第三章 系统分析-状态方程的解
信号与线性系统分析第三章
系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
第 13 页
零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
第 16 页
零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
第三章线性系统状态方程的解
第三章 系统的分析——状态方程的解§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x= 线性定常连续系统：Ax x= 初始条件：00x x t ==２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。
其解为)0()(x e t x At ⋅=。
其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。
但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法——直接求解设Ax x= 的解是t 的向量幂级数 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)(式中 ，，，，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。
则当0=t 时， 000b x x t ===为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x = ，得：+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x)(2210 +++++=k k t b t b t b b A上式对于所有的t 都成立，故而有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======00323021201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K且有：00x b =故以上系数完全确定，所以有：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(+++++=k k t b A k t b A t Ab b 020200!1!21)0()!1!21(22x t A k t A At I kk +++++=定义（矩阵指数或矩阵函数）：∑∞==+++++=022!1!1!21K kk k k AttA k t A k t A At I e则)0()(x e t x At⋅=。
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学绪论单元测试1.下列语句中，不正确的是（）。
A:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。
B:现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统；C:20世纪50年代中期，空间技术的迅速发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题；D:在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法；答案:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。
2.通过测量输出量，产生一个与输出信号存在函数关系的信号的元件称为（）。
A:给定元件B:放大元件C:反馈元件D:比较元件答案:比较元件3.闭环控制系统的控制方式为（）。
A:按扰动信号控制B:按输入信号控制C:按偏差信号控制D:按反馈信号控制答案:按偏差信号控制4.经典控制理论描述系统的数学模型是由高阶线性常微分方程演变来的传递函数，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:单输入单输出系统C:线性定常系统D:多输入多输出系统答案:单输入单输出系统;线性定常系统5.现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:线性时变系统C:多输入多输出系统D:线性定常系统答案:非线性系统;线性时变系统;多输入多输出系统;线性定常系统第一章测试1.系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的（）A:对 B:错答案:对2.多输入-多输出系统的U-Y 间的传递函数为（）A:错 B:对答案:对3.由一个状态空间模型可以确定多个传递函数。
信号与线性系统分析--第三章
第三章 离散系统的时域分析
本章概述
离散时间域的方程求解
连续时间域 时间函数 微分方程 卷积积分 离散时间域 离散序列 差分方程 卷积求和
求解方法
迭代法 经典法 卷积法
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号
f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外 对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数 的波形一般具有平滑曲线的形状，一般也称模拟 信号
f (n) .... f (1) (n 1) f (0) (n) f (1) (n 1) ...
i
f (i) (n i)
f(k ) f(2) f(-1) f(1) f(0) … 1 2 i f(i) … k
可推出：离散系统的零状态响应
y zs (n)
m
f (m) (n m)
单位阶跃序列
与阶跃函数的不同？
延时的单位阶跃序列
用单位样值序列来表示
u( n) ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
k 0
( n) u(n) u( n 1)
题目中 y0 y1 0 ,是激励加上以后的,不是初始状 态,需迭代求出 y 1, y 2 。
n 1 y1 3 y0 2 y 1 2u 1 2 u 0
0
0 0 2 y1 2 1 1
1 y 1 2
n0
y0 3 y 1 2 y 2 2 u 0 2 u 1
0 1
0 3 y 1 2 y 2 1
y 2 5 4
将初始状态代入方程求系数
线性系统理论-郑大钟(3-4章)
1
2 n
n 1 n
t e n
1
0 1
21
n 1 2
(n 1)1 (n 1)(n 2) n 3 1 2! n2 (n 1)1 n 1 1 1
矩阵指数函数的算法 1：定义法
e At I At
1 2 2 A t 2!
只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具 有编程简单和算法迭代的优点。 2：特征值法
A P 1 AP
A PA P 1
e At Pe A t P 1
P为变换A为约当规范型的变换矩阵 1）若A的特征值为两两互异
如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。 从数学观点，上述条件可减弱为： ①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0
| aij (t ) | dt ,
－1
te1t 1t e e3t
0 2tet e 2t 1 3tet 2et 2e 2t 2 tet et e 2t
e At 0 I 1 A 2 A2 (2tet e 2t ) I (3tet 2et 2e 2t ) A (tet et e 2t ) A2 2et e 2t 0 e t e 2t 0 et 0 2et 2e 2t 0 et 2e 2t
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2)
现代控制理论(8-11讲：第3章知识点)
f () I - A n an1 n1 a1 a0
f (A) An an1An1 a1A a0I 0
f () I - A 2 5 7 0
用A代替λ ，则
f (A) A 5A 7I 0
1 2 2 t 0 0 1t 2! 1 1 1 .. .. 0 nt 1 0
1 2 2 1 k k P (I + At + A t + ... + A t + ...)P 2! k!
11
习题: 2.4 (2) (3) 2.5 (1):1, 2
12
（2）系统矩阵A具有n重特征值: 则
Φ(t ) e
At
i t e Q
te e
i t
i t
0
1 ( n 1) i t ... t e (n 1)! 1 ... ... Q .. tei t i t e
2
15
例2：设矩阵为:
0 0 A 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
试用Cayly-Hamilton定理，求A7-A3+2I。 解：
0 1 0 0 1 0 4 1 0 I A 0 0 1 1 0 0
At
e 0 (t )I 1 (t )A an1 (t )A
At
n1
证： A 即
n
an1A
n1
a1A a0I 0
An an1An1 a1A a0I
an1 (an1An1 a1A a0I) an2 A n1 ... a0 A
《控制工程基础》电子教案
《控制工程基础》电子教案第一章：绪论1.1 课程介绍了解控制工程的概念、内容和研究方法理解控制工程在工程实践中的应用和重要性1.2 控制系统的基本概念定义系统、输入、输出和反馈区分开环系统和闭环系统1.3 控制工程的目标掌握稳定性、线性、非线性和时变性等控制系统的特性学习控制系统的设计方法和步骤第二章：数学基础2.1 线性代数基础掌握向量、矩阵和行列式的基本运算学习线性方程组和特征值、特征向量的求解方法2.2 微积分基础复习极限、连续性和微分、积分的基本概念和方法应用微积分解决实际问题2.3 复数基础了解复数的概念、代数表示法和几何表示法学习复数的运算规则和复数函数的性质第三章：控制系统分析3.1 传递函数定义传递函数的概念和性质学习传递函数的绘制和解析方法3.2 频率响应分析理解频率响应的概念和特点应用频率响应分析方法评估系统的性能3.3 根轨迹分析掌握根轨迹的概念和绘制方法分析根轨迹对系统稳定性的影响第四章：控制系统设计4.1 控制器设计方法学习PID控制器的设计原理和方法了解模糊控制器和神经网络控制器的设计方法4.2 控制器参数调整掌握控制器参数调整的目标和方法应用Ziegler-Nichols方法和频域方法进行参数调整4.3 系统校正和优化理解系统校正的概念和目的学习常用校正方法和优化技术第五章：现代控制理论5.1 状态空间描述了解状态空间的概念和表示方法学习状态空间方程的求解和状态反馈控制5.2 状态估计和最优控制掌握状态估计的概念和方法学习最优控制的目标和求解方法5.3 鲁棒控制和自适应控制理解鲁棒控制的概念和特点了解自适应控制的设计方法和应用场景第六章：线性系统的稳定性分析6.1 稳定性的定义和性质理解系统稳定性的概念和重要性学习稳定性分析的基本方法6.2 劳斯-赫尔维茨准则掌握劳斯-赫尔维茨准则的原理和应用应用劳斯-赫尔维茨准则判断系统的稳定性6.3 李雅普诺夫方法了解李雅普诺夫方法的原理和分类学习李雅普诺夫第一和第二方法判断系统的稳定性第七章：线性系统的控制器设计7.1 控制器设计概述理解控制器设计的目标和重要性学习控制器设计的基本方法7.2 PID控制器设计掌握PID控制器的设计原理和方法应用PID控制器进行系统控制7.3 状态反馈控制器设计了解状态反馈控制器的设计原理和方法学习状态反馈控制器的设计和应用第八章：非线性控制系统分析8.1 非线性系统概述理解非线性系统的概念和特点学习非线性系统分析的基本方法8.2 非线性系统的描述方法学习非线性系统的数学模型和描述方法应用非线性系统分析方法研究系统的性质8.3 非线性控制系统的应用了解非线性控制系统在工程实践中的应用学习非线性控制系统的设计和优化方法第九章：鲁棒控制理论9.1 鲁棒控制概述理解鲁棒控制的概念和重要性学习鲁棒控制的基本方法9.2 鲁棒控制设计方法掌握鲁棒控制设计的原则和方法应用鲁棒控制设计方法设计控制器9.3 鲁棒控制在控制系统中的应用了解鲁棒控制在实际控制系统中的应用学习鲁棒控制在控制系统中的设计和优化方法第十章：控制系统仿真与实验10.1 控制系统仿真概述理解控制系统仿真的概念和重要性学习控制系统仿真的基本方法10.2 MATLAB控制系统仿真掌握MATLAB控制系统仿真工具的使用应用MATLAB进行控制系统仿真和分析10.3 控制系统实验了解控制系统实验的目的和重要性学习控制系统实验的方法和技巧重点和难点解析重点环节1：控制系统的基本概念和特性控制系统的基本概念，包括系统、输入、输出和反馈区分开环系统和闭环系统掌握稳定性、线性、非线性和时变性等控制系统的特性重点环节2：传递函数和频率响应分析传递函数的概念和性质，传递函数的绘制和解析方法频率响应的概念和特点，频率响应分析方法分析根轨迹对系统稳定性的影响重点环节3：控制器设计方法和参数调整控制器设计方法，包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器的设计原理和方法控制器参数调整的目标和方法，应用Ziegler-Nichols方法和频域方法进行参数调整重点环节4：状态空间描述和最优控制状态空间的概念和表示方法，状态空间方程的求解和状态反馈控制状态估计和最优控制的目标和求解方法重点环节5：非线性控制系统分析和鲁棒控制理论非线性系统的概念和特点，非线性系统分析的基本方法鲁棒控制的概念和重要性，鲁棒控制的基本方法重点环节6：控制系统仿真与实验控制系统仿真的概念和重要性，控制系统仿真的基本方法MATLAB控制系统仿真工具的使用，应用MATLAB进行控制系统仿真和分析控制系统实验的目的和重要性，控制系统实验的方法和技巧全文总结和概括：本教案涵盖了控制工程基础的十个章节，主要包括控制系统的基本概念和特性、传递函数和频率响应分析、控制器设计方法和参数调整、状态空间描述和最优控制、非线性控制系统分析和鲁棒控制理论以及控制系统仿真与实验。
基本动态系统分析
图3-1 弹簧的非线性
0
θ1
图3-2 齿轮副空程
用线性关系近似地表示系统特性的原因是因为分析起来比非线 性简单。但如果非线性影响较大或者我们必须要考虑它对系统的影 响，就不能再用线性关系近似了。
举例介绍微分方程的线性化：
如图3-3所示的单摆系统，Ti (t) 为输入力矩、0 (t)为输出摆角、
m为小球质量、L为摆长。
时间（t） 0
输出量（ V / Vf 1 et / T）
0
T
0.632
2T
0.865
3T
0.950
4T
0.982
5T
0.993
67
0.998
可见，尽管输出量达到稳态值需要无穷长的时间，但只需几个 时间常数的时间就十分接近稳态值。
（2）对于正弦输入的稳态响应
周期函数是一种十分常见的输入形式，正弦函数是最简单的周 期函数，任何周期函数都可以用傅立叶级数展开，因此，系统对于 正弦输入的响应成为度量系统性能的重要依据。
m Ti
mg
图3-3 单摆系统
第二节 建立系统方程
这里讨论最简单的两个元件组成的动态系统，以引出一些基本 概念和解决问题的思路。
一、两个理想元件的连接
电阻和电容有两 种接法，如图3-4a的 并联，两个元件具有
C
i
1R
ic
i
iR 2
1
R2C 3
iR
ic
相同的电压；如图34b的串联，两个元件
a
b
图3-4 电阻和电容的并联和串联
这样，必须总结一下系统元件的初始条件情况，对突然变化时 的元件特性作一总结：
（1） 惯性元件如质量、惯量、电容和液容等，其跨越变量不 可能产生突变，除非受到无穷大的通过变量作用。
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理论推导可得：取
G(T ) e AT ,
T
H (T ) e At Bdt
为采样周期，
0
时，T
则离散化以后的状态空间表达式为：
x[(k 1)T ] G(T )x(kT) H (T )u(kT)
y[kT] Cx(kT) Du (kT)
例题
连续系统的离散化的意义
线性连续系统的状态方程为1阶微分方程组。可 采用解析法求解。也可以采用数值解法求解， 此时对微分方程做近似解，给出离散采样时刻 的状态方程解的近似值。利用计算机对线性定 常连续系统求数值解是现代科学技术研究中常 用的一种方法，不但方便而且精确。由于实际 工业生产中线性定常连续系统的被控对象需要 在线控制等，必须将连续系统的状态方程化为 离散系统的状态方程，即对矩阵微分方程化成 差分方程，这就是连续系统的离散化。
为对角阵，则
e 1t
A
2
n
(t) eAt
e2t
e
n
t
（2）若 T-1AT=
1
2
为对角阵，则
n
e 1t (t) eAt T
e2t
T 1
e
nt
（3）A=
0
0
0
1 0 0
0 1 0
0 0
为约旦阵，则
1
1 (t) e At e t 0 0
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k) Hu(k) zx(z) zx(0) Gx(z) Hu(z) (zI G)x(z) zx(0) Hu(z) x(z) [(zI G)1 z]x(0) (zI G)1 Hu(z) x(k) Z 1[(zI G)1 z]x(0) Z 1[(zI G)1 Hu(z)]
已知系统状态空间表达式为：
x Ax Bu y Cx Du
• 直接法积分求解
t
x(t) (t t0 )x(t0 ) (t )Bu( )d
t0
t
t0 0 x(t) (t)x(0) (t )Bu( )d
0
初始状态引起的解： x(t) (t)x(0)
输入作用引起的解：
t
x(t) (t )Bu( )d
Gk x(0) Gk1Hu(0) GHu(k 2) Hu(k 1)
k 1
Gk x(0) Gk j1Hu( j) j0
k 1
得系统状态的迭代计算式为：x(k ) Gk x(0) Gk j1Hu ( j) j0 注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
2!
i!
返回
1阶齐次微分方程的解
返回
x(t) ax(t)
sX s x(0) aX (s)
(s a)X s x(0)
X s 1 x(0)
(s a)
x(t) eat x(0)
2. 齐次方程解的物理意义
由初始条件引起的运动规律为齐次方程的解
x(t) eAt x(0)
确定的，状态向量在任意时刻t1的取值可由
第三章 状态空间表达式的解
一种分析系统状态和输出特性的直接法
一.线性定常齐次状态方程的解 二.状态转移矩阵 三.线性定常非齐次状态方程的解 四.线性时变系统状态方程的解 五.离散系统状态方程的解 六.连续系统的离散化
一.线性定常齐次状态方程的解
1、线性齐次状态方程解的定义 2、线性齐次状态方程解的物理意义 3、状态转移矩阵的引出
注：计算结果为封闭的解析形式。
k 1
x(k ) G k x(0) G k j1Hu ( j) j0
返回
2. 引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方 程的求解
k 1
x(k ) G k x(0) G k j1Hu ( j) j0
x(k) Z 1[(zI G)1 z]x(0) Z 1[(zI G)1Hu(z)]
返回
单元练习
• 1.已知系统状态方程为，
• 当x(0) 12时，
e2t
x(t)
e 2t
•
当
x(0)
2 1
时，
2et
x(t)
e t
• 试求系统矩阵A和状态转移矩阵。其中:
2、检验下列矩阵是否为系统的状态转移矩阵。若是，求对应 的矩阵A。
（1） e2t
2et
2et
0
2et
2et
x(t) eAt x(0) A1 (eAt I )BK
（3）斜坡 u(t) K t 1(t) 输入下的解为：(使用条件A的逆存在)
x(t) eAt x(0) [A2 (eAt I ) A1t]BK
注意：线性系统的输出输入特性。
返回
四.离散系统状态方程的解
1、差分方程组的求解方法
• 迭代法 • Z变换法
（1）状态转移矩阵的定义及计算：
(k) Gk Z 1[(zI G)1 z]
k 1
x(k) (k)x(0) (k j 1)Hu ( j) j0
（2）G 阵为典型结构形式的状态转移矩阵的计算
G为对角型时
1 0
(k)
Gk
0
2
0 0
k
1k
0
0
2 k
0
0
0 0 3
0
0
3k
G为约旦型
0
由输出方程可以求出系统的输出解。
• Laplae变换求解
状态方程两边同时求拉氏变换得：
X (s) (sI A)1 x(0) (sI A)1 BU (s)
x(t) L1[(sI A)1 x(0) (sI A)1 BU (s)]
L1[(sI A)1 x(0)] L1[(sI A)1 BU (s)]
推导
(3) 化A阵为对角型或约旦标准型计算 （利用状态转移矩阵的性质计算）
• 求特征值和特征向量
• 由变换阵P化A为对角阵或约旦标准型
• 求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵
• 求原矩阵A的状态转移矩阵。
返回
Laplace变换法
x(t) Ax(t)
sX s x(0) AX (s)
(sI A)X s x(0)
(1) 离散化按等采样周期处理； (2) 采样脉冲为理想脉冲信号； (3) 输入向量u（t）只在采样点变化，两相邻采样点 之间的输入由零阶保持器保持不变； (4) 采样周期的选择满足香农定理。
3. 线性定常系统状态方程的离散化方法
(1) 化连续状态方程为离散状态方程
连续系统状态方程： x(t) Ax(t) Bu(t)
t
1 0
1 t2 2!
t 1
1
3! 1
t t
3 2
2!
t
0 0 0 1
书上p58~60页
（4）T-1AT=
0
0
0
1 0 0
0 0
1 t
1
0
为约旦阵，则 (t )
e At
e tT 0
1
1
0
பைடு நூலகம்
0 0 0 0
1 t2 2!
t 1 0
1
3! 1
t t
3 2
T
1
2!
t
1
（5）若
A
，则
(t)
e At
et
cost sin t
sin t cos t
1 1 0 0
[举例1]： 若
A
0 0
0
1 0 0
0 3 0
0
0
4
e te 1t
1t
0
0
则
e At
0
0
e 1t
0
0 e3t
0
0
0
0
0
e
4t
[举例2]： 若
1 1 0
A
0
1
1
0 0
0
0
0
e 1t
2et
2et 2et
2et
2et
e2t
（2）
et
0
0
0
(1 2t)et
4te 2t
0
tet
(1
2t)e2t
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1. 一阶齐次微分方程组解的定义
一阶齐次微分方程： x(t) ax(t) 推导
解为：
x(t)
eat
x(0)
(1
at
1 2!
a2t
2
1 3!
a3t 3
) x0
一阶齐次微分方程组： x(t) Ax(t) ，
解为：
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Aiti )x(0) eAt x(0)
2
1
1
0
2
0
(7) (t)k (kt)
e e e (8) 若 A B B A ，则有 ( AB)t
nn nn
nn nn
At Bt
注：上述性质由定义导出。
返回
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Aiti )x(0) eAt x(0)
2!
i!
2. 几个典型形式的状态转移矩阵
（1）若 1
(k) Gk
0
1 k k
0
kk 1
k
G可化对角型（变换阵为P）
(k)
Gk
k
P
1
0
0
k 2
0 0
G可化约旦型（变换阵为P）
(k)
Gk
k
P 0
0
0
P
1
3
k
kk k
1
P
1
（3）状态转移矩阵的性质
(k 1) Gk1 (k)G
(0) G0 I 返回