初中一对一精品辅导讲义：一元二次方程应用

课
题
一元二次方程的应用
1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。
教学目标
重点、难点考点及考试要求
会运用一元二次方程解决简单的实际问题 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题
教
第一课时
学
内
容
一元二次方程的应用知识梳理
课前检测
1.已知三角形两边长分别为 2 和 9,第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根, 则这个三角形的周长为( A.11 ) B.17 C.17 或 19 D.19
2.已知两数的积是 12,这两数的平方和是 25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）. (3 ? x)2 ? x2 ? 5 （2）. x2 ? 2 3x ? 3 ? 0
4．若方程（m－2）xm2－5m+8+(m+3)x+5=0 是一元二次方程，求 m 的值

5.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2kx+
1 2 k -2=0. 求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. 2
知识梳理
、答 ?步骤：设、列、解、验 ? ?增长率（降低率）问题 ? ? ? ? ?利润问题 1. 一元二次方程的实际应用 ? ? ?常见类型?面积问题 ?数字问题 ? ? ? ? ? ?动点问题 ?
2. 解题循环图：
3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是：（1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。（2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。
第二课时
一元二次方程的应用典型例题

典型例题
考点一：增长率（降低率）和利润问题
（一）增长率（降低率）问题：【例 1】某工厂今年 3 月份的产值为 100 万元，由于受国际金融风暴的影响，5 月份的产值下降到 81 万元，求平均每月产值下降的百分率．
（二）利润问题：【例 2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，求：（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
变 1.常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业 2008 年完成工业总产值 440 亿元，如果要在 2010 年达到 743.6 亿元，那么 2008 年到 2010

年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定 2012 年走廊内工业总产值要达到 1200 亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？
变 2.将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时，就能卖出 500 个.已知这种商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，问为了赚得 8000 元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
考点二：面积数字及动点问题
三）面积问题：【例 1】某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2 :1 ．在温室内，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m ？
前侧空地
2
蔬菜种植区域
（四）数字问题：【例 2】一个两位数等于它个位上的数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大 3，求这个两位数。

（五）动点问题：【例 3】如图，在 Rt?AC B 中， ?C ? 90? ，点 P、Q 同时由 A、B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s。几秒后 ?PCQ 的面积为 Rt?ACB 面积的一半？
变 3.如图，在长为 10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的 80％，求所截去小正方形的边长。
变 4.某电脑公司 2008 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 600 万元，占全年经营总收入的 40%，该公司预计 2010 年经营总收入要达到 2160 万元，且计划从 2008 年到 2010 年，每年经营总收入的年增长率相同，问 2009 年预计经营总收入为多少万元？
变 5.如图所示,某小区规划在一个长为 40 米,宽为 26 米的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的甬路, 使其中两条与 AB 平行,另一条与 AB 垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为 144 米 2,求甬路的宽度?