概率学经典计算题

1. (袋中有红球6个, 白球4个, 从中取两次, 每次任取一个, 作不放回抽样. 设事件A 表示 “第一次取的是红球”, 事件B 表示 “第二次取的是白球”, 用B A ,表示下列事件, 并求其概率: 1)两个都是红球; 2)两球中，白球和红球各有一个; 3)第二次取的是红球.

解：1) 262101

()3C P AB C ==................................................(5’)

2) 11462

108

()15C C P AB C ==.....................................................(10) 3）1124662

103

()5

A A A P

B A +==......................................................(15’) 2．(7分) 某宾馆大楼有3部电梯，通过调查，知道某时刻T ，各电梯正在

运行的概率均为0.8，求：(1) 在此时刻恰有一台电梯运行的概率； (2) 在此时刻至少有一台电梯运行的概率.

解： (1) 096.02.08.032

=??=P 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(3’) (2) 992.02.013=-=P 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(7’)

3．（8分）某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，如果每个车间的次品率分别为6%,3%，2%，已知甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产量的25％，25％ ，50% 。现从全厂产品中任取一件产品，求取到的为次品的概率。

解：设123,,A A A 分别表示“取到的产品为甲、乙、丙车间生产的” B 表示“取到的产品为次品”，则 123()25%,()

25%,()50%P A P A P A === 123(|)6%,(|)3%,(|)2%P B A P B A P B A ===。

。。。。。。。。。。。。。。。。(3’) 由全概率公式，所求概率为

3

1()()(|)

i i i P B P A P B A ==∑ 25%6%25%3%50%2%=?+?+?

3.06%=。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(8’)

4. (8分) 设随机变量X 在区间],0[π上服从均匀分布，求随机变量

X Y sin =的概率密度()Y f y ．

解：当01y <<时，

(){}{0arcsin }{arcsin }Y F y P sinX y P X y P y X ππ=≤=≤≤+-≤≤

arcsin 0

arcsin 1

1

2

y y

dx dx acrsiny πππ

π

π

-=+=

?

?

； …………… (3’)；

当0y ≤时，(){}0Y F y P sinX y =≤=；

当1y ≥时，(){}1Y F y P sinX y =≤=。 …………… (5’)；

于是，,01;()0,Y x f y ?

<

其它. …………… (8’)；

1. (12分) 设),(Y X 的联合分布律为

(1) 求A ；(2) 求X , Y 的边缘分布律; (3) 问X 与Y 是否相互独立?

解：(1) 08.0)2.012.012.03.018.0(1=++++-=A 。。。。。。。。。。。。。。。。(4’)

Y

(3) 直接验算可知 )(),(P

a X P

b Y a X P ====

因此X 与Y 相互独立.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(12’)

2. (10分) 设随机变量X 具有分布函数

??

?

??≥<≤<=1,11

0,0,

0)(3x x x x x F

求: (1))21

1(≤<-X P ；(2)X 的概率密度函数)(x f ；(3) 数学期望)(X E .

解：(1) )211(≤<-X P 81

)1()21(=--=F F 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(3’)

(2) ???<<=其它,01

0,3)(2x x x f 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(6’)

(3) )(X E 4

3

3)(103===??∞+∞-dx x dx x xf 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(10’)

3. (10分) 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险. 在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元. 试用中心极限定理求保险公司亏本的概率.

解：设1年内的死亡人数为X ，则

),(~p n B X ，3000=n ，001.0=p 。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(2’) 由棣莫弗-

拉普拉斯定理，Y =近似服从(0,1)N 。。。。。。。。。。。。(4’)

所求概率为 )30000

2000(>X P 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(6’) )999

.033

15)1(()15(?->--=>=p np np X P X P

1(6.9)0≈-Φ≈。。。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(10’)