初中一对一精品辅导讲义：一元二次方程应用
一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义
1、认识一元二次方程2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。
第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m mx ++-=-的一个根是0，求m 的值。
3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+；4.已知实数a 满足2280a a+-=，求)3)(1(12)1)(1(31a 12+++-⨯+-+-+a a a a a a a 的值。
新课标第一网5.已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值。
课前检测一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()x a b +=举例：解方程：29(1)25x +=解：方程两边除以9，得：225(1)9x += 1251352581,13333x x x ∴+=±∴=-==--=-二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解.）举例：解方程：24830x x -+= 配方法解一元二次方程20ax bx c ++= (0a ≠)的步骤：解： 23204x x -+= ①、二次项系数化为1. (两边都除以二次项系数.)2324x x -=- ②、移项.(把常数项移到=号右边.) 22232114x x -+=-+ ③、配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的 21(1)4x -= 平方，把原方程化成2()x a b +=的形式) ∴112x -=± ④、求解.(用直接开方法求出方程的解.) 113111,212222x x ∴=+==-+=三、公式法：（求根公式：242b b ac x a-±-=） 举例：解方程：2273x x -= 公式法解一元二次方程的步骤：解： 22730x x --= ①、把一元二次方程化为一般形式：20ax bx c ++=(0a ≠)2,7,3a b c ∴==-=- ②、确定,,a b c 的值.知识梳理60x ∴-=或10x +=216,1x x ∴==-【4】其它常见类型举例：①、解方程：(1)(3)8x x ++= ②、解方程：222x +x-1=x +x（换元法） 解：原方程可变形为： 解：令2x +x y =，原方程可化为：21y y-=， 即：220y y --= 2450x x +-= ∴(2)(1)0y y -+= ∴20y -=或10y +=(5)(1)0x x +-= ∴122,1y y ==-50x ∴+=或10x -= ∴22x x +=，即220x x +-=215,1x x ∴=-= (2)(1)0x x +-=，212,1x x ∴=-=或21x x +=-，即210x x ++=1,1,1a b c ∴=== 224141130b ac ∴-=-⨯⨯=-<∴方程210x x ++=无解。
九年级数学上册同步精品讲义(人教版)：一元二次方程(教师版)
第 01 课 一元二次方程
学习目标 （1）会设未知数，列一元二次方程. （2）了解一元二次方程及其根的概念. （3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.
知识精讲
知识点 01 一元二次方程的概念
1、对“一元”、“二次”的理解 ①一元：方程只有一个未知数； ②二次：未知数的最高次为 2； 2、一元二次方程满足的三个条件
（1）当 m 取何值时是一元二次方程？ （2）当 m 取何值时是一元一次方程？
【答案】（1） m 1（2） m 0 或－1 【解析】
(1) m 1 xm2 1 m 3 x 1 0 是一元二次方程，
m+1≠0,m2+1=2， m=1，
当 m=1 时,方程 m 1 xm2 1 m 3 x 1 0 是一元二次方程；
A． 3 x 12 2 x 1
B．
1 x2
1 x
2
0
C． ax2 bx c =0
【答案】A
【解析】
A、根据一元二次方程的定义 A 满足条件，故 A 正确，
B、分母中有未知数，不是整式方程，不选 B，
C、二次项系数为 a 是否为 0，不确定，不选 C，
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选 D．
知识点 04 由 a、b、c 的等式得出一元二次方程的根
（1）首先观察下表：
已知方程的根
得出等式
x=1
abc 0
x= 1
abc 0
x=2
4a 2b c 0
x= 2
4a 2b c 0
（2）由上表，根据 式
方程的根
abc 0 a c b abc 0
故选择：A．
D． x2 2x x2 1
一元二次方程及其应用讲义
《一元二次方程及其应用》讲义一、一元二次方程的定义【例题】1、关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。
2、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________．（1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21x－2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5）12x 2=0． 3、关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________．【习题】1、下列方程中是一元二次方程的是( ).A.xy ＋2＝1B. 09212=-+xx C. x 2＝0 D.02=++c bx ax 2、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A.2x 2+7=0 B.2x 2+23x +1=0 C.5x 2+x 1+4=0 D.3x 2+(1+x ) 2+1=03、关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程.4、下列说法正确的是（ ）A ．一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++= B ．一元二次方程20ax bx c ++=的根是242b b ac x a -±-= C ．方程2x x =的解是x ＝1D ．方程(3)(2)0x x x +-=的根有三个 二、一元二次方程的根【例题】1、若ｎ（ｎ≠0）是关于ｘ的方程ｘ2+ｍｘ+2ｎ=0的根，则ｍ＋ｎ的值是（ ）A 、1B 、2C 、－1D 、－22、若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（ ）A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =03、已知0和1-都是某个方程的解，此方程是（ ）A. 012=-xB. 0)1(=+x xC. 02=-x xD. 1+=x x4、如果21x －2x －8=0，则1x 的值是________．5、已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方程一定有一个根是（ ）A. 0B. 1C. -1D. 2【习题】1、若x =－1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（ ）A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =02、已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）．A ．－5或1B ．1C ．5D ．5或－13、已知m 是一元二次方程x 2–2005x +1=0的解，求代数式22200520041m m m -++的值.4、已知x = –5是方程x 2+mx –10=0的一个根，求x =3时，x 2+mx –10的值.三、一元二次方程的解法【例题】1、填写解方程3x (x +5)=5(x +5)的过程解：3x (x +5)__________=0(x +5)(__________)=0x +5=__________或__________=0∴x 1=__________,x 2=__________2、用配方法解方程x 2+2x －1=0时①移项得__________________②配方得__________________即（x +__________）2=__________③x +__________=__________或x +__________=__________④x 1=__________,x 2=__________3、方程2（x+2）2－8=0的根是 。
中考复习讲座一元二次方程的应用共26页
该方程是第4个方程
(3)请写出这列方程中第n个方程和它的解， 并验证所写出的解适合第n个方程。
内分解二次三项式。 6、会解简单的二元二次方程组。 7、会列一元二次方程解应用题。
二、考点导析：
重点问题1：构造方程求未知数的值。 ①利用两代数式的值相等； ②利用根的判别式； ③利用根与系数关系； ④利用非负数； ⑤利用方程根定义。
例1 如果是一元二次方程 x23xm0
的一根，是一元二次方程 x23xm0
的 两根，设s1x1x2,s2x12x22,...
sn x1n x2（n n为自然数），
求 sn219sn9 1 8 20sn0 的值0。
解：
sn219sn9 1 8 20sn00
x 1 n 2 x 2 n 2 19 x 1 n 1 9 x 2 n 8 1 20 x 1 n 0 x 2 n x 1 nx 1 2 1x 9 1 2 90 8 x 2 n 0 x 2 2 0 1x 9 2 2 90
x1,x2是方x程 2199x820000的根 x12199x1820000, x22199x2820000 原式 0
重点问题5：分析观察猜想证明 此类问题是中考热门话题，有利于培养 学生观察能力，分析问题解决问题能力。
例7 已知，如下表所示，方程1，方程2，方 程3……是按一定规律排列的列方程， （1）解方程1，并将解填在表中空白处。 （2）若方程 a 1 1(ab)的解是
中考复习讲座一元二次方程的应用
幽默来自智慧，恶语来自无能
一元二次方程 的应用
回民中学付灵强
一、考点要求
1、掌握一元二次方程的解法，会用适当方 法解一元二次方程。
2、理解一元二次方程根的判别式，及根与 系数关系。
九级讲义一元精选二次方程的应用
九年级讲义3 一元二次方程的应用（一）上节课内容回首：1.一元二次方程的一般形式是：；2.一元二次方程的解法有：、、、；23.一元二次方程ax +bx+c=0(a 、b、c 是常数且a≠0)的求根公式是；4.根的鉴别式是；5.不解方程判断一元二次方程根的状况：2-4ac＞0 时，方程有的实数根；（1）当b2-4ac =0 时，方程有的实数根；（2）当b2-4ac＜0 时，方程；（3）当b（二）一元二次方程根与系数关系（韦达定理）：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a 、b、c 是常数且a≠0)的根是x1、x2，则x1+x2 = ，x1·x2= ；2例：（1）若一元二次方程x+5x-6=0 的两个根分别是x1、x2，则x1+x2 = ，x1·x2= ；(2) 若一元二次方程2x2+bx- 4=0 的一个根是x1=2，则另一个根是x2= ，b= ;（3）已知对于x的一元二次方程 2 (2 1) 2 0x m x m 有两个实数根x1 和x2 ．（1）务实数m 的取值范围；（2）当 2 2x1 x2 0 时，求m 的值．(三)一元二次方程的应用：n＝变化后数目1.增添率问题：变化前数目×（1 x）例：（1）某种商品经过两次连续降价，每件售价由本来的90 元降到了40 元，求均匀每次降价百分率是多少？（2）某村种的水稻2009 年均匀每公顷产7200 公斤，2010 年均匀每公顷产8450 公斤，求水稻每公顷产量的年均匀增添率。
2. 流传问题：例：（1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中均匀一个人传染了几个人？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场竞赛，共竞赛45 场竞赛，共有多少个队参加竞赛？3.收益问题：例：（1）某商铺购进一种商品，进价30 元．试销中发现这类商品每日的销售量P(件)与每件的售价x(元)知足关系：P=100-2x，若商铺每日销售这类商品要获取200 元的收益，那么每件商品的售价应定为多少元？每日要售出这类商品多少件？(2) 某水果批发商场经销一种高档水果，假如每千克盈余10 元，每日可售出500 千克，经市场检查发现，在进货价不变的状况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克。
第07课 一元二次方程的应用(销售利润问题)(教师版) 九年级数学上册精品讲义(人教)
答：应定价 4 元/个，才可获得 800 元的利润.
点睛：本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．列出方程是解决这个问题的关键．
考法 04 销量为一次函数类型
【典例 7】在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20 元/千克，售价不低于 20 元/千克，且不 超过 32 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）满足如下 表所示的一次函数关系．
总利润=（x-进价）×（一次函数）
能力拓展
考法 01 问“降价多少元”
【典例 1】一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售、增加盈利，该店 采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均 每天可多售出 2 件. （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元. 【详解】 分析：（1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 3 元，则平均每天可多售出 2×3=6
解得 x1 10 ， x2 30 ．
经检验， x1 10 ， x2 30 都符合题意．
当 x 10 时， 50 x 60 ， 500 10x 400 ；
当 x 30 时， 50 x 80 ， 500 10x 200 ．
所以，要赚取 8000 元的利润，售价应定为 60 元或 80 元．售价定为 60 元时，应进货 400 件；售价定为 80
斤（用含 x 的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
数学九年级上册一元二次方程的应用--知识讲解(基础)
一元二次方程的应用--知识讲解（基础）【学习目标】1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一 般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)na xb -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【答案与解析】设其中一个数为x ，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x 2-12x+32＝0解得 x 1＝4，x 2＝8，当x ＝4时12-x ＝8；当x ＝8时12-x ＝4．所以这两个数是4和8．【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x ，那么另一个数便可以用x 表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．举一反三：【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：数字问题 例1】【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.【答案】设个位数字为x ，则十位数字为(2)x -.由题意，得： 10(2)+3(2)x xx x -=- 整理，得：2317200x x -+=解方程，得：(35)(4)0x x --=∴ 15,3x = 24x = 经检验，53x =不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验） ∴当4x =时, 2x -=2∴10(2)102424x x -+=⨯+=答：这个两位数为24.类型二、平均变化率问题2． 2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元．(1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；(2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元?【答案与解析】(1)设从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x ，由题意得5(1+x)2＝8.45．解得x 1＝30%，x 2＝-2.3(不合题意，舍去)．答：从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%．(2)这三年共投资5+5(1+x)+8.45＝5+5(1+0.3)+8.45＝19.95(亿元)答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共19.95亿元．【总结升华】本题是常见的增长率问题，要理解a(1+x)n ＝b(其中a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长的次数，b 是增长到的量)的含义．原来的量经过一次增长后达到a(1+x)；在这个基础上，再增长一次即经过第二次增长后达到a(1+x)(1+x)＝a(1+x)2；在这个基础上，再增长一次即经过三次增长后达到a(1+x)(1+x)(1+x)＝a(1+x)3；…；依次类推．举一反三：【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：增长率问题例3】【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.【答案】设平均每次降价率为x ，则第一次降价为600x ，降价后价格为：600600600(1)x x -=-，第二次降价为：600(1)x x -⋅，降价后价格为： 600(1)x --600(1)x x -⋅2600(1)x =-.根据题意列方程，得：2600(1)384x -=216(1)25x -= 415x -=± ∴115x =， 295x = 295x =不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验） ∴0011205x == 答：平均每次下降率为0020.类型三、利润（销售）问题3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?【答案与解析】设每件商品的售价为a 元．根据题意，得(a-21)(350-10a)＝400．∴ a 2-56a+775＝0，∴ (a-25)(a-31)＝0，∴ a-25＝0或a-31＝0，∴ a 1＝25，a 2＝31．当a ＝31时，加价31-21＝10，不合题意，舍去．∴ 350-10a ＝350-10×25＝100．答：每件商品售价为25元，需要卖出100件商品．【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须进行检验．类型四、形积问题4．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．【答案与解析】设草坪ABCD的BC边长x米，则宽AB为根据题意，得整理得：x2-32x+240＝0，∴ (x-12)(x-20)＝0．解得：x1＝12，x2＝20又由题意知：BC≤16．∴ x＝20(不合题意，舍去)．∴该矩形草坪BC边的长为12米．【总结升华】1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；2．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．。
一元二次方程解法与应用(1对1辅导精品)
一元二次方程解法与应用【知识要点】1. 一元二次方程你知道有哪些常用解法？2. 还记得如何用配方法解方程吗？3. 因式分解法解方程的理论依据是什么？4. 如何解决实际应用中的增长率和经营问题?【典型例题】例1判断下列方程是不是一元二次方程：（1）12=-y x （2）1142=+x （3）01=-xy（4）322=+x x （5）()112=+-k x a （a 、k 是常数）（6）()()()()1121122-+-=++-x x x x x x例2．当m 为何值时，方程m x mx mx +=-22523是关于x 的一元二次方程？例3．用适当的方法解下列方程：（1）()512=-x （2）()162812=-x（3）0542=--x x （4）0222=+-a ax x例4．用配方法解下列方程(1) 01522=+-x x (2) 1842-=--x x(3) )04(022≥-=++q p q px x (4) ()()()0112=-++-y y y y例5．用适当的方法解方程（1）2)3(4532-+=+x x x x （2）6)3)(2(=--x x（3）06232=+--x x x （4）)21(3)12(2y y -=-例6．容器盛满纯酒精50升，第一次倒出一部分纯酒精后用水加满，第二次又倒出同样多的酒精溶液，再用水加满，这时容器里的溶液含纯酒精32升，求每次倒出溶液的升数．例7 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2.8元现售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出54时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？* 例8.已知1313+-=a ，求4565234+-+-a a a a* 例9.小强有5张人民币，面值合计20元。
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课
题
一元二次方程的应用
1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。
2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。
3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。
教学目标
重点、难点 考点及考试要求
会运用一元二次方程解决简单的实际问题 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题
教
第一课时
学
内
容
一元二次方程的应用知识梳理
课前检测
1.已知三角形两边长分别为 2 和 9,第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根, 则这个三角形的周 长为( A.11 ) B.17 C.17 或 19 D.19
2.已知两数的积是 12,这两数的平方和是 25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）. (3 x)2 x2 5 （2）. x2 2 3x 3 0
4．若方程（m－2）xm2－5m+8+(m+3)x+5=0 是一元二次方程，求 m 的值
5.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2kx+
1 2 k -2=0. 求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. 2
知识梳理
、答 步骤：设、列、解、验 增长率（降低率）问题 利润问题 1. 一元二次方程的实际应用 常见类型面积问题 数字问题 动点问题
2. 解题循环图：
3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。
（2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。
第二课时
一元二次方程的应用典型例题
典型例题
考点一：增长率（降低率）和利润问题
（一）增长率（降低率）问题： 【例 1】某工厂今年 3 月份的产值为 100 万元，由于受国际金融风暴的影响，5 月份的产值下降到 81 万元，求平均每月产值下降的百分率．
（二）利润问题： 【例 2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元。
为了扩大销售，增加赢利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低 1 元，商 场平均每天可多售出 2 件，求： （1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
变 1.常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企 业 2008 年完成工业总产值 440 亿元， 如果要在 2010 年达到 743.6 亿元， 那么 2008 年到 2010
年的工业总产值年平均增长率是多少？ 《常德工业走廊建设发展规划纲要 （草案） 》 确定 2012 年走廊内工业总产值要达到 1200 亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？
变 2.将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时， 就能卖出 500 个.已知这种商品每个涨价 1 元， 其销 售量就减少 10 个，问为了赚得 8000 元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
考点二：面积 数字及动点问题
三）面积问题： 【例 1】某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2 :1 ．在温室内，沿前侧内墙保 留 3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬 菜种植区域的面积是 288m ？
前 侧 空 地
2
蔬菜种植区域
（四）数字问题： 【例 2】 一个两位数等于它个位上的数字的平方， 个位上的数字比十位上的数字大 3， 求这个两位数。
（五）动点问题： 【例 3】如图，在 RtAC B 中， C 90 ，点 P、Q 同时由 A、B 两点出发分别 沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s。
几秒后 PCQ 的面积为 RtACB 面积的一半？
变 3.如图， 在长为 10cm， 宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形， 使得留下的图形 （图 中阴影部分）面积是原矩形面积的 80％，求所截去小正方形的边长。
变 4.某电脑公司 2008 年的各项经营收入中， 经营电脑配件的收入为 600 万元， 占全年经营总收入的 40%，该公司预计 2010 年经营总收入要达到 2160 万元，且计划从 2008 年到 2010 年，每年经营总收 入的年增长率相同，问 2009 年预计经营总收入为多少万元？
变 5.如图所示,某小区规划在一个长为 40 米,宽为 26 米的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的甬路, 使其中两条与 AB 平行,另一条与 AB 垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为 144 米 2,求 甬路的宽度?
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