气体的流速计算伯努利方程 (2)
§1-2伯努利方程及其应用
§1-2伯努利方程及其应用
例1.3 如图1—5所示,液槽内离开液面h处开一小孔。液体密度为ρ, 液面上方是空气,它被液槽盖封闭住,其绝对压强为p,在液槽侧面小 孔处的压强为大气压强p0。当p>>p0时,试证明小孔处的液流速度 为： v2 = 2( p − p0 ) / ρ
解:将整个流体当作一个流管,用 v1和v分别表示水面处和 2 孔口处的流速。由连续性方程知 v 2 且因为S1>>S2,故 v 2 >> v1 可以近似地取 v1 = 0
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
大 学 物 理
主讲教师：杨宏伟
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
一 、 伯努利方程 伯努利方程是由瑞士物理学家伯努利 （D.Bernoulli）提出来的，是理想流体 作稳定流动时的基本方程，对于确定流 体内部各处的压力和流速都有很大的实 际意义,在水利、造船、航空航天等部门 有着广泛的应用。
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
例1.2水管里的水在压强P=4×105Pa的作用下流入房 间，水管内直径为2.0cm,管内水的流速为4m/s。引入 到5m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm，试求浴 室内水的流速和压强（已知水的密度ρ=1000kg/m3）。 解：由连续性原理知
2
S1v1 = S 2 v2
A
B
将整个管子作流管，由连续性方 程 S1v1 = S 2 v2 以及伯努利方程 (1-5) 2
C
D E
p + 0.5 ρv = 恒量
图1—6 空吸作用 图1—6 空吸作用
第一章 流体的运动 由于 S1 >> S 2
浅析气体动力学原理——伯努利方程例解
浅析气体动力学原理——伯努利方程例解气体动力学作为一门研究物体运动的科学，是研究物理学的重要组成部分。
在气体动力学中有许多定律，伯努利方程是其中最基础也最重要的定律之一。
本文将对伯努利方程的原理及其在例题中的解法进行浅析。
一、伯努利方程原理伯努利方程（Bernoulli equation），又称为贝纳方程，是气体动力学的基本方程，由拉丁物理学家Daniel Bernoulli于1738年发现，他发现在一个恒定的系统中，当沿着系统上流动的流体（一般情况下是气体）改变速度和高度，其内能总量是不变的，这一定律叫做伯努利定律。
伯努利方程可以概括为：P +γV +gh = k（γ是气体的比容系数，V是气体流速，h是气体高度，P是气体压强，g是重力加速度，k是常数）式中，其中P +γV体现了气体的动能，gh表示气体的位能，两者之和即为气体的总能量，而k则表示该总能量在系统中是恒定的。
二、伯努利方程在例题中的解法1.设有一个气体在一定的容器中，容器的高度是 h1，而此时气体的压强为P1，流速为V1，则由伯努利方程可知：P1 +γV1 +gh1 = k2.气体流出容器时，留下来的气体高度为h2，压强为P2，流速为V2，由伯努利方程可知：P2 +γV2 +gh2 = k3.上面两公式代入可得：P1 +γV1 +gh1 = P2 +γV2 +gh24.两边中的P1,V1,h1分别消去可得：P2 =γ(V2 - V1) +(h2 - h1)5.此可以看出，当流体从一个容器流出到另一容器时，流体的压强受其高度的变化以及流体的流速变化的影响。
三、结论伯努利方程是气体动力学中重要的基础定律，它描述了在一定系统中流体运动时总能量保持不变的定律。
本文通过一个具体的例子，讲解了伯努利方程的原理及其在例题中的解法，从而使我们对伯努利方程有了更深的理解。
气体的流速计算伯努利方程
不可压缩气流的伯努利方程公式及意义由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。
下面为气流伯努利方程：气流的密度为ρ，外部空气的密度为ρa，p1、p2为1-1、2-1断面上的静压，ρυ1^2/2、ρυ2^2/2是动压，（ρa-ρ）g是单位体积气体所受的有效浮力，（z2-z1）是气体沿浮力方向升高的距离，（ρa-ρ）g（z2-z1）是1-1断面相对于2-2断面单位体积气体的位能（称为位压），pw是压强损失。
当气流的密度与外界空气的密度相同时或两计算点的高度相同时，上式可以简化为：其中静压和动压之和称为总压。
当气流的密度远大于外界空气的密度时，此时相当于液体总流前一式中的ρa可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，可以简化为：注意事项（1）动能修正系数动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。
由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。
所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。
（2）气流能量方程应采用压强量纲能量方程用于液体时，因液体中水头概念很直观具体，采用长度量纲很方便。
但是气体流动则不同，由于气体重度γ很小，压强一般比较大，水头概念不明确。
所以一般采用压强量纲。
（3）气流能量方程应采用绝对压强其原因是：方程中两个过流断面之间的高差比较大时，由于不同高度大气压强不同，而导致两断面相对压强的起算基准不同。
因此，将总流能量方程的两端，直接代入该断面处得相对压强值进行计算，必定会产生误差。
有能量输入或输出的伯努利方程总流伯努利方程是在两过流断面间除水头损失之外，再无能量输入或输出的条件下导出的。
3章2伯努利方程
其中，H为水泵的扬程，[mH2O]
3、涡轮机
V12 p2 V22 ( gz1 ) ( gz2 ) N 2 2 p1
其中，N为涡轮机的输出功，[J/kg]
§3-8 非定常的伯努利方程
非定常一元流动的运动方程：
z 式中f s g s
u u 1 p u fs t s s
p1 V12 p2 V22 ( z1 1 )Q1 ( z2 2 )Q2 g 2g g 2g
Q1 Q2 p1 V12 p2 V22 z1 1 z2 2 g 2g g 2g
z, p 通常在截面中心取值。
它与流线上的伯努利方程在形式上相同，如果计 算点速度就用流线形式，如果计算平均流速就用 此式。
A A
( p pa )ndA ( p pa )ndA ( p pa )ndA
A1
A2
A0
( p1 pa )n1 A1 ( p2 pa )n2 A2 F
F ( p p )n A ( p p )n A QV QV
应用1．水流对弯管的作用力
分析管壁受力
设：为固定弯管所需外力为F
则F ( p p )n dA 0
A0 a 0
即 F ( p p )n dA
A0 a 0
分析控制体内水的受力
（弯管水平，不计重力，f项不计）
pndA ( p pa )ndA
d 2x 2 x0 2 dt
例 习题3-21
水库的出水管设有调压井, 已知 l,d,h,D,求调压井水面的震荡周期 解: s 2 2
3章2伯努利方程
A(zpg)dQ(zpg)Q
令u2udAV2VA
A2g
2g
V为截面平均速度
1 (u)3dA称为(动 通能 )量 修正系数 AA V
对圆管层流，α=2， 工程上的管流为紊流，α≈1
(z1p g 11V 2 1 g 2)Q 1(z2p g 22V 22 g 2)Q 2
用于测点速度.
沿流线伯努利方程
z0pg0 u20g2 z1pg1 u21g2
静压管和总压管
z0z1,u00,
u1 2gp0 gp1
伯努利方程应用
3、小孔定常出流
对0—0和1—1：
z0pga z1pga 1V 21g2
11,z0z1h V1 2gh 平均速 度
2
gzpV2 const单位：Pa
2
z
p
g
V2 2g
const
单位：mH2O
伯努利方程应用
1、静压管、总压管测速度
p u2 p 1 0
g 2g g
P0=Pa+ρ g(Δh+x)
P1=Pa+ρ g x
u1
2gp0p1
g
2gh
伯努利方程应用
2、 毕 托管 (Pitot Tube) 测流速
z1pg 11V 21 g 2z2pg 22V 22 g 2
V1A1 V2A2 V1 V2 A2 A1 (d D)2
V2
2g 1(d)4
(z1
z2
p1p2)
g
D
文丘里流量计
如果用水银压差计测压差则有
p1+ρ g(x+Δh)=p2+ρ g(z2-z1+x)+ρ ’gΔh
压力与流速的计算公式
压力与流速的计算公式压力和流速是流体力学中常用的两个物理量，它们的计算公式主要依赖于流体的类型以及流体在管道、管道中的速度和流量等因素。
下面将分别介绍压力和流速的计算公式。
1.压力的计算公式：压力是指单位面积上的力，计算压力时需要考虑垂直于所选面积的力的大小。
压力可以用下述公式计算：P=F/A其中，P表示压力，F表示作用在面积上的力，A表示所选面积。
在流体力学中，压力计算的常见公式有：(1) 托利密度定律（Torr或mmHg）：P=h*ρ*g其中，P表示压力，h表示液体的柱状高度，ρ表示液体的密度，g 表示重力加速度。
注：托利密度定律适用于非粘稠流体（如水）的静态压力计算。
(2)理想气体状态方程：P=n*R*T/V其中，P表示压力，n表示气体的摩尔数，R表示气体常数，T表示气体的温度（单位为开尔文），V表示气体的体积。
注：理想气体状态方程只适用于理想气体（假设气体分子之间没有相互作用）。
(3)伯努利方程：P1+1/2*ρ*v1^2+ρ*g*h1=P2+1/2*ρ*v2^2+ρ*g*h2其中，P1和P2表示两个位置的压力，ρ表示流体密度，v1和v2表示两个位置的流速，g表示重力加速度，h1和h2表示两个位置的高度差。
注：伯努利方程适用于光滑无粘扰的流体。
2.流速的计算公式：流速是指单位时间内通过一些截面的流体体积，常用的流速计算公式有：(1)流量公式：Q=A*v其中，Q表示流量，A表示截面积，v表示流速。
(2)泊肃叶定理：A1*v1=A2*v2其中，A1和A2表示两个截面的面积，v1和v2表示在两个截面上的流速。
(3)管道柱塞流速公式：v=(2*g*h)^0.5其中，v表示流速，g表示重力加速度，h表示所测得的压头。
(4)流动能量方程：(P1/ρ)+(v1^2/2g)+h1=(P2/ρ)+(v2^2/2g)+h2其中，P1和P2表示两个截面的压力，ρ表示密度，v1和v2表示两个截面的流速，h1和h2表示两个截面的高度。
流速计算
1、流速计算：按照伯努利方程，假设条件为水平管，管口为大气压。
则p1+ρ1gz1+(1/2)*ρ1v1^2=p2+ρ2gz2+(1/2)*ρ2v2^2由于ρ1gz1=ρ2gz2；v1=0；p2=0.1MPa；ρ2为水的密度=1000kg/m3；p1=1.1MPa(管道内的绝对压力）；公式化简为：p1=p2+(1/2)*ρ2v2^2按照已知条件计算得出v2=44.72m/s这是管道敞口端的计算流速，实际中不会有这么高，因为管道敞口端压力不一定是大气压。
2、流量计算：Q=ρ.s.v2=1000*3.14/4*0.2*0.2*44.72=1404 kg/s每小时的出水量=1404*3600/1000=5054（吨）这个计算值明显偏大，但是计算结果是这样，我无奈。
根据我实际中见到的自来水管道的水量估算，压力为4公斤，管径为DN40，每小时最大的流量大概16吨。
按照这个比例折下来你的管子每小时流量大概为1000吨。
DN15、DN25、DN50管径的截面积分别为：DN15：15²*3.14/4=176.625平方毫米，合0.0177平方分米。
DN25：25²*3.14/4=490.625平方毫米，合0.0491平方分米。
DN50：50²*3.14/4=1962.5平方毫米，合0.1963平方分米。
设管道流速为V=4米/秒，即V=40分米/秒，且1升=1立方分米，则管道的流量分别为（截面积乘以流速）：DN15管道：流量Q=0.0177*40=0.708升/秒，合2.55立方米/小时。
DN25管道：流量Q=0.0491*40=1.964升/秒，合7.07立方米/小时。
DN50管道：流量Q=0.1963*40=7.852升/秒，合28.27立方米/小时。
注：必须给定流速才能计算流量，上述是按照4米/秒计算的。
任何气体流量的计算都可以用密度乘速度乘面积来计算，你给的条件中面积已经知道了，密度可以通过压力和温度来计算(用理想气体公式或者查表)，速度虽然计算不出来，但是可以用两个公式解方程得到。
伯努利方程三种公式
伯努利方程三种公式
伯努利方程三种公式如下：
P1/ρg+h1+ν²1/2g=C(constant value)。
ρg(P1/ρg+h1+ν²1/2g)=C(another constant value)。
i.e.P1+h1ρg+1/2ρv^2=C。
式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。
它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。
相关内容：
使用伯努利定律必须符合以下假设，方可使用；如没完全符合以下假设，所求的解也是近似值：
1、定常流：在流动系统中，流体在任何一点之性质不随时间改变。
2、不可压缩流：密度为常数，在流体为气体适用于马赫数(Ma)<0.3。
3、无摩擦流：摩擦效应可忽略，忽略黏滞性效应。
4、流体沿着流线流动：流体元素沿着流线而流动，流线间彼此是不相交的。
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公式及意义
由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。
下面为气流伯努利方程：
气流的密度为ρ，外部空气的密度为ρa，p1、p2为1-1、2-1断面上的静压，ρυ1^2/2、ρυ2^2/2是动压，
（ρa-ρ）g是单位体积气体所受的有效浮力，（z2-z1）是气体沿浮力方向升高的距离，（ρa-ρ）g（z2-z1）是1-1断面相对于2-2断面单位体积气体的位能（称为位压），pw是压强损失。
当气流的密度与外界空气的密度相同时或两计算点的高度相同时，上式可以简化为：其中静压和动压之和称为总压。
当气流的密度远大于外界空气的密度时，此时相当于液体总流前一式中的ρa可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，可以简化为：
注意事项
（1）动能修正系数
动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。
由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。
所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。
（2）气流能量方程应采用压强量纲
能量方程用于液体时，因液体中水头概念很直观具体，采用长度量纲很方便。
但是气体流动则不同，由于气体重度γ很小，压强一般比较大，水头概念不明确。
所以一般采用压强量纲。
（3）气流能量方程应采用绝对压强
其原因是：方程中两个过流断面之间的高差比较大时，由于不同高度大气压强不同，而导致两断面相对压强的起算基准不同。
因此，将总流能量方程的两端，直接代入该断面处得相对压强值进行计算，必定会产生误差。
有能量输入或输出的伯努利方程
总流伯努利方程是在两过流断面间除水头损失之外，再无能量输入或输出的条件下导出的。
当两过流断面间有水泵、风机或水轮机等流体机械时，则存在机械能的输入或输出。
在这种情况下，根据能量守恒原理，计入单位重量流体流经流体机械获得或失去的机械能Hm，总流能量方程便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程:
两断面间有分流或汇流的伯努利方程
恒定总流的伯努利方程是在两过流断面间无分流或汇流的条件下导出的，而实际的输水、供气管道，沿程大多都有分流或汇流。
在这种情况下应用上下游断面之间全部重量流体的能量守恒原理写出能量方程。
非恒定总流伯努利方程
以上的总流的伯努利方程都是恒定总流，下面补充非恒定总流的伯努利方程。
hw为非恒定总流的水头损失，hi是单位重量流体的惯性水头。