大学工程力学第7章平面弯曲2
称 为 梁 的 主 轴 平 面 (plane including principal axes)。 由于对称轴一定是主轴， 所以对称面也一定是主轴 平面。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ y
1 d dx
其中为中性面弯曲后的曲率半
径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率
半径。因为与y坐标无关，所以在 上述二式中，为常数。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
应用弹性范围内的应力－应变关 系的虎克定律:
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
中 性 层 与 中 性 轴
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。
E
得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式
－ E y Cy
式中 C E / 为待定的比例常数，E为 材料的弹性模量。
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第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ E y Cy
这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
第7章 平 面 弯 曲
第7章 平面弯曲
§7.1 梁的剪力和弯矩 §7.2 剪力图和弯矩图 §7.3 梁横截面上的应力 §7.4 梁的强度
§7.5 梁的变形与刚度
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
纵向对称面：梁的横截面通常具有纵向对称轴，所有纵 向 对 称 轴 组 成 的 平 面 ， 称 为 梁 的 纵 向 对 称 面 (symmetric plane)。
变
平面假定
形
应变分布 物性关系 应力分布
确定横截面上正应力的 方法与过程
静力 方程
应力公式
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主 轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外 力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个 内力分量，就是剪力和弯矩。
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
dx －yd
将线段的长度改变量除以原长dx，即 为线段的正应变。于是得到
dx －y d － y
dx
dx
这就是正应变沿横截面高度方向分布
的数学表达式。其中
1 d dx
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然 不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个 问题没有解决：一是中性轴的位置没有确定，y坐标无法计
算；二是中性面的曲率半径没有确。
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第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
※ 梁的中性层与横截面的中性轴
梁弯曲后，一些层发生伸长变 形，另一些则会发生缩短变形，在 伸长层与缩短层的交界处那一层， 既不发生伸长变形，也不发生缩短 变形，称为梁的中性层或中性面 (neutral surface)。中性层与梁的横 截面的交线，称为截面的中性轴 (neutral axis)。
梁在横向力作用下，其 横截面上一般将同时产生剪 力和弯矩，这称为横力弯曲 (transverse bending)。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念 试判断下列杆件中哪些是纯弯曲，哪些是横力弯曲？
是纯弯曲；
是横力弯曲
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梁弯曲的若干定义与概念
平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主 轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外 力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个 内力分量，就是剪力和弯矩。
如果梁的横截面上只有 弯矩这一个内力分量，这种 平 面 弯 曲 称 为 纯 弯 曲 (pure banding)。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
用相邻的两个横 截面从梁上截取长度 为dx的微段，假定梁 发生弯曲变形后，微 段的两个横截面仍然 保持平面，但是绕各 自的中性轴转过一角 度dθ。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
在 横 截 面 上 建 立 Oxy 坐 标 系 ， 其 中z轴与中性轴重合(位置未定)，y轴沿 横截面高度方向并与加载方向重合。
微段上到中性面的距离为y处长度 的改变量为：
dx －yd
式中的负号表示y坐标为正的线段产生 压缩变形，反之产生伸长变形。
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F
F
mn
实
mn
验
现
象
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
✓1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧 线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。 ✓2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直
实 线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线 验 间相对转动了一个角度。 现 象
建筑力学第7章平面弯曲杆件
对已完成的平面弯曲杆件进行成品质量控制，包括尺寸、 平整度、垂直度等方面的检测和控制，确保其符合设计要 求和相关规范。
工艺质量控制
对平面弯曲杆件的施工工艺进行质量控制，包括施工过程 的规范性、工艺参数的控制等方面的检测和控制，确保其 符合设计要求和相关规范。
不合格品处理
对不合格的平面弯曲杆件进行处理和控制，包括返工、返 修、报废等方面的处理和控制，确保产品的质量和安全。
弹性变形与塑性变形
分析杆件在受力后的弹性变形 和塑性变形，了解其力学性能 。
平面弯曲杆件的稳定性分析
01
02
03
稳定性分析概述
对平面弯曲杆件的稳定性 进行分析，以确定其在受 到外力作用时是否会发生 失稳。
临界荷载
研究不同外力作用下杆件 的临界荷载，了解失稳的 临界条件。
稳定性措施
根据分析结果，采取相应 的稳定性措施，提高杆件 的稳定性。
建筑结构
建筑的梁、板、柱等结构形式也属于平面弯曲杆件 ，用于承受垂直和水平荷载。
机械零件
某些机械零件如连杆、曲轴等也采用平面弯曲杆件 的设计，以满足特定的功能需求。
02
平面弯曲杆件的力学分析
平面弯曲杆件的受力分析
80%
受力分析概述
对平面弯曲杆件进行受力分析， 需要明确杆件所受的力，包括外 力、内力和约束反力。
平面弯曲杆件的材料选择Βιβλιοθήκη 钢材混凝土木材
其他复合材料
强度高、塑性好，适用 于承受较大载荷和变形
的结构。
抗压强度高、耐久性好， 适用于承受静载的结构。
轻质、易加工，适用于 临时结构或低层建筑。
如玻璃纤维、碳纤维等， 具有高强度、轻质等特 点，适用于特定场合。
平面弯曲
y a
变形几何关系： 变形几何关系： 取微段梁dx 取微段梁 1
b
2
a'
1
b'
2
dx
HOHAI UNIVERSITY
ab的线应变： ab的线应变： 的线应变
dθ
a′b′ − ab ε= ab
(ρ + y)dθ − ρdθ = ρdθ y = ——应变分布 ——应变分布
y
(ρ + y)dθ − dx = dx
q=20kN/m
q=20kN/m A 4m B 2m C
220 60 180
A
z 280
D
4m
B
2m
C
c
60 y
FQ(kN) 30 +
-
40 + 50 40
x
解：1.作FQ、M图 1.作 图 B、D截面为危险截面 、 截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
1.5m
-
x
+ 22.5 M(kN·m)
220 60
c yC=180
60
z
280 D截面 截面
y
HOHAI UNIVERSITY
§4-3 梁横截面上的切应力
切应力与横截面的形状有关 一、矩形截面梁 两个假设 1.切应力与横截面的侧边平行， 1.切应力与横截面的侧边平行， 切应力与横截面的侧边平行 与剪力方向一致； 与剪力方向一致； 2.切应力沿截面宽度均匀分布。 2.切应力沿截面宽度均匀分布。 切应力沿截面宽度均匀分布
解： 1. 求最大弯矩 max 求最大弯矩M
Mmax
1 1 = Fl = × 20kN×6m = 30kN⋅ m 4 4
平面弯曲概念及计算简图72梁内力弯矩图
C
A
B D
2m
4m
2m
QB左 RB 3.5KN QB右 0
二、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程：用函数表达式表示沿梁轴线各
横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程
和弯矩方程 。
即：
Q = Q (x )
M = M（x）
剪力图和弯矩图 绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出 梁的 剪力方程 和 弯矩方程 ，然后根据它们作图。 剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
RB
P1a l
P2b
记 E 截面处的剪力 为 QE 和弯矩 ME ， 且假设 QE 和弯矩 ME 的指向和转向 均为 正值。
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
RA
ME
A
E
C
b
y 0, RA QE 0 RA
a
mE 0, M E RA c 0 A
E
c 解得
P1 P2
RB
P=50KN yC ' yC
mA
XA
AE
C
xc ' xc
xc ' xc
RA
mA 0, mA 311.5 501 96.5kN m
§7—2 梁的内力· 弯矩图
一、梁的剪力和弯矩
１、Q 和 M 的定义与计算
a
P
m
A
B
m x
a
P
m
用截面法假想地在
A
B
m
工程力学 第七章-梁弯曲
FAy
a
由 MC 0, 得到：
（剪力 FQ的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
5 KN .m
弯曲
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A E
1m 1m
F C
2m
B
D
1m
FBy
FAy
1m
B右截面：
与 B 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有： 左
FQB右 FQB左 FBy 4 KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5 KN .m
例5-2 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、
的内力。
M 0 8KN.m
q=2KN/m
B左 截面和 B右 上
P=2KN
A E C
1m 2m
F
FAy
解：
FBy
B
1m 1m
D
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7KN
FAy 3KN
B
弯曲
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8KN.m
FQ ( x) dF Q
M ( x) dM
F
y
0
FQ ( x) q( x)dx [FQ ( x) dF Q] 0
dFQ ( x) dx
q( x)
（4-4）
由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相 应点处的载荷集度q。
工程力学 平面弯曲PPT课件
dM 0
dM / dx Q
dQ q , dx
dM Q , dx
d 2M dx 2
q
33
第33页/共48页
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
dQ dx
q
,
dM dx
Q
,
d 2M dx2
q
（1） q = 0 时: Q =常数，Q图为一水平线； M 为 x 的一次函数，M图是一条斜直线。
（计算关键点连直线）
P
a
b
A
C
RA
x1 x2 l
解：1．确定约束力
B
Y 0, M A 0
RB
RA Pb / l, RB Pa / l
2. 分段列剪力方程和弯矩方程
AC段: Y 0 RA Q1 0
Q1 Pb / l (0 < x1 < a)
MC 0 M1 RA x1 0
M1 A
x1 RA
Q1
M1 Pbx1 / l (0 x1 a)
§7-1 概述
车削工件
1
第1页/共48页
§7-1 概述
火车轮轴
2
第2页/共48页
3
§7-1 概述
弯曲变形
第3页/共48页
4
§7-1 概述
加工变形
第4页/共48页
5
§7-1 概述
纯弯曲
第5页/共48页
§7-1 概述
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
6
第6页/共48页
§7-1 概述
常见弯曲构件截面
弯矩符号： 截面上的弯矩使
得梁呈凹形为正；反之为负。
+
_
求内力方法： 截面法
考研复习—工程力学——第7章 弯曲
第7章
7.3 剪力图和弯矩图
例7－3 如图7－11(a)所示，一简支梁AB受均布载荷q作用，试列出
该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图。
图7－11(a)
第7章
7.3 剪力图和弯矩图
解：（1）首先求约束力。利用载荷与支座反力的对称性，可直接得到约束力
第7章
7.2 梁的内力——剪力和弯矩
7.2.1 计算梁的内力的截面法
图7－6
第7章
7.2 梁的内力——剪力和弯矩
7.2.1 计算梁的内力的截面法
例7－1 如图7－8所示简支梁，其上作用集中力F=8 kN，均布载荷 q=12 kN/m，图中尺寸单位为m，试求梁截面1－1和截面2－2的弯矩和剪力。
图7－8
符号规定如下： 对于剪力，若取左段梁为分离体时，则此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生 正剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负剪力。对于右段梁则符号相反。
第7章
7.2 梁的内力——剪力和弯矩
7.2.2 梁的内力计算法则
对于弯矩，无论取左段梁还是右段梁为分离体时，梁上所有向上的外 力会使该截面上产生正弯矩，而所有向下的外力会使该截面上产生负弯矩。 左段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正弯矩，而所有逆时 针转向的外力偶会使该截面上产生负弯矩。对于右段梁，则符号相反。
第7章 弯曲
训教 重点
剪力图和弯矩图 平面弯曲梁横截面上的正应力 梁 的 变 形
第7章 弯曲
能力 目标
利用弯矩图和剪力图解决工程中的弯曲强度问题。 解决实际工程中的变形问题。
第7章
7.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
工程力学弯曲强度2(应力分析与强度计算
max
y
2
当中性轴是横截面的对称轴时：
IZ
max
IZ
y
y1 y2 y max
1
即对称截 面梁
max max max
y
Iz 简单截面的抗弯截面系数 Wz＝ ymax y
h z
y z
bh Iz bh 2 Wz＝ 12 h h 6 2 2
3
max - max -
i max
M z max max i = Wz i
一般非等直梁
M z x y x max = max x = I z x max
可利用函数求导的方法得到最大正应力数值
固定端处梁截面上的弯矩: M＝Me 。 且这一梁的所有横截面上的弯矩都 等于外加力偶的力偶矩Me
中性轴通过 截面形心，因此z 轴就是中性轴。 据弯矩方向可知中性 轴以上均受压应力，以下 均受拉应力。 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y） 按直线分布，在上、下边缘正应力最大。可画出固定 端截面上的正应力分布图。
M max y 2 0.253N m 10 3 15 10 3 m 2 0.842 10 3 Pa 84.2MPa Iz 4.5 10 -8 m 4
例题
C
FRA FRB
T形截面简支梁在中点承受集中力 FP ＝32kN， l=2m。 T形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z 轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求：弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 解： 根据静力学平衡可求得支座A和B处的约束力分别 为FRA＝FRB＝16 kN。据内力分析，知梁中点截面 上弯矩最大
建筑力学第7章平面弯曲杆件
三、平行移轴公式和组合截面的惯性矩 两个坐标系内的坐标有以下关系：
可得： 同理, 可得： 组合截面对某坐标轴的惯 性矩等于所有组成部分对该轴 惯性矩之和, 即:
例7-4 计算图示截面对形心轴的惯性矩。 解：⑴ 计算形心位置。
⑵ 计算对形心轴的惯性矩。
⑵ 计算对形心轴的惯性矩。
第二节 平面弯曲杆件的内力
O
形心位置： 静矩也可表达为: Sx=A·C, Sy=A·C y x
⑴ 当坐标轴通过截面的形心时, 则该轴称为此截面的形 心轴, 此时, 截面形心轴的静矩为零；反之, 若截面对某轴的静 矩为零, 则该轴必为截面的形心轴。 ⑵ 有对称轴的截面，对称轴一定是截面的形心轴。 ⑶ 组合截面（由若干个简单图形组合而成的截面）对某 轴的静矩等于其所有组成部分对该轴静矩的代数和: Sx=∑Sxi=∑Ai·Ci， Sy=∑Syi=∑Ai·Ci y x 组合截面形心位置：
第三节 弯曲应力和强度
mM
弯曲构件横截面上的应力：当梁上有 横向外力作用时，一般情况下，梁的横截 面上既又弯矩M，又有剪力FS。
m FS m
m m
FS
M
m
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力； 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩。 所以，在梁的横截面上一般既有正 应力，又有切应力。
例7-10 作图示外伸梁的内力图。
解: ⑴ 求支座反力
⑵ 判断各段FS、M图形状: CA和BD段: q=0, FS为水平线, M为斜直线; AB段: q<0, FS为向右下斜直线, M为下凸抛物线。
例7-10 作图示外伸梁的内力图。 ⑶ 作剪力图 CA段只需一个控制点: AB段需两个控制点:
工程力学第章弯曲强度答案(整理)
43 第7章弯曲强度7－1 直径为d 地圆截面梁,两端在对称面内承受力偶矩为M 地力偶作用,如图所示.若已知变形后中性层地曲率半径为ρ；材料地弹性模量为E .根据d 、ρ、E 可以求得梁所承受地力偶矩M .现在有4种答案,请判断哪一种是正确地.(A)M ＝E π d 习题7－1图(B) 64ρ M ＝64ρ (C) E π d4M ＝E π d (D)32ρM ＝32ρ E π d 3正确答案是A .7－2关于平面弯曲正应力公式地应用条件,有以下4种答案,请判断哪一种是正确地.(A)细长梁、弹性范围内加载；(B)弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(C)细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (D)细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内.正确答案是C _.7－3长度相同、承受同样地均布载荷q 作用地梁,有图中所示地4种支承方式,考虑,请判断哪一种支承方式最合理.l 5习题7－3图d . 7－4悬臂梁受力及截面尺寸如图所示.图中地尺寸单位为mm .求：梁地1－1截面上A 、−⎜ ⎟ A z B 两点地正应力.习题7－4图解：1. 计算梁地1－1截面上地弯矩：M =⎛1×103N ×1m+600N/m ×1m ×1m ⎞=−1300N ⋅m⎝2 ⎠2. 确定梁地1－1截面上A 、B 两点地正应力： A 点：⎛150×10−3m ⎞ 1300N ⋅m ×⎜−20×10−3m ⎟σ =M z y =⎝2⎠＝2.54×106Pa =2.54MPa(拉应力) I zB 点：100×10-3m ×(150×10-3m )3121300N ⋅m ×⎜0.150m−0.04m ⎟⎛⎞σ=M z y =⎝2⎠=1.62×106Pa =1.62MPa(压应力)B 0.1m×(0.15m )3 127－5 简支梁如图所示.试求I-I 截面上A 、B 两点处地正应力,并画出该截面上地正应力 分布图. 习题7－5图A (a)A C B(b)F R AkN ⋅解：（1）求支座约束力F RA =3.64kN,F RB =4.36kN习题7－5解图（2）求I －I 截面地弯矩值（见习题7－5解图b ）M I −I =3.64kN ⋅m（3）求所求点正应力σ=M I-I y AI z33I =bh 12=75×150 12=21.1×106mm 4 y A =(75−40)=35mm6∴σ=−3.64×10 ×35=−6.04MPa A 21.1×1066σ=3.64×10 ×75=12.94MPa B 21.1×1067－6加热炉炉前机械操作装置如图所示,图中地尺寸单位为mm .其操作臂由两根无缝 钢管所组成.外伸端装有夹具,夹具与所夹持钢料地总重F P ＝2200N ,平均分配到两根钢管上.求：梁内最大正应力（不考虑钢管自重）.3习题7－6图解：1．计算最大弯矩：−33M max =−2200N ×2395×10m=−5.269×10N ⋅m2．确定最大正应力：σ=Mmax = M max,α= 66mm=0.611max32W σ=Mmax =2×πD32(1−α4)5.268N ⋅m108m m=24.71×106P a =24.71M P a max2W=π(1=08×10−3m ) 2×(1−0.6114) 327－7图示矩形截面简支梁,承受均布载荷q 作用.若已知q ＝2 kN/m ,l ＝3 m ,h ＝2b＝240mm .试求：截面竖放(图c)和横放(图b)时梁内地最大正应力,并加以比较. 习题7－7图解：1．计算最大弯矩： ql22×103N/m ×(3m )2M max ===2.25×103N ⋅m882．确定最大正应力：3平放：σ =M max = 2.25×10N ⋅m ×6 =3.91×106Pa=3.91MPamax 2−3 −32hb6240×10 m ×(120×10 m )4 ⎝ ⎠ 竖放：σ=M max = 2.25×103N ⋅m ×6=1.95×106Pa=1.95MPamax 2−3 −32 bh 6120×10m ×(240×10 m )3．比较平放与竖放时地最大正应力：σmax (平放) () 3.91 ≈2.07－8圆截面外伸梁,图中尺寸单位为mm .已知F P ＝10kN ,q ＝ M解：σ( )M max1 =32×30.65×10N ⋅m =113[σ] max 实＝ W 1π(140×10-3m )3σ( )M max2 = 32×20×103N ⋅m =100.3×106Pa=100.3MPa<[σ] max 空＝⎡⎛⎞⎤ W 2π(140×10-3m )3⎢1− ⎢⎣ 100⎜140⎟⎥所以,梁地强度是安全地.7－9悬臂梁AB 受力如图所示,其中F P ＝10kN ,M ＝70kN ·m ,a ＝3m .梁横截面地形状及尺寸均示于图中(单位为mm),C 为截面形心,截面对中性轴地惯性矩I z ＝1.02×108mm 4,拉伸许用应力[σ]＋＝40MPa ,压缩许用应力[σ]－＝120MPa .试校核梁地强度是否安全.解：画弯矩图如图所示：σ σ σ σ M (kN.m) C 截面30x+max =30×10N ⋅m ×96.4×10 m =28.35×106Pa=28.35MPa 1.02×108×10−12m 43−3 D 截面 －max =30×10N ⋅m ×153.6×10m =45.17×106Pa=45.17MPa 1.02×108×10−12m 43−3 +max =40×10N ⋅m ×153.6×10m =60.24×106Pa=60.24MPa>[σ] 1.02×108×10−12m 43−3－ max =40×10N ⋅m ×96.4×10 m =37.8×106Pa=37.8MPa 1.02×108×10−12m 4所以,梁地强度不安全.7－10由No.10BC 连接,BC 杆在C 处用铰链悬挂[σ]＝160MPa ,试求:M8max P习题7－10图解：画弯矩图如图所示：对于梁：M max =0.5qσ=M max ≤[σ], 0.5q ≤[σ] max WW[σ]W 160×106×49×10−6q ≤ ==15.68×103N/m=15.68kN/m 0.50.5对于杆： σ=F N ≤[σ],4F B =4×2.25q ≤[σ] maxA πd 2 πd 2πd 2×[σ] π×(20×10-3)2×160×106q ≤ ==22.34×103N/m=22.34kN/m4×2.254×2.25所以结构地许可载荷为[q ]=15.68kN/m7－11 图示外伸梁承受集中载荷F P 作用,尺寸如图所示.已知F P ＝20kN ,许用应力[σ]＝160MPa ,试选择工字钢地号码. 习题7－11图解：M =F ×1m=20×103N ×1m=20×103N ⋅m σmax =M maxW≤[σ], F ×1m 20×103×1m W ≥ P ==0.125×10－3m 3＝125cm 3[σ] 所以,选择No.16 工字钢. 160×106Pa7－12图示之AB 为简支梁,当载荷F P 直接作用在梁地跨度中点时,梁内最大弯曲正应力超过许用应力30％.为减小AB 梁内地最大正应力,在AB 梁配置一辅助梁CD ,CD 也可以 习题7－12图看作是简支梁.试求辅助梁地长度a .解：1．没有辅助梁时σmax=M max≤[σ], WF P l4 =1.30[σ] W σmax=M max≤[σ], WF P l(3−2a ) 2=[σ]W F P l (3−2a ) F P l2= 4=[σ]W 1.30×W 1.30×(3−2a )=3a =1.384m7－13一跳板左端铰接,中间为可移动支承.为使体重不同地跳水者站在跳板前端在跳板中所产生地最大弯矩M zmax 均相同,问距离a 应怎样变化? 习题7－13图解：最大弯矩发生在可移动简支点B 处.（见图a 、b ）设不同体重分别为W ,W +ΔW ,则有,W (l −a )=(W +ΔW )(l −a −Δa ) ABW A整理后得 a 图 Δa = ΔW(W +ΔW )b 图(l −a ) 此即为相邻跳水者跳水时,可动点B 地调节距离Δa 与他们体重间地关系.7－14利用弯曲内力地知识,说明为何将标准双杠地尺寸设计成a=l /4.M MF习题7－14图解：双杠使用时,可视为外伸梁..A C Bb 图 若将a 地长度设计能达到下述情况为最经济、省工： M +=M −, max max即正负弯矩地绝对值相等,杠为等值杆.当a=l /4时,+ max− max=F P l /4（如图a,在中间面C ）； =F P l /4（发生在图b 所示受力情况下地A 面或B 面）.7－15图示二悬臂梁地截面均为矩形(b×h ),但(a)梁为钢质,(b)梁为木质.试写出危险截面上地最大拉应力与最大压应力地表达式,并注明其位置.二梁地弹性模量分别为E 、 E .P FP习题7－15图解：（1）两悬臂梁均为静定梁,故应力与材料弹性常数无关.（2）两悬臂梁均发生平面弯曲,危险面均在固定端处.σ σ σ σ 6 I 6I （3）钢梁： （4）木梁：+ max− max=6F P l bh 2 =6F P l bh 2（在固定端处顶边诸点） （在固定端处底边诸点） + max − max=6F P l hb 2=6F Pl hb 2（在固定端处后侧边诸点） （在固定端处前侧边诸点） 7－16T 形截面铸铁梁受力如图所示,其截面地I z=2.59×10−6m 4.试作该梁地内力图,求出梁内地最大拉应力和最大压应力,并指出它们地位置.画出危险截面上地正应力分布图.习题7－16图解：（1）求支座约束力F RA =37.5kN, F RB =112.5kN（2）作内力图,剪力图、弯矩图分别见习题7－16解图b 、c . （3）求所最大正应力和最小正应力E 、B 两截面分别发生最大正弯矩与最大负弯矩.所以,两个截面均有可能是危险截面.σ+=M E y2=14×10 ×142=76.8MPa （在E 截面下缘）z2.59×107σ−=M B y 2 =25×10 ×142=−137MPa （在B 截面下缘）z 2.59×107正应力分布图见图d.σ σ σ y m (a)AqEBD2m 1m50kN37.5kN⊕(b)⊕Ө1 62.5kN43.6MPa(d)(c)14kN·my 2⊕Ө25 kN·m 76.8MPa137MPa习题7－16解图7－17.在横放和竖放两种情况下,(a)比较许用弯曲力偶矩m O 绘出危险截面上地正应力分布图.解：(a)F R A2M (b) Өy 1(c)y 235y 1y 2σ习题7－17解图33（1）求支座约束力F RA=FRB=mOkN 5（2）作弯矩图见习题7－17解图b 所示. （3）竖放下地许用弯曲力偶矩m O由型钢表查得 从b 图中得：W =269.6×103 mm 3M =3m O由强度条件maxσmax =5 M maxW≤[σ] m ≤5W [σ]=5×269.6×10×160=71.89kN ⋅mO33（4）横放下地许用弯曲力偶矩m O由型钢表查得由强度条件W =30.61×103 mm 3m ≤5W [σ]=5×30.61×10 ×160=8.16kN ⋅mO33危险截面上地正应力分布图见图c.7－18制动装置地杠杆用直径d =30mm 地销钉支承在B 处.若杠杆地许用应力 [σ]=140MPa ,销钉地剪切许用应力[τ]=100MPa ,求许可载荷[F P1],[F P2].F P1F P2习题7－18图解：（1）求F P1 与F P2地关系4杠杠平衡时有：F P1×1000=F P2×250, （2）作弯矩图,如图 a 所示F P2 =4F P11000F（3σmax =M max W≤[σ]20×603 (20×303−)W = 1212=1.05×104mm 330 1000F p1W≤[σ] F ≤W [σ]=1.05×10×140=1.47kN P11000 1000∴F P2 ≤5.88kN（4）校核销钉地剪切强度剪切强度条件：F Q τmax = A≤[τ] 其中,F=5F=3.675mm 2 Q2P13 ∴τmax=3.675×10706.86=5.2MPa<[τ]则,销钉安全.（5）杠杆系统地许可载荷为[FP1]=1.47kN,[FP2]=5.88kN.上一章返回总目录下一章。
第7章 平面弯曲《建筑力学》教学课件
坐标系。
列
方
当梁上同时作用着多个荷载时，剪力和弯矩 程
与截面位置间的关系发生变化，需分段列方程。
作 图
剪力图和弯矩图
将剪力方程和弯矩方程在直角坐标系中画成图 像，观察内力变化规律既唯一又直观。
1. 作 FS , M 图步骤 建立坐标系；
列 FS ，M 方程；
作 FS , M 图。
7.3.1 列 方 程 作 图
1）剪力
Fiy 0 YAFS 0 得： FS YA
大小：等于截面一侧所有横向外力的代数和。
7.2.1 梁
FS (左或)右Fi侧
弯 曲
正负号：对研究对象内任一点呈顺时针力矩者为正。
变 形
外力的正负号规定同剪力符号规定一致，仍是
的 内
顺正逆负。
力-
剪
力
和
弯
矩
2）弯矩
M0 YAxM 0
得： M YAx
图7-8
7.3.1 列 方 程 作 图
7.3.1 列 方 程 作 图
【例7-3】图7-9(a)所示的简支梁AB受一集中力作用,试作其剪 力图和弯矩图。
图7-9
7.3.1 列 方 程 作 图
【例7-3】图7-9(a)所示的简支梁AB受一集中力作用,试作其剪 力图和弯矩图。
图7-9
7.3.1 列 方 程 作 图
图7-2
7.1.1 梁 的 弯 曲 变 形
如图7-3所示的建筑物楼面梁和阳台挑梁,它们都因受 到楼面荷载和梁自重的作用而发生平面弯曲。
图7-3
7.1.1 梁 的 弯 曲 变 形
常见梁的分类
（1） 悬臂梁：梁的 一端固定,另 一端自由,如 图7-4(a)所示
。