概率学经典计算题
概率分布计算练习题求期望与方差
概率分布计算练习题求期望与方差一、题目描述在统计学中，概率分布是用来描述随机变量在不同取值上出现的概率。
期望与方差是概率分布的重要指标，用于描述随机变量的中心位置和离散程度。
下面通过一些具体的练习题，来计算概率分布的期望与方差。
二、练习题1已知某随机变量X的概率分布如下：```X | -2 | 1 | 3P(X) | 0.2 | 0.4| 0.4```计算随机变量X的期望与方差。
解答：期望的计算公式为E(X) = ΣX * P(X)，其中Σ表示求和符号。
根据给定的概率分布，我们可以计算出期望为：E(X) = (-2 * 0.2) + (1 * 0.4) + (3 * 0.4) = -0.4 + 0.4 + 1.2 = 1.2方差的计算公式为 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，其中E(X^2)表示随机变量X的平方的期望。
根据给定的概率分布，我们可以计算出E(X^2)为：E(X^2) = (-2^2 * 0.2) + (1^2 * 0.4) + (3^2 * 0.4) = 0.8 + 0.4 + 3.6 = 4.8将期望和E(X^2)带入方差的计算公式中，即可计算出方差为：Var(X) = 4.8 - 1.2^2 = 4.8 - 1.44 = 3.36因此，随机变量X的期望为1.2，方差为3.36。
三、练习题2已知某离散型随机变量Y的概率分布如下：```Y | -1 | 0 | 2 | 3P(Y) | 0.1| 0.2 | 0.4 | 0.3```计算随机变量Y的期望与方差。
解答：同样地，首先计算期望。
根据给定的概率分布，我们可以计算出期望为：E(Y) = (-1 * 0.1) + (0 * 0.2) + (2 * 0.4) + (3 * 0.3) = -0.1 + 0 + 0.8 + 0.9 = 1.6接下来计算方差。
根据方差的计算公式，需要先计算E(Y^2)。
根据给定的概率分布，我们可以计算出E(Y^2)为：E(Y^2) = (-1^2 * 0.1) + (0^2 * 0.2) + (2^2 * 0.4) + (3^2 * 0.3) = 0.1 + 0 + 1.6 + 2.7 = 4.4将期望和E(Y^2)带入方差的计算公式中，即可计算出方差为：Var(Y) = 4.4 - 1.6^2 = 4.4 - 2.56 = 1.84因此，随机变量Y的期望为1.6，方差为1.84。
小学数学题库认识简单的概率计算
小学数学题库认识简单的概率计算在进行小学数学学习中，概率计算是一个非常重要的概念。
掌握概率计算可以帮助孩子们解决生活中的问题，并且培养他们的逻辑思维和数学能力。
本文将通过一些简单的小学数学题目，帮助读者更好地认识概率计算。
1. 硬币抛掷假设有一枚公正的硬币，正反两面的出现概率均为50%。
现在抛掷这枚硬币三次，请问出现三次正面的概率是多少？解答：由于每次抛掷硬币的结果是相互独立的，所以概率可以相乘。
因此，出现三次正面的概率为0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125，即12.5%。
2. 骰子掷点假设有一个标准的六面骰子，每个面的出现概率均为1/6。
现在掷掷这个骰子一次，请问出现偶数的概率是多少？解答：出现偶数的可能结果是2、4、6，共3个。
而骰子的总共可能结果是1、2、3、4、5、6，共6个。
因此，出现偶数的概率为3/6 =1/2，即50%。
3. 抽取彩球一个袋子里有5个红球和3个蓝球。
现在从中随机抽取一个球，请问抽到红球的概率是多少？解答：红球的数量为5个，总球数为8个。
因此，抽到红球的概率为5/8，即62.5%。
4. 摸牌游戏一副扑克牌共有52张牌，其中有4个花色（红桃、黑桃、方块、梅花），每个花色有13张牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K）。
现在从扑克牌中随机抽取一张牌，请问抽到红桃A的概率是多少？解答：红桃A只有一张，总共有52张牌。
因此，抽到红桃A的概率为1/52，即约为1.9%。
通过以上几个简单的小学数学题目，我们可以看到概率计算是通过对事件发生的可能性进行分析和计算来衡量事件发生的可能性大小。
在实际生活中，概率计算不仅仅存在于数学题目中，还可以帮助我们分析和解决各种实际问题。
在教授概率计算的时候，老师可以通过类似的题目和例子帮助学生理解概率的概念和计算方法。
此外，通过游戏、实物模型等教学辅助工具，可以增加学生的学习兴趣，激发他们对数学的兴趣和好奇心。
概率的基本概念与计算题目
概率的基本概念与计算题目1. 在一次抽奖活动中，共有5个相同的奖品和5个相同的安慰奖。
随机抽取一个奖品，抽到奖品的概率是多少？2. 一个班级有30名学生，其中有15名女生和15名男生。
随机选择一名学生，选择到男生的概率是多少？3. 一副扑克牌共有52张，其中有4张王牌。
随机抽取一张牌，抽到王牌的概率是多少？4. 一个袋子里有10个红球和10个蓝球。
随机取出一个球，取出红球的概率是多少？5. 在一次投掷硬币的实验中，共有10次投掷。
投掷一次硬币，出现正面的概率是多少？6. 一个班级有20名学生，其中有10名喜欢数学，10名喜欢英语。
随机选择一名学生，选择到喜欢数学的概率是多少？7. 一个袋子里有5个苹果和5个橘子。
随机取出一个水果，取出苹果的概率是多少？8. 在一次掷骰子的实验中，共有6次掷骰子。
掷一次骰子，得到3点的概率是多少？9. 一个班级有25名学生，其中有10名参加了数学竞赛，15名参加了英语竞赛。
随机选择一名学生，选择到参加了数学竞赛的概率是多少？10. 一个袋子里有8个苹果和2个橙子。
随机取出一个水果，取出橙子的概率是多少？11. 在一次抛硬币的实验中，共有5次抛硬币。
抛一次硬币，出现反面的概率是多少？12. 一个班级有30名学生，其中有15名女生和15名男生。
随机选择一名学生，选择到女生的概率是多少？13. 一副扑克牌共有52张，其中有4张王牌。
随机抽取一张牌，抽到非王牌的概率是多少？14. 一个袋子里有10个红球和10个蓝球。
随机取出一个球，取出蓝球的概率是多少？15. 在一次投掷硬币的实验中，共有10次投掷。
投掷一次硬币，出现反面的概率是多少？16. 一个班级有20名学生，其中有10名喜欢数学，10名喜欢英语。
随机选择一名学生，选择到喜欢英语的概率是多少？17. 一个袋子里有5个苹果和5个橘子。
随机取出一个水果，取出橘子的概率是多少？18. 在一次掷骰子的实验中，共有6次掷骰子。
概率论经典题目
概率论经典题目
概率论是数学的一个重要分支，它研究随机事件的发生概率及其规律性。
在学习概率论的过程中，经典题目是必不可少的一部分，下面介绍几个常见的概率论经典题目。
1. 排列组合问题：从n个不同元素中取出m个元素，有多少种不同的取法？
2. 独立事件的概率：两个独立事件A和B同时发生的概率是多少？
3. 条件概率问题：已知A发生的条件下，B发生的概率是多少？
4. 期望值和方差：在一次随机试验中，事件发生的可能性不同，每个事件的概率和相应的收益也不同，如何计算这个随机试验的平均收益和方差？
5. 单点和连续型随机变量：在一个区间[a, b]内随机选取一个实数x，x的取值是随机的，如何计算x的期望值和方差？
以上是概率论的几个典型问题，通过这些问题的训练，可以加深对概率论的理解，提高解决问题的能力。
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高中概率练习题及讲解讲解
高中概率练习题及讲解讲解一、基础题1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求是红球的概率。
答案：首先计算总球数为8个，红球数为5个。
根据概率公式 P(A) = 事件发生的次数 / 总的可能次数，红球的概率 P(红球) = 5/8。
2. 题目：掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
答案：首先列出所有可能的结果：正正、正反、反正、反反。
其中正正和正反、反正是至少出现一次正面的情况。
根据概率公式，P(至少一次正面) = 3/4。
3. 题目：一个班级有30名学生，随机选取5名学生作为代表，求其中至少有一名男生的概率（假设班级男女比例为1:1）。
答案：首先计算总的选取方式，即从30名学生中选取5名的组合数。
然后计算没有男生的选取方式，即从15名女生中选取5名的组合数。
根据对立事件的概率计算，P(至少一名男生) = 1 - P(没有男生)。
二、进阶题1. 题目：一个工厂每天生产100个零件，其中有5%的次品。
今天工厂生产了200个零件，求至少有10个次品的概率。
答案：首先确定次品数为10、11、...、20。
使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 n=200, p=0.05。
计算总概率P(X ≥ 10) = Σ P(X=k) (k=10 to 20)。
2. 题目：一个盒子里有10个球，编号为1到10。
随机抽取3个球，求抽取的球的编号之和大于15的概率。
答案：列出所有可能的抽取组合，计算和大于15的组合数。
然后根据概率公式计算概率。
3. 题目：一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。
随机选取5名学生，求选取的学生中恰好有3名男生的概率。
答案：使用组合数计算选取3名男生和2名女生的组合数，然后除以总的选取方式数，即从50名学生中选取5名的组合数。
三、高难题1. 题目：一个连续掷骰子直到出现6点停止，求掷骰子次数的期望值。
概率计算练习题
概率计算练习题一、基础练习题1. 某班级共有50名学生，其中35人会弹钢琴，25人会拉小提琴，15人既会弹钢琴也会拉小提琴。
现从该班级中随机选择一名学生，求该学生既不会弹钢琴也不会拉小提琴的概率。
2. 有一批产品，其中20%是次品。
从中随机抽取3个产品，求恰好有一个是次品的概率。
3. 一批产品中有30%的次品。
从中随机抽取5个产品，求至少有一个是次品的概率。
4. 一批产品中40%的产品是甲品质，30%是乙品质，30%是丙品质。
甲品质产品被使用后有4%的概率出现故障，乙品质产品故障的概率为7%，丙品质产品故障的概率为15%。
现从该批产品中随机选择一件，求其出现故障的概率。
5. 一批产品中有20%的次品。
从中抽取10个产品，求抽出的产品中次品数大于等于2的概率。
二、进阶练习题1. 某班级共有80名学生，其中40人学习钢琴，30人学习小提琴，20人学习吉他。
已知学习钢琴和学习小提琴的学生共有15人，学习小提琴和学习吉他的学生共有10人，学习钢琴和学习吉他的学生共有5人，共有3人同时学习钢琴、小提琴和吉他。
现从该班级中随机选择一名学生，求该学生学习吉他的概率。
2. 一批产品中有30%的次品，已知次品中有20%是甲类次品，60%是乙类次品，20%是丙类次品。
从该批产品中随机抽取一件，若抽到的是次品，请依次求此产品为甲类次品、乙类次品、丙类次品的概率。
3. 一家快餐店的产品销售情况统计如下：25%的顾客购买汉堡，30%的顾客购买薯条，40%的顾客购买汽水。
已知购买汉堡和薯条的顾客占总顾客数的20%，购买薯条和汽水的顾客占总顾客数的15%，购买汉堡和汽水的顾客占总顾客数的10%，同时购买汉堡、薯条和汽水的顾客占总顾客数的5%。
现在从该快餐店中随机选择一位顾客，求该顾客购买汽水的概率。
4. 一篮子中有红、蓝、绿三种颜色的球，比例为5:4:1。
从篮子中随机抽取5个球，求抽取的球中至少有两个是红球的概率。
5. 某城市每天发生车辆事故的概率为0.03。
概率统计题库计算题
概率统计题库计算题（随机事件与概率部分，每小题10分左右）1：一个口袋中有7个红球3个白球，从袋中任取一球，看过颜色后放回袋中，然后再取一球，假设每次取球时袋各个球被取到的可能性相同。
求（1）第一、二次都取到红球的概率？（2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率？（3）第二次取到红球的概率？2：一个口袋中装有编号1至10的十个球，随机地从口袋中任取3个球，求：（1）最小号码为4的概率？（2）最大号码为7的概率？（3）最小号码为3最大号码为8的概率？3：把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住5人，试求（1）这三名学生住不同宿舍的概率？（2）这三名学生有两人住同一宿舍的概率？（3）这三名学生宿同一宿舍的概率？4：总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率：（1）事件A：“其中恰有一位精通英语”；（2）事件B“其中有两位精通英语”；（3）事件C“其中有人精通英语”。
5：设一质点落在区域{(,)|01,01,1}G x y x y x y=<<<<+<内任一点的可能性相等，求（1）质点落在直线23x=的左边的概率？（2）质点落在直线45y=的上方的概率？6：已知10只电子元件中有2只是次品，每次取一只，不放回取两次，求：（1）第一次取正品、第二次取次品的概率？（2）一次正品、一次次品的概率？（3）两次都是次品的概率？（4）第二次取次品的概率？7：甲乙丙同时独立去破译一密码，破译的概率分别为0.5,0.8,0.6，试求（1）密码恰好被某两人同时破译的概率？（2）密码被破译的概率？8：为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为了0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率？（2）B失灵的条件下，A有效的概率？9:：甲、乙两人同时独立向一目标射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.9，求（1）两人都中靶的概率？（2）甲中乙不中的概率？（3）甲不中乙中的概率？10：有两箱同类的零件，第一箱装50只，其中有10只一等品；第二箱装30只，其中有18只一等品，今从中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次取一只，作不放回抽样，试求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率？（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率？11：设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是次品，求另一件也是次品的概率？12：设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含有0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1。
2023年人教版高中数学第十章概率经典大题例题
(名师选题)2023年人教版高中数学第十章概率经典大题例题单选题1、掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是A ．1999B ．11000C ．9991000D ．12答案：D每一次出现正面朝上的概率相等都是12，故选D. 2、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ）A ．249B ．649C ．17D ．27答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况， 其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.3、在一次试验中，随机事件A ，B 满足P(A)=P(B)=23，则（ ）A ．事件A ，B 一定互斥B ．事件A ，B 一定不互斥C ．事件A ，B 一定互相独立D ．事件A ，B 一定不互相独立答案：B分析：根据互斥事件和独立事件的概率的定义进行判断即可>1，与0≤P(A+B)≤1矛盾，所以P(A+B)≠若事件A，B为互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)=43P(A)+P(B)，所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，由题意无法判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误，故选：B4、甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有．．一次准确预报的概率为（）A．0.8B．0.7C．0. 56D．0. 38答案：D解析：利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：P=0.8×(1−0.7)+(1−0.8)×0.7=0.38.故选：D．5、当P(A)>0时，若P(B|A)+P(B̅)=1，则事件A与B的关系是（）A．互斥B．对立C．相互独立D．无法判断答案：C分析：根据条件概率的公式，化简原式，再根据相互独立事件的性质即可得出结论.∵P(B|A)+P(B̅)=P(B|A)+1−P(B)=1，∴P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(B)，P(A)∴P(AB)=P(A)P(B)，∴事件A 与B 相互独立.故选：C.6、若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足m 2+n 2<25的概率是（ ）A ．12B ．1336C ．49D ．512答案：B分析：利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(m,n)表示，则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足m 2+n 2<25有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足m 2+n 2<25的概率P =1336．故选：B7、甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a,b ∈{1,2,3,4}，若|a −b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．38B ．58C ．316D ．516答案：B分析：利用列举法根据古典概型公式计算即可.B两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，共有16个样本点，为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，1)，(2，2)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2) (4，3)，(4，4)，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a−b|≤1的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为P=1016=58．故选：B8、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484答案：A分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.9、已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件答案：C分析：根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A 正确；在B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B 正确；在C 中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C 错误；在D 中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D 正确．故选：C ．10、关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y )；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y )的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4a mB ．a+2m C ．a+2m m D ．4a+2m m 答案：D解析：由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数x,y ，满足{0<x <10<y <1，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(x,y )，即{0<x <10<y <1， 对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数x,y 能与1构成钝角三角形三边，则有{x 2+y 2<1x +y >10<x <10<y <1， 其面积S =π4−12；则有a m =π4−12，解得π=4a+2m m故选：D ．小提示：本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.11、从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“至少有一个黑球”与“都是黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”答案：A分析：根据互斥事件和对立事件的定义直接判断.对于A：“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故A中的两事件互斥而不对立；对于B：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，故B中的两事件不互斥；对于C：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故C中的两事件不是互斥事件；对于D：“至少有一个黑球”与“都是红球”互斥并且对立.故选：A12、“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（）.A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；B．小概率事件很少发生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；D．大概率事件就是必然事件，一定发生．答案：A分析：理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.“不怕一万，就怕万一”表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；故选：A双空题13、从1，2，3，…，10中任选一个数，这个试验的样本空间为_______，“它是偶数”这一事件包含的基本事件个数为_________.答案： Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 5分析：题中10个数中每一个都是样本空间中的样本点，而偶数的样本点有5个：2,4,6,8,10．从1，2，3，…，10中任意选一个数，所得到的数可能是从1到10中的任意一个数，所以这个试验的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，“它是偶数”这一事件包含的基本事件有5个，分别为2，4，6，8，10.故答案为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}；5．小提示：本题考查样本空间，解题时只要写出事件发生的所有可能情形即可．注意不重不漏．14、已知随机变量X 的取值范围为{3,4,5,6}，且P (X =3)=0.2，P (X =4)=0.3，P (X =5)=0.4，P (X =6)=0.1，则P (4<X ≤6)=______，若Y =4X +3，则P (Y ≤23)=______．答案： 0.5 0.9分析：利用P (4<X ≤6)=P (X =5)+P (X =6)，P (Y ≤23)=P (X ≤5)即可得到结果.由题意可知P (4<X ≤6)=P (X =5)+P (X =6)=0.4+0.1=0.5，P (Y ≤23)=P (X ≤5)=1−P (X =6)=1−0.1=0.9．所以答案是：0.5，0.9．15、一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是__________，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A ， “第二次取到红球”为事件B ，则P (B|A )=__________.答案： 35 35分析：（1）直接使用公式；（2）条件概率公式的使用.恰有一个白球的概率P =C 21C 42C 63=35； 由题可知A =“第一次取到红球”， B =“第二次取到红球”，则P (A )=23，P (AB )=4×36×5=25，所以P (B|A )=P (AB )P (A )=35.所以答案是：35，35. 16、容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6,10)内的频数为______，数据落在[6,10)内的概率约为______.答案： 64. 0.32.解析：（1）根据矩形面积表示频率，再根据公式频数样本容量=频率，计算频数； （2）转化为求数据落在[6,10)内的频率.由题图易知组距为4，故样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4=0.32，频数为0.32×200=64，故数据落在[6,10)内的概率约为0.32.所以答案是：64；0.32小提示：本题考查频率分布直方图的简单应用，理解频率和概率，属于基础题型.17、一个盒子中有1个白球（计0分），15个相同的红球（计1分）和6个不同的彩球（计2−7分），小阳每次从盒中随机摸出1个球，要求摸完不放回盒中，则2次均摸到红球的概率是______，若得分≥2时即停止摸球，则所有可能的摸球方式共有______种．（用数字作答）答案： 511 912 解析：两次都摸到红球的概率为P =15×1422×21；若得分≥2时停止摸球，则最多摸三次球，然后分类讨论求出总共的摸球方式.由题意得，盒子中共有球22个，红球15个，则两次都摸到红球的概率为：P =15×1422×21=511，若得分≥2则停止摸球，则摸球的可能情况有：摸球一次得分≥2时,只需从六个彩球中摸出一个，共有6种可能；摸球两次得分≥2时，则摸出的球颜色可以为：白彩，红彩，红红三类，共有6+15×6+15×14=306种情况摸球三次得分≥2时，则摸出球的颜色可以为：白红红，白红彩，红白红，红白彩，共有1×15×14+1×15×6+15×1×14+15×1×6=600种情况，综上，共有912种方式.所以答案是：5，912.11小提示：本题考查随机事件概率的计算，考查计数原理，难度一般，解答时注意分类讨论.解答题18、某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）)各分为5组：[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50][0,10),[10,20)，得其频率分布直方图如图所示.（1）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半小时，若该校初中学生课外阅读时间低于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本中随机抽取3人，求至少有2名初中生的概率.答案：（1）需要；（2）0.7.分析：（1）根据频率分布直方图根据平均数公式估计初中生阅读时间的平均数，即得解；（2）根据古典概型的计算公式，即得解（1）由图可求出初中生在[30,40)内的频率为0.2，故样本中初中生阅读时间的平均数为5×0.05+15×0.3+25×0.4+35×0.2+45×0.05=24<60×0.5=30，故按国家标准，该校需要增加初中学生课外阅读时间.（2）由图可求出初中生和高中生课外阅读时间不足10小时的人数分别为3人和2人，记初中生3人为a1,a2,a3，高中生2人为b1,b2，从这5人中随机抽取3人一共有10种，分别为(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),其中至少2名初中生包括7种情况，=0.7.所以所求事件的概率为71019、袋子里有6个大小､质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.(1)写出样本空间；(2)求取出两球颜色不同的概率；(3)求取出两个球中至多一个黑球的概率.答案：(1)答案见解析；；(2)1115.(3)45分析：（1）将1个红球记为a,2个白球记为b1,b2,3个黑球记为c1,c2,c3，进而列举出所有可能性，进而得到样本空间；（2）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，共三大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率；（3）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，共四大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率.（1）将1个红球记为a,2个白球记为b1,b2,3个黑球记为c1,c2,c3，则样本空间Ω={(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)}，共15个样本点.（2）记A事件为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，则A={(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3)},A包含11个样本点，所以P(A)=1115.（3）记B事件为“取出两个球至多有一个黑球”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，则B={(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3)},B包含12个样本点，所以P(B)=1215=45.20、某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示．(1)如果随机调查这个班的一名学生，求事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率；(2)若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有2名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，请用字母代表不同的学生，写出样本空间；(3)在（2）的条件下求事件B：2名学生中恰有1名男生的概率．答案：(1)0.38(2)答案见解析(3)1021分析：(1)50名学生中，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，由此能求出事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率P(A)．(2)不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，设为A，B，另外五名女生设为a，b，c，d，e，现从中抽取两名学生参加某项活动，能用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果．(3)事件B：两名学生中恰有1名男生，则事件B包含的基本事件有10种，由此能求出事件B：两名学生中恰有1名男生的概率P(B)．(1)50名学生中，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，=0.38．∴事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率P(A)=1950(2)不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，设为A，B，另外五名女生设为a，b，c，d，e，现从中抽取两名学生参加某项活动，用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果有21种，分别为：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de．(3)事件B：两名学生中恰有1名男生，则事件B包含的基本事件有10种，分别为：Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，∴事件B：两名学生中恰有1名男生的概率P(B)=10．21。
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1. (袋中有红球6个, 白球4个, 从中取两次, 每次任取一个, 作不放回抽样. 设事件A 表示 “第一次取的是红球”, 事件B 表示 “第二次取的是白球”, 用B A ,表示下列事件, 并求其概率: 1)两个都是红球; 2)两球中，白球和红球各有一个; 3)第二次取的是红球.
解：1) 262101
()3C P AB C ==................................................(5’)
2) 11462
108
()15C C P AB C ==.....................................................(10) 3）1124662
103
()5
A A A P
B A +==......................................................(15’) 2．(7分) 某宾馆大楼有3部电梯，通过调查，知道某时刻T ，各电梯正在
运行的概率均为0.8，求：(1) 在此时刻恰有一台电梯运行的概率； (2) 在此时刻至少有一台电梯运行的概率.
解： (1) 096.02.08.032
=⨯⨯=P 。
(3’) (2) 992.02.013=-=P 。
(7’)
3．（8分）某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，如果每个车间的次品率分别为6%,3%，2%，已知甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产量的25％，25％ ，50% 。
现从全厂产品中任取一件产品，求取到的为次品的概率。
解：设123,,A A A 分别表示“取到的产品为甲、乙、丙车间生产的” B 表示“取到的产品为次品”，则 123()25%,()
25%,()50%P A P A P A === 123(|)6%,(|)3%,(|)2%P B A P B A P B A ===。
(3’) 由全概率公式，所求概率为
3
1()()(|)
i i i P B P A P B A ==∑ 25%6%25%3%50%2%=⨯+⨯+⨯
3.06%=。
(8’)
4. (8分) 设随机变量X 在区间],0[π上服从均匀分布，求随机变量
X Y sin =的概率密度()Y f y ．
解：当01y <<时，
(){}{0arcsin }{arcsin }Y F y P sinX y P X y P y X ππ=≤=≤≤+-≤≤
arcsin 0
arcsin 1
1
2
y y
dx dx acrsiny πππ
π
π
-=+=
⎰
⎰
； …………… (3’)；
当0y ≤时，(){}0Y F y P sinX y =≤=；
当1y ≥时，(){}1Y F y P sinX y =≤=。
…………… (5’)；
于是，,01;()0,Y x f y ⎧
<<⎪=⎨⎪⎩
其它. …………… (8’)；
1. (12分) 设),(Y X 的联合分布律为
(1) 求A ；(2) 求X , Y 的边缘分布律; (3) 问X 与Y 是否相互独立?
解：(1) 08.0)2.012.012.03.018.0(1=++++-=A 。
(4’)
Y
(3) 直接验算可知 )(),(P
a X P
b Y a X P ====
因此X 与Y 相互独立.。
(12’)
2. (10分) 设随机变量X 具有分布函数
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=1,11
0,0,
0)(3x x x x x F
求: (1))21
1(≤<-X P ；(2)X 的概率密度函数)(x f ；(3) 数学期望)(X E .
解：(1) )211(≤<-X P 81
)1()21(=--=F F 。
(3’)
(2) ⎩⎨⎧<<=其它,01
0,3)(2x x x f 。
(6’)
(3) )(X E 4
3
3)(103===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf 。
(10’)
3. (10分) 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险. 在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元. 试用中心极限定理求保险公司亏本的概率.
解：设1年内的死亡人数为X ，则
),(~p n B X ，3000=n ，001.0=p 。
(2’) 由棣莫弗-
拉普拉斯定理，Y =近似服从(0,1)N 。
(4’)
所求概率为 )30000
2000(>X P 。
(6’) )999
.033
15)1(()15(⨯->--=>=p np np X P X P
1(6.9)0≈-Φ≈。
(10’)。