概率论复习题
大学 概率复习题
第一章 概率论的基本概念 1. 若事件B A ,满足21)|(,31)|(,41)(===B A P A B P A P ，则)(B A P = .2. 若事件B A ,满足7.0)(,4.0)(==B A P A P ，且5.0)|(=B A P ，则)|(A B P = .3. 设有两个相互独立事件A 与B 发生的概率分别为1p 和2p ，则两个事件恰好有一个发生的概率为4．()0.3P A =，()0.5P B =，若A 与B 相互独立，则()P AB = _.5．设B A ,为两个互不相容的事件，且()()0,0>>B P A P ，则 正确． A . ()1=AB P ； B . ()0=B A P ； C . B A =； D . Φ=-B A ．6. 设有10件产品，其中有3件次品，从中任取3件，则3件中有次品的概率为( ) A.1201 B.247 C.2417 D.40217、盒中放有红、白两种球各若干个，从中任取3个球，设事件A=“3个中至少有1个白球”，事件B=“3个中恰好有一个白球”，则事件B -A =A ．“至少2个白球”B ．“恰好2个白球”C ．“至少3个白球”D ．“无白球”8. A ，B 为两个事件，若B A ⊂，则下列关系式正确的是 ． A . )()(B P A P >； B . ()()P A P B ≤； C . 1)()(=+B P A P ； D . ()()P B P A >.9. 设甲袋中装有n只白球，m只红球，乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任取一个球放入乙袋中，再从乙袋中任意取出一只球．求：（1）从乙袋中取到白球的概率是多少？（2）若从乙袋中取到的是白球，则先前从甲袋中取到白球的概率是多少？10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”．由于通讯系统受到干扰，当发出信号“0”时，收报台未必收到信号“0”，而是以概率0.8和0.2收到信号“0”和“1”；同样，当发出信号“1”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“1”和“0”．求：（1）收报台收到“0”的概率；（2）当收报台收到信号“0”的时候，发报台确是发出信号“0”的概率．11. 某射击小组有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人。
概率论复习题题库
第一章 随机事件与概率第一部分 作业1. 将三封信任意投到四个信筒中，求三封信都投到同一信箱和分别投到三个不同信箱的概率。
2. 设,A B 是任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明：(|)(|)P B A P B A =是事件A 与B 独立的充分必要条件。
3. 甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱，求：从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
4. 三台机器独立的运转着，三台机器不发生故障的概率分别为0.9、0.8和0.7，求三台机器至少有一台发生故障的概率。
第二部分 综合练习一、填空题1. 已知()0.5,()0.25P A P B A ==，则()P AB = 。
2. 试在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则在4次重复独立试验中。
事件A 至多有一次不发生的概率是 。
3. 设A 表示事件“掷一颗骰子出现偶数点”，B 表示事件“掷一颗骰子出现2点”则A 与B 的关系是 。
4. 将3个球随机地放入4个盒子中，则事件“盒中球个数最多为1”的概率为 .5. 设在三次独立试验中，事件A 发生的概率都相等。
若已知A 至少发生一次的概率为0.784，则A 在一次试验中发生的概率为 。
二、选择题1. 对于任意两事件A 和B ，( ) A. 若AB ≠Φ，则A 和B 一定独立 B. 若AB ≠Φ，则A 和B 可能独立 C. 若AB =Φ，则A 和B 一定独立 D. 若AB =Φ，则A 和B 一定不独立2. 某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为( ) A. 23(1)p p - B. 26(1)p p - C. 223(1)p p - D. 226(1)p p - 3. 设事件A 与事件B 互不相容，则( ) A. ()0P A B = B. ()()()P AB P A P B = C. ()1()P A P B =- D.()1P A B ⋃= 4. 设事件A B ⊂且0()1P A <<，则必有( )A. ()(())P A P A A B ≥+B. ()(())P A P A A B ≤+C. ()()P B P B A ≥D. ()()P B P B A ≤5. 随机事件A 、B 适合B A ⊂，则以下各式错误的是( )。
概率论复习题
第1章 随机事件及其概率一、填空题1、已知,5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,2.0)(=B A P 则=)(AB P _______________.2、已知,25.0)()()(===C P B P A P ,15.0)()(==BC P AB P ,0)(=AC P 则A 、B 、C 至少有一个发生的概率为_______________.3、把9本书随意放在书架上，指定的3本放在一起的概率为_____________.4、包括甲、乙在内的n 个人排队，他们之间恰有r 个人的概率为____________.5、设A 、B 、C 为三个事件，则“至少有一个事件不发生”可表示为______________.6、设A 、B 、C 为三个事件，则“至多只有一个事件发生”可表示为______________.7、设31)(=A P ，41)(=B P ，61)(=AB P ,则=)(B A P ______________. 8、假设3.0)(=A P ， 2.0)(=B P ，∅=AB ，则)(B A P ⋃=_________________. 9、设31)(=A P ，41)(=B P ，21)(=⋃B A P ,则=⋃)(B A P ______________. 10、假设5.0)(=A P ， 4.0)(=B P ，3.0)(=B A P ，则)(B A P ⋃=_________________. 11、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒内没有信的概率为________________.12、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒内都有信的概率为________________. 13、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球中有黑球的概率为______________.14、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球都是黑球的概率为______________.15、袋中有4黑6白大小相同的10个小球，现在从中不放回地任取两球，两个全是黑球的概率________________.16、甲、乙两人独立的射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，则在一次射击中目标被击中的概率为______________.17、某城市发行A,B 两种报纸，在这两种报纸的订户中，订阅A 报的有45%，订阅B 报的有30%，同时订阅两种报纸的有15%，则只订一种报纸的概率为___________________. 18、从一批产品中抽取3件，以i A 表示第i 次抽到废品，则事件“第一次和第二次至少抽到一件废品”可表示为_______________.19、设n 个人围成圆圈，甲、乙是其中两人。
概率复习题-答案
<概率论>试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，。
则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________ ________8. 设～,且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12.用（）的联合分布函数F（x,y）表示13.用（）的联合分布函数F（x,y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15.已知，则＝16.设，且与相互独立，则17.设的概率密度为，则＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19.设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有～或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有～或～.21.设是独立同分布的随机变量序列,且，那么依概率收敛于.22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24.设X1,X2,…X n为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（A）P (A+B) = P (A);（B）（C）（D）2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率论期末考试复习题及答案
第一章1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 互不相容,则P (B ）=____61_______。
2。
设P (A )=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 相互独立,则P （B ）=______41_____.3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2,P （B)=0。
3，则P(B A ）=___0.5_____。
4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A,B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________。
A 与B 相互独立5．设P(A ）=0。
5，P （A B ）=0.4，则P （B ｜A ）=___0。
2________。
6．设A ，B 为随机事件，且P （A)=0.8,P(B)=0。
4，P(B|A ）=0。
25，则P （A ｜B ）=____ 0。
5______．7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0。
6________．8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连取两次,则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____。
9．一袋中有7个红球和3个白球,从袋中有放回地取两次球,每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0。
21_____。
10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45％，35％，20％，且各车间的次品率分别为4％,2％,5%.求:（1）从该厂生产的产品中任取1件,它是次品的概率; 3.5% （2)该件次品是由甲车间生产的概率. 3518第二章1。
设随机变量X~N （2，22），则P ｛X ≤0｝=___0。
1587____。
（附：Φ（1)=0。
8413) 设随机变量X~N （2，22），则P ｛X ≤0｝=(P ｛(X-2）/2≤-1} =Φ（-1)=1—Φ(1）=0。
概率论复习题(3课时)
概率论复习题一 填空1、一批产品的废品率为0.1，每次抽取1个，观察后放回去，下次再取1个，共重复3次，则3次中恰有两次取到废品的概率是 ．2、袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，则取出的3个球中红球个数ξ的概率分布为 ．3、设在10只晶体管中有两个次品，从中任取两次，每次取一个，作不放回抽样，设{=A 第一次取得正品第二取得次品}，则=)(A P ．4、一批产品中，一、二、三、等品率分别为0.8、0.16、0.04，若规定一、二等品为合格品，求产品的合格率： ． 6、设)(x F 为ξ的分布函数，则对任意的b a ,)(b a <，有=-)()(a F b F ．8、若ξ)2,5(~2N ，则{}32<-ξP＝ ．10、设[][]⎩⎨⎧∉∈=c x c x xx ,00,02)(ϕ ，是一随机变量的概率密度函数，则c＝ 。
11、已知,1-=ξE 3=ξD ，则[])2(32-ξE ＝ ． 12、设有20个某种零件，其中16个一级品，4个二级品，今从中任取3个，则至少有一个一级品的概率 ．13、 C B A ,,三人入学考试合格的概率分别是52,21,32，三人中恰有两人合格的概率是 。
14、加工一件产品需要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别为0.95，0.85，0.9。
若三道工序是否出废品是相互独立的，则经过三道工序而不出废品的概率为 。
15、某批产品一等品率为8.0，进行重复抽样检验，共取出4件样品。
设ξ表示4件样品中的一等品数，则ξ的概率分布为 ；4件样品中至少有2件一等品的概率为 ；4件样品中一等数ξ的最可能值是 。
16、一批产品20件，其中有8件是次品，从这批产品中随机抽取5件，设ξ表示这5件中的次品数，则ξ的分布律是 （只要求写出分布律，不用计算具体数值）。
17、随机变量ξ的概率分布如下表则 =ξE ；=ξD 。
18、已知ξ服从)4,150(2N ，则140(P ＜=≤)160ξ ，=≤)150(ξP 。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
概率论复习题经典罕见版
复 习 题1、设,,A B C 为三个事件，满足,C AB C AB ⊃⊃。
（1）证明：AC CB AB = ；（2）若进一步有()()()P AB P A P B =，求证：()()()P AC P A P C ≥。
2、一枚硬币出现正面的概率为p ．甲乙两人轮流掷硬币，先掷得正面者为获胜．（1）甲先掷，求甲、乙为获胜者的概率各是多少？（2）如果有k 个人轮流掷硬币，各人获胜的概率又是多少？3、将“每天进入图书馆的人数为n ”的事件记为,0,1,2,n A n = 设(),0,!n n P A e n λλλ-=>每个进入图书馆的人以概率(01)p p <<借书，且各个人是否借书彼此间没有关系.（1）求进入图书馆的人中恰有k 个人借书的概率.（2）若某天借书的人数为k ,试求该天进入图书馆的人数为n 的概率.4、甲、乙二人轮流抛掷一枚均匀的骰子，甲先抛，一直到抛出了1点交给乙，而到乙抛出了1点再交给甲掷，并如此下去.（1）求第n 次抛掷由甲掷的概率；（2）如果已知第n 次是由甲抛掷的，求第1-n 次也是由甲抛掷的概率。
5、设随机变量X 的概率密度函数为||1,()0,||1,x p x x <=≥⎩其中A 为常数．（1）求A 的值；（2）计算(||0.5)P X ≤。
6、设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为22,1(,)0,Cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其它， 求：（1）常数C ；（2）()P X Y >。
7、设二维随机变量(,)X Y 具有联合概率密度函数:2(),01,(,)0,.x y y x p x y +≤≤≤⎧=⎨⎩其它 （1） 求随机变量X 和Y 的边缘密度函数，并判断X 和Y 是否独立？（2） 计算(1)P X Y +≤.8、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为222(,(,)0,C R x y R p x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它, （1） 求常数C ；（2） 当2R =时，求二维随机变量(,)X Y 在以原点为圆心，1r =为半径的圆域内的概率.9、设连续型随机变量X 的密度函数为22,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，令21X Y e -=-，求证Y 在(0,1)上服从均匀分布。
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一. 单项选择题
1. 3抛掷枚均匀对称的硬币，恰好有一枚正面向上的概率是（ ） A ．0.125 B ．0.25 C ．0.375 D ．0.5
2. 设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（ ）
A ．()()P A 1P
B =-
B ．()()P B-A P A =
C ．()()()P AB P A P B =
D ．()()P A B P A -= 3．下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ ）
A ．11,01()0,
x F x ≤≤⎧=⎨
⎩其他 B ．21,
0(),01
1,1x F x x x x -<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
C ．30,0(),01
1,1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
D ．40,0()2,01
2,1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
4.设2(,4)X N μ，2(,5)Y
N μ。
记1{4}p P X μ=≤-，2{5}p P Y μ=≥+，则
A. 对任意实数μ，都有12p p =
B. 对任意实数μ，都有12p p >
C. 对任意实数μ，都有12p p <
D.对个别实数μ才有12p p = 5. 设随机变量X 与Y 独立，都服从()0,θ上的均匀分布，则[min(,)]E X Y = A.
2θ B. θ C. 3θ D. 4
θ
6. X Y 设二维随机变量（，）的概率密度为1
,02,02
(,)40,
x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，
{}01,02P X Y <<<<=则（ ）
A. 14
B. 12
C. 3
4 D.1 7.
00X Y D X D Y >>设（，）为二维随机变量，且（），（），则下列等式成立的是
（ ）
A ．·E XY E X E Y =（）（）（）
B ．cov(,)()()
XY X Y D X D Y ρ=
C ．
D X Y D X D Y +=+（）（）（）
D ．()()cov 2,24cov ,X Y X Y =
二、填空题
1. A B ()()()0.3()P AB P AB P A P B ===已知事件，满足，且，则（ ）
2. X X 服从标准正态分布，那么分布密度函数为（ ）
3(,)f x y X 设是二维连续型随机变量的联合密度函数，则关于随机变量的边缘分
()Y f y =布密度函数（ ）.
4. ()DX 2DY 1X Y D 2X 2Y ==-已知，，且和相互独立，则＝（ ）。
5. ||1XY ρ=的充分必要条件是（ ）
6. 设4DX =，9DY =，0.5XY ρ=，则(23)D X Y -=（ ）
7. 设随机变量(,1,2,
,;2)ij X i j n n =≥独立同分布，且2ij EX =
11
121212221
2
n n n n nn
X X X X X X Y X X X =
,则EY =（ ）
8. 设12
,,
,,
n X X X 为独立随机变量序列，且都服从参数为λ的泊松分布，则
1
lim {()/}n
n i i P X n x λ→∞=-≤=∑（ ）
三、计算题 1.
325%某工厂有甲，乙，丙个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的，35%40%35%6%8%，，个车间中产品的废品率分别为，，， 求全厂产品的废品率。
2. 现有两箱同类型产品，第一箱装50件，其中10件一等品；第二箱装30件，其中18件一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中任取两次，每次取一件，不放回。
试求下列事件的概率。
（1）第一次取到的产品是一等品；
（2）第二次取到的产品是一等品；
（3）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品； （4）在第二次取到一等品的条件下，第一次取到一等品。
3. X (),(0)x f x Ae x -=<<+∞连续型随机变量的概率密度为，求：1A （）常数， 2X 023X （）落在区间（，）内的概率；（）的分布函数。
4.(,),X Y X Y αβ设的分布律由下表给出，问为何值时与相互独立？
5. 4Y X =-，求Y 的密度函数。
6. 设随机变量X 与Y 独立且具有相同的分布律
,}X Y ，V XY =的分布律。
7. 设随机变量X 与Y 独立，都服从()0,1上的均匀分布，求使方程220
a Xa Y ++=有实根的概率。
8.
22,~(1,3)~(0,4)X Y X Y X N Y N （，）服从二维正态分布，。
与的相关系数
1
,3XY ρ=-34
X Y
Z =
+。
1(),()2X Z E Z D Z 求（
）；（）与的相关系数。
9. (,)ξη设随机变量的联合密度函数02, (,)?
A
x y x
f ξη⎧<<<=⎨
⎩其他
()()() 12()3,A f y x ηξξη求常数；条件密度函数；讨论的相关性和独立性。
四、证明题
1. ()()()
A B 0P A 1P B A P B A <<=设，是两个随机事件，，，
A B 证明：与相互独立。
2. 设随机变量ξ的方差()D ξ存在，证明：对任意0ε>，有
{}2
()
()D P E ξξξεε
-≥≤。
3. 设X 为随机变量，证明：2()DX E X C ≤-，其中C 为任意常数。