2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(六)试题含解析
广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷(六)(含解析)
广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（六）（含解析）广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（六）（含解析）年级：姓名：2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(六)(时间:90分钟 满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分) 1.不等式x (x-2)≤0的解集是( )A.[0,2)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2]2.全集为实数集R ,M={x|-2≤x ≤2},N={x|x<1},则(∁R M )∩N= ( ) A .{x|x<-2} B .{x|-2<x<1} C .{x|x<1} D.{x|-2≤x<1}3.为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是 ( ) A.23 B.27 C.31 D.334.直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是 ( ) A .12 B .1 C .2 D .45.函数f (x )=lg(x +1)x 的定义域是 ( ) A .(-1,0)∪(0,+∞) B .[-1,0)∪(0,+∞) C .(-1,+∞) D .[-1,+∞)6.以(a ,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为 ( )A.(x-1)2+(y-1)2=5 B .(x+1)2+(y+1)2=5C .(x-1)2+y 2=5D .x 2+(y-1)2=57.设函数f (x )={1-x 2,x ≤1,x 2+x -2,x >1,则f (1x (2))的值为 ( )A .18B .-2716C .89D .1516 8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )A.πB.2πC.3πD.4π9.已知sin α=23,则cos(π-2α)等于 ( )A .-√53B .-19 C .19 D .√53 10.实数x ,y 满足{x +2x -3≤0,x +3x -3≥0,x ≤1,则z=x-y 的最大值是 ( )A.-1B.0C.3D.411.已知非零向量xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,且xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则向量xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C .13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −43xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗12.函数f (x )=2x+3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)13.函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象如图所示,则f (x )的解析式为 ( )A .f (x )=12sin 12x+1B .f (x )=sin 12x+12 C .f (x )=12sinπx 2+1 D .f (x )=sinπx2+1214.设α,β为钝角,且sin α=√55,cos β=-3√1010,则α+β的值为 ( )A .3π4B .5π4C .7π4D .5π4或7π415.已知数列{a n }满足a n+1=11-x x,若a 1=12,则a 2 018=( )A.2B.-2C.-1D.12 二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是 .17.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,则该直四棱柱的侧面积为 .18.若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为 .19.计算sin (-15π6)cos 20π3tan (-7π6)= . 三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.在锐角三角形ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b ,且2a sin B=√3b.(1)求角A 的大小;(2)若a=3,求△ABC 周长l 的最大值.21.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PC=AD=CD=12AB=2,AB ∥DC ,AD ⊥CD ,PC ⊥平面ABCD.(1)求证:BC ⊥平面PAC ;(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与线段PB 交于点N,确定点N的位置,说明理由;并求三棱锥N-AMC的体积.22.设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=2S n+1,数列{b n}满足a1=b1,点P(b n,b n+1)在直线x-y+2=0上,n∈N*.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设c n=x xx x,求数列{c n}的前n项和T n.答案：1.D【解析】不等式x(x-2)≤0对应方程的两个实数根为0和2,所以该不等式的解集是[0,2].故选D.2.A【解析】∵M={x|-2≤x≤2},∴∁R M={x|x<-2,或x>2},又∵N={x|x<1},∴(∁R M)∩N={x|x<-2}.故选A.3.C【解析】因为5号,18号,44号同学在样本中,18-5=13,44-18=26,所以抽样间隔为13,样本中还有一位同学的编号应该是18+13=31.故选C.4.B【解析】∵2x-y+2=0中,由x=0,得y=2;由y=0,得x=-1.∴直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是S=12×2×1=1.故选B.5.A【解析】{x+1>0,x≠0,解得,x>-1且x≠0,区间形式为(-1,0)∪(0,+∞),故选A.6.A【解析】由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径.∴√22+(-1)2=√22+(-1)2,解得a=1.∴r=√22+(-1)2=√5,∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.7.D【解析】f(2)=22+2-2=4,则f (1x (2))=f (14)=1-(14)2=1516.故选D .8.C 【解析】三视图还原的几何体是圆柱,底面半径为1、高为3,所以这个几何体的体积是π×12×3=3π. 故选C .9.B 【解析】由三角函数的诱导公式可知cos(π-2α)=-cos2α,由倍角公式可得cos 2α=1-2sin 2α=1-2×49=19,cos(π-2α)=-19,故选B . 10.C 【解析】作出不等式{x +2x -3≤0,x +3x -3≥0,x ≤1对应的平面区域如图,由z=x-y ,得y=x-z ,平移直线y=x-z ,由图象可知,当直线y=x-z 经过点B (3,0)时,直线y=x-z 的截距最小,此时z 最大. 此时z 的最大值为z=3-0=3.故选C .11.A 【解析】xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⇔xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A .12.B 【解析】∵f (-1)=12-3<0,f (0)=1>0,∴f (-1)·f (0)<0. 又函数f (x )的图象在(-1,0)上是连续不断的,故f (x )的零点所在的一个区间为(-1,0).故选B .13.C 【解析】由函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象可知,A=1.5-0.52=12,b=1.5+0.52=1,又最小正周期T=4=2πx ,∴ω=π2.又0×ω+φ=0,∴φ=0.∴f (x )的解析式为f (x )=12sin πx 2+1.故选C .14.C 【解析】∵α,β为钝角,且sin α=√55,cos β=-3√1010,∴cos α=-2√55,sin β=√1010, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-2√55×(-3√1010)−√55×√1010=√22, 又α,β为钝角,∴α+β∈(π,2π),∴α+β=7π4.故选C . 15.A 【解析】∵a n+1=11-x x,a 1=12,∴a 2=11-x 1=11-12=2,a 3=11-x 2=11-2=-1, a 4=11-x 3=11-(-1)=12,∴数列{a n }是以3为周期的周期数列, ∵2 018=672×3+2, ∴a 2 018=a 2=2.故选A .16.[1,2) 【解析】要使函数有意义,须满足{x -1≥0,2-x >0,解得1≤x<2,∴函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是[1,2).17.16√2 【解析】如图所示,直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,∴侧棱长为CC 1=√(2√3)2-22=2√2,∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2√2=16√2.18.120° 【解析】(2a +b )·b =0⇔2|a||b|cos <a ,b >+b 2=0,因为|a |=|b |,所以cos <a ,b >=-12,所以<a ,b >=120°. 19.-√36 【解析】sin (-15π6)cos20π3tan (-7π6)=sin (-2π-π2)cos (6π+2π3)tan (-π-π6)=cos 2π3tan π6=(-12)×√33=-√36. 20.【解】(1)由题及正弦定理得2sin A sin B=√3sin B , ∵sin B ≠0,∴sin A=√32,又A ∈(0,π2),∴A=π3. (2)由a=3,A=π3得x sin x=x sin x=x sin x=√32=2√3,∴b=2√3sin B ,c=2√3sin C ,∴l=a+b+c=2√3sin B+2√3sin C+3=2√3sin B+2√3sin (2π3-x )+3 =3√3sin B+3cos B+3=6sin (x +π6)+3,当B=π3时,l 取最大值9.∴△ABC 的周长l 的最大值为9.21.【解】(1)证明:在直角梯形ABCD 中, AC=√xx 2+xx 2=2√2, BC=√(xx -xx )2+xx 2=2√2.∴AC 2+BC 2=AB 2,即BC ⊥AC.∵PC ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴BC ⊥PC. 又AC ∩PC=C ,∴BC ⊥平面PAC.(2)点N 是PB 的中点,连接MN ,CN ,理由如下; 如图,∵点M 为PA 的中点,点N 为PB 的中点, ∴MN ∥AB.又∵AB ∥DC ,∴MN ∥CD. ∴M 、N 、C 、D 四点共面.即点N 为过C 、D 、M 三点的平面与线段PB 的交点; ∵BC ⊥平面PAC ,N 为PB 的中点,∴点N 到平面PAC 的距离d=12BC=√2,S △ACM =12S △PAC =12·12·PC ·AC=14×2×2√2=√2.∴x 三棱锥xxxx =13S △AMC ·d=13×√2×√2=23.22.【解】(1)由a n+1=2S n +1可得,a n =2S n-1+1(n ≥2), 两式相减得a n+1-a n =2a n , 即a n+1=3a n (n ≥2).又a 2=2S 1+1=3,所以a 2=3a 1.故{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n =3n-1.由点P (b n ,b n+1)在直线x-y+2=0上,所以b n+1-b n =2. 则数列{b n }是首项为1,公差为2的等差数列, 则b n =1+(n-1)·2=2n-1.(2)因为c n =x x x x=2x -13x -1,所以T n =130+331+532+…+2x -13x -1, 则13T n =131+332+533+…+2x -33x -1+2x -13x,两式相减,得23T n =1+23+232+…+23x -1−2x -13x,所以T n =3-12·3x -2−2x -12·3x -1=3-x +13x -1.。
广东省高中学业水平考试数学试卷含答案(word版)
2021年广东省普通高中学业水平考试数学测试卷(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.集合{0,1,2}的所有真子集的个数是()A.5B.6C.7D.82.函数f(x)=lg(x-1)的定义域是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.[ 1,+∞)D.[2,+∞)3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),若a⊥b,则实数x等于()A.-1B.1C.-9D.94.若函数f(x)=sin(0≤φ≤2π)是偶函数,则φ=()A. B. C. D.5.已知直线的点斜式方程是y-2=-(x-1),那么此直线的倾斜角为()A. B. C. D.6.如图是2019年在某电视节目中七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()798446479 3A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,47.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象()A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位8.下列说法不正确的是()A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9.函数y=log a x(a>0,a≠1)的反函数的图象过,则a的值为()A.2B.C.2或D.310.已知等差数列{a n}中,a2=2,a4=6,则前4项的和S4等于()A.8B.10C.12D.1411.某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则这个几何体的体积是()A.6B.9C.18D.3612.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是()A.log2a>0B.2a-b<C.log2a+log2b<-2D.213.设x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为()A.-10B.-6C.-1D.014.=()A.-B.-C.D.15.小李从甲地到乙地的平均速度为a,从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0),他往返甲、乙两地的平均速度为v,则()A.v=B.v=C.<v<D.b<v<二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4=.17.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面的概率是.18.已知函数f(x)=则f的值是.19.锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2a sin B=b,则角A等于.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程;(3)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.21.已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥平面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求证:平面ADE⊥平面ACD;(3)求四棱锥A-BCDE的体积.22.已知等差数列{a n}满足a2+a5=8,a6-a3=3.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)若b n=+3·2n-2,求数列{b n}的前n项和T n.答案：1.C【解析】真子集个数为23-1=7,故选C.2.B【解析】由题意得,x-1>0,x>1,即函数的定义域是(1,+∞),故选B.3.B【解析】a·b=3x-3=0,即x=1,故选B.4.C【解析】只需+kπ⇒φ=3kπ+(k∈Z),而φ∈[0,2π],所以φ=,选C.5.C【解析】∵k=tan α=-,∴α=π-.故选C.6.C【解析】由茎叶图知,去掉一个最高分93和一个最低分79后,所剩数据为84,84,86,84,87,平均数为=85,方差为[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2]==1.6.故选C.7.C【解析】y=cos 2x→y=cos(2x+1)=cos.故选C.8.D【解析】A.一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故A正确;B.由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故B正确;C.由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故C正确;D.由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故D不正确.故选D.9.B【解析】函数y=log a x(a>0,a≠1)的反函数为y=a x,过点,即,解得a=,故选B.10.C【解析】设等差数列{a n}的公差为d,则a4=a2+(4-2)d⇒d==2,a1=a2-d=2-2=0,所以S4==2×(0+6)=12.故选C.11.C【解析】由题意可知,几何体是以正视图为底面的三棱柱,其底面面积S=×4×=6,高是3,所以它的体积为V=Sh=18.故选C.12.C【解析】由题意知0<a<1,故log2a<0,A错误;由0<a<1,0<b<1,故-1<-b<0.又a<b,所以-1<a-b<0,所以<2a-b<1,B错误;由a+b=1>2得ab<,因此log2a+log2b=log2ab<log2=-2,C正确;由0<a<b可知>2=2,因此2>22=4,D错误.13.B【解析】由z=x-2y得y=x-,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),平移直线y=x-,由图象可知,当直线y=x-过点B时,直线y=x-的截距最大,此时z最小,由解得即B(2,4).代入目标函数z=x-2y,得z=2-8=-6,∴目标函数z=x-2y的最小值是-6.故选B.14.C【解析】===sin 30°=.故选C.15.D【解析】设甲地到乙地的距离为s.则他往返甲、乙两地的平均速度为v=,∵a>b>0,∴>1,∴v=>b.v=.∴b<v<.故选D.16.15【解析】S4==15.17.【解析】试验结果有:(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)共8种情况,其中出现一次正面情况有3种,即P=.18.【解析】f=log2=-2,f=f(-2)=3-2=.19.【解析】因为2a sin B=b,由正弦定理有2sin A sin B=sin B.因为△ABC中sin B≠0,从而sin A=,而A是锐角,故A=.20.【解】(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因直线过点P,C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB被点P平分时,l⊥PC,直线l的方程为y-2=-(x-2),即x+2y-6=0.(3)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0.圆心到直线l的距离为,圆的半径为3,弦AB的长为.21.【解】(1)证明:如图所示,取AC中点G,连接FG,BG.∵F,G分别是AD,AC的中点,∴FG∥CD,且FG=DC=1.∵BE∥CD,∴FG与BE平行且相等,∴EF∥BG.又∵EF⊄平面ABC,BG⊂平面ABC,∴EF∥平面ABC.(2)证明:由题意知△ABC为等边三角形,∴BG⊥AC.又∵DC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,∴DC⊥BG,∴BG垂直于平面ADC的两条相交直线AC,DC,∴BG⊥平面ADC.∵EF∥BG,∴EF⊥平面ADC.又∵EF⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD.(3)连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC.×1+×1×.22.【解】(1)由a6-a3=3得数列{a n}的公差d==1, 由a2+a5=8,得2a1+5d=8,解得a1=,∴S n=na1+d=.(2)由(1)可得,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=+…+(1+2+…+2n-1)=+=×(2n-1)=3·2n-1-.。
2021-2022年高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题含答案
2021年高三下学期第六次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，） 1．集合，，则（ ）A 、B 、C 、D 、 2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为 A ． B ．C ．D ．23．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和 为A ．117B ．118C ．118．5D ．119．5 4．已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（） A. B. C. D. 5．数列的前n 项和为，若，则( ) A. B. C.D.6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a 的值为 A ．B ．或C ．D ．或8．设x ∈R ，向量a ＝（2，x ），b ＝（3，－2），且a ⊥b ，则｜a －b ｜＝A ．5B ．C ．2D ．6 9．二项式展开式中的系数是( )A ．-14B ．14C ．-28D ．28 10．在△ABC 中，若,，则b=（ ） A ．3 B ．4 C.5 D .611．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数的零点的个数为开始否 n ＝3n +1n 为偶数k ＝k ＋1 结束n ＝5，k ＝0 是 输出k n 否是A ．4B ．5C ．6D ．712．已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( ) A ． B ． C D二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)． 13．—个几何体的三视图如图所示(单位:m )则该几何体的体积为___．14．若整数．．满足0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则的最大值为 ． 15．向平面区域}10,20|),{(≤≤≤≤y x y x .内随机投入一点，则该点落在曲线⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=)21(2)10(23x x x x y 下方的概率等于_______．16．若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_____．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设是数列的前项和， 求使得对所有都成立的最小正整数18．（本小题满分12分） A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为X 1 5％ 10％ P0.80.2X 2 2％ 8％ 12％ P0.20.50.3（Ⅰ）在两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；（Ⅱ）将万元投资A 项目，万元投资B 项目，表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指C 1B 1A 1出x 为何值时，取到最小值．（注：）19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱中，侧面底面，， ，，为中点． （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由 20．（本小题满分12分）已知两定点，和定直线l ：，动点在直线上的射影为，且． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程并画草图；（Ⅱ）是否存在过点的直线，使得直线与曲线相交于， 两点，且△的面积等于？如果存在，请求出直线的方程；如果不存在，请说明理由 21．（本小题满分12分）已知函数，且.（Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，求函数的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一．．．题．作答，如果多做，按所做第1题计分。
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试题(八) 解析版
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(八)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(本大题共15小题,每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={0,2,4},B={-2,0,2},则A∪B=()A.{0,2}B.{-2,4}C.[0,2]D.{-2,0,2,4}2.用a,b,c表示三条不同的直线,y表示平面,给出下列命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥y,b∥y,则a∥b;④若a⊥y,b⊥y,则a∥b.其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①④D.③④3.函数y=log3(x+2)的定义域为()A.(-2,+∞)B.(2,+∞)C.[-2,+∞)D.[2,+∞)4.已知向量a=(2,-2),b=(2,-1),则|a+b|=()A.1B.√5C.5D.255.直线3x+2y-6=0的斜率是()A.32B.-32C.23D.-236.不等式x2-9<0的解集为()A.{x|x<-3}B.{x|x<3}C.{x|x<-3或x>3}D.{x|-3<x<3}7.已知a>0,则3=()A.a 12 B.a32C.a 23 D.a138.某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为()A.7和53B.8和83C.7和1D.8和239.如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,BD 1=2,则AA 1= ( )A.1B.√2C.2D.√3 10.若不等式-4<2x-3<4与不等式x 2+px+q<0的解集相同,则pq = ( )A.127B.-127C.65D.5611.设x ,y 满足约束条件{x -y +3≥0,x +y -1≤0,y ≥0,则z=x-2y 的最大值为( )A.-5B.-3C.1D.412.已知圆C 与y 轴相切于点(0,5),半径为5,则圆C 的标准方程是 ( )A.(x-5)2+(y-5)2=25B.(x+5)2+(y-5)2=25C.(x-5)2+(y-5)2=5或(x+5)2+(y-5)2=5D.(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=2513.如图,△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,用a ,b 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,正确的是( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +34b B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =54a +14b C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a +14bD.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =54a -14b14.若数列{a n }的通项a n =2n-6,设b n =|a n |,则数列{b n }的前7项和为 ( )A.14B.24C.26D.2815.已知函数f (x )={3+log 2x ,x >0,x 2-x -1,x ≤0,则不等式f (x )≤5的解集为( )A.[-1,1]B.(-∞,-2]∪(0,4)C.[-2,4]D.(-∞,-2]∪[0,4]二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分)16.已知角α的顶点与坐标原点重合,终边经过点P(4,-3),则cos α=.17.在等比数列{a n}中,a1=1,a2=2,则a4=.18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球,其中2个白球,3个黑球,从中任取两球,则取出的两球颜色相同的概率是.19.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-4x,则当x∈(-∞,0)时,f(x)=.三、解答题(本大题共2小题,每小题12分,满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=35,bc=5.(1)求△ABC的面积;(2)若b+c=6,求a的值.21.如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PA=PB=PC=2,E是AC的中点,点F在线段PC上.(1)求证:PB⊥AC;(2)若PA∥平面BEF,求四棱锥B-APFE的体积.(参考公式:锥体的体积公式V=13Sℎ,其中S是底面积,ℎ是高.)22.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2017年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数;(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任取两名,求这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率.答案：1.D 【解析】由并集的定义,可得A ∪B={-2,0,2,4}.故选D.2.C 【解析】②不正确,a ,c 的位置关系有三种,平行、相交或异面;③不正确.3.A 【解析】要使y=log 3(x+2)有意义,则x+2>0,解得x>-2,即定义域为(-2,+∞).故选A.4.C 【解析】由a =(2,-2),b =(2,-1),可得a +b =(4,-3),则|a +b |=√42+(-3)2=5.故选C. 5.B 【解析】直线3x+2y-6=0,可化为y=-32x+3,故斜率为-32.故选B. 6.D 【解析】由x 2-9<0,可得-3<x<3.故选D. 7.D【解析】√a 23=a 23,则23=aa 23=a1-23=a 13.故选D.8.A 【解析】平均数x =16×(9+8+7+6+5+7)=7,方差s 2=16[(9-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2]=53.故选A.9.B 【解析】在长方体中,B D 12=AB 2+AD 2+A A 12,则22=12+12+A A 12,解得AA 1=√2.故选B.10.A 【解析】∵不等式-4<2x-3<4,∴-12<x<72.∵不等式-4<2x-3<4与不等式x 2+px+q<0的解集相同, ∴不等式x 2+px+q<0的解集为{x |-12<x <72}, ∴-12,72是方程x 2+px+q=0的两个根,∴{-12+72=-p ,-12×72=q ,解得p=-3,q=-74,∴p q =-3-74=127.故选A .11.C 【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示,当直线z=x-2y 过点A (1,0)时,z取得最大值,z max =1-2×0=1.故选C.12.D 【解析】由题意得圆C 的圆心为(5,5)或(-5,5),故圆C 的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.故选D.13.C 【解析】由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a +14b .故选C.14.C 【解析】当n ≤3时,a n ≤0,b n =|a n |=-a n =6-2n ,即b 1=4,b 2=2,b 3=0.当n>3时,a n >0,b n =|a n |=a n =2n-6,即b 4=2,b 5=4,b 6=6,b 7=8.所以数列{b n }的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.故选C. 15.C 【解析】由于f (x )={3+log 2x ,x >0,x 2-x -1,x ≤0,当x>0时,3+log 2x ≤5,即log 2x ≤2=log 24,解得0<x ≤4;当x ≤0时,x 2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x ≤3.又x ≤0,所以-2≤x ≤0. 综上不等式f (x )≤5的解集为[-2,4],故选C .16.45 【解析】由题意得x=4,y=-3,r=√x 2+y 2=√42+(-3)2=5,cos α=x r =45. 17.8 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,由题意得q=a2a 1=2,则a 4=a 1q 3=1×23=8.18.25 【解析】记2个白球分别为白1,白2,3个黑球分别为黑1,黑2,黑3,从这5个球中任取两球,所有的取法有{白1,白2},{白1,黑1},{白1,黑2},{白1,黑3},{白2,黑1},{白2,黑2},{白2,黑3},{黑1,黑2},{黑1,黑3},{黑2,黑3},共10种.其中取出的两球颜色相同取法的有4种,所以所求概率为P=410=25.19.-x 2-4x 【解析】当x ∈(-∞,0)时,-x ∈(0,+∞),由奇函数可得f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-4(-x )]=-x 2-4x.20.【解】(1)∵A 是△ABC 的内角,即A ∈(0,π),cos A=35,∴sin A=√1-cos 2A =45. 又bc=5,∴S △ABC =12bc sin A=12×5×45=2. (2)由cos A=b 2+c 2-a 22bc=35,bc=5,可得b 2+c 2-a 2=6.由bc=5,b+c=6,可得b 2+c 2=(b+c )2-2bc=26.∴26-a 2=6,解得a=2√5.21.【解】(1)∵PA ⊥PB ,PB ⊥PC ,PA ⊂平面PAC ,PC ⊂平面PAC ,PA ∩PC=P , ∴PB ⊥平面PAC.又AC ⊂平面PAC ,∴PB ⊥AC.(2)∵PA ∥平面BEF ,PA ⊂平面PAC ,平面BEF ∩平面PAC=EF , ∴PA ∥EF.又E 为AC 的中点,∴F 为PC 的中点. ∴S 四边形APFE =S △PAC -S △FEC =34S △PAC .∵PC ⊥PA ,PA=PC=2,∴S △PAC =12×2×2=2.∴S 四边形APFE =32.由(1)得PB ⊥平面PAC ,∴PB=2是四棱锥B -APFE 的高.∴V 四棱锥BAPFE =13S 四边形APFE ·PB=13×32×2=1.22.【解】(1)由表中数据知,这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为(0.02+0.03+0.025)×10×40=30.(2)由直方图可知,年龄在[20,30)的有2人,分别记为a 1,a 2;在[30,40)的有4人,分别记为b 1,b 2,b 3,b 4.现从这6人中任选两人,共有如下15种选法:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 1,b 4),(b 2,b 3),(b 2,b 4),(b 3,b 4),其中恰有1人在[30,40)的情况有8种,故这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率为P=815.。
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟试卷
当n≤11时，数列{an}递减，且an＜1，
当n≥12时，数列{an}递减，且an＞1，
故在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是a12和a11；
故选：D．
13．（4分）函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ| ）的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0， ]上的最小值为（ ）
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟试卷解析版
一．选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）
1．（4分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4]
【解答】解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，
A． B． C． D．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）图象向左平移 个单位得 ，
由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，
又|φ|＜π，∴ ，得 ，
∴ ，
由于 ，∴0≤2x≤π，
∴ ，
当 ，即x＝0时， ．
故选：A．
14．（4分）统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068﹣1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如表的统计表格：
求得n＝6，
故选：B．
8．（4分）若 ， ，则sinα的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ， ，可得：sinα＞0，
2021年广东省普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟试题(五)
3
Q∵B 是锐角, cos B 1 sin2 B 7 14
∵Q C (A B)
sin
C
sin(A
B)
sin(
B)
21
………… 11 分
3
7
c 7 ，解得 c 2 21 3
………… 12 分
72
7
B． x 12 y 12 1
C． x 12 y 12 2
D． x 12 y 12 2
13．用二分法求函数 f x ln 2x 6 2 3x 零点时,用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f x
1.0794
0.1918
-0.3604
-0.9989
则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为 0.1）为
∴ 平面DEF / /平面PAB .
…………………………………………4 分
（2）证明：取 AB 的中点 G ，连结 PG 、 CG ， ∵ △ PAB 和△ CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， ∴ PG AB , CG AB ,
∵ PG CG G , 且PG 平面PCG , CG 平面PCG,
)
的最小正周期是
___________.
2
18．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有“2”，“3”，“4”，“6”这四个数，现从中随机选取三
个球，则所选的三个球上的数不能构成等差数列的概率是
.
19．已知圆 C 经过点 A(0, 3) 和 B(3,2) ,且圆心 C 在直线 y x 上,则圆 C 的方程为
ur r 解：（1） f (x) mm· nn+22＝ 2 sin x(sin x 3 cos x) 3 2 ………… 2 分
2021年广东省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)
广东省2021年普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．设全集U ={}12345，，，，，A ={}12，，则UA =（ ）A ．{} 12345，，，， B ．{} 2345，，， C ．{} 345，， D ．{} 34，【答案】C【分析】根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为{}12345U =，，，，，{}12A =， 所以{}U3,4,5A =故选：C2．已知π1cos α 22⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，则sin α= （ ）A ．12 B ．-12C ．32D ．-32【答案】A【分析】直接利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为π1cos α 22⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以1sin α 2=故选：A3．下列函数为偶函数的是（ ） A ．()1f x x =+ B ．()221x f x x+=C ．()3f x x = D ．()sin f x x =【答案】B【分析】根据偶函数的定义判断即可；【详解】解：对于A ：()1f x x =+为非奇非偶函数，故A 错误；对于B ：()221x f x x +=定义域为{}|0x x ≠，且()()()()221x f x f x x +--==-，所以()221x f x x+=为偶函数，故B 正确；对于C ：()3f x x =定义域为R ，且()()()3f x x f x -=-=-，所以()3f x x =为奇函数，故C 错误；对于D ：()sin f x x =为奇函数，故D 错误； 故选：B4．已知a =0.23，b =0.32，c =0.33，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c【答案】A【分析】根据指数函数、幂函数的性质判断可得；【详解】解：因为0.3x y =在定义域上单调递减，所以230.30.3>，又3y x =在定义域上单调递增，所以330.30.2>，所以2330.30.30.2>>，即b c a >> 故选：A5．经过点(1,6),(0,2)A B -的直线的方程是（ ） A ．420x y --= B ．420x y --=C ．420x y +-=D ．420x y +-=【答案】D【分析】根据直线经过两点，利用直线的两点式方程求解即可. 【详解】因为直线经过点(1,6),(0,2)A B -， 利用两点式得直线的方程为206210y x --=---， 整理得：420x y +-=. 故选：D.6．连续抛掷两枚骰子，向上点数之和为6的概率为（ ） A ．112B ．111C ．536 D ．16【答案】C【分析】基本事件总数6636n =⨯=，利用列举法求出向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出向上的点数之和为6的概率． 【详解】解：连续抛掷两枚骰子， 基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数之和为6包含的基本事件有： (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个，∴向上的点数之和为6的概率是536P =． 故选：C ．7．下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）A ．()3f x x =B ．()112f x x =+C ．()3log f x x =D ．()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据幂指对函数和一次函数的性质进行判定.【详解】由幂函数的性质，可知A 中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B 中函数为增函数，由对数函数性质可知C 中函数为增函数，由指数函数性质，可知D 中函数为单调减函数， 故选：D.8．已知直线a ，b 与平面α，若a 平行α，b 在α内，则下列结论正确的是（ ） A ．//a b B ．a 与b 是异面直线 C ．a b ⊥D ．以上情况都有可能 【答案】D【分析】根据线面平行的性质判断可得；【详解】解：因为//a α，b α⊂，则//a b ，或a 与b 是异面直线或a b ⊥， 故选：D9．不等式4-x 2≤0的解集为（ ） A ．{}|22x x -≤≤ B ．{2x x ≤-或}2x ≥ C ．{}|44x x -≤≤ D ．{4x x ≤-或}4x ≥【答案】B【分析】根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可.【详解】不等式240x -≤即()()220x x -+≥，解得2x -≤或2x ≥， 故不等式的解集为{2x x ≤-或}2x ≥. 故选：B.10．下列计算正确的是（ ） A ．52×5-2=0B ．5225⎛⎫ ⎪⎝⎭= 1C ．lg 2+lg 5=lg 7D ．32log 81=【答案】D【分析】根据指数幂及对数的运算法则计算可得；【详解】解：225551-⨯==，故A 错误；0125⎛ ⎪⎝⎭=⎫，故B 错误；()lg2lg5lg 25lg101+=⨯==，故C 错误；322log 8log 21==，故D 正确；故选：D11．圆心在C （4，-3），且与直线4x -3y =0相切的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2+8x +6y =0 B ．x 2+y 2+8x -6y =0 C ．x 2+y 2-8x +6y =0 D ．x 2+y 2-8x -6y =0【答案】C【分析】求出圆心到直线的距离，即圆的半径，即可求出方程. 【详解】由题可得圆的半径为圆心到直线的距离，即()()224433543r ⨯-⨯-==+-，所以圆的方程为()()224325x y -++=，即22860x y x y +-+=. 故选：C.12．如图是表示某班6名学生期末数学考试成绩的茎叶图，则这6名学生的平均成绩为（ ）A ．87B ．86C ．85.5D ．85【答案】A【分析】利用平均数公式求得平均成绩. 【详解】解：这6名学生的平均成绩为()1768585869397876x =+++++=， 故选：A.13．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【答案】B【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列， ∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3． 故选B ．14．为了得到sin()3y x π=-的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（ ）A ．向右平行移动3π个单位长度 B ．向左平行移动3π个单位长度 C ．向右平行移动6π个单位长度D ．向左平行移动6π个单位长度【答案】A【分析】根据函数图象平移“左加右减”的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案． 【详解】解：由已知中平移前函数解析式为sin y x =，平移后函数解析式为：sin()3y x π=-，可得平移量为向右平行移动3π个单位长度， 故选：A ．15．已知a ＞0，b ＞0，a +b =1，1 a+2b 的最小值是（ ）A ．10 3B ．6C ． 3+D ．【答案】C【分析】利用1的代换，整理后利用基本不等式求最小值.【详解】1a +2b =()12233a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当1b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,即12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故选：C.二、填空题16．已知向量(2,),(1,2)a m b →→==-，若a →与b →共线，则m = ______. 【答案】4-【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程求解即可. 【详解】因为向量(2,),(1,2)a m b →→==-，且a →与b →共线，所以2(2)10m ⨯--⨯=， 解得：4m =-， 故答案为：4-.17．设tan 2θ=，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【答案】3-【分析】直接利用两角和的正切公式求出tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】tan 121tan 341tan 12πθθθ++⎛⎫+===- ⎪--⎝⎭. 故答案为：3-.【点睛】本题考查两角和的正切公式，属于基础题.18．在等差数列{}n a 中，已知a 3=6，a 5=a 2+9，则a 6 = ________. 【答案】15【分析】设出公差，根据已知建立首项公差方程即可求出. 【详解】设等差数列的公差为d ， 3526,9a a a ==+，1112649a d a d a d ∴+=⎧⎨+=++⎩，解得10,3a d ==， 605315a ∴=+⨯=.故答案为：15.19．已知函数()220log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，；设()2f a -=，则()f a = _______.【答案】2-【分析】利用指数幂运算求得a 的值，进而利用对数运算求得结果.【详解】()21224a f -=-==, ()211log 244f a f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,故答案为：2-三、解答题20．食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄瓜，根据以往的种植经验，发现种植西红柿的年利润P （单位：万元），种植黄瓜的年利润Q （单位：万元）与投入的资金x （4≤x ≤16，单位：万元）满足P =42x + 8，Q =1124x +.现合作社共筹集了20万元，将其中8万元投入种植西红柿，剩余资金投入种植黄瓜.求这两个大棚的年利润总和. 【答案】39（万元）【分析】分别代入数据计算P 、Q ，然后求和即得 【详解】P =428824⨯+=,Q =()120812154⨯-+=,P +Q =24+15=39（万元）.这两个大棚的年利润总和为39（万元）.21．如图，在△ABC 中，∠A =30°，D 是边AB 上的点，CD =5，CB =7，DB =3（1）求△CBD 的面积； （2）求边AC 的长. 【答案】（1153；（2）53【分析】（1）由余弦定理求得cos B ，即可得出sin B ，再由面积公式即可求解； （2）由正弦定理即可求解.【详解】（1）在CBD 中，由余弦定理可得22237511cos 23714B +-==⨯⨯， 则253sin 1cos B B =-=， 153153372CBDS=⨯⨯=； （2）在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC ACA B=， 即715323AC =22．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底边ABCD 是边长为2的菱形，PA =AC =2，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PD ，BC 的中点.（1）求三棱锥P-ABD的体积；（2）证明：EF∥平面PAB（参考公式：锥体的体积公式为V= 13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高）【答案】（123（2）证明见详解；【分析】（1）首先计算三棱锥的底面面积，根据三棱锥的体积公式求解即可；（2）根据线面平行的判定定理证明即可；【详解】（1）因为在四棱锥P-ABCD中，底边ABCD是边长为2的菱形，且AC=2，所以23BD=则1112233 244ABD ABCDS S AC BD==⨯⨯=⨯⨯，又P A⊥平面ABC，所以11232333P ABD ABDV PA S-=⨯⨯=⨯（2）取线段P A中点H，连接HE,BH, 因为E，F分别为PD，BC的中点，所以1//2HE AD,1//2BF AD,则//HE BF,所以四边形HEFB为平行四边形，所以//EF BH,又EF⊄面PAB,BH⊂面PAB,所以//EF面PAB.。
2021年广东省高中学业水平考试数学模拟试卷
解可得：x＝2，
故选：D．
6．（4分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
A． B． C． D．
【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin（20°+10°）＝sin30° ，
故选：A．
9．（4分）角α的终边经过点（2，﹣1），则2sinα+3cosα的值为（ ）
A． B．，﹣1），∴|OP| ，
则sinα ，cosα ，
∵|MF|＝5，|AF|
∴ ，整理得4 ，解之可得p＝2或p＝8
因此，抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．
故选：C．
方法二：
∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F（ ，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|＝x 5，可得x＝5 ，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为 ，
又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，
于是得到平面ADC⊥平面ABC．
故选：D．
4．（4分）已知f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x（1+x），当x＜0时，f（x）等于（ ）
A．﹣x（1﹣x）B．x（1﹣x）C．﹣x（1+x）D．x（1+x）
【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，
A．25πB． πC．29πD． π
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
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2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(六)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.不等式x(x-2)≤0的解集是()A.[0,2)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2]2.全集为实数集R,M={x|-2≤x≤2},N={x|x<1},则(∁R M)∩N=() A.{x|x<-2} B.{x|-2<x<1}C.{x|x<1}D.{x|-2≤x<1}3.为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是() A.23 B.27C.31D.334.直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是()A.12B.1C.2D.45.函数f(x)=lg(x+1)x的定义域是() A.(-1,0)∪(0,+∞) B.[-1,0)∪(0,+∞)C.(-1,+∞)D.[-1,+∞)6.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为() A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=57.设函数f(x)={1-x2,x≤1,x2+x-2,x>1,则f(1f(2))的值为()A.18B.-2716C.89D.15168.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.πB.2πC.3πD.4π9.已知sin α=23,则cos(π-2α)等于()A.-√53B.-19C.19D.√5310.实数x ,y 满足{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y ≤1,则z=x-y 的最大值是 ( )A.-1B.0C.3D.411.已知非零向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A .13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ B .23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ C .13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ D .13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −43OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 12.函数f (x )=2x+3x 的零点所在的一个区间是 ( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)13.函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象如图所示,则f (x )的解+析式为 ( )A .f (x )=12sin 12x+1B .f (x )=sin 12x+12 C .f (x )=12sin πx2+1D .f (x )=sin πx2+1214.设α,β为钝角,且sin α=√55,cos β=-3√1010,则α+β的值为( )A .3π4B .5π4C .7π4 D .5π4或7π4 15.已知数列{a n }满足a n+1=11-a n,若a 1=12,则a 2 018=( )A.2B.-2C.-1D.12二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分) 16.函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是 .17.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,则该直四棱柱的侧面积为 . 18.若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为 . 19.计算sin (-15π6)cos20π3tan (-7π6)= .三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.在锐角三角形ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b ,且2a sin B=√3b. (1)求角A 的大小;(2)若a=3,求△ABC 周长l 的最大值.21.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PC=AD=CD=12AB=2,AB ∥DC ,AD ⊥CD ,PC ⊥平面ABCD. (1)求证:BC ⊥平面PAC ;(2)若M 为线段PA 的中点,且过C ,D ,M 三点的平面与线段PB 交于点N ,确定点N 的位置,说明理由;并求三棱锥N -AMC 的体积.22.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n+1=2S n +1,数列{b n }满足a 1=b 1,点P (b n ,b n+1)在直线x-y+2=0上,n ∈N *. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设c n =bn a n,求数列{c n }的前n 项和T n .答案：1.D 不等式x (x-2)≤0对应方程的两个实数根为0和2,所以该不等式的解集是[0,2]. 故选D .2.A ∵M={x|-2≤x ≤2}, ∴∁R M={x|x<-2,或x>2}, 又∵N={x|x<1},∴(∁R M )∩N={x|x<-2}. 故选A .3.C 因为5号,18号,44号同学在样本中,18-5=13,44-18=26,所以抽样间隔为13,样本中还有一位同学的编号应该是18+13=31.故选C .4.B ∵2x-y+2=0中,由x=0,得y=2;由y=0,得x=-1.∴直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是 S=12×2×1=1. 故选B .5.A {x +1>0,x ≠0,解得,x>-1且x ≠0,区间形式为(-1,0)∪(0,+∞),故选A .6.A 由题意得,点(a ,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径.∴√2+(-1)=√2+(-1),解得a=1.∴r=√2+(-1)=√5,∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5. 7.D f (2)=22+2-2=4,则f (1f (2))=f (14)=1-(14)2=1516.故选D .8.C 三视图还原的几何体是圆柱,底面半径为1、高为3, 所以这个几何体的体积是π×12×3=3π. 故选C .9.B 由三角函数的诱导公式可知cos(π-2α)=-cos 2α,由倍角公式可得cos 2α=1-2sin 2α=1-2×49=19,cos(π-2α)=-19,故选B .10.C 作出不等式{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y ≤1对应的平面区域如图,由z=x-y ,得y=x-z ,平移直线y=x-z ,由图象可知,当直线y=x-z 经过点B (3,0)时,直线y=x-z 的截距最小,此时z 最大.此时z 的最大值为z=3-0=3.故选C .11.A BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇔OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A .12.B ∵f (-1)=12-3<0,f (0)=1>0,∴f (-1)·f (0)<0.又函数f (x )的图象在(-1,0)上是连续不断的,故f (x )的零点所在的一个区间为(-1,0).故选B .13.C 由函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象可知,A=1.5-0.52=12,b=1.5+0.5=1, 又最小正周期T=4=2πω,∴ω=π2.又0×ω+φ=0,∴φ=0.∴f (x )的解+析式为f (x )=12sin πx2+1.故选C .14.C ∵α,β为钝角,且sin α=√55,cos β=-3√1010, ∴cos α=-2√55,sin β=√1010,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-2√55×(-3√1010)−√55×√1010=√22,又α,β为钝角,∴α+β∈(π,2π),∴α+β=7π4.故选C . 15.A ∵a n+1=1n,a 1=1,∴a 2=11-a1=11-12=2, a 3=11-a 2=11-2=-1, a 4=11-a3=11-(-1)=12, ∴数列{a n }是以3为周期的周期数列,∵2 018=672×3+2, ∴a 2 018=a 2=2.故选A .16.[1,2) 要使函数有意义,须满足{x -1≥0,2-x >0,解得1≤x<2,∴函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是[1,2).17.16√2 如图所示,直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,∴侧棱长为CC 1=√(2√3)2-22=2√2,∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2√2=16√2.18.120° (2a +b )·b =0⇔2|a||b|cos <a ,b >+b 2=0,因为|a |=|b |,所以cos <a ,b >=-1,所以<a ,b >=120°.19.-√36 sin (-15π6)cos 20π3tan (-7π6) =sin (-2π-π2)cos (6π+2π3)tan (-π-π6)=cos 2π3tan π6=(-12)×√33 =-√36.20.【解】(1)由题及正弦定理得2sin A sin B=√3sin B ,∵sin B ≠0,∴sin A=√32,又A ∈(0,π2),∴A=π3.(2)由a=3,A=π3得b sinB=csinC =a sinA=32=2√3,∴b=2√3sin B ,c=2√3sin C ,∴l=a+b+c=2√3sin B+2√3sin C+3=2√3sin B+2√3sin (2π3-B)+3 =3√3sin B+3cos B+3=6sin (B +π6)+3,当B=π3时,l 取最大值9.∴△ABC 的周长l 的最大值为9.21.【解】(1)证明:在直角梯形ABCD 中, AC=√AD 2+DC 2=2√2, BC=√(AB -CD )2+AD 2=2√2.∴AC 2+BC 2=AB 2,即BC ⊥AC.∵PC ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴BC ⊥PC. 又AC ∩PC=C ,∴BC ⊥平面PAC.(2)点N 是PB 的中点,连接MN ,CN ,理由如下; 如图,∵点M 为PA 的中点,点N 为PB 的中点, ∴MN ∥AB.又∵AB ∥DC ,∴MN ∥CD. ∴M 、N 、C 、D 四点共面.即点N 为过C 、D 、M 三点的平面与线段PB 的交点; ∵BC ⊥平面PAC ,N 为PB 的中点,∴点N 到平面PAC 的距离d=12BC=√2,S △ACM =12S △PAC =12·12·PC ·AC=14×2×2√2=√2.∴V 三棱锥NAMC =13S △AMC ·d=13×√2×√2=23.22.【解】(1)由a n+1=2S n +1可得,a n =2S n-1+1(n ≥2), 两式相减得a n+1-a n =2a n , 即a n+1=3a n (n ≥2).又a 2=2S 1+1=3,所以a 2=3a 1.故{a n }是首项为1,公比为3的等比数列, 所以a n =3n-1.由点P (b n ,b n+1)在直线x-y+2=0上,所以b n+1-b n =2. 则数列{b n }是首项为1,公差为2的等差数列, 则b n =1+(n-1)·2=2n-1. (2)因为c n =b n a n=2n -13n -1,所以T n =130+331+532+…+2n -13n -1,则13T n =131+332+533+…+2n -33n -1+2n -13n ,两式相减,得2T n =1+2+232+…+23n -1−2n -1n ,所以T n =3-12·3n -2−2n -12·3n -1=3-n+13n -1.。