 156+144 )2=45000.
小专题（六） 因式分解的几种常见方法 -10-
根据上述论法和解法,思考并解决下列问题: ( 1 )分解因式:x3+x2-2; ( 2 )分解因式:x3-7x+6; ( 3 )分解因式:x4+x2+1. 解:( 1 )原式=( x3-1 )+( x2-1 )=( x-1 )( x2+x+1 )+( x-1 )·( x+1 )=( x-1 )( x2+2x+2 ). ( 2 )原式=x3-1-7x+7=( x-1 )( x2+x+1 )-7( x-1 )=( x-1 )( x2+x-6 )=( x-1 )( x-2 )( x+3 ). ( 3 )原式=x4+2x2+1-x2=( x2+1 )2-x2=( x2+1+x )·( x2+1-x ).
《用提公因式法进行因式分解》数学教学PPT课件(2篇)
结论总结
1.找出多项式各项公因式的方法： 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的
最大公约数。 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同
的字母。 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一
个，即字母最低次幂。
结论总结
2.提公因式法分解因式步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的 乘积）；
寻找公因 式的关键: 1、定系数 2、定字母 3、定指数
3
系数：最大
2指数：取最低的 x
字母：
公约数
相同字
所以，公因式母是 3x2
公因式的系数：应该取各项系数的最大公约数。
公因式的字母：要取各项中的相同字母。
公因式的指数：相同字母取最低次数。
下列各多项式的公因式是什么？ (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3
下列各多项式的公因式是什么？
(4) 9m2n - 6mn
单项式
(5) -6x2y - 8xy2
公因式
(6) 4(m+n)2
+2(m+n)
多项式
例1.把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
第一步，找出公因式， 把多项式各项写成公 因式与一个因式的积； 第二步，提取公因式 ， 剩余的因式组成另一
式因式与多项式因式的积？ 2、结果中每个多项式是不是
例2.把 -4x3 –12x2 +4x 分解因式.
× =-2x(2x2+6x-2)
公因式要提 尽
提公因式法中应注意什么？
（1）公因式要提尽 （2）小心漏掉1 （3）当多项式的第一项为负数时，通常要先 把符号提出来，注意括号内的各项都要变号。
提取公因式法分解因式的步骤
提取公因式法分解因式的步骤公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多个代数式的公因式，将其进行合并简化，从而得到原始代数式的因式分解形式。
下面将介绍公因式法分解因式的具体步骤。
1.观察多项式中的各个项，寻找它们之间的公因式。
公因式是指可以同时整除多个项的代数式。
2.将找到的公因式提取出来，并用括号括起来。
提取公因式时，需要将公因式的系数和变量一同提取出来。
3.将原始多项式中的每一项除以提取出来的公因式。
这一步可以通过将每一项的系数与公因式的系数进行除法运算来实现。
4.将提取出来的公因式与上一步得到的商相乘，并将结果写在括号外面。
这一步是将公因式和商相乘，重新得到原始多项式。
5.最后，将括号外面的结果与原始多项式进行比较，确保两者相等。
这一步是为了验证因式分解的正确性。
通过以上步骤，我们可以完成对多项式的因式分解。
下面通过一个具体的例子来说明公因式法的应用。
假设我们要对多项式3x^2 - 6x进行因式分解。
第一步，观察多项式中的各个项，发现它们之间的公因式是3x。
第二步，将公因式3x提取出来，并用括号括起来，得到3x( ).第三步，将原始多项式中的每一项除以公因式3x，得到(3x^2)/(3x) - (6x)/(3x)。
第四步，将提取出来的公因式3x与上一步得到的商相乘，并将结果写在括号外面，得到3x((3x^2)/(3x) - (6x)/(3x))。
第五步，化简括号内的表达式，得到3x(x - 2)。
将括号外面的结果与原始多项式进行比较，发现它们相等，因此得到的因式分解形式为3x(x - 2)。
通过以上步骤，我们成功地将多项式3x^2 - 6x分解为公因式3x和商(x - 2)的乘积形式。
总结起来，提取公因式法分解因式的步骤包括观察多项式中的各个项，寻找公因式，提取公因式并用括号括起来，将每一项除以公因式得到商，将公因式与商相乘得到因式分解形式，最后验证分解结果的正确性。
这一方法简单实用，可以帮助我们快速进行因式分解运算。
《提公因式法》分解因式
对于二元一次方程组，可以分别提取每个方程的公因式，得到一组新的方程，然后求解。
提取三角函数的公因式
01
对于三角函数表达式，可以先将 有相同角或相反角的项组合在一 起，然后提取公因式。
02
对于三角函数恒等式，可以运用 公式进行化简，然后再提取公因 式。
03
提公因式法的步骤
确定多项式的项数
确定多项式的项数
首先需要确定多项式的项数。多 项式的项数是指构成多项式的单 项式的个数。
例如
对于多项式 2x² + 3x - 4，我们 可以看到它有三项，分别是 2x² 、3x 和 -4。
确定各项的系数和指数
当一个多项式的第一项和最后 一项是同类项时，需要将整个 多项式的符号放在公因式的外 面。
如果不注意符号的变化，会导 致分解因式出现错误。
注意一些特殊的项
在提公因式法中，还需要注意一 些特殊的项。
例如，当一个多项式的第一项和 最后一项都是负数时，需要将整 个多项式的符号放在公因式的外
面。
如果不注意这些特殊的项，会导 致分解因式出现错误。
提取公因式
将找出的公因式提取出来 ，得到一个或多个没有公 因式的多项式。
公因式的重要性
简化多项式
通过提取公因式，可以将 多项式简化为更容易处理 的形式。
便于计算
在因式分解或化简时，提 取公因式可以简化计算过 程。
便于约分
提取公因式有助于将一个 多项式约分成若干个简单 分式。
公因式法的定义
公因式法
题目2
三角函数 $\cos(A+B)$ 中，公因式 是 $\cos$。
多项式的因式分解的方法
多项式的因式分解的方法
多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个因式的乘积的过程。
下面介绍几种常用的因式分解方法。
1.提取公因式法：
当多项式中的每一项都有一个公因式时，可以利用提取公因式的方法进行因式分解。
具体步骤如下：
找出多项式中每一项的最大公因子；
将每一项除以公因子，得到新的多项式；
将公因子和新的多项式相乘，得到因式分解的结果。
2.公式法：
常见的公式有平方差公式、完全平方公式、立方差公式等。
通过应用这些公式，可以将多项式转化为容易分解的形式。
3.分组分解法：
当多项式中存在某些项之间具有相同的因式时，可以利用分组分解的方法。
具体步骤如下：
将多项式中的项进行分组，使得每组的项存在公因式；
对每组的项进行提取公因式；
将提取出的公因式和每组的项相乘，得到因式分解的结果。
4.二次三角形式分解法：
对形如$a^2b^2$的二次差进行因式分解时，可以利用二次三角形式分解法。
具体步骤如下：
将二次差形式转化为$(a+b)(ab)$的形式，其中$a$和
$b$是变量；
将$(a+b)$和$(ab)$作为因子，得到因式分解的结果。
以上是常用的几种多项式因式分解的方法，实际运用时可以根据多项式的具体形式选择合适的方法进行因式分解。
因式分解提公因式
因式分解提公因式
当我们要因式分解一个多项式时，我们可以首先尝试提取公因式。
提取公因式是指将多项式中的一个公共因子提取出来。
例如，考虑多项式6x^2 + 9x。
我们可以看到这个多项式的公因子是3x，因为每一项都可以被3x整除。
所以我们可以将公因子3x提取出来：
6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)
这里，我们将公因子3x提取出来，并将剩余部分写在括号内。
这就是因式分解后的结果。
另一个例子是多项式12a^3b - 8ab^2。
这个多项式的公因子是4ab，因为每一项都可以被4ab整除。
所以我们可以将公因子4ab提取出来：
12a^3b - 8ab^2 = 4ab(3a^2 - 2b)
同样地，我们将公因子4ab提取出来，并将剩余部分写在括号内。
因式分解提取公因式是一种常见的因式分解方法，它可以帮助我们简化多项式并找到其因式分解形式。
(完整版)提公因式法分解因式典型例题
因式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形知识点二：寻找公因式1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？2、寻找公因式的方法：（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++ 3.提公因式的步骤：（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 公因式原多项式另一个因式=4.注意事项：因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+- B 、103)2)(5(2-+=-+x x x x C 、22)4(168-=+-x x x D 、b a ab 326⋅=2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、2)1(3222++=++x x x B 、22))((y x y x y x -=-+ C 、222)(y x y xy x -=+- D 、)(222y x y x -=- 3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ） A 、1)1(21222+-=+-a a a a B 、22))((y x y x y x -=+- C 、22)13(169-=+-x x x D 、xy y x y x 2)(222+-=+4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、15123-=-+x y x B 、2249)23)(23(b a b a b a -=-+C 、)11(22xx x x +=+ D 、)2)(2(28222y x y x y x -+=-5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、ab a b a a -=-2)( B 、1)2(122+-=+-a a a a C 、)1(2-=-x x x x D 、)(222xy y x y x xy -=-6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、23)2)(1(2+-=--x x x x B 、)2)(1(232--=+-x x x x C 、4)4(442+-=++x x x x D 、))((22y x y x y x -+=+模块2：考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（ ） A 、mn 5 B 、225n m C 、n m 25 D 、25mn 2.（2017春东平县期中）把多项式332223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（ ）A 、bc a 28-B 、3222c b aC 、abc 4-D 、33324c b a 3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32-的公因式是（ ） A 、3+a C 、3-a B 、1+a D 、1-a 4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n my x y x 31128--的公因式是（ ）A 、nmy x B 、1-n myx C 、nmy x 4 D 、14-n myx5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 1025523-+-各项的公因式是（ ）A 、25mxB 、35mx - C 、mx D 、mx 5- 6.下列各组代数式中没有公因式的是（ ） A 、)(5b a m -与a b - B 、2)(b a +与b a -- C 、y mx +与y x + D 、ab a +-2与22ab b a -7.观察下列各组式子：①b a +2和b a +；②)(5b a m -和b a +-；③)(3b a +和b a --；④22y x -和22y x +。
用提公因式法进行因式分解“三步曲”
用提公因式法进行因式分解“三步曲”提公因式法是因式分解的基本方法.为了避免出现错误，我们常常采取“三步走”的方法，即：“一定、二提、三看”的方法进行因式分解：1、“一定”就是确定公因式，其方法是：系数取各项整数系数的最大公约数；字母取各项含有的相同字母（有时是多项式）；各字母次数取各相同字母的最低次数。
2、“二提”就是将各项的公因式提出，并同时确定各项的另一个因式，这个过程实质上是用原多项式除以公因式的过程。
3、“三看”就是提取公因式后，要对结果认真观察：括号内有同类项时要合并同类项；括号内的多项式化简后如果产生了新的公因式要继续提取；有相同的因式相乘时要写成幂的形式。
例1 把多项式y x y x y x 22236126-+因式分解分析：6、12、6的最大公约数是6，各项都有相同的字母xy ，字母x 最低次数为2，字母y 的最低次数是1，所以多项式y x y x y x 22236126-+的公因式是y x 26解 原式=y x 26()12++y x注意：当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时，提取公因式后该项应用1补上，不能漏掉。
例2 把多项式m mn m 182792-+-分解因式.分析：9、27、18的最大公约数是9，各项都有相同的字母m ，字母m 的最低指数是1，同时由于多项式的首项是负的，所以m mn m 182792-+-可确定提取公因式m 9-解：原式=m 9-()23+-n m注意：如果多项式按一定顺序排列后，首项为负时，一般要连同 “－”号提出，使括号内的第一项的系数为正的，但在提出“－”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号。
例3 把多项式()()()b a b b a b a +-++32分解因式分析：在确定公因式时，要充分关注“多项式”公因式，本题中()b a -可作为一个整体，作为公因式提出。
解：原式＝()()b b a b a -++32=()()b a b a 22++=()22b a + 注意：提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简，有同类项时要合并同类项；又产生了新的公因式时要再次提取，相同的多项式要写成幂的形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
提公因式法因式分解的教学设计
教学目标：
1.使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。
2.让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。
3.通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识。
教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。
教学难点：正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。
教学过程：
（一）创设情景，温故知新，导入新课。
1. 问题：（1）1. 问题：（1）12与18有哪些公因数？最大公因式数是多少？
要解决这个问题，需要把12和18分别进行因数分解：12=1×2×2×3
18=1×2×3×3
（2）当a=198，b=98时，求2017a-2017b的值。
让学生充分讨论后，说明：
对于问题（1），在小学我们已经知道，要解决这个问题，需要把48进行质因数分解：48=2×2×2×2×3对于问题（2），虽然可以直接把a=198,b=98代入进行计算，但是如果先把2017a-2017b变形成2017（a-b）)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得更加简洁。
通过对上面两个问题解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便。
2.乘法对加法的分配律：m(a+b)=am+bm.
（二）探究活动：
1.请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（1）x2+x= ;
(2 ) x2-1= .
引导学生根据整式的乘法去联想，得出：
x2+x=x(x+1)；
x2-1=(x+1)(x-1)。
2.提出因式分解的概念。
上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
4. 请同学们看下面的关系图：
（从左到右变形是因式分解）
x2－1 ＝(x＋1)(x－1)
（从右到左变形是整式乘法）
可以看出，因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
（三）巩固练习：下列各式从左到右的变形哪些是因式分解？
1.（x+3）(x-3）=x2-9 ；
2. x2-9=(x+3) (x-3) ；
3. x2-4x+4=(x-2)2。
4. a2-2a+1=a(a-2)+1
(四) 因式分解的方法的探究：
1.观察多项式ma+mb+mc各项中每个因式的特点，提出公因式的概念。
2.让学生体验：
ma+mb+mc=m（a+b+c)从左到右是怎样得到的，你能对ax+2ay进行类似的变形吗？
3.提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成几个因式的
乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
4.例题分析：
例1. 把3a2-9ab分解因式。
（先让学生思考这个问题的最后结果应该是怎样的，然后仿照课本进行分析，教学中注意讲清确定公因式的具体步骤，从系数、字母和字母的次数3个方面进行分析；讲完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式3a，另一个因式是否还有公因式？从而把提取公因式的“提”的具体含意深刻化。
）
5.归纳提公因式法的一般步骤：
⑴确定提取的公因式；
⑵用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；
⑶把多项式写成这两个因式的积的形式。
(五)应用举例：
例2. 2 把-24x3–12x2 +28x 分解因式.
例3. 6a(m+n) ³-2b(m+n) ³。
（引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察分、析从，而发现把m+n看做一个“整体”时,公因式就是(m+n) ³，再用提公因式法进行分解。
）
例4．计算：0.72×15＋15×0.8－0.52×15.
（让学生观察并分析怎样计算更简便。
）
（六）比较与讨论：
1.比较：说说例2、例3和例4的公因式有什么不同？
2.讨论：怎样检查因式分解是否正确？提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关
系？
（七）巩固练习：做教科书p45练习第1、2、题。
（八）小结提高：
1. 举一个例子说说什么是因式分解。
什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？
2. 说说提公因式法的一般步骤。
（九）布置作业：教科书p45习题12.5第1题。
教学反思：由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程、二次根式化简等中都要用到因式分解的知识。
因此应该注重因式分解的概念和方法的教学。
本节课是因式分解的第一课时，主要是建立因式分解的概念和用提公因式法进行因式分解。
教学中，我发觉有的学生对公因式的概念掌握得不好，如何确定公因式还没有学会。
虽然课堂上自己认为效果比较好，但是仍然有一部分学生存在问题，比如公因式提不尽,练习中出现这样的问题：
8m2n+2mn=2m(4mn+n) .如何确定公因式还有待向学生作进一步的教学，让他们真正理解。
另外，我知道在教学设计上学生活动还是比较少。