数学广角集合 ppt课件
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2024年数学广角集合公开课ppt课件
元素与集合关系判断
属于关系
若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A。
不属于关系
若a不是集合A的元素，则称a不属于A，记作a∉A 。
集合基本性质介绍
01 互异性
集合中任意两个元素都是不同的。
02 无序性
集合中的元素没有先后顺序。
03 确定性
给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于 或者不属于该集合，二者必居其一。
对于两个集合A和B，如果集合A的任意一个元素 都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集。
02 真子集定义
如果集合A是集合B的子集，且A不等于B，则称集 合A是集合B的真子集。
03 子集与真子集的区别
真子集是子集的特例，子集包括集合本身，而真 子集不包括。
交集、并集运算规则及应用
交集定义
由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为集合A与集合B
概率统计中的事件、样本空间等都可以用集 合表示，有助于研究概率统计问题。
04
典型例题分析与解答
典型例题一：集合基本概念和性质考查
例题
设集合$A = { x | x^2 - 3x + 2 = 0 }$，求集合A的元素个数及其元
素。
分析
本题主要考查集合的基本概念，通 过解一元二次方程得到集合A的元 素。
预习要求
请学生按照老师的要求进行预习，做好笔记和思考，为下一节课 的学习打下坚实的基础。
THANKS
感谢观看
分配律
对于任意三个集合A、B和C，有 (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)， (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。
结合律
对于任意三个集合A、B和C，有 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)， (A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
《数学广角—集合》PPT课件
数学广角-集合
本节目标
1 掌握集合思想； 2 会用集合思想解决实际问题； 3 感受集合与日常生活的密切联系； 4 提高学习数学的兴趣。
【学习重点】
借助直观图初步体会集合的思想方法。
通知
学校定于下周五组织活动，请每个班 选拔4人参加唱歌比赛，5人参加跳舞 比赛。
校大队部
跳绳的有9人， 踢毽的有8人。
51 52
70 71
53 54 55 56 57 58
61 62 63 64 65 66 67 68 69
72 73 74 75 76 77
59 60
78 79
课堂小结
1.说一说本节课的收获。 2.谈谈在解决实际问题中有哪些 需要注意或不太懂的地方。
昨天和今天都进了的水果有几种？ 4种
答案不唯一
同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观 大象馆的有30人，两个馆都参观的有18人。
(1)填写右边的图。
(2)去动物园的一共有 （ 37 ）人。
3 练习
参观熊猫馆的
参观大象馆的
7?人 1?8人 12?人
都参观的
知识点：集合的思想方法的应用。
同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人， 参观大象馆的有30人，两个馆都参观的有18人。
(（1)只3只①）能能一生在②共活陆在有地水多生③ 里活少的的种有④动动(物2物)有种⑤？(，4 )种⑥， ⑦
⑧
既能生活在陆地又能生活在水里的有( 2 )种。
能在陆地上生活的
能在水中生活的
既能生活在陆地又能生活在水里
巩固练习
看图回答问题。
（1）商店两天一共进了（ 8 ）种水果。
（2）你能提出其他数学问题并解答吗？
/shiti / 教案 下载 /jiaoa
本节目标
1 掌握集合思想； 2 会用集合思想解决实际问题； 3 感受集合与日常生活的密切联系； 4 提高学习数学的兴趣。
【学习重点】
借助直观图初步体会集合的思想方法。
通知
学校定于下周五组织活动，请每个班 选拔4人参加唱歌比赛，5人参加跳舞 比赛。
校大队部
跳绳的有9人， 踢毽的有8人。
51 52
70 71
53 54 55 56 57 58
61 62 63 64 65 66 67 68 69
72 73 74 75 76 77
59 60
78 79
课堂小结
1.说一说本节课的收获。 2.谈谈在解决实际问题中有哪些 需要注意或不太懂的地方。
昨天和今天都进了的水果有几种？ 4种
答案不唯一
同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观 大象馆的有30人，两个馆都参观的有18人。
(1)填写右边的图。
(2)去动物园的一共有 （ 37 ）人。
3 练习
参观熊猫馆的
参观大象馆的
7?人 1?8人 12?人
都参观的
知识点：集合的思想方法的应用。
同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人， 参观大象馆的有30人，两个馆都参观的有18人。
(（1)只3只①）能能一生在②共活陆在有地水多生③ 里活少的的种有④动动(物2物)有种⑤？(，4 )种⑥， ⑦
⑧
既能生活在陆地又能生活在水里的有( 2 )种。
能在陆地上生活的
能在水中生活的
既能生活在陆地又能生活在水里
巩固练习
看图回答问题。
（1）商店两天一共进了（ 8 ）种水果。
（2）你能提出其他数学问题并解答吗？
/shiti / 教案 下载 /jiaoa
数学广角集合ppt课件公开课
事件概率计算方法
01
古典概型
当样本空间中每个样本点发生的可能性相等时，事件A的概率等于事件
A包含的样本点个数与样本空间样本点总数之比。
02 03
几何概型
当样本空间是一个区域（如线段、平面图形、立体图形等）时，事件A 的概率等于事件A所占的区域面积（或体积）与样本空间所占的区域面 积（或体积）之比。
频率估计概率
通过大量重复试验，用事件A发生的频率来近似估计事件A的概率。
条件概率与独立性
条件概率
在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。条件概率的计算公 式为P(A|B) = P(AB) / P(B)。
事件的独立性
如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，则称事件A与事件B相互独 立。对于相互独立的事件A和B，有P(AB) = P(A)P(B)。
局和管理的措施。
案例四
生态环境模型。数学建模在生态环境领域 的应用包括水质模型、大气污染模型等， 可以为环境保护和治理提供决策支持。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
集合的基本概念
包括元素、集合、子集、真子集等概念的定义和性质。
集合的运算
包括交集、并集、补集等运算的定义、性质和计算方法。
集合的表示方法
适当使用动画和交互效果可以 增强图表的吸引力和互动性， 提高观众的参与度。
案例：统计图表在数据分析中应用
1
案例一
某电商平台的销售数据分析。利用柱状 图和折线图展示不同商品的销售数量和 销售额的变化趋势，帮助商家了解市场 需求和竞争情况。
2
案例二
某城市空气质量监测数据分析。利用饼 图展示不同污染物在空气中的占比情况 ，利用散点图展示污染物浓度与气象因 素之间的关系，为环保部门制定治理措 施提供依据。
数学广角——集合 (PPT)
答：两天一共进7种货。
小丽过生日，明明和丹丹分别送了她一个礼盒（如下）。
明明
丹丹
3种文具
2种文具
两个礼盒里一共有几种文具？
3+2=5（种）
3+2=5（种）
2 11 3+2-1=4（种）
3+2=5（种）
2 11 3+2-1=4（种）
3+2-2=3（种）
动动脑 再解答。
学校在“六一”儿童节召开趣味运动会，我 们班有7名运动员，其中有6人参加跳绳比赛， 3人参加摇呼啦圈比赛，有多少人既参加跳 绳比赛，又参加摇呼啦圈比赛？
6+3-7=2（人）
答：有多少人既参加跳绳比赛，又参 加摇呼啦圈比赛
回家调查你爸爸的抽烟、喝酒情况， 并以大组为单位制成韦恩图。
抽烟的
喝酒的
在剑桥大学的彩色玻璃窗上有对他的这个发明的纪念。
动物王国举行运动会，看看都有哪些动物来参加？
把下面的动物的序号填在合适的位置
1
2
33
4
5
6
77
8
9 10
会游泳的
会飞的
把下面动物的序号填在合适的位置
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
会游泳的
会飞的
既会游泳又会飞的
两天一共进多少种货？
5+5-3= 7（种）
人教版三年级下册
数学广角
两位妈妈和两位女儿一同 去看电影，可是她们只买了3 张票，便顺利地进了电影院， 这是为什么?
1
参加数学小组的有 9 人。
参加语文小
这两个小组共
组的有 8 人。
有 几人呀?
小丽过生日，明明和丹丹分别送了她一个礼盒（如下）。
明明
丹丹
3种文具
2种文具
两个礼盒里一共有几种文具？
3+2=5（种）
3+2=5（种）
2 11 3+2-1=4（种）
3+2=5（种）
2 11 3+2-1=4（种）
3+2-2=3（种）
动动脑 再解答。
学校在“六一”儿童节召开趣味运动会，我 们班有7名运动员，其中有6人参加跳绳比赛， 3人参加摇呼啦圈比赛，有多少人既参加跳 绳比赛，又参加摇呼啦圈比赛？
6+3-7=2（人）
答：有多少人既参加跳绳比赛，又参 加摇呼啦圈比赛
回家调查你爸爸的抽烟、喝酒情况， 并以大组为单位制成韦恩图。
抽烟的
喝酒的
在剑桥大学的彩色玻璃窗上有对他的这个发明的纪念。
动物王国举行运动会，看看都有哪些动物来参加？
把下面的动物的序号填在合适的位置
1
2
33
4
5
6
77
8
9 10
会游泳的
会飞的
把下面动物的序号填在合适的位置
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
会游泳的
会飞的
既会游泳又会飞的
两天一共进多少种货？
5+5-3= 7（种）
人教版三年级下册
数学广角
两位妈妈和两位女儿一同 去看电影，可是她们只买了3 张票，便顺利地进了电影院， 这是为什么?
1
参加数学小组的有 9 人。
参加语文小
这两个小组共
组的有 8 人。
有 几人呀?
《数学广角——集合》课件
（1 ）小亮和小丽一共写出了多少个成语？
（2 ）小亮和小红一共写出了多少个成语？
画图试一试。
（1 ）小亮和小丽一共写出了多少个成语？
小亮
15
小丽 8
小亮和小丽都写的
15+0 = 15（个）
答：小亮和小丽一共写出了 15个成语。
（2 ）小亮和小红一共写出了多少个成语？
小亮
小红
15
5
10
小亮和小红都写出了的 15 + 10 − 5 = 20（个）
姑姑 舅舅 外婆 采摘黄瓜的
爸爸 外公 爷爷 奶奶 舅妈 叔叔 小明 妈妈
采摘西红柿的
采摘草莓的
3.(2)采摘西红柿和草莓的共有几人？
4 + 2 +2 = 8（人） 答：采摘西红柿和草莓的共有8人。
姑姑 舅舅 外婆 采摘黄瓜的
爸爸 外公 爷爷 奶奶 舅妈 叔叔 小明 妈妈
采摘西红柿的
采摘草莓的
4.同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观大 象馆的有30人，两个馆都参观的有18人。
和参观
大象馆的一共有（37）人。
7人 18人 12人
7 + 18 + 12 = 37（人）
都参观的
25 – 18 = 7 （30人–）18 = 12（人）
4.同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观大 象馆的有30人，两个馆都参观的有18人。
今天进的水果品种
（1）商店两天一共进了几种水果？ 5 + 7 – 4 = 8（种）
答：商店两天一共进了8种水果。
1.
昨天进的水果品种
今天进的水果品种
（2）你能提出其他数学问题并解答吗？ 今天进的水果品种比昨天多几种？ 7 – 5 = 2（种） 答：今天进的水果品种比昨天多2种。
（2 ）小亮和小红一共写出了多少个成语？
画图试一试。
（1 ）小亮和小丽一共写出了多少个成语？
小亮
15
小丽 8
小亮和小丽都写的
15+0 = 15（个）
答：小亮和小丽一共写出了 15个成语。
（2 ）小亮和小红一共写出了多少个成语？
小亮
小红
15
5
10
小亮和小红都写出了的 15 + 10 − 5 = 20（个）
姑姑 舅舅 外婆 采摘黄瓜的
爸爸 外公 爷爷 奶奶 舅妈 叔叔 小明 妈妈
采摘西红柿的
采摘草莓的
3.(2)采摘西红柿和草莓的共有几人？
4 + 2 +2 = 8（人） 答：采摘西红柿和草莓的共有8人。
姑姑 舅舅 外婆 采摘黄瓜的
爸爸 外公 爷爷 奶奶 舅妈 叔叔 小明 妈妈
采摘西红柿的
采摘草莓的
4.同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观大 象馆的有30人，两个馆都参观的有18人。
和参观
大象馆的一共有（37）人。
7人 18人 12人
7 + 18 + 12 = 37（人）
都参观的
25 – 18 = 7 （30人–）18 = 12（人）
4.同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观大 象馆的有30人，两个馆都参观的有18人。
今天进的水果品种
（1）商店两天一共进了几种水果？ 5 + 7 – 4 = 8（种）
答：商店两天一共进了8种水果。
1.
昨天进的水果品种
今天进的水果品种
（2）你能提出其他数学问题并解答吗？ 今天进的水果品种比昨天多几种？ 7 – 5 = 2（种） 答：今天进的水果品种比昨天多2种。
三年级上册数学课件-9数学广角——集合(共21张PPT)人教版
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
（1）既会唱歌又会跳舞的有（ 4 ）人。 （2）学校歌舞小组一共有多少人？ （3）你能提出其他数学问题并解答吗？ （2）9＋10－4=15（人）。 （3）只会唱歌的有多少人？9－4=5（人）
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
作业1：完成教材P105做一做T2。 作业2：完成对应的练习题。
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版 三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
所提问题不唯一，合理即可。
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
3. 三年级学生去春游，带矿泉水的有78人，带 水果的有77人，两种都带的有48人，每人至少 带一样。三年级有多少名学生去春游？
78+77-48=107（人） 答：三年级有107名学生去春游。
踢毽的学生
刘红 于丽 周晓 杨明 朱小东 李芳
陶伟 卢强
两项都参加的学生
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
例题分析 想一想可以怎样列式解答。 方法一：5+3+6＝14（人） 方法二：9+8-3＝14（人） 方法三：8-3+9＝14（人） 方法四：9-3+8＝14（人）
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
（1）既会唱歌又会跳舞的有（ 4 ）人。 （2）学校歌舞小组一共有多少人？ （3）你能提出其他数学问题并解答吗？ （2）9＋10－4=15（人）。 （3）只会唱歌的有多少人？9－4=5（人）
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
作业1：完成教材P105做一做T2。 作业2：完成对应的练习题。
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版 三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
所提问题不唯一，合理即可。
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
3. 三年级学生去春游，带矿泉水的有78人，带 水果的有77人，两种都带的有48人，每人至少 带一样。三年级有多少名学生去春游？
78+77-48=107（人） 答：三年级有107名学生去春游。
踢毽的学生
刘红 于丽 周晓 杨明 朱小东 李芳
陶伟 卢强
两项都参加的学生
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
三年级上册数学课件- 9数学广角——集合 (共21张PPT)人教版
例题分析 想一想可以怎样列式解答。 方法一：5+3+6＝14（人） 方法二：9+8-3＝14（人） 方法三：8-3+9＝14（人） 方法四：9-3+8＝14（人）
三年级下册数学课件-数学广角--集合-人教版(共14张PPT)
学们 再
同
见
谢谢
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引入“韦恩图”，解决问题
陈东 王爱华 马超 丁旭 赵军 徐强
杨明 刘红 李芳
于丽 周晓 朱小东 陶伟 卢强
两项都参加的学生
问题：1. 看图，你知道了哪些信息？ 2. 想一想，可以怎样列式解答？ 9＋8－3＝14（人）
数学第五册
数学广角——集合
一、巧用对比，初几根小棒？
2、摆两个这样的三角形，需要几根小棒？
二、善用例题，引入新课
（1）、播报通知
通知
学校将举行学生趣味运动会，请各
班选9名选手参加跳绳比赛，选8名选
手参加踢毽子比赛。 校大队部
数学广角——集合 (重叠问题)PPT课件
绘画的同学有5人, 既喜欢书法又喜欢绘画的有 10人，三（3）班喜欢绘画和书法的同学一共有 多少人？
6人 10 5人
6+10+5=21（人）
答：三（3）班一共有21人。
通知
学校定于十月中旬开展 趣味运动会，请三年级各 班选拔5名同学参加踢毽子 比赛，4名同学参加跳绳比 赛。
校大队部
根据学校要求，每班要选拔5 人参加踢毽子，4人参加跳绳比 赛，你觉得三（3）班可能会选 拔多少人？
说一说这节课你的收获吧！
把两张各长10厘米的纸条照下图这 样重叠粘贴在一起，重叠处长2厘 米，现在这张粘好的纸条长多少厘 米？
2厘米
三（2）班共有53人，每人至少订阅 《字帖》和《绘画世界》中的一种， 已知订《字帖》的有41人，订《绘画 世界》的有29人，两种都订阅的有多 少人？
41+29=70（人） 70-53=17（人）
刘王余 王任郑 家子欣 碧泰欣 慧芮然 瑶宇妍
这种图是由英国数学家叫维恩 （1834-1923）发明创造的，称为维 恩图(也叫文氏图)，维恩图常用来 研究表示数学中的“集合问题”， 也叫集合图。
音乐小组美术小组来自郝王杨张 常 思昱知天 靖 涵祥雨齐 琪
孙舒马 语芊嘉 歌煜瑜
刘王余 王任郑 家子欣 碧泰欣 慧芮然 瑶宇妍
人教版三年级上册第九单元数学广角----集合
重叠 问题
快来猜一猜！
2位妈妈带2位女儿去看电 影（每人都要一张票才能进 入），结果只买了3张票就全 进去了，你知道怎么回吗？
三(6)班参加音乐、美术兴趣小组学生名单
音孙郝舒常王杨张马
8 人 语 思 芊 靖 昱 知 天 嘉
乐鸽涵煜琪祥雨齐瑜 美舒孙马刘王余王任郑
答：两种都订阅的有17人。
6人 10 5人
6+10+5=21（人）
答：三（3）班一共有21人。
通知
学校定于十月中旬开展 趣味运动会，请三年级各 班选拔5名同学参加踢毽子 比赛，4名同学参加跳绳比 赛。
校大队部
根据学校要求，每班要选拔5 人参加踢毽子，4人参加跳绳比 赛，你觉得三（3）班可能会选 拔多少人？
说一说这节课你的收获吧！
把两张各长10厘米的纸条照下图这 样重叠粘贴在一起，重叠处长2厘 米，现在这张粘好的纸条长多少厘 米？
2厘米
三（2）班共有53人，每人至少订阅 《字帖》和《绘画世界》中的一种， 已知订《字帖》的有41人，订《绘画 世界》的有29人，两种都订阅的有多 少人？
41+29=70（人） 70-53=17（人）
刘王余 王任郑 家子欣 碧泰欣 慧芮然 瑶宇妍
这种图是由英国数学家叫维恩 （1834-1923）发明创造的，称为维 恩图(也叫文氏图)，维恩图常用来 研究表示数学中的“集合问题”， 也叫集合图。
音乐小组美术小组来自郝王杨张 常 思昱知天 靖 涵祥雨齐 琪
孙舒马 语芊嘉 歌煜瑜
刘王余 王任郑 家子欣 碧泰欣 慧芮然 瑶宇妍
人教版三年级上册第九单元数学广角----集合
重叠 问题
快来猜一猜！
2位妈妈带2位女儿去看电 影（每人都要一张票才能进 入），结果只买了3张票就全 进去了，你知道怎么回吗？
三(6)班参加音乐、美术兴趣小组学生名单
音孙郝舒常王杨张马
8 人 语 思 芊 靖 昱 知 天 嘉
乐鸽涵煜琪祥雨齐瑜 美舒孙马刘王余王任郑
答：两种都订阅的有17人。
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参加这两项比赛的 共有多少人？
5
下面是三（1）班参加跳绳、踢毽比赛的学生名单。 参加这两项比赛的共有多少人？
2020/12/2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
二、通过探究，解决问题
用画图的方式把名单让大家清楚的看出。 （1）哪些同学参加跳绳比赛？ （2）哪些同学参加踢毽比赛？ （3）哪些同学既参加跳绳比赛又参加踢毽比
赛？
2020/12/2
两个妈妈和两个女儿一起去看电影， 他们只买了3张票就顺利进了电影院。 这是为什么呢？
2020/12/2
1
人教新课标三年级数学上册
数学广角——集合
2020/12/2
张丽
2
2020/12/2
3
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
杨明 刘红 李芳
于丽 陶伟 卢强
只参加踢毽的学 周晓 生 朱小东
9
全部参加跳绳的 学生
陈东 王爱华 马超 丁旭 赵军 徐强
全部参加踢毽的学生
杨明 刘红 李芳
于丽 周晓 陶伟 朱小东
卢强
两项都参加的学生 参加这两项比赛的共有多少人？想一想，可以怎样列式解答？
2020/12/2
10
只参加跳绳的学 生（6人）
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2020/12/2
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一问题探究
下面是三（1）班参加跳绳、踢毽比赛的学生名单。
你从表格里能找到那些数学信息？
2020/12/2
（9人） 杨明
刘红
陈东 王爱华 马超
李芳
丁旭 赵军 徐强
（8人）
于丽 周晓 朱小东 陶伟 卢强
只参加踢毽的 学生（5人）
两项都参加的学生
（3人）
参加这两项比赛的共有多少人？
9+8-3=14
6+5+3=14
（人） 2020/12/2
（人） 11
两个妈妈和两个女儿一起去看电影， 他们只买了3张票就顺利进了电影院。 这是为什么呢？
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韦恩（1834—1923）
19世纪英国哲学家和数学家， 1881年发明了韦恩图，又叫文 氏图。
2020/12/2
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下面是三（1）班参加跳绳、踢毽比赛的学生名单。
杨明 刘红
刘红 李芳 杨明
李芳
全部参加跳绳的学生
全部参加踢毽的学生
只参加跳绳 的学生
2020/12/2
陈东 王爱华 马超 丁旭 赵军 徐强
外婆
女儿
2020/12/2
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四、练习巩固
1. 把下面动物的序号填写在合适的圈里。
⑤⑥ ①
⑨
③
②④ ⑧
⑦
⑩
表示既会游泳又会飞的
2020/12/2
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小结：学了这节课你应该知道 1.会读集合圈中的信息，理解集合圈里各部分的意义 2.会借助直观图，解决简单的实际问题。
2020/12/2
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