类型3 坡度(坡比)问题
坡度坡比的概念
坡度坡比的概念
一、什么是坡比?
坡比，即坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，即坡角的正切值(tan∠a值∠a为斜坡与水平面夹角)。
「亦即
tan∠α」。
通常用“i”表示。
坡比计算公式：
tana=i(坡度)
a表示坡角
二、什么是坡度?
坡度(slope)是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度(或叫做坡比)用字母i表示。
【即坡角的正切值(可写作：i=tan坡角=h:l)】
坡度计算公式：
表示坡度最为常用的方法，即两点的高程差与其水平距离的百分比，其计算公式如下：坡度 = (高程差/水平距离)x100%
使用百分比表示时，
即：i=h/l×100%
例如：坡度3% 是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)3米 ;1%是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)1米。
依次类推.
从坡率和斜率的内容可以看出，两者在计算公式和定义上是有一定区别的。
坡度坡比
1、坡角：坡面与水平面的夹角。
图 19.4.5 2、坡度（或坡比）： 坡面的铅垂高度（h）和水平距离（l）的比。
表示坡度时，通常写成1:m 的形式 3、坡度与坡角的关系： i h tan l
4、应用： （1）能将h、l、c、i各量的计算问题转化为解 直角三角形的问题，这些量中若已知两个量， 可求其他量. （2）在有些实际问题中没有直角三角形，学会 添加辅助线构造直角三角形.
解直角三角形的应用
坡度(坡比)和坡角
i 1: 3
B
6
C
i=1:2.5 23
A
D
i= h : l
坡面
1、坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
α
h
水平面
l
2、坡度（或坡比）
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（l）
h 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—— l 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
B C
i 1: 3
A α D
拓展练习
1、如图,某截面为梯形的水坝上底宽AD=6米, 高为4米,斜坡AB的坡比i=1∶1.2，斜坡DC的 坡角为45° (1)求坝底BC的长； (2)若将坝高再提高0.5米，得梯形EBCF。此 时坝宽EF为多少米？
2、某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道 的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2 米，坡角为45°。实际开挖渠道时，每天比原 计划多挖土20立方米，结果比原计划提前4天 完工，求原计划每天挖土多少立方米。
h α
L
例题 一段铁路路基的横断面为等腰梯形 ABCD，路基顶宽BC为2.8米，路基高为 1.2米，斜坡AB的坡度ｉ=1：1.6 (1)计算路基的下底宽(精确到0.1米)； (2)求坡角(精确到1°) 2.8
坡比
1、坡度2%是：找坡的系数，如屋面找坡，向两侧找2%的坡，屋面总宽20m，那找坡的量应是20/2*0.02/2=0.1m，即平均找坡厚度是10cm；
坡度——通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示。
坡度的表示方法有百分比法、度数法、密位法和分数法四种，其中以百分比法和度数法较为常用。
(1) 百分比法
表示坡度最为常用的方法，即两点的高程差与其水平距离的百分比，其计算公式如下：坡度 ＝ (高程差/水平距离)ｘ100%
使用百分比表示时，
即：i=h/l×100％
例如：坡度3% 是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)3米 ；1%是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)1米 。以次类推！
30° 58% 50%
45° 100% 71%
60° 173% 87%
90° ∞ 100%
例题：
一个斜坡的坡度i=1:2,若某人沿斜坡往上行进100米,则他的高度将上升多少米.
解：因为坡度——通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示。通常使用百分比表示。
那么，就有：高度上升为：100*√5/5=20√5米.
其实坡度简单的讲就是一个直角邻源自（地面的角）的TAN值. (2) 度数法
用度数来表示坡度，利用反三角函数计算而得，其公式如下：
tanα(坡度)＝ 高程差/水平距离
所以α(坡度)＝ tan-1 (高程差/水平距离)
不同角度的正切及正弦坡度
角度 正切 正弦
0° 0% 0%
5° 9% 9%
10° 18% 17%
坡度问题
坡度系数:
在已知b 边长度,c 边长度=b*坡度系数.
坡度系数就是c 和b 的比值. K=c/b
坡度：
即两点的高程差与其水平距离的百分比其计算公式如下：坡度= (高程差/水平距离)x100% 使用百分比表示时，即：i =h/l×100%
放坡系数:
在已知a 边高度(即挖方深度) 的时候,b 边长=a*放坡系数
放坡系数就是b 和a 的比值. 通常用于计算土方.还有找坡:已知b 边长,a 边高度=b*找坡系数. 通常用于楼地面和屋面的找坡.
坡度比:
是1:2，是指坡面的垂直高度h和水平宽度l的比是1：2，也就是说水平宽度l是垂直高度h 的2倍
案例1
别墅坡屋面坡度比是1:1.5投影面积是180平方米请问坡屋面的面积怎么计算
解答：坡度1:1.5,水平为1.5,升高为1,角度a=arctg(1/1.5)=33.7°,斜边长L=1/SIN(a)=1.8,坡屋面面积为S=(1.8/1.5)*180=2160平方米.
斜边长可以这样算L=(1.5^2+1^2)^(1/2)=1.8
案例2
坡度系数1：4,即水平4米,高度为1米
解答：简单说就是底边每延伸1米高度抬高（或下降）2厘米.!以第一个例子来说,他的坡屋面系数为4.123/4（4的平方+1的平方之和再开方,也就是17的开方）,即1.0308,所以1.0308就是坡屋面系数!当你计算斜面屋顶的面积就用1.0308*平面的面积!或者用勾股定理算一下就得出来了.
坡度系数=斜边/底边=l/b
坡度%=对边/底边=h/b。
坡度坡比计算范文
坡度坡比计算范文坡度和坡比是地理学和土木工程领域常用的两个概念，用于描述地表或土地的倾斜程度。
在这篇文章中，我们将详细介绍坡度和坡比的计算方法，并讨论它们在实际应用中的意义。
一、坡度的定义和计算方法1.坡度的定义坡度反映的是地表或土地的倾斜程度，通常用百分比或度数表示。
具体来说，坡度是由一点到另一点的高程差除以两点之间的水平距离，在百分比形式下，坡度等于高程差除以水平距离的乘以100。
2.坡度的计算方法a)三点法：假设我们需要计算点A和点B之间的坡度，可以选择点A、B以及其中间的第三点C，然后计算AC和BC之间的高程差以及AC的水平距离。
坡度等于高程差除以水平距离的乘以100。
b)两点法：如果只有点A和点B的高程数据，可以直接计算AB之间的高程差以及AB的水平距离，然后按照三点法的方法计算坡度。
c)坡度计算器：现代地理信息系统（GIS）软件通常都有坡度计算的功能。
用户只需输入高程数据和两点之间的水平距离，软件就会自动计算出坡度的值。
二、坡比的定义和计算方法1.坡比的定义坡比是指高程差与水平距离之间的比值，是一个无单位的值。
坡比的大小可以用来评估地表的倾斜程度和地形的陡峭程度。
通常，较大的坡比意味着较陡的坡度。
2.坡比的计算方法坡比的计算方法和坡度类似，但是由于坡比是一个比值，所以不需要将其乘以100。
具体计算方法如下：坡比=高程差/水平距离不同国家和领域对于坡比的定义可能有所不同，有些地区也可能使用其他与坡度相关的术语，比如坡度比和坡度百分比。
三、坡度和坡比的应用意义1.地形评估：坡度和坡比是评估地形陡峭程度和地势起伏的重要指标。
在地形分析和地貌研究中，研究人员可以根据坡度和坡比的数值来划分地形类型和地貌单元，比如确定山地、丘陵或平原地区。
2.土地利用规划：坡度和坡比对于土地利用规划和土地资源管理也非常重要。
较陡的坡度和较大的坡比通常会限制土地的利用，比如较陡的坡度不适宜农业活动，而较大的坡比可能导致土壤侵蚀和水土流失。
解直角三角形的典型例题
一、知识概述1、仰角、俯角仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图所示．说明：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角．2、坡角和坡度坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示．则．如图所示说明：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．(2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形．3、象限角象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，北偏西60°，南偏西80°，如：东南方向，指的是南偏东45°角的方向上．如图所示．二、重点难点疑点突破1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了．一般有以下三个步骤：(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；(2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．2、在学习中应注意两个转化(1)把实际问题转化成数学问题这个转化分两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，并赋予字母；二是将已知条件转化成示意图中的边或角．(2)把数学问题转化成解直角三角形问题．如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答案并注明单位．三、典型例题讲解1、测量河宽例1、如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：(1)列出你测量所使用的测量工具；(2)画出测量的示意图，写出测量的步骤；(3)用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离．分析：这是一个实际问题，要求B到CD的距离，可转化为直角三角形，然后在两个直角三角形中，可分别用含有AB的式子表示AC和AD，而AC＋AD=m，可运用解方程的方法求出AB即可．解：(1)测角器、尺子；(2)测量示意图如下图所示；测量步骤：①在公路上取两点C，D，使∠BCD，∠BDC为锐角；②用测角器测出∠BCD=α，∠BDC=β；③用尺子测得CD的长，记为m米；④计算求值．(3)解：设B到CD的距离为x米，作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x=CAtanα，点评：运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)．2、仰角、俯角问题例2、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB.在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°（如图）.问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？分析：解决测量问题要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语.要考查距离B点8米远的保护物是否在危险区内，关键的一点是要测算树AB的高度.解：过点C作CE⊥AB，垂足为E.在Rt△CBE中，在Rt△CAE中，故AB=AE＋BE=≈4×1.73=6.92（米）＜8（米）.因此可判断该保护物不在危险区内.3、坡角、坡度(坡比)例3、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？分析：首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角形的问题．点评：(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称．(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形．(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边．4、象限角例4、如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示．船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠CAB=90°－60°=30°，∠ABC=90°＋30°=120°，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题．解：根据题设可知△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=180°-30°-120°=30°,AB=BC=8，作CD⊥AB于D．∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度．在Rt△CBD中，BC=8，∠CBD=60°，点评：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障．5、开放探究题例5、(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°．(1)请问1号救生员的做法是否合理？(2)若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点B？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，)分析：(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断．(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间，再作判断．点评：掌握探究题的探究方法非常重要，本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题，如何准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键．。
24.4.3坡度、坡角问题课件
4.得到实际问题的答案.
课堂小结
3.
4.
P.121 12.； P123页13
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
D
12.51
C
28⁰
【分析】
4.2 A
32⁰
E 12.51 F
B
（1）对于梯形问题通常怎么做辅助线？把它转化成 什么问题？ （2）要求下底AB的长，可以分别求哪些线段的长？ （3）怎么求AE，BF？
变式训练：
如图，某地计划在河流的上游修建一条 拦水大坝。大坝的横断面ABCD是梯形， 坝顶宽BC=6米，坝高25m，迎水坡AB的坡 度 i=1： ，背水坡CD的坡角为450 求（1）求坡角α ; （2）求拦水大坝的底面AD的宽.
——坡度、坡角
裴营一初中 余超
学习目标
1、知道坡度、坡角的意义。 2、能将h、L、i各量的计算问题转化为 解直角三角形的问题，这些量中若已知 两个量，可求其他量. 3、会运用解直角三角形有关知识解决 与坡度、坡角有关的实际问题。 4、在有些实际问题中没有直角三角形， 学会添加辅助线构造直角三角形.
知识回顾
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； ； (2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: sinA＝ a b cosA＝ c a tanA＝ b Ａ Ｂ
坡度坡比问题
02:07
巩固练习:
水库大坝横断面为梯形ABCD，坝顶BC为10米，坝底 AD为30米，斜坡AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i=1:2， 求坝高。
BC
A
D
02:07
BC
A
D EF
解：分别过点B、C作BEAD于点E，CF AD于点F，
则四边形BEFC为矩形，设BE=x米
∴EF=BC=10 BE=Байду номын сангаасF=x
在Rt△ABE中，∠AEB=90° tanA=i=1/3
∴AE=BE/tanA=3x
在Rt△CDF中，∠CDF=90° tanD=i=1/2.5
∴DF=CF/tanD=2x
又∵AD=AE+EF+FD=30 即3x+10+2x=30
∴x=4
答：坝高为4米。
02:07
解后反思
梯形
过D、C作高 分割 D
两个直角三角形和矩形 C
A
B
02:07
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
劳动教养了身体，学习教养了心灵。 —— 史密斯
第24章
第3课时 坡度问题
华东师大版 九年级上册
回顾导入 思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
02:07
探索新知 坡 度
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都 要注明斜坡的倾斜程度.
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的
比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i，即i= h .