大学工程力学第7章平面弯曲2
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建筑力学第7章平面弯曲杆件
成品质量控制
对已完成的平面弯曲杆件进行成品质量控制，包括尺寸、 平整度、垂直度等方面的检测和控制，确保其符合设计要 求和相关规范。
工艺质量控制
对平面弯曲杆件的施工工艺进行质量控制，包括施工过程 的规范性、工艺参数的控制等方面的检测和控制，确保其 符合设计要求和相关规范。
不合格品处理
对不合格的平面弯曲杆件进行处理和控制，包括返工、返 修、报废等方面的处理和控制，确保产品的质量和安全。
弹性变形与塑性变形
分析杆件在受力后的弹性变形 和塑性变形，了解其力学性能 。
平面弯曲杆件的稳定性分析
01
02
03
稳定性分析概述
对平面弯曲杆件的稳定性 进行分析，以确定其在受 到外力作用时是否会发生 失稳。
临界荷载
研究不同外力作用下杆件 的临界荷载，了解失稳的 临界条件。
稳定性措施
根据分析结果，采取相应 的稳定性措施，提高杆件 的稳定性。
建筑结构
建筑的梁、板、柱等结构形式也属于平面弯曲杆件 ，用于承受垂直和水平荷载。
机械零件
某些机械零件如连杆、曲轴等也采用平面弯曲杆件 的设计，以满足特定的功能需求。
02
平面弯曲杆件的力学分析
平面弯曲杆件的受力分析
80%
受力分析概述
对平面弯曲杆件进行受力分析， 需要明确杆件所受的力，包括外 力、内力和约束反力。
平面弯曲杆件的材料选择Βιβλιοθήκη 钢材混凝土木材
其他复合材料
强度高、塑性好，适用 于承受较大载荷和变形
的结构。
抗压强度高、耐久性好， 适用于承受静载的结构。
轻质、易加工，适用于 临时结构或低层建筑。
如玻璃纤维、碳纤维等， 具有高强度、轻质等特 点，适用于特定场合。
对已完成的平面弯曲杆件进行成品质量控制，包括尺寸、 平整度、垂直度等方面的检测和控制，确保其符合设计要 求和相关规范。
工艺质量控制
对平面弯曲杆件的施工工艺进行质量控制，包括施工过程 的规范性、工艺参数的控制等方面的检测和控制，确保其 符合设计要求和相关规范。
不合格品处理
对不合格的平面弯曲杆件进行处理和控制，包括返工、返 修、报废等方面的处理和控制，确保产品的质量和安全。
弹性变形与塑性变形
分析杆件在受力后的弹性变形 和塑性变形，了解其力学性能 。
平面弯曲杆件的稳定性分析
01
02
03
稳定性分析概述
对平面弯曲杆件的稳定性 进行分析，以确定其在受 到外力作用时是否会发生 失稳。
临界荷载
研究不同外力作用下杆件 的临界荷载，了解失稳的 临界条件。
稳定性措施
根据分析结果，采取相应 的稳定性措施，提高杆件 的稳定性。
建筑结构
建筑的梁、板、柱等结构形式也属于平面弯曲杆件 ，用于承受垂直和水平荷载。
机械零件
某些机械零件如连杆、曲轴等也采用平面弯曲杆件 的设计，以满足特定的功能需求。
02
平面弯曲杆件的力学分析
平面弯曲杆件的受力分析
80%
受力分析概述
对平面弯曲杆件进行受力分析， 需要明确杆件所受的力，包括外 力、内力和约束反力。
平面弯曲杆件的材料选择Βιβλιοθήκη 钢材混凝土木材
其他复合材料
强度高、塑性好，适用 于承受较大载荷和变形
的结构。
抗压强度高、耐久性好， 适用于承受静载的结构。
轻质、易加工，适用于 临时结构或低层建筑。
如玻璃纤维、碳纤维等， 具有高强度、轻质等特 点，适用于特定场合。
平面弯曲
y a
变形几何关系： 变形几何关系： 取微段梁dx 取微段梁 1
b
2
a'
1
b'
2
dx
HOHAI UNIVERSITY
ab的线应变： ab的线应变： 的线应变
dθ
a′b′ − ab ε= ab
(ρ + y)dθ − ρdθ = ρdθ y = ——应变分布 ——应变分布
y
(ρ + y)dθ − dx = dx
q=20kN/m
q=20kN/m A 4m B 2m C
220 60 180
A
z 280
D
4m
B
2m
C
c
60 y
FQ(kN) 30 +
-
40 + 50 40
x
解：1.作FQ、M图 1.作 图 B、D截面为危险截面 、 截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
1.5m
-
x
+ 22.5 M(kN·m)
220 60
c yC=180
60
z
280 D截面 截面
y
HOHAI UNIVERSITY
§4-3 梁横截面上的切应力
切应力与横截面的形状有关 一、矩形截面梁 两个假设 1.切应力与横截面的侧边平行， 1.切应力与横截面的侧边平行， 切应力与横截面的侧边平行 与剪力方向一致； 与剪力方向一致； 2.切应力沿截面宽度均匀分布。 2.切应力沿截面宽度均匀分布。 切应力沿截面宽度均匀分布
解： 1. 求最大弯矩 max 求最大弯矩M
Mmax
1 1 = Fl = × 20kN×6m = 30kN⋅ m 4 4
平面弯曲概念及计算简图72梁内力弯矩图
C
A
B D
2m
4m
2m
QB左 RB 3.5KN QB右 0
二、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程：用函数表达式表示沿梁轴线各
横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程
和弯矩方程 。
即：
Q = Q (x )
M = M（x）
剪力图和弯矩图 绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出 梁的 剪力方程 和 弯矩方程 ，然后根据它们作图。 剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
RB
P1a l
P2b
记 E 截面处的剪力 为 QE 和弯矩 ME ， 且假设 QE 和弯矩 ME 的指向和转向 均为 正值。
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
RA
ME
A
E
C
b
y 0, RA QE 0 RA
a
mE 0, M E RA c 0 A
E
c 解得
P1 P2
RB
P=50KN yC ' yC
mA
XA
AE
C
xc ' xc
xc ' xc
RA
mA 0, mA 311.5 501 96.5kN m
§7—2 梁的内力· 弯矩图
一、梁的剪力和弯矩
１、Q 和 M 的定义与计算
a
P
m
A
B
m x
a
P
m
用截面法假想地在
A
B
m
工程力学 第七章-梁弯曲
FQc FAy q 2a qa
FAy
a
由 MC 0, 得到：
（剪力 FQ的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
5 KN .m
弯曲
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A E
1m 1m
F C
2m
B
D
1m
FBy
FAy
1m
B右截面：
与 B 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有： 左
FQB右 FQB左 FBy 4 KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5 KN .m
例5-2 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、
的内力。
M 0 8KN.m
q=2KN/m
B左 截面和 B右 上
P=2KN
A E C
1m 2m
F
FAy
解：
FBy
B
1m 1m
D
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7KN
FAy 3KN
B
弯曲
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8KN.m
FQ ( x) dF Q
M ( x) dM
F
y
0
FQ ( x) q( x)dx [FQ ( x) dF Q] 0
dFQ ( x) dx
q( x)
（4-4）
由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相 应点处的载荷集度q。
FAy
a
由 MC 0, 得到：
（剪力 FQ的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
5 KN .m
弯曲
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A E
1m 1m
F C
2m
B
D
1m
FBy
FAy
1m
B右截面：
与 B 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有： 左
FQB右 FQB左 FBy 4 KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5 KN .m
例5-2 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、
的内力。
M 0 8KN.m
q=2KN/m
B左 截面和 B右 上
P=2KN
A E C
1m 2m
F
FAy
解：
FBy
B
1m 1m
D
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7KN
FAy 3KN
B
弯曲
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8KN.m
FQ ( x) dF Q
M ( x) dM
F
y
0
FQ ( x) q( x)dx [FQ ( x) dF Q] 0
dFQ ( x) dx
q( x)
（4-4）
由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相 应点处的载荷集度q。
工程力学 平面弯曲PPT课件
2
dM 0
dM / dx Q
dQ q , dx
dM Q , dx
d 2M dx 2
q
33
第33页/共48页
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
dQ dx
q
,
dM dx
Q
,
d 2M dx2
q
（1） q = 0 时: Q =常数，Q图为一水平线； M 为 x 的一次函数，M图是一条斜直线。
（计算关键点连直线）
P
a
b
A
C
RA
x1 x2 l
解：1．确定约束力
B
Y 0, M A 0
RB
RA Pb / l, RB Pa / l
2. 分段列剪力方程和弯矩方程
AC段: Y 0 RA Q1 0
Q1 Pb / l (0 < x1 < a)
MC 0 M1 RA x1 0
M1 A
x1 RA
Q1
M1 Pbx1 / l (0 x1 a)
§7-1 概述
车削工件
1
第1页/共48页
§7-1 概述
火车轮轴
2
第2页/共48页
3
§7-1 概述
弯曲变形
第3页/共48页
4
§7-1 概述
加工变形
第4页/共48页
5
§7-1 概述
纯弯曲
第5页/共48页
§7-1 概述
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
6
第6页/共48页
§7-1 概述
常见弯曲构件截面
弯矩符号： 截面上的弯矩使
得梁呈凹形为正；反之为负。
+
_
求内力方法： 截面法
dM 0
dM / dx Q
dQ q , dx
dM Q , dx
d 2M dx 2
q
33
第33页/共48页
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
dQ dx
q
,
dM dx
Q
,
d 2M dx2
q
（1） q = 0 时: Q =常数，Q图为一水平线； M 为 x 的一次函数，M图是一条斜直线。
（计算关键点连直线）
P
a
b
A
C
RA
x1 x2 l
解：1．确定约束力
B
Y 0, M A 0
RB
RA Pb / l, RB Pa / l
2. 分段列剪力方程和弯矩方程
AC段: Y 0 RA Q1 0
Q1 Pb / l (0 < x1 < a)
MC 0 M1 RA x1 0
M1 A
x1 RA
Q1
M1 Pbx1 / l (0 x1 a)
§7-1 概述
车削工件
1
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§7-1 概述
火车轮轴
2
第2页/共48页
3
§7-1 概述
弯曲变形
第3页/共48页
4
§7-1 概述
加工变形
第4页/共48页
5
§7-1 概述
纯弯曲
第5页/共48页
§7-1 概述
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
6
第6页/共48页
§7-1 概述
常见弯曲构件截面
弯矩符号： 截面上的弯矩使
得梁呈凹形为正；反之为负。
+
_
求内力方法： 截面法
考研复习—工程力学——第7章 弯曲
和弯矩图能方便地确定梁的最大剪力和最大弯矩，找出梁上危险截面所在的位置。
第7章
7.3 剪力图和弯矩图
例7－3 如图7－11(a)所示，一简支梁AB受均布载荷q作用，试列出
该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图。
图7－11(a)
第7章
7.3 剪力图和弯矩图
解：（1）首先求约束力。利用载荷与支座反力的对称性，可直接得到约束力
第7章
7.2 梁的内力——剪力和弯矩
7.2.1 计算梁的内力的截面法
图7－6
第7章
7.2 梁的内力——剪力和弯矩
7.2.1 计算梁的内力的截面法
例7－1 如图7－8所示简支梁，其上作用集中力F=8 kN，均布载荷 q=12 kN/m，图中尺寸单位为m，试求梁截面1－1和截面2－2的弯矩和剪力。
图7－8
符号规定如下： 对于剪力，若取左段梁为分离体时，则此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生 正剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负剪力。对于右段梁则符号相反。
第7章
7.2 梁的内力——剪力和弯矩
7.2.2 梁的内力计算法则
对于弯矩，无论取左段梁还是右段梁为分离体时，梁上所有向上的外 力会使该截面上产生正弯矩，而所有向下的外力会使该截面上产生负弯矩。 左段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正弯矩，而所有逆时 针转向的外力偶会使该截面上产生负弯矩。对于右段梁，则符号相反。
第7章 弯曲
训教 重点
剪力图和弯矩图 平面弯曲梁横截面上的正应力 梁 的 变 形
第7章 弯曲
能力 目标
利用弯矩图和剪力图解决工程中的弯曲强度问题。 解决实际工程中的变形问题。
第7章
7.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
第7章
7.3 剪力图和弯矩图
例7－3 如图7－11(a)所示，一简支梁AB受均布载荷q作用，试列出
该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图。
图7－11(a)
第7章
7.3 剪力图和弯矩图
解：（1）首先求约束力。利用载荷与支座反力的对称性，可直接得到约束力
第7章
7.2 梁的内力——剪力和弯矩
7.2.1 计算梁的内力的截面法
图7－6
第7章
7.2 梁的内力——剪力和弯矩
7.2.1 计算梁的内力的截面法
例7－1 如图7－8所示简支梁，其上作用集中力F=8 kN，均布载荷 q=12 kN/m，图中尺寸单位为m，试求梁截面1－1和截面2－2的弯矩和剪力。
图7－8
符号规定如下： 对于剪力，若取左段梁为分离体时，则此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生 正剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负剪力。对于右段梁则符号相反。
第7章
7.2 梁的内力——剪力和弯矩
7.2.2 梁的内力计算法则
对于弯矩，无论取左段梁还是右段梁为分离体时，梁上所有向上的外 力会使该截面上产生正弯矩，而所有向下的外力会使该截面上产生负弯矩。 左段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正弯矩，而所有逆时 针转向的外力偶会使该截面上产生负弯矩。对于右段梁，则符号相反。
第7章 弯曲
训教 重点
剪力图和弯矩图 平面弯曲梁横截面上的正应力 梁 的 变 形
第7章 弯曲
能力 目标
利用弯矩图和剪力图解决工程中的弯曲强度问题。 解决实际工程中的变形问题。
第7章
7.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
工程力学弯曲强度2(应力分析与强度计算
max
y
2
当中性轴是横截面的对称轴时：
IZ
max
IZ
y
y1 y2 y max
1
即对称截 面梁
max max max
y
Iz 简单截面的抗弯截面系数 Wz＝ ymax y
h z
y z
bh Iz bh 2 Wz＝ 12 h h 6 2 2
3
max - max -
i max
M z max max i = Wz i
一般非等直梁
M z x y x max = max x = I z x max
可利用函数求导的方法得到最大正应力数值
固定端处梁截面上的弯矩: M＝Me 。 且这一梁的所有横截面上的弯矩都 等于外加力偶的力偶矩Me
中性轴通过 截面形心，因此z 轴就是中性轴。 据弯矩方向可知中性 轴以上均受压应力，以下 均受拉应力。 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y） 按直线分布，在上、下边缘正应力最大。可画出固定 端截面上的正应力分布图。
M max y 2 0.253N m 10 3 15 10 3 m 2 0.842 10 3 Pa 84.2MPa Iz 4.5 10 -8 m 4
例题
C
FRA FRB
T形截面简支梁在中点承受集中力 FP ＝32kN， l=2m。 T形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z 轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求：弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 解： 根据静力学平衡可求得支座A和B处的约束力分别 为FRA＝FRB＝16 kN。据内力分析，知梁中点截面 上弯矩最大
建筑力学第7章平面弯曲杆件
三、平行移轴公式和组合截面的惯性矩 两个坐标系内的坐标有以下关系：
可得： 同理, 可得： 组合截面对某坐标轴的惯 性矩等于所有组成部分对该轴 惯性矩之和, 即:
例7-4 计算图示截面对形心轴的惯性矩。 解：⑴ 计算形心位置。
⑵ 计算对形心轴的惯性矩。
⑵ 计算对形心轴的惯性矩。
第二节 平面弯曲杆件的内力
O
形心位置： 静矩也可表达为: Sx=A·C, Sy=A·C y x
⑴ 当坐标轴通过截面的形心时, 则该轴称为此截面的形 心轴, 此时, 截面形心轴的静矩为零；反之, 若截面对某轴的静 矩为零, 则该轴必为截面的形心轴。 ⑵ 有对称轴的截面，对称轴一定是截面的形心轴。 ⑶ 组合截面（由若干个简单图形组合而成的截面）对某 轴的静矩等于其所有组成部分对该轴静矩的代数和: Sx=∑Sxi=∑Ai·Ci， Sy=∑Syi=∑Ai·Ci y x 组合截面形心位置：
第三节 弯曲应力和强度
mM
弯曲构件横截面上的应力：当梁上有 横向外力作用时，一般情况下，梁的横截 面上既又弯矩M，又有剪力FS。
m FS m
m m
FS
M
m
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力； 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩。 所以，在梁的横截面上一般既有正 应力，又有切应力。
例7-10 作图示外伸梁的内力图。
解: ⑴ 求支座反力
⑵ 判断各段FS、M图形状: CA和BD段: q=0, FS为水平线, M为斜直线; AB段: q<0, FS为向右下斜直线, M为下凸抛物线。
例7-10 作图示外伸梁的内力图。 ⑶ 作剪力图 CA段只需一个控制点: AB段需两个控制点:
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主轴平面：如果梁的横截面没有对称轴，但是都有通过 横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，
称 为 梁 的 主 轴 平 面 (plane including principal axes)。 由于对称轴一定是主轴， 所以对称面也一定是主轴 平面。
3
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ y
1 d dx
其中为中性面弯曲后的曲率半
径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率
半径。因为与y坐标无关，所以在 上述二式中，为常数。
16
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
应用弹性范围内的应力－应变关 系的虎克定律:
7
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
中 性 层 与 中 性 轴
8
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。
E
得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式
－ E y Cy
式中 C E / 为待定的比例常数，E为 材料的弹性模量。
17
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第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ E y Cy
这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
第7章 平 面 弯 曲
第7章 平面弯曲
§7.1 梁的剪力和弯矩 §7.2 剪力图和弯矩图 §7.3 梁横截面上的应力 §7.4 梁的强度
§7.5 梁的变形与刚度
2
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
纵向对称面：梁的横截面通常具有纵向对称轴，所有纵 向 对 称 轴 组 成 的 平 面 ， 称 为 梁 的 纵 向 对 称 面 (symmetric plane)。
变
平面假定
形
应变分布 物性关系 应力分布
确定横截面上正应力的 方法与过程
静力 方程
应力公式
9
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
4
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主 轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外 力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个 内力分量，就是剪力和弯矩。
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
dx －yd
将线段的长度改变量除以原长dx，即 为线段的正应变。于是得到
dx －y d － y
dx
dx
这就是正应变沿横截面高度方向分布
的数学表达式。其中
1 d dx
15
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然 不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个 问题没有解决：一是中性轴的位置没有确定，y坐标无法计
算；二是中性面的曲率半径没有确。
18
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第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
※ 梁的中性层与横截面的中性轴
梁弯曲后，一些层发生伸长变 形，另一些则会发生缩短变形，在 伸长层与缩短层的交界处那一层， 既不发生伸长变形，也不发生缩短 变形，称为梁的中性层或中性面 (neutral surface)。中性层与梁的横 截面的交线，称为截面的中性轴 (neutral axis)。
梁在横向力作用下，其 横截面上一般将同时产生剪 力和弯矩，这称为横力弯曲 (transverse bending)。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念 试判断下列杆件中哪些是纯弯曲，哪些是横力弯曲？
是纯弯曲；
是横力弯曲
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梁弯曲的若干定义与概念
平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主 轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外 力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个 内力分量，就是剪力和弯矩。
如果梁的横截面上只有 弯矩这一个内力分量，这种 平 面 弯 曲 称 为 纯 弯 曲 (pure banding)。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
用相邻的两个横 截面从梁上截取长度 为dx的微段，假定梁 发生弯曲变形后，微 段的两个横截面仍然 保持平面，但是绕各 自的中性轴转过一角 度dθ。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
在 横 截 面 上 建 立 Oxy 坐 标 系 ， 其 中z轴与中性轴重合(位置未定)，y轴沿 横截面高度方向并与加载方向重合。
微段上到中性面的距离为y处长度 的改变量为：
dx －yd
式中的负号表示y坐标为正的线段产生 压缩变形，反之产生伸长变形。
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F
F
mn
实
mn
验
现
象
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
✓1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧 线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。 ✓2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直
实 线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线 验 间相对转动了一个角度。 现 象
称 为 梁 的 主 轴 平 面 (plane including principal axes)。 由于对称轴一定是主轴， 所以对称面也一定是主轴 平面。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ y
1 d dx
其中为中性面弯曲后的曲率半
径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率
半径。因为与y坐标无关，所以在 上述二式中，为常数。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
应用弹性范围内的应力－应变关 系的虎克定律:
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
中 性 层 与 中 性 轴
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。
E
得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式
－ E y Cy
式中 C E / 为待定的比例常数，E为 材料的弹性模量。
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第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ E y Cy
这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
第7章 平 面 弯 曲
第7章 平面弯曲
§7.1 梁的剪力和弯矩 §7.2 剪力图和弯矩图 §7.3 梁横截面上的应力 §7.4 梁的强度
§7.5 梁的变形与刚度
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
纵向对称面：梁的横截面通常具有纵向对称轴，所有纵 向 对 称 轴 组 成 的 平 面 ， 称 为 梁 的 纵 向 对 称 面 (symmetric plane)。
变
平面假定
形
应变分布 物性关系 应力分布
确定横截面上正应力的 方法与过程
静力 方程
应力公式
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纯弯曲时梁横截面上的正应力
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纯弯曲时梁横截面上的正应力
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主 轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外 力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个 内力分量，就是剪力和弯矩。
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
dx －yd
将线段的长度改变量除以原长dx，即 为线段的正应变。于是得到
dx －y d － y
dx
dx
这就是正应变沿横截面高度方向分布
的数学表达式。其中
1 d dx
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然 不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个 问题没有解决：一是中性轴的位置没有确定，y坐标无法计
算；二是中性面的曲率半径没有确。
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第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
※ 梁的中性层与横截面的中性轴
梁弯曲后，一些层发生伸长变 形，另一些则会发生缩短变形，在 伸长层与缩短层的交界处那一层， 既不发生伸长变形，也不发生缩短 变形，称为梁的中性层或中性面 (neutral surface)。中性层与梁的横 截面的交线，称为截面的中性轴 (neutral axis)。
梁在横向力作用下，其 横截面上一般将同时产生剪 力和弯矩，这称为横力弯曲 (transverse bending)。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念 试判断下列杆件中哪些是纯弯曲，哪些是横力弯曲？
是纯弯曲；
是横力弯曲
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梁弯曲的若干定义与概念
平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主 轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外 力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个 内力分量，就是剪力和弯矩。
如果梁的横截面上只有 弯矩这一个内力分量，这种 平 面 弯 曲 称 为 纯 弯 曲 (pure banding)。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
用相邻的两个横 截面从梁上截取长度 为dx的微段，假定梁 发生弯曲变形后，微 段的两个横截面仍然 保持平面，但是绕各 自的中性轴转过一角 度dθ。
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纯弯曲时梁横截面上的正应力
在 横 截 面 上 建 立 Oxy 坐 标 系 ， 其 中z轴与中性轴重合(位置未定)，y轴沿 横截面高度方向并与加载方向重合。
微段上到中性面的距离为y处长度 的改变量为：
dx －yd
式中的负号表示y坐标为正的线段产生 压缩变形，反之产生伸长变形。
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F
mn
实
mn
验
现
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纯弯曲时梁横截面上的正应力
✓1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧 线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。 ✓2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直
实 线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线 验 间相对转动了一个角度。 现 象