华南理工大学《材料力学》截面的几何性质
合集下载
材料力学绪论 截面几何性质
工程力学电子教案
第八章 扭转
7
二、圆截面的极惯性矩
1、薄壁圆截面 平均半径为R0，厚为δ的薄壁圆截面如图所示，此薄壁 圆截面的极惯性矩为
I P 2R0
3
R0 O δ
工程力学电子教案
第八章 扭转
8
2、实心圆截面 直径为d的圆截面如图所示，圆截面的极惯性矩为
d 4
32
d O
IP
ρ
工程力学电子教案
（3） I z 0 I z I y I y 0
思考题：如何计算图示组合截面对形心轴z的惯性矩。
I z I z 1 I z 2 I zC11 I zC 22
1
zC1
z
2
zC2
工程力学电子教案
b/2
b/2
工程力学电子教案
第九章
弯曲
16
二、惯性矩
如图所示任意横截面，其面积为A。
I z y 2 dA
A
O
r
z y
y dA
z
I y z 2 dA
A
称上述面积分为截面对z轴与y轴的惯性矩或二次轴矩。 从定义可以看出，惯性矩恒为正，其量纲为L4。 截面对某点的极惯性矩，恒等于此截面对于过该点的任一对 直角坐标轴的两个惯性矩之和。
18
2、圆形截面的惯性矩
如图所示圆形截面，直径为d，y轴和z轴为截面形心轴。
圆形截面对y轴和z轴的惯性矩为
I P d 4 Iz Iy 2 64
C d
·
y
z
圆形截面对任一形心轴的惯性矩相同。 同理可得空心圆截面对y轴和z轴的惯性矩为
Iz Iy
D 4
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
返回 下一张 上一张 小结
第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
返回 下一张 上一张 小结
六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学 截面的几何性质
附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
材料力学截面的几何性质
I z I zi
i
，I y I yi，
i
2 I y dA , 元面积对z轴的惯性矩就等于将各元 因 z
面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积 分。
应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面，
I I 1 I 2 I z I y 2I z 2I y，
定义：I A 2 dA
I zy A zydA ——平面图形对z,y轴的惯性积;
极惯性矩.
• 二、性质
1、 I z、I y 恒为正， I zy 可正、可负、也可以为零，其正 负值与坐标轴的位置有关。 2、单位：（长度）4；
例4-4 ： 计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩 和惯性积。 解：用平面极坐标 (r , ).
y
dy
R
o
y
sz A ydA y z dy
z
z
0 2 R sin cos d
3 2
dz
R3 3
y R
o
z
z
sz 4R 3 yc 2 A R 3 4
R3
z R cos y R sin dy R cosd
sz A zdA z y dz
270 50
S y zci Ai 0，（ z1 z2 0）；
i
y
s z yci Ai y1 A1 y2 A2 15 300 30
i
270 30 270 50 23.625 105 (mm) 2 , 2
• 4-2 惯性矩和惯性积
1 d 4 64
因坐标轴是对称轴，如对左右的 dA （如上图），
i
，I y I yi，
i
2 I y dA , 元面积对z轴的惯性矩就等于将各元 因 z
面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积 分。
应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面，
I I 1 I 2 I z I y 2I z 2I y，
定义：I A 2 dA
I zy A zydA ——平面图形对z,y轴的惯性积;
极惯性矩.
• 二、性质
1、 I z、I y 恒为正， I zy 可正、可负、也可以为零，其正 负值与坐标轴的位置有关。 2、单位：（长度）4；
例4-4 ： 计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩 和惯性积。 解：用平面极坐标 (r , ).
y
dy
R
o
y
sz A ydA y z dy
z
z
0 2 R sin cos d
3 2
dz
R3 3
y R
o
z
z
sz 4R 3 yc 2 A R 3 4
R3
z R cos y R sin dy R cosd
sz A zdA z y dz
270 50
S y zci Ai 0，（ z1 z2 0）；
i
y
s z yci Ai y1 A1 y2 A2 15 300 30
i
270 30 270 50 23.625 105 (mm) 2 , 2
• 4-2 惯性矩和惯性积
1 d 4 64
因坐标轴是对称轴，如对左右的 dA （如上图），
材料力学—截面几何性质
主轴:满足惯性积为零的坐标轴
主惯性矩:对主轴的惯性矩
主形心轴与主形心惯性矩
I y
Iy
Iz
I y Iz cos2
I
2
2
z
I yz sin2
主形心轴 主形心轴
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
二者平行
第六章 弯曲应力
二、 惯性积的平行移轴定理
I yz
yzdA
A
y a y0 , z b z0
I yz Aa y0 b z0 dA
I y0z0 A y0 z0dA, A y0dA 0, A z0dA 0
I yz I y0z0 Aab
1
1
yc1 A1 yc2 A2 yc3 A3
n
n
yc
Sz A
Si
i 1
A
i 1
yci Ai A
Sz
S(整) z
S(孔) z
y
c
S(整) z
A( 整 )
S(孔) z
A(孔)
负面积法
第六章 弯曲应力
例： 确定下图所示截面的形心位置
50
50
A1
z
60
A2
10
解：将截面分为两部分， 利用组合截面的公式：
第六章 弯曲应力
A-4 转轴公式与惯性矩
一、 转轴公式 y1 ycos zsin z1 zcos ysin
I y1z1 A( ycos zsin )(zcos ysin )dA
：始边y轴，为正
I y1z1
Iy
2
Iz
sin2
I yzcos2
I y1 I y Iz I y Iz cos2
截面几何性质(材料力学)
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
bh3 Iz 12
C z
bh3 Iz' 12
h
b
y
注意： 1. 两个座标系的原点 必须重合； 2. 两轴惯性矩之和为常量
z
O
I y1 I
z1
I y I I p z
I z1 I y1
4）解法四 y1 I z I z1
I z0 I z0 1 I z0 2 I z0 3 I z0 4
A3 y
d 4
64
2 I y 2 I z0 3 I z0 3
d4
64 Iy
2
A2 z0
d
4
128
I z I z1 I z0 3 OC
d
2
d4 Iy 128 18
1) 极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关， 2) 惯性积可正可负 3) 单位m4 或 mm4
y dA
4. 惯性半径
Iy iy A
Iz iz A
y
（单位m 或 mm）
O
z z
例
试计算图示矩形截面对于其对称轴x和y的惯性矩。
y dy
解： 取平行于x轴的狭长条， 则 dA=b dy
h
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 321104 mm4 y
I yc 0 I min
I zc I yc 2
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 57.4 104 mm 4 y
建筑力学之材料力学第5章(华南理工)
Ip = 2dA
A
=
d 2
0
d4 2 2d =
32
由于z、y轴通过形心, 所以Iz=Iy, 可得: Ip =Iy +Iz =2Iz
Ip d 4 Iz = = 2 64
Izy = yzdA
A
Ip = dA=I y +Iz
2 A
Iz = y2dA, I y = z2dA
截面对y0轴的惯性矩为:
0.120.063 + 0.40.23 m4 2 4 I y0 =I y0 +I y0 = =0.24210 m 12 12
例5-5 试求例5-1中截面的形心主惯性矩。 解: 形心位置(例5-1)为
zC =0, yC=0.323m
过形心的主轴为z0、y0, z0轴到两 个矩形形心的距离分别为: aⅠ=9.137m aⅡ=0.123m
zC =0, yC=0.323m
过形心的主轴为z0、y0, z0轴到两 个矩形形心的距离分别为: aⅠ=9.137m aⅡ=0.123m
截面对z0轴的惯性矩为两个矩形面积对z0轴的惯性矩之和, 即:
Iz0 =Iz +Aa2 +Iz +A a2 =0.37102m4 1
0.60.123 +0.60.120.1372 + 0.20.43 +0.20.40.1232 m4 = 12 12
2
A
2 y1 dA
y1=y+a
因z轴通过截面形心, 故Sz=0, 从而得:
= y2dA+2a ydA+ a2dA
A A A
Iz1 =Iz +a2 A
=Iz +2aSz +a2 A
材料力学 3 截面的几何性质
大小：正，负，0。
y
量纲：[长度]3
二、截面的形心 几何形心=等厚均质薄片重心 z 形心坐标公式：
yc
C
zc
yc zc
y dA A z dA
A
A
Sz A Sy A
O
A
y
S y A zc
S z A yc
结论： 若 S z 0 yc 0 z 轴通过形心。反之，亦成立。
转轴公式
sin 2 I yz cos2
I y1 I z1 I y I z
二、形心主轴和形心主惯性矩 1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，
Ix y
0 0
Ix I y 2
sin20 I xy cos 20 0
tan 2 0
2 I xy Ix Iy
z1
I yzc y1 z1 dA
A
a
O
z
yc
I z A y 2dA A (b y1 )2 dA
2 A ( y1 2by1 b 2 )dA
y
zc 为形心轴， S zc Ayc 0
I zc 2bS zc b 2 A
I zc b 2 A
2
a
2677710 .52 cm 4
平 衡 项 惯 性 矩 6686481 . 857.8 单 个 形 心 惯 性 矩 779.53
组合截面可以大大提高截面惯性矩。
I y Iz 2 cos2 I yz sin 2 cos2 I yz sin 2
I y Iz 2
I y Iz 2
当＝0时，
dI y1 d
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
ab
I z2 I z1 A(ab)2
z
b = R/2
R/2
R
b b
O
求：图示截面
I z _____
y
R/2
R/2
I y _____
I
xC
y C
abA
x
I 求： Z1
y 1
y
hO b
I
Z
1
I
Z
（A h）2 2
b h3 bh h2
12
4
Z
b3
h I Z1 3
Z1
I
y1
hb3
3
求：T形截面的Iz、Sz ，（设a = 6b）
ay
A1
I Z I Z ( A1) I Z ( A2)
ab3 ab(ab / 2)2
b
12
A2
12
求：圆截面对形心轴之惯矩
y
yR
O D
R2 y2
D
Z
I y Z
2
dA
2
2
y2
R2 y2dy
A
D
2
I
Z
D4
64
I I I I D P
Z
2
y
Z
4
32
五、平行移轴定理
y
yC
x
dA
a
bC y
xC
x
xyabxyCC
I x I xC b2 A
I y I yC a2 A
y
x
dA
y
O
I xy
A
I y x2dA
A
三、极惯性矩
y
x dA
y
x OBiblioteka I 2dAIxI yA
四、惯性积
Ixy xydA
y
A
x
dA
如x 或 y 是对称轴
y
x
Ixy =0
O
例：求矩形截面对形心轴之惯矩
h
y
I y y 2
2
2
dA b dy
Z
A
h
2
dy
hO
Z
I
Z
b h3
12
b
dA b • dy
I
y
hb3
过形心的主轴 ——形心主轴 主形心轴
对此轴的惯矩 ——形心主惯性矩 主形心惯性矩
* 重要结论： y
Z1 Z2
y1
y2
O
1、主轴 对主轴的惯积为0 成对出现
Z
y
2、过任一点都有一
对主轴
x
对主轴的惯矩 为极值
3、对任何截面
IP IxIy
y
x dA
y
x O
I 已知： 、A、a、b z1
z1
z2
I 求： z2
截面的几何性质
一、面积（对轴）矩 —— 静矩
y
x
dA
y
0
1、静矩
Sx dSx ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
x
2、静矩与形心
y
x
dA
C
xC
y
y C
O
xi Ai
xC
A
y
yi Ai
C
A
x Sy Ai xi A C
y x
Sx Ai yi A C
二、惯性矩
Ix y2dA
b a3 ab(a / 2)2
12
a
z
326b4
o
SZ SZ ( A1) SZ ( A2)
b
A1
y 1
A2
y 2
ab(a b / 2) ab(a / 2) 57b3
六、形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩
能使惯积=0 的轴 —— 主轴 对主轴的惯矩 —— 主惯性矩 2.形心轴和形心主惯性矩