昆明市2018届高三复习适应性检测(理科)数学试卷及答案

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云南省昆明一中2018届高三考前适应性训练数学(理)试卷及答案

云南省昆明第一中学2018届高三第八次月考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}ln A x y x ==，集合{}xB y y e==，则集合A 与B 的关系是（）A ． AB = B ．A B ≠⊂ C ．B A ≠⊂ D ．A B ∈2.在复平面内，复数z 与复数103i+对应的点关于实轴对称，则z =（） A ．3i + B ．3i - C ．3i -+ D ．3i --3.某班有50人，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()110,100N ．已知()1001100.34P x <≤=，估计该班本次考试学生数学成绩在120分以上的有（） A ．5人 B ．6人 C ．7人 D ．8人4. ()62111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为（） A ．14- B ．14 C. 15 D ．305.已知点F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，O 为坐标原点，若以F 为圆心，FO 为半径的330x y -+=相切，则抛物线C 的方程为（）A ． 22x y = B ．24x y = C. 26x y = D ．28x y =6.已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示，若图中在点,A D 处()f x 取得极大值，在点,B C 处()f x 取得极小值，且四边形ABCD 的面积为32，则ω的值是（） A ．18 B ．14 C. 8π D ．4π7.已知函数()f x x =，函数()2g x x =-，执行如图所示的程序框图，若输入的[]3,3x ∈-，则输出m 的值为()g x 的函数值的概率为（） A ．16 B ．14 C. 13 D ．128.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11,,*,2n n n S S S n N n -+∈≥构成等差数列，且122,4a a =-=-，则6a =（） A ． 64- B ．32- C. 16 D ． 649.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 是双曲线C 底面右顶点，点M 是双曲线C 上一点，MA 平分12F MF ∠，且12:2:1MF MF =，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3 C. 2 D ．310.过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 的平面α与直线1AC 垂直，且平面α与平面11ABB A 的交线为直线l ，平面α与平面11ADD A 的交线为直线m ，则直线l 与直线m 所成角的大小为（）A ．6π B ．4π C. 3π D ．2π11.已知ABC ∆的面积为6，4cos 5A =-，P 为线段BC 上一点，2BP PC =u u u r u u u r ，点P 在线段,AB AC上的投影分别为,Q R ，则PQR ∆的面积为（） A ．625 B ．1225 C. 3225 D ．362512.已知定义在()0,+∞上的函数()()222,6ln 4f x x m h x n x nx =-=-，其中0n >，设两曲线()y f x =与()y h x =有公共点，且在公共点处的切线相同，则mn的最大值为（） A ．163e -B ．133e -C. 1332e D ．2313e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若,x y 满足约束条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≤⎩，则函数2z x y =+的最小值为．14.在数列{}n a 中，112a =，且()11*2n n a n N a +=∈-，设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，则100T = ．15.定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()xf xg x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是．16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点Q 是1BDC ∆内的动点，若1PQ BC ⊥，则点Q 到平面1111A B C D 的距离的范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-u r r ，且2cos p q C ⋅=u r r（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c a b =+=ABC ∆中边上的高h .18.某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：（Ⅰ）根据以上22⨯列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？（Ⅱ）从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数X 的分布列及数学期望.参考公式：()()()()()22=n ad bc a b c d a c b d κ-++++，其中=n a b c d +++参考数据：()0P K k ≥0.05 0,。

云南省昆明市2018届高三下学期统测数学

云南省昆明市2018届高三下学期统测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4B．3C．2D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A．B．7C．5D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120B．﹣60C．60D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48B．36C．30D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2B．3C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O 的直径，当三棱锥P ﹣ABC 的体积最大时，设二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为θ，则sinθ=（） A ． B ．C ．D ．12．抛物线M 的顶点是坐标原点O ，抛物线M 的焦点F 在x 轴正半轴上，抛物线M 的准线与曲线x 2+y 2﹣6x +4y ﹣3=0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上的一点，若•=﹣4，则点A 的坐标是（）A ．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B ．（1，2）或（1，﹣2）C ．（1，2）D ．（1，﹣2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为．14. 若函数()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0x =处的切线方程为31y x =-+，则ω= ．15. 表面积为16π的球面上有四个点,,,P A B C ，且ABC ∆是边长为角形，若平面PAB ⊥平面ABC ，则棱锥P ABC -体积的最大值为． 16. 某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有种．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2. （1）求AD 的长；（2）求CBD ∆的面积.18.根据“2015年国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，从2011 年到2015 年，我国的第三产业在GDP中的比重如下:（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立第三产业在GDP中的比重y关于年份代码x的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017 年我国第三产业在GDP中的比重. 附注:回归直线方程$$y a bx=+$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1122211()()()()n ni i i ii in ni ii ix y nx y x x y ybx n x x x====---==--∑∑∑∑$, $a y bx=-$.19. 如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥平面111,1,2BCC B AC BC BB ===， 160B BC ∠=o .（1）证明:1B C AB ⊥；（2）已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45o ，求1BEBB 的值. 20. 在直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆221:20O x x y ++=外切，同时与圆222:2240O x y x +--=内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明:OS OT g 为定值.21. 已知函数()()1ln 11x x f x e -++=.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()()232'g x x x f x =++(其中()'f x 为()f x 的导函数) ，证明:1x >- 时，()21g x e <+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122(2x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程；（2）若将曲线1C倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x =+.（1）解不等式()241f x x <--；（2）已知()10,0m n m n +=>>，若不等式()11x a f x m n--≤+恒成立，求实数a 的取值范围.云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题参考答案1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4B．3C．2D．1【考点】子集与真子集．【分析】若集合A有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．【解答】解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A．B．7C．5D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件对两边平方，从而可求出，这样即可求出的值，进而求出的值．【解答】解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120B．﹣60C．60D．120【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．==（﹣1）r x10﹣2r，【解答】解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d【考点】函数的零点．【分析】由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），由函数零点的定义求出对应方程的根，画出g（x）和直线y=2017的大致图象，由条件和图象判断出大小关系．【解答】解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48B．36C．30D．24【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2B．3C．D．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．30【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】将函数f（x）化简成只有一个函数名，对称中心得到对称轴的距离的最小值为，可得T=π．根据f（x0）=，≤x0≤，求出x0，可得cos2x0的值．【解答】解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点F（1，0），根据抛物线的方程设A（，y0），则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），再由•=﹣4，可求得y0的值，最后可得答案．【解答】解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题13. 8 14. 3 15.3 16.12三、解答题17. 解：(1)由已知11sin2sin222ABDS AB BD ABD ABD∆=∠=⨯∠=g g，所以sin ABD∠=，又0,2ABDπ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos ABD∠=ABD∆中，由余弦定理得：2222cos5AD AB BD AB BD ABD=+-∠=g g g，所以AD=(2)由AB BC⊥，得2ABD CBDπ∠+∠=，所以sin cos5CBD ABD∠=∠=，又42,sin2sin cos5BCD ABD BCD ABD ABD∠=∠∠=∠∠=g，222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBDππππ⎛⎫∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠⎪⎝⎭，所以CBD∆为等腰三角形，即CB CD=，在CBD∆中，由正弦定理得：sin sinBD CDBCD CBD=∠∠，所以sin51155455,sin4sin42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCDBCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠gg g.18. 解：(1)数据对应的散点图如图所示：(2)3,47.06x y ==，1122211()()151.510()()n ni iiii i nni i i i x y nx y x x y y bx n x x x ====---====--∑∑∑∑$, $42.56ay bx =-=$ ，所以回归直线方程为$1.542.56y x =+.(3)代入2017 年的年份代码7x =，得$1.5742.5653.06y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，预计到2017年，我国第三产业在GDP 中的比重将达到0053.06. 19. 解：(1)证明：在1BCB ∆中，111,2,60BC BB B BC ==∠=o，则1B C ==22211BC B C BB +=，故1B C BC ⊥.所以AC ⊥平面11BCC B ，于是1AC B C ⊥，又BC AC C =I ，故1B C ⊥平面ABC ，所以1B C AB ⊥.(2)如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则())()()10,0,0,,0,1,0,0,0,1C B B A ，由11BB CC =u u u r u u u u r，得)11,0C -，设()1BE BB λλ=0≤≤1u u u r u u u r，则),1,0Eλ-，于是))1,1,1,1,1AE AC λ=--=--u u u r u u u u r，求得平面1AEC的一个法向量为(n λ=-r ，取平面1EC C 的一个法向量为()0,0,1m =u r，又二面角1A EC C --为45o ，则cos 45m n m n ===ou r r g u r r g ，解得12λ=或2λ=（舍），所以1BE BB 的值为12. 20. 解：(1)由圆221:20O x x y ++=，得()2211x y ++=，所以()11,0O -，半径为1；由圆222:2240O x y x +--=，得()22125x y -+=，所以()21,0O ，半径为5，设动圆圆心(),M x y ，半径为R ，因为M e 与1O e 外切，所以1R 1MO =+，又因为M e 与2O e 外切，所以25R MO =-，将两式相加得12126MO MO OO +=>，由椭圆定义知，圆心M 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，则229,8a b ==，所以动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y +=. (2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，则()11,B x y -，由题意知01x x ≠±.则1010AP y y k x x -=-，直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-，令0y =，得011010S x y x yx y y -=-，同理()()011001101010T x y x y x y x y x y y y y --+==--+，于是222201100110011022101010S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+-g g ，又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上，故2222010181,8199x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22222222222222011001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()222222010110222210018989x x x y x y OS OT y y x x --===--g . 21. 解：(1)函数()f x 的定义域为()()()111ln 111,,'x x x f x e---++-+∞=，由于()()1'00,1ln 11f y x x ==--++在()1,-+∞上是减函数，所以当10x -<<时，()'0f x >；当0x >时，()'0f x <.所以()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为()0,+∞.(2)由()()()()21'g x x x f x =++，①当0x ≥时，由(1) 知()'0f x ≤，所以()201g x e ≤<+.② 当10x -<<时，()()()()()()()1111ln 121ln 1121x x x x x x x x g x x x e e ----++--++⎡⎤⎣⎦+=++=()()()2121ln 1x x e x x x e ++=--++⎡⎤⎣⎦gg ，构造函数()()12x h x e x +=-+，则()1'10x h x e +=->，则当10x -<<时，()()()112210,01x x x h x e x h e+++=-+>-=∴<<，易知当10x -<<时，()()1ln 10x x x --++>，()()()()()()22121ln 11ln 1x x g x e x x x e x x x e++∴=--++<--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦gg .要证()21g x e <+，只需证()()21ln 11x x x e --++≤+，设()()()1ln 1p x x x x =--++，得()()'2ln 1p x x =--+，由()()'2ln 10p x x =--+=，得21x e -=-，当()21,1x e -∈--时，()'0p x >，则()p x 单调递增；当()21,0x e -∈-时，()'0p x <，则()p x 单调递减，当10x -<<时，()()()()221ln 111p x x x x p e e --=--++≤-=+，所以当10x -<<时，()21g x e <+成立.综合① ②可知：当1x >-时，()21g x e <+.22. 解：(1)直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由题意知，曲线2C的参数方程为cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），可设点()cos P θθ，故点P 到直线l的距离为d ==，所以min d =点P 到直线l的距离的最小值为223. 解：（1）不等式()241f x x <--等价于2214x x ++-<，即()22214x x x ≤-⎧⎪⎨-+-+<⎪⎩或 ()212214x x x -<<⎧⎪⎨+-+<⎪⎩或()12214x x x ≥⎧⎪⎨++-<⎪⎩. 解得7|23x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭或{}|21x x -<-或∅，所以不等式的解集为7|13x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.（2）因为()222x a f x x a x x a x a --=--+≤---=+，所以()x a f x --的最大值是2a +，又()10,0m n m n +=>>，于是()112224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，11m n ∴+的最小值为4.要使()11x a f x m n --≤+的恒成立，则24a +≤，解此不等式得62a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]6,2-.。

2018届云南师大附中高考适应性月考卷(九)--理科数学(扫描版)

云南师大附中2018届高考适应性月考卷（九）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．3i 443i1z -==--，故选A ． 2．{|22}{|1}[2)A x x B y y AB =-=>=-+∞≤≤，，，，故选D ．3．设和双曲线2221169x y C -=：有共同的渐近线的双曲线C1的方程为221169x y C λ-=：，代入点 A 解得：2λ=-，故选D.4．由算法框图知水仙花数的定义是：它的各位数字的立方和等于该数，例如153是一个水仙花数，因为333371371=++，故选B ．5．设2+1+21()()n n n n b n b b b *=∈=N ，则，易知数列{}n b 是等比数列，把1219==44a a ，代入即可求出{}n b 的通项公式2nn b =，进而求出{}n a 的通项公式2(21)4n n a -=，故选B ．6．由正态分布对称性知，随机抽取一名学生数学成绩及格的概率为(10.6826)10.84132--=，随机抽取3名学生，则恰有2名学生的数学成绩及格的概率为223C (0.8413)(10.8413)0.337-≈，故选C ．7．由已知()f x 是定义在()-∞+∞，上的偶函数，且对于任意的实数x ，都有(1)(1)f x f x -=+，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以当[20172018]x ∈，时，()(2018)(2018)f x f x f x =-=- 201821x -=-，故选A ．8．设()y f x =上任意一点00()P x y ，，P 关于点π28A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称的点()Q x y ''，，由中点坐标公式有，00π44x x y y ''=-=-，，代入sin 2y x =得：004cos2y x =-，代入余弦函数的单调递减区间解得：πππ()2x k k k ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦Z ，，故选C ．9．易知该三棱锥三条侧棱均为1且互相垂直，设该三棱锥内切球半径为r ，由等体积得：111313232V S r r =⨯⨯=⨯⨯⨯表，解得：r =，故选D ．10．3sin ()(11)t x f x t t t ==--令，则≤≤，2()130f x t t '=-=⇒=，易知当t =时，max ()f x =，故选B.（注：该题还可以用均值不等式求最大值）11．由题意知：第n 层圆弹的个数为2(1)1222n n n n n a n ++=+++==，所以圆弹的总数为22211(1)(2)(12)(12)226n n n n S n n ++=+++++++=，故选A ．222x x x x B p ⎛+⎫ ⎪⎝⎭点，注：该题还可以用组合数公式求和，32331111223(1)C C 222n S n n =⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅++=++223223414412(1)(2)C C C C C C 6n n n n n n +++++⎫+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅==⎪⎭12．曲线()y f x =在点(())A tf t ，处的切线方程为23(31)2y t x t =--，又切线经过点)m ，则有：23(32m t t =-，于是若过点)m 可作曲线()y f x =的三条切线⇔关于t 的3次方程3220t m -=有三个相异的实数根⇔3次曲线32()2g t t m =-与横轴(即t 轴)有三个不同的交点⇔()0()0g t m g t m ⎧=+>⎪⎨=⎪⎩极大值极小值，，故m ，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．画出可行域如图1阴影所示，易知在(02)，处取得最小值−2． 14．由椭圆的定义知，()P x y ，的轨迹是以(34)(34)A B --，，，为焦点，105a c ==，的椭圆，所以离心率12e =．15．由题意只需考虑20192018被7除后的余数即可，又20192018=2019(28872)⨯+，201967367328(71)==+，所以余数是1，所以20192018天后是星期二．16．11221212122111()()22b c x m y n x m y n x x y y x y x y =++=+++，故（1）错；若b c ⊥，则有11221212122111()()22b c x m y n x m y n x x y y x y x y =++=+++=0，故（2）对；2||b b == =3）错（4）对；根据共线向量定理易知（5）对；根据向量线性运算图1性质，易知（6）对；1212122121()cos ||||x x y y x y x y b cb c x θ+++==+7）对．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设及正弦定理得：sin sin sin cos sin B C C B A +=，在ABC △中，sin sin(π)sin()A B C B C =--=+．又sin()sin cos cos sin B C B C B C +=+，故sin sin sin cos sin cos cos sin B C C B B C B C +=+， sin sin sin cos B C B C =所以．在ABC△中，sin 0B ≠，得sin cos C C =，故tan 1C =，又(0π)C ∈，，所以π4C =．………………………………………………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：222π424cos34a a +-⨯=，化简得：270a-+=，解得：1a =或1a =．当1a =时，141)42ABC S =⨯⨯=-△当1a =时，141)42ABC S =⨯⨯=△12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由散点图甲可知变量y 和x 不呈线性相关关系，由散点图乙可知z 和x 呈线性相关关系．………………………………………………（4分）（Ⅱ）因为变量z 和x 呈线性相关关系，由题设中所给的相关统计量和计算公式求得z 关于x 的线性回归方程为：ˆ0.272 3.849zx =-，又ln z y=，所以植物生长数量y 关于气温x 的回归方程为：0.272 3.849ˆe x y -=，故当38x =时，由参考数据：ln 656.55 6.487=，得 6.487ˆe656.55y ==，由此可估计当气温在38℃时该水域的这种水生植物的生长数量为656.55万株．………………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，取BC 的中点M ，连接AM ，DM ，因为AB =AC ，DB =DC ，所以BC DM BC AM ⊥⊥，，所以BC ADM ⊥平面，又因为AD ADM ⊂平面，所以AD BC ⊥．…………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：由二面角的平面角的定义知：AMD ∠为二面角D BC A --的平面角，即AMD ∠=30︒，如图，过D 作DH AM ⊥于点H ，则有1sin302DH DM =︒=，所以133D ABC ABC V S DH -==△，又1sin 2ADC S AD AC DAC =∠=△，设点B 到平面ADC 的距离为d ，由D ABC B ADCV V --==13ADC S d△，得d =，所以直线BD 与平面ADC 所成角的正弦值sin d BD θ==．……………………（12分）（注：第二问也可用向量法解答）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：抛物线212(0)C x py p =>：的方程化为2112C y x p=：，则由导数的几何意义知：切线1l 的斜率1111x x k y x p='==，所以切线1l 的方程为：1111()y y x x x p-=-，①………………………………………（2分）同理切线23l l ，的方程分别为：2221()y y x x x p-=-，②3331()y y x x x p-=-．③…………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：联立方程①、②及22112222x py x py ==,，可得1212122x x x x B p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭点，，同理得2323222x x x x B p ⎛+⎫ ⎪⎝⎭点，，3131322x x x x B p ⎛+⎫⎪⎝⎭点，，由题设12B B 点，在抛物线2C 上，故有：21212222x x x x p p ⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，④ 22323222x x x x p p ⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⑤ 等式④、⑤相除得：21122323x x x x x x +=+，故31231x x x x x =-+，⑥将⑥式代入④式整理得：23131222x x x x p p ⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3B 点的坐标满足抛物线2C 的方程，故3B 点在抛物线2C 上．…………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：当1a =且1x ≥时，()e ln xf x x x =-，()e ln 1x f x x '=--所以，令()()F x f x '=，则1()e x F x x '=-，1()0x F x '>由≥，得，所以函数()f x '在[1+)∞，上是增函数，因而()(1)e 10f x f ''=->≥，故函数()f x 在[1+)∞，上是增函数．……………………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：函数()f x 在[1+)∞，上有零点ln [1)e x x xx a ⇔=+∞关于的方程在，上有根ln ()[1)e x x xy a g x ⇔==+∞直线与曲线在，上有公共点． (1)ln 1()()(1)ln 1e x x x g x I x x x -+'==-+，令， 11()ln ln 1x I x x x x x -'=-=--，易知()I x '[1)+∞在，上是减函数， ()(1)0I x I ''=所以≤，()[1)I x +∞从而在，上是减函数， (2)1ln 20(e)2e 0I I =->=-<又，，所以由零点存在定理知：存在唯一0000(2e)()ln (1)10x I x x x ∈=-+=，，使，所以当00[1)()0()[1)x x g x g x x '∈>，时，，在，上是增函数； 00()()0()()x x g x g x x '∈+∞<+∞，时，，在，上是减函数，所以000max 0ln ()()e x x x g x g x ==，则ln ()[1)e x x xy a g x ==+∞直线与曲线在，上有公共点时，max ()a g x 应有≤，故a 的最大值0()m g x =，又022ln 2()(2)e g x g >=，所以22ln 2e m >，由000()ln (1)10I x x x =-+=，知：001ln 1x x =-，所以000max 0011()11(1)e e x x x g x x x ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭．令11()11e xh x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则()h x 在(2e)，上是减函数，又0(2e)x ∈，，所以0(2)()h h x >，即000max 0202()()()e (1)e x x h x g x g x m x >====-，故222ln 22ee m <<．………………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）椭圆C 的极坐标方程化为：22224sin cos 16ρθρθ+=，①因为cos sin x y ρθρθ==，，将之代入①，整理得椭圆C 的直角坐标方程为：221164x y +=．②…………………（5分）（Ⅱ）将直线l 的参数方程：2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入②整理得：222(4sin cos )(8sin 4cos )80t t αααα+++-=，设点A B ，对应的参数为12t t ，，则由点(21)P ，为弦AB 的中点得：122218sin 4cos =0224sin cos t t αααα++-=+，可得：8sin 4cos 0αα+=，再由222214sin cos1sin cos 55αααα+===，得，， 2||44sin AB α+故10分）11页 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：如图3，由函数()|2||+3|f x x x =-+与函数()g x ax =的图象知：当523a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，在R 上函数()|2||f x x x =-+的图象恒在函数()g x ax =的图象的上方，故实数a 的取值范围是523⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．…………（5分）（Ⅱ）证明：2222222()()a b ab a b a b +++∵≥，∴≥，)a b +（当且仅当a b =时取=“”号），))b c b c c a +==+（当且仅当时取“”（当且仅当c a =时取“=”号），)a b c ++（当且仅当a b c ==时取“=”号）．……………………………………………………………………………………（10分）图3。

云南省昆明市2018届高三数学上学期12月适应性月考卷五理

云南省昆明市2018届高三数学上学期12月适应性月考卷（五）理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合5|09x A x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，集合{}|(3)(10)0B x Z x x =∈--≤，则A B =（） A ．∅ B ．[3,5)(9,10] C ．{}3,4,10D ．R2.复数1111i iz i i-+=-+-，则复数z 的虚部是（） A ．2-B ．2i -C ．2D ．i3.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）A ．各月的平均最高气温都不高于25度B ．七月的平均温差比一月的平均温差小C ．平均最高气温低于20度的月份有5个D ．六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度4.为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（） A ．140种B ．70种C ．35种D ．84种5.在等差数列{}n a 中，若59103a a a ++=，则数列{}n a 的前15项的和为（）6.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线交曲线C 于A ，B 两点，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（） A ．163B ．133C ．83D ．537.若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）A ．2B ．C ．3D ．8.规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”．如图，若输入的891a =，则输出的n 为（）9.已知函数||()cos x f x e x =+，若(21)()f x f x -≥，则x 的取值范围为（） A ．1(,][1,)3-∞+∞B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1(,]2-∞D ．1[,)2+∞10.如图，函数()f x 的图象为折线ABC ，则不等式()xf x xe ≥的解集是（）A ．[]3,0-B ．[]3,1-C ．[]3,2-D ．(,1]-∞11.已知半径为5的求O 被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（）A ．B ．C ．或D ．25)π或25)π12.已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与椭圆C 相交于点A ，B ，2l 与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述不正确的是（） A ．存在直线1l ，2l 使得||||AB CD +值为7 B ．存在直线1l ，2l 使得||||AB CD +值为487C ．四边形ABCD 的面积存在最大值，且最大值为6 D ．四边形ABCD 的面积存在最小值，且最小值为57649第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若x ，y 满足约束条件11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则34z x y =-的最小值为．14.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，当2n ≥时，11n n S a -+=，则8a =． 15.在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆外接圆的圆心，则AO CB ⋅=． 16.在ABC ∆中，D 为AC 上一点，且2AD =，1DC =，BD 为ABC ∠的角平分线，则ABC ∆面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数2()22cos 1f x x x =++．（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域；（2）在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c ，()3f B =，2b =，a c +=，求ABC ∆的面积．18.随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长．机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面．在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源．因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提．从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保有量数据如表所示．（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立机动车保有量y 关于年份代码x 的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量．附注：回归直线方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ，2AB AC ==，13AA =．（1）证明：1AB CC ⊥；（2）若点P 为11B C 的中点，求二面角1P AB A --的余弦值．20.椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M ，1||2MF =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ，B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点．21.已知函数ln(1)1()xx f x e++=．（1）求()f x 的单调区间；（2）若21ln(1)2ln(1)20x x x x x ke ++++++-≤在1[,)2-+∞上恒成立，求正整数k 的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知抛物线C 的方程为28y x =，以抛物线C 的焦点F 为极点，以x 轴在点F 右侧部分为极轴建立极坐标系．（1）求抛物线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上的两个点，若FP FQ ⊥，求11||||FP FQ +的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()ln(|21||23|)f x x x =+--. （1）求不等死()0f x ≤的解集；（2）当m 取何值时，()f x m <恒成立.理科数学试卷答案一、选择题1-5:CACBA 6-10:DBCAB 11、12：CD 二、填空题13.4- 14.128 15.10- 16.3 三、解答题17.解：（1）2()22cos 12f x x x =+-+2cos22x x =++π=2sin 226x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， πππ7π022666x x ∴+≤≤，≤≤， π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤，所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[14]，．（2）由()3f B =得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+<，π5π266B ∴+=，π3B ∴=，由2b =及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，∴2()34a c ac +-=，又a c +=，代入上式解得83ac =，∴ABC △的面积11sin sin 6022S ac B ac ==︒=18.解：（1）数据对应的散点图如图8所示.（2）3198.2x y ==，，515221515615.6105i ii ii x yx y b xx==-===-∑∑，151.4a y bx =-=，所以回归直线方程为15.6151.4y x =+．（3）代入2017年的年份代码6x =，得15.66151.4245y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．19．（1）证明：因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ，所以1A M ABC ⊥平面，又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥，又因为AB AC ⊥，而111A M A ACC ⊂平面，11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M =，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC AACC ⊂平面，所以1AB CC ⊥．（2）解：如图9，以M 为原点，建立空间直角坐标系M xyz -，则1(000)(210)(010)(00MB A A --，，，，，，，，，，，， 11(20(010)(02(11B C C P ，，，，，，，，，，，，于是1(200)(01AB AA ==，，，，，，求得平面1ABA 的一个法向量为(04n =-，，，由(200)(12AB AP ==，，，，，，求得平面PAB 的一个法向量为(02m =，，，则||cos ||||326m n m n m n 〈〉===，所以二面角1P AB A --． 20．（1）解：c e a =因为，又21||2b MF a ==，联立解得：21a b ==，，所以椭圆C 的标准方程为22141x y +=．（2）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为(2)y k x =+，联立3x =得(35)S k ，．00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：220001(2)41x y x +=≠±，整理得：2201(4)4y x =--，故2020144y x =--，又002y k x =+，002y k x '=-(k k '，分别为直线PA ，PB 的斜率)，所以2020144y kk x '==--，所以直线PB 的方程为：1(2)4y x k=--，联立3x =得134T k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，解得：3x =，所以以线段ST为直径的圆恒过定点30⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． 21．解：（1）函数()f x 的定义域为11ln(1)1(1)()e xx x f x --++'-+∞=，，，由于1(0)01ln(1)1f y x x '==--++，在(1)-+∞，上是减函数，所以当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，．（2）由21ln(1)2ln(1)2e 0x x x x x k ++++++-≤在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立，整理得：21(2)[ln(1)1]e x x x k ++++≥在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立即可.令211(2)[ln(1)1](2)[ln(1)1]()e e e x x xx x x x h x ++++++++==，当1x >-时，1e 2x x +>+，以及在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上()0h x >，得ln(1)1()e ()x h x x f x ++=<在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立，由（1）知()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，．所以有max ()(0)1f x f ==，即()()1h x f x <≤恒成立，所以正整数k 的最小值为1． 22．解：（1）由抛物线的定义得：1(0)4cos ρρρθ=>+，即：4(0)1cos ρρθ=>-．（2）由（1）得：12ππ1cos 1cos 211112sin cos 24||||444FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+===当且仅当3π4θ=时等号成立，故11||||FP FQ +的最大值为24． 23．解：（1）由()0f x ≤有：ln(|21||23|)ln1x x +--≤，所以0|21||23|1x x <+--≤，即12021231x x x ⎧-⎪⎨⎪<--+-⎩≤，≤或1322021231x x x ⎧-<<⎪⎨⎪<++-⎩，≤或32021231x x x ⎧⎪⎨⎪<+-+⎩≥，≤，解得不等式的解集为1324x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．（2）由()f x m <恒成立得max ()f x m <即可.由（1）0|21||23|x x <+--得函数()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以有13ln(42)22()3ln 42x x f x x ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，≥，所以max ()ln 4f x =，即ln 4m >．图1云南师大附中2018届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．(5)(9)A =-∞+∞，，，{345678910}B =，，，，，，，，所以{3410}A B =，，，故选C ．2．由221i 1i (1i)(1i)4i 2i 1i 1i (1i)(1i)2z -+--+-=-===-+-+-，故选A ．3．由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，故选C ．4．分两类：（1）2男1女，有2145C C 30=种；（2）1男2女，有1245C C 40=种，所以共有2145C C +1245C C 70=种，故选B ．5．设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，由59101832133a a a a d a ++=+==，1581515S a ==，故选A ．6．由题意知过点F 的直线方程为1)y x =-，联立方程21)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去y 得：231030x x -+=. 设11()A x y ，，22()B x y ，，则12103x x +=，所以弦AB 的中点的横坐标为53，故到y 轴的距离为53，故选D ． 7．如图1所示三棱锥A −BCD ，三棱锥在边长为2的正方体中，可知正方体体对角线AC 即为三棱锥最长的棱，且AC =B ． 8．由题意知：输入的891a =，则程序运行如下：当1n =时，981m =，189t =，792a =，当2n =时，972m =，279t =，693a =，图2 当3n =时，963m =，369t =，594a =，当4n =时，954m =，459t =，495a =，此时程序结束，输出4n =，故选C ．9．由||()e cos x f x x =+，知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()f x 为增函数，故(21)()f x f x -≥等价于不等式|21|||x x -≥，解得x 的取值范围为1[1)3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，，故选A ．10．如图2，由()e x f x x ≥，需满足函数()f x 的图象不在函数e x x 图象的下方，令()e x g x x =，所以()(1)e x g x x '=+，则()e x g x x =在 (1]-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，且当0x <时， ()0g x <，(0)0g =，(1)e g =，而由图可知函数 2e2e [30]()3e 2e (02]x xf x x x ⎧+∈-⎪=⎨⎪-+∈⎩，，，，，，则(1)e f =，由题意可知，不等式的解集为[31]-，，故选B ．11．（1）当两截面圆在球心的同侧时，如图3，则AB 为大截面圆的直径，CD 为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知，13OO =，24OO =，则圆台的高为121O O =，AC 圆台的侧面积为1(8π6π)2722S =+=侧.（2）当两截面圆在球心的异侧时，如图4，则AB 为大截面圆的直径，CD 为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知，13OO =，24OO =，则圆台的高为127O O =，AC =以圆台的侧面积为1(8π6π)522S =+=侧，综上所述，故选C ．12．当直线1l ，2l 一个斜率为零一个斜率不存在时，可得AB 即为长轴，CD 为通径，则||||7AB CD +=，则A 是正确的；当直线1l ，2l 的斜率都存在时，不妨令直线1l 的斜率为(0)k k ≠，由题意知1l 的直线方图5程为(1)y k x =-，联立方程22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，由韦达定理知：2122834k x x k +=+，212241234k xx k -=+，所以212212(1)|||34k AB x x k +=-=+，同理2212(1)||34k CD k +=+，特别地当21k =时，24||||7AB CD ==，即48||||7AB CD +=，则B 正确；由于AB CD ⊥，所以||||2ABCDAB CD S =，又2242224212(1)12(1)122412||||123434122512k k k k A B C D k k k k ⎛⎫⎛⎫++++=== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭242221576121121121122512491225k k k k k ⎛⎫⎪⎛⎫⎡⎫ ⎪-=-∈ ⎪⎪⎢++⎛⎫ ⎪⎣⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故288649ABCD S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，；当k 不存在或0k =，6ABCD S =，故288649ABCD S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，综上所述C 选项正确，D 选项错误，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由题意可知，线性区域是如图5的阴影部分，由344zy x =-，则4z-为直线的截距，由图可知，当01x y ==，时，z 取到最小值4-.14．由11a =，且11n n S a -+=，所以11n n S a ++=，可得：12n n a a +=，所以{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a -=，所以782128a ==.15．如图6，由O 是ABC △外接圆的圆心，取AB 的中点M ，取AC的中点N ，连接OM ，ON ，所以A OC BA O= ()AB AC AO AB AO AC -=-=()()AM MO AB AN NO +-+图6图722()()1022AB AC AC AM AB AN AC =-=-=-．16．如图7，由于BD 为ABC ∠的角平分线，且2AD =，1CD =，由角平分线定理知：2AB ADBC DC==，令B C m =， 2AB m =，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知：13m <<，在ABC △中，由余弦定理知： 2224959cos 2244m m ABC m m m +-∠==-⨯⨯，所以12sin2ABC S m m ABC m=∠=△m==3=，当且仅当2219m m -=-，即m =时取等号，所以ABC △面积的最大值为3.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()22cos 12f x x x =+-+2cos22x x =++π=2sin 226x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， πππ7π022666x x ∴+≤≤，≤≤， π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤，所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[14]，．…………………………………………（6分）（Ⅱ）由()3f B =得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+<，π5π266B ∴+=，π3B ∴=，由2b =及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，∴2()34a c ac +-=，又ac +，代入上式解得83ac =， ∴ABC △的面积11sin sin 6022S ac B ac ==︒=．…………………………………（12分）图818．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数据对应的散点图如图8所示.………………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）3198.2x y ==，，515221515615.6105i ii i i x yx yb x x==-===-∑∑，151.4a y bx =-=，所以回归直线方程为15.6151.4y x =+．………………………………………………（10分）（Ⅲ）代入2017年的年份代码6x =，得15.66151.4245y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．…………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ，所以1A M ABC ⊥平面，又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥，又因为AB AC ⊥，而111A M A ACC ⊂平面，11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M =，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC A ACC ⊂平面，所以1AB CC ⊥．…………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：如图9，以M 为原点，建立空间直角坐标系M xyz -，则1(000)(210)(010)(00M B A A --，，，，，，，，，，，，11(20(010)(02(11B C C P ，，，，，，，，，，，，于是1(200)(01AB AA ==，，，，，，求得平面1ABA的一个法向量为(04n =，，，由(200)(12AB AP ==，，，，，，求得平面PAB 的一个法向量为(02m =-，，，则||cos ||||326m n m n mn 〈〉===，，所以二面角1P AB A --．……………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：c e a =因为，又21||2b MF a ==，联立解得：21a b ==，，所以椭圆C 的标准方程为22141x y +=．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为(2)y k x =+，联立3x =得(35)S k ，．00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：220001(2)41x y x +=≠±，整理得：2201(4)4y x =--，故2020144y x =--，又002y k x =+，002y k x '=-(k k '，分别为直线PA ，PB 的斜率)，所以2020144y kk x '==--，所以直线PB 的方程为：1(2)4y x k=--，联立3x =得134T k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，图9所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，解得：3x =±，所以以线段ST 为直径的圆恒过定点30⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为11ln(1)1(1)()e xx x f x --++'-+∞=，，，由于1(0)01ln(1)1f y x x '==--++，在(1)-+∞，上是减函数，所以当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，．…………………（5分）（Ⅱ）由21ln(1)2ln(1)2e 0x x x x x k ++++++-≤在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立，整理得：21(2)[ln(1)1]e x x x k ++++≥在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立即可. 令211(2)[ln(1)1](2)[ln(1)1]()e e e x x xx x x x h x ++++++++==，当1x >-时，1e 2x x +>+，以及在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上()0h x >，得ln(1)1()e ()xh x x f x ++=<在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立，由（Ⅰ）知()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，．所以有max ()(0)1f x f ==，即()()1h x f x <≤恒成立，所以正整数k 的最小值为1．…………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由抛物线的定义得：1(0)4cos ρρρθ=>+，即：4(0)1cos ρρθ=>-．………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12ππ1cos 1cos 211112sin cos 24||||444FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+===，当且仅当3π4θ=时等号成立，故11||||FP FQ +．………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由()0f x ≤有：ln(|21||23|)ln1x x +--≤，所以0|21||23|1x x <+--≤，即12021231x x x ⎧-⎪⎨⎪<--+-⎩≤，≤或1322021231x x x ⎧-<<⎪⎨⎪<++-⎩，≤或32021231x x x ⎧⎪⎨⎪<+-+⎩≥，≤，解得不等式的解集为1324x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）由()f x m <恒成立得max ()f x m <即可.由（Ⅰ）0|21||23|x x <+--得函数()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以有13ln(42)22()3ln 42x x f x x ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，≥，所以max ()ln 4f x =，即ln 4m >．………………………………………………………………………………（10分）云南师大附中2018届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）图1【解析】1．(5)(9)A =-∞+∞，，，{345678910}B =，，，，，，，，所以{3410}A B =，，，故选C ．2．由221i 1i (1i)(1i)4i 2i 1i 1i (1i)(1i)2z -+--+-=-===-+-+-，故选A ．3．由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，故选C ．4．分两类：（1）2男1女，有2145C C 30=种；（2）1男2女，有1245C C 40=种，所以共有2145C C +1245C C 70=种，故选B ．5．设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，由59101832133a a a a d a ++=+==，1581515S a ==，故选A ．6．由题意知过点F的直线方程为1)y x =-，联立方程21)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去y 得：231030x x -+=. 设11()A x y ，，22()B x y ，，则12103x x +=，所以弦AB 的中点的横坐标为53，故到y 轴的距离为53，故选D ． 7．如图1所示三棱锥A −BCD ，三棱锥在边长为2的正方体中，可知正方体体对角线AC即为三棱锥最长的棱，且AC =B ． 8．由题意知：输入的891a =，则程序运行如下：当1n =时，981m =，189t =，792a =，当2n =时，972m =，279t =，693a =，当3n =时，963m =，369t =，594a =，当4n =时，954m =，459t =，495a =，此时程序结束，输出4n =，故选C ．9．由||()e cos x f x x =+，知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()f x 为增函数，故(21)()f x f x -≥等价于不等式|21|||x x -≥，解得x 的取值范围为1[1)3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，，故选A ．10．如图2，由()e x f x x ≥，需满足函数()f x 的图象不在函数e x x 图图2 象的下方，令()e x g x x =，所以()(1)e x g x x '=+，则()e x g x x =在(1]-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，且当0x <时， ()0g x <，(0)0g =，(1)e g =，而由图可知函数 2e2e [30]()3e 2e (02]x xf x x x ⎧+∈-⎪=⎨⎪-+∈⎩，，，，，，则(1)e f =，由题意可知，不等式的解集为[31]-，，故选B ．11．（1）当两截面圆在球心的同侧时，如图3，则AB 为大截面圆的直径，CD 为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知，13OO =，24OO =，则圆台的高为121O O =，AC 圆台的侧面积为1(8π6π)2722S =+=侧.（2）当两截面圆在球心的异侧时，如图4，则AB 为大截面圆的直径，CD 为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知，13OO =，24OO =，则圆台的高为127O O =，AC =以圆台的侧面积为1(8π6π)522S =+=侧，综上所述，故选C ．12．当直线1l ，2l 一个斜率为零一个斜率不存在时，可得AB 即为长轴，CD 为通径，则||||7AB CD +=，则A 是正确的；当直线1l ，2l 的斜率都存在时，不妨令直线1l 的斜率为(0)k k ≠，由题意知1l 的直线方程为(1)y k x =-，联立方程22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，由韦达定理知：2122834k x x k +=+，212241234k x xk -=+，所以212212(1)|||34k AB x x k +=-=+，同理2212(1)||34k CD k +=+，特别地当21k =时，24||||7AB CD ==，即48||||7AB CD +=，则B 正确；由于AB CD ⊥，所以||||2ABCDAB CD S =，又2242224212(1)12(1)122412||||123434122512k k k k A B C D k k k k ⎛⎫⎛⎫++++=== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭图5图 6图7242221576121121121122512491225k k k k k ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎡⎫ ⎪-=-∈ ⎪⎪⎢++⎛⎫ ⎪⎣⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故288649ABCD S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，；当k 不存在或0k =，6ABCD S =，故288649ABCD S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，综上所述C 选项正确，D 选项错误，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由题意可知，线性区域是如图5的阴影部分，由344zy x =-，则4z-为直线的截距，由图可知，当01x y ==，时，z 取到最小值4-.14．由11a =，且11n n S a -+=，所以11n n S a ++=，可得：12n n a a +=，所以{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a -=，所以782128a ==.15．如图6，由O 是ABC △外接圆的圆心，取AB 的中点M ，取AC的中点N ，连接OM ，ON ，所以A OC BA O= ()AB AC AO AB AO AC -=-=()()AM MO AB AN NO +-+22()()1022AB AC AC AM AB AN AC =-=-=-．16．如图7，由于BD 为ABC ∠的角平分线，且2AD =，1CD =，由角平分线定理知：2AB ADBC DC==，令B C m =， 2AB m =，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知：13m <<，在ABC △中，由余弦定理知： 2224959cos 2244m m ABC m m m +-∠==-⨯⨯，所以12sin 2ABC S m m ABC m =∠=△图8m==3=，当且仅当2219m m -=-，即m =时取等号，所以ABC △面积的最大值为3.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()22cos 12f x x x =+-+2cos22x x =++π=2sin 226x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， πππ7π022666x x ∴+≤≤，≤≤， π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤，所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[14]，．…………………………………………（6分）（Ⅱ）由()3f B =得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+<，π5π266B ∴+=，π3B ∴=，由2b =及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，∴2()34ac ac +-=，又a c +，代入上式解得83ac =， ∴ABC △的面积11sin sin 6022S ac B ac ==︒=．…………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数据对应的散点图如图8所示.………………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）3198.2x y ==，，515221515615.6105i ii i i x yx yb x x==-===-∑∑，151.4a y bx =-=，所以回归直线方程为15.6151.4y x =+．………………………………………………（10分）（Ⅲ）代入2017年的年份代码6x =，得15.66151.4245y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．…………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ，所以1A M ABC ⊥平面，又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥，又因为AB AC ⊥，而111A M A ACC ⊂平面，11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M =，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC A ACC ⊂平面，所以1A B ⊥．…………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：如图9，以M 为原点，建立空间直角坐标系M xyz -，则1(000)(210)(010)(00MB A A --，，，，，，，，，，，， 11(20(010)(02(11B C C P ，，，，，，，，，，，，于是1(200)(01AB AA ==，，，，，，求得平面1ABA的一个法向量为(04n =，，，由(200)(12AB AP ==，，，，，，求得平面PAB 的一个法向量为(02m =-，，，则||cos ||||326m n m n mn 〈〉===，，所以二面角1PAB A --．……………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：c e a =因为，又21||2b MF a ==，联立解得：21a b ==，，所以椭圆C 的标准方程为22141x y +=．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为(2)y k x =+，联立3x =得(35)S k ，．00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：220001(2)41x y x +=≠±，整理得：2201(4)4y x =--，故2020144y x =--，又002y k x =+，002y k x '=-(k k '，分别为直线PA ，PB 的斜率)，所以2020144y kk x '==--，所以直线PB 的方程为：1(2)4y x k=--，联立3x =得134T k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，解得：3x =±，所以以线段ST 为直径的圆恒过定点30⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………………（12分）21．（本小题满分12分）图9解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为11ln(1)1(1)()e xx x f x --++'-+∞=，，，由于1(0)01ln(1)1f y x x '==--++，在(1)-+∞，上是减函数，所以当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，．…………………（5分）（Ⅱ）由21ln(1)2ln(1)2e 0x x x x x k ++++++-≤在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立，整理得：21(2)[ln(1)1]e x x x k ++++≥在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立即可. 令211(2)[ln(1)1](2)[ln(1)1]()e e e x x xx x x x h x ++++++++==，当1x >-时，1e 2x x +>+，以及在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上()0h x >，得ln(1)1()e ()x h x x f x ++=<在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立，由（Ⅰ）知()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，．所以有max ()(0)1f x f ==，即()()1h x f x <≤恒成立，所以正整数k 的最小值为1．…………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由抛物线的定义得：1(0)4cos ρρρθ=>+，即：4(0)1cos ρρθ=>-．………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12ππ1cos 1cos 211112sin cos 24||||444FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+===24≤，当且仅当3π4θ=时等号成立，故11||||FP FQ +的最大值为24+．………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由()0f x ≤有：ln(|21||23|)ln1x x +--≤，所以0|21||23|1x x <+--≤，即12021231x x x ⎧-⎪⎨⎪<--+-⎩≤，≤或1322021231x x x ⎧-<<⎪⎨⎪<++-⎩，≤或32021231x x x ⎧⎪⎨⎪<+-+⎩≥，≤，解得不等式的解集为1324x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）由()f x m <恒成立得max ()f x m <即可.由（Ⅰ）0|21||23|x x <+--得函数()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以有13ln(42)22()3ln 42x x f x x ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，≥，所以max ()ln 4f x =，即ln 4m >．………………………………………………………………………………（10分）。

2018届云南省昆明市高三摸底调研测试理科数学试题

2018届云南省昆明市高三摸底调研测试理科数学试题本试卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合},11|{},0|{2<<-=≤-=x x N x x x M 则M ∩N=A.{x|-1<x ≤0}B.{x|-1≤x ≤0}C.{x|0≤x<1}D.{x|0≤x ≤1}2.设复数z 满足（1+i ）z=i ，则z 的共轭复数z = A.i 2121+ B.i 2121- C.-i 2121+ D.-i 2121- 3.已知向量a=(-1,2),b=(1,3),则|2a-b|= A.2 B.2 C.10 D.104.已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则a 8=A.-2nB.2nC.2n-1D.2n+15.下图是1951--2016年中国年平均气温变化图.根据上图，下列结论正确的是A.1951年以来，我国年平均气温逐年增高B.1951年以来，我国年平均气温在2016年再创新高C.2000年以来，我国年平均气温都高于1981-2010年的平均值D.2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981-2010年的平均值6.古人采取“用臼春米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于春米的“石臼”由一块正方体石料凿去一部分做成(凿去的部分可看作一个简单组合体).一个“石臼”的三视图如图所示，则凿去部分的体积为A.63πB.72πC.79πD.99π7.双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左，右焦点分别为F 1,F 2,,以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限交于点P 。

云南师大附中2018届高考适应性月考卷(三)

理科数学参考答案·第1页（共8页）云南师大附中2018届高考适应性月考卷（三）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．2{|{|30}[B x y x x ==-=≥，所以={101}A B -，，，故选B ．2．由题意知53i 22i 2iz =+=++，z 的共轭复数等于22i -，故选C ． 3．q ⌝：A B ，在同高处的截面积恒相等，p A B ：，的体积相等，故q 是p ⌝的必要不充分条件，故选B ．4．5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为51521C (1)0rr rr T r x -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭，，1，2，3，4，5．当因式2(3)x +中提供2x 时，则取4r =；当因式2(3)x +中提供3时，则取5r =，所以5221(3)1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是2，故选C ．5．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的渐近线方程为b y x a =±，所以b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =-准线方程x所以c =由此可解得2a b =，所以双曲线方程为22143x y -=，故选A ．6．因为11π()s i n 2cos 2s i n s i n 23s i n 2226f x x x x x x x ⎫⎛⎫=+=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以π()c o s 26f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，故A 错误，当π2x =时，π5π2=66x -，故B 错误，对于D ，应向右平移π12个单位，故选C ．理科数学参考答案·第2页（共8页）7．4n =时，31Q =，此时P Q >，则输入的a 的值可以为3，故选C ．8．设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意有：3242(2)a a a +=+，23428a a a ++=得38a =，故31123120=8a q a q a a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，，解之得122a q =⎧⎨=⎩，或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，，又{}n a 单调递减，所以663S =，故选A ．9．由题意知，球O 的半径5R =，直三棱柱111ABC A B C -的底面外接圆半径为4，则直三棱柱111ABC A B C -的高为6，则该三棱柱的体积为D ．10．由题意，2225233b c b A c b a B a a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，代入到椭圆方程整理得222225199c b a a +=，联立22b a =，解得3a =，故选D ．11．17115()()()48228AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC λλλλ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当122λλ=，即1λ=时取等号，故选D ． 12．22()3()30f x x f x x -+--=∵，设2()()3g x f x x =-，则()()0g x g x +-=，∴()g x 为奇函数，又1()()62g x f x x ''=-<-，∴()g x 在(0)x ∈-∞，上是减函数，从而在R 上是减函数，又2(2)(2)12129f m f m m m +-++-≤等价于22(2)3(2)(2)3(2)f m m f m m +-+---≤，即(2)(2)g m g m +-≤，22m m +-∴≥，解得23m -≥，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．作出约束条件对应的平面区域，当目标函数2y x z =-+经过点(1，1)时，z 取得最小值3，故取值范围是[3)+∞，． 14．因为{b n }是等差数列，且16b =-，1012b =，故公差2d =．于是*=28() n b n n -∈N ，即128n n a a n +-=-，所以87651646246(6)(4)(2)a a a a a =+=++=+++==+-+-+-…理科数学参考答案·第3页（共8页）02463++++=．98811a a =+=，1091021a a =+=．15．因为球与各面相切，所以直径为4，且11AC AB CB ，，的中点在所求的截面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为R =积8π3S =，以O 为顶点，以平面1ACB 截此球所得的截面为底面的圆锥体积为18π1336V =⨯⨯⨯．16．2()2f x ax bx c '=++，由题意，()0f x '≥在R 上恒成立，∴00.a >∆，≤即0a >，2.b ac ≤222221232323231b b b a b a b c a ab b a a a b b a b a ab a a⎛⎫++++ ⎪++++⎝⎭==----∴≥，令1b t a =>，则221233(1)8(1)663(1)8111t t t t t t t t ++-+-+==-++---≥，当且仅当1t =号成立．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由c =，且)(sin sin )()sin a C A b a B -=-，又根据正弦定理，得()()()c a c a b a b +-=-，化简得，222a b c ab +-=，故2221cos 22b ac C ba +-==，所以60C =︒．……………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由c =，4sin 5A =，sin sin a c A C =得85a =，由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=，所以ABC △的面积为1sin 2S ac B ==．……………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设图中从左到右的前3个小组的频率分别为23x x x ，，，则23(0.0370.013)51x x x ++++⨯=，解得0.125x =，理科数学参考答案·第4页（共8页）∵第2小组的频数为15，频率为20.25x =，∴该校报考飞行员的总人数为：150.25=60÷（人）．…………………………………（6分）（Ⅱ）体重超过65公斤的学生的频率为(0.0370.013)50.25+⨯=，∴X 的可能取值为0，1，2，3，且1~34X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，303327(0)C 464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，21133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)C 464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：由于1~34X B ⎛⎫⎪⎝⎭，，13()344E X =⨯=．………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由已知得113AM AD ==，如图，取BP 上靠近P 的四等分点T ，连接AT TN ，，由3NC PN =知//TN BC ，114TN BC ==．……………………………………………（3分）又//AD BC ，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是//MN AT ．因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．…………………（6分）（Ⅱ）解：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．由AB AC =得AEBC ⊥，从而AE AD ⊥，且AE以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由题意知，(004)P ，，，20)B -，，(010)M ，，，20)C ，，132N ⎫⎪⎪⎝⎭，，，(524)PB =--，，，(010)AM =，，，5132AN ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，，．设()n x y z =，，为平面AMN 的一个法向量，理科数学参考答案·第5页（共8页）则00n AM n AN ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即01302y y z =⎧++=，，……………………………………………（10分）可取40n ⎛= ⎝⎭，，．于是||16|cos |||||n PB n PBn PB 〈〉==，所以直线PB 与平面AMN ．……………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设M N ，为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形，所以|||OF MN =，213b b ==，解得2214a b =+=，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………（4分）（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，()P x y ，，AB 的方程为(3)y k x =-，由22(3)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得2222(34)2436120k x k x k +-+-=，由24222448(34)(31)0k k k ∆=-+->，得235k <，221212222436123434k k x x x x k k -+==++，，1212()()OA OB x x y y t x y +=++=，，，则2121222124118()()(34)(34)k kx x x y y y t t k t t k -=+==+=++，，由点P 在椭圆上，得222222222(24)(18)+14(34)3(34)k k t k t k -=++，化简得22236(34)k t k =+，………………………………………………………………（8分）因为||3PA PB -<12|x x - 即221212(1)[()4]3k x x x x ++-<，即2222222(24)4(3612)(1)3(34)34k k k k k ⎛⎫-+-< ⎪++⎝⎭，理科数学参考答案·第6页（共8页）即429656390k k +->，所以2k >，………………………………………（10分）即235k <<，因为22236(34)k t k =+，所以2222362793434k t k k ==-++，所以2204t <，即2t的取值范围为(204)．………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：2211()(0)a ax f x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0(0)f x x '<>，()f x 在(0)+∞，上单调递减．当0a >时，由()0f x '=，得1x a=， 10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增．………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：要证4222(1)ln 1ln 2ln (2)4n nnn n n n n-+++>∈*≥，N ，即证42223(1)ln 1ln 2ln (2)4n n n n n-+++>∈*≥，N ．由（Ⅰ）知，当1a =时，()f x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增． 1()ln 1(1)0f x x f x =+-=≥，∴1ln 1x x -≥，∴221ln 1x x-≥， ∴222222111ln1ln 2ln 11112n n +++-+-++-≥， ∴2221112ln12ln 22ln 12n n n ⎛⎫+++-+++ ⎪⎝⎭≥．又2221111111+++121223(1)n n n +++<+⨯⨯-，∴2221111111+++121223(1)n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+++>-+ ⎪⎪⨯⨯-⎝⎭⎝⎭211111(1)11+++2231n n n n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴2(1)ln1ln 2ln 2n n n-+++>．………………………………………………………（9分）理科数学参考答案·第7页（共8页）由柯西不等式，2222222(ln 1ln 2ln )(111)(ln1ln 2ln )n n +++++++++≥．∴4222231(1)ln 1ln 2ln (ln1ln 2ln )4n n n nn-+++++>≥+． ∴42223(1)ln 1ln 2ln 4n n n -+++>， ∴4222(1)ln 1ln 2+ln (2*)4n nnn n n n n-++>∈N ≥，．…………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程1(l y k x =：，①21)3l y x k=：，② ①×②消k 可得：2213x y +=．即P 的轨迹方程为221(0)3x y y+=≠．1C 的普通方程为221(0)3x y y +=≠．1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（α为参数πk k α≠∈Z ，）．………………………（5分）（Ⅱ）由曲线2C：πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(sin cos )θθ+= 即曲线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=，由（Ⅰ）知曲线1C 与直线2C 无公共点，曲线1C 上的点sin )Q αα，到直线80x y +-=的距离为理科数学参考答案·第8页（共8页）d =所以当πsin 13α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d的最小值为．………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由题意可得10()130111x x g x x x x x +⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩，≤，，，，≥，因为()4g x >-，由图象可得不等式的解为53x -<<，所以不等式的解集为{|53}x x -<<．……………………………………………………（5分）（Ⅱ）因为存在1x ∈R ，也存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x x y y g x x =∈=∈≠∅R R ，，，又()|2||25||(2)(25)||5|f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(25)0x a x -+≤时等号成立.由（Ⅰ）知，max ()1g x =，所以|5|1a +≤，解得64a --≤≤，所以实数a 的取值范围为[64]--，．…………………………………………………（10分）。

云南省昆明市2018届高三教学质量检查(二统)数学(理)试题及答案解析

昆明市2018届高三复习教学质量检测理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a ，b R ∈，复数21ia bi i+=+，则a b +=（） A ．2 B ．1 C ．0 D ．2-2.设集合{2,1,0,1,2}A =--，2{|20}B x x x =+-≤，则AB =（）A ．{0,1,2}B ．{2,1,0}--C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1}-- 3.若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α=（）A ．12 C ．． 12-4.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差 D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 5.一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（）A ．26.已知直线:l y m +与圆22:(3)6C x y +-=相交于A ，B 两点，若120ACB ∠=︒，则实数m 的值为（）A ．33．3+3-C.9或3- D ．8或2-7.执行下面的程序框图，如果输入1a =，1b =，则输出的S =（）A ．7B ．20 C.22 D ．548.若直线(01)x a a π=<<与函数tan y x =的图像无公共点，则不等式tan 2x a ≥的解集为（） A ．{|,}62x k x k k Z ππππ+≤<+∈ B ．{|,}42x k x k k Z ππππ+≤<+∈ C. {|,}32x k x k k Z ππππ+≤<+∈ D ．{|,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈9.已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若方程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞ C. (,5)-∞ D ．(,5]-∞10.已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||2||PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（）A ．13 B ．12C. 3 D．211.已知函数2()2ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A ． 2(,]4e -∞ B ．(,]2e -∞ C. (0,2] D ．[2,)+∞12.定义“有增有减”数列{}n a 如下：*t N ∃∈，满足1t t a a +<，且*s N ∃∈，满足1S S a a +>.已知“有增有减”数列{}n a 共4项，若{,,}(1,2,3,4)i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a 共有（）A ．64个B ．57个 C.56个 D ．54个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b 满足a b ⊥，||1a =，|2|22a b +=，则||b = ．14.已知变量x ，y 满足3040240x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为．15.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1cos 4C =，3c =，且cos cos a bA B=，则ABC △的面积等于．16.如图，等腰PAB △所在平面为α，PA PB ⊥，4AB =，点C ，D 分别为PA ，AB 的中点，点G 为CD 的中点.平面α内经过点G 的直线l 将PAB △分成两部分，把点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点'P （'P ∉平面α）.若点'P 在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段'P H 的长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 中，13a =，{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a n +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：(1)2n an n b =-+，求{}n b 的前n 项和n T .18.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户.若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）. 19. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，M 是AB 的中点.（1）证明：1//BC 平面1MCA ；（2）若BMC △是正三角形，且1AB BC =，求直线AB 与平面1MCA 所成角的正弦值. 20. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆心，半径为4的圆与l 交于A 、B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，90EAB ∠=︒.（1）求p 的值；（2）已知点P 的纵坐标为1-且在C 上，Q 、R 是C 上异于点P 的另两点，且满足直线PQ 和直线PR 的斜率之和为1-，试问直线QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.21. 已知函数23()(4cos 1)x f x e x x x x α=+++，()(1)x g x e m x =-+. （1）当1m ≥时，求函数()g x 的极值；（2）若72a ≥-，证明：当(0,1)x ∈时，()1f x x >+. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=. （1）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知M ，N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点，证明：22||||PM PN +为定值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式(2)(4)6f x f x ++≥；（2）若a 、b R ∈，||1a <，||1b <，证明：()(1)f ab f a b >-+.试卷答案一、选择题1-5:ADCDD 6-10:ABBCC 11、12：AD 二、填空题16. 3(0,]2三、解答题17.解：（1）由21n n S a n +=+①，得2111(1)n n S a n +++=++② 则②-①得21n a n =+.当13a =时满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）由（1）得21(1)2n n n b +=-+，所以12n n T b b b =+++2[(1)(1)(1)]n =-+-++-+3521(222)n ++++3(1)[1(1)]2(14)1(1)14n n -⨯--⨯-=+---(1)18(41)23n n--=+-. 18.解：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P == （2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，ξ的可能值为0，1，2，3.从而36310201(0)1206C P C ξ====，1246310601(1)1202C C P C ξ====，2146310363(2)12010C C P C ξ====，3431041(3)12030C P C ξ====.所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望113112()0123 1.262103010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. （3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差.19.解：（1）连接1AC ，设1AC 与1AC 的交点为N ，则N 为1AC 的中点，连接MN ，又M 是AB 的中点，所以1//MN BC .又MN ⊂平面1MCA ，1BC ⊂/平面1MCA ，所以1//BC 平面1MCA .（2）M 是AB 的中点，BMC 是正三角形，则60ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，90ACB ︒∠=，设1BC =，则1AC CC ==1CC 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴建立空间直角坐标系.则(0,1,0)B，A，1A，1(0,2M，(0,1,AB =，1(0,2CM =，1(3,0,CA =.设(,,)n x y z =是平面1MCA 的法向量，则10n CM n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取平面1MCA 的法向量为(1,3,1)n =-，则 |cos ,|AB n 〈〉=||155||||AB n AB n ⋅=，所以直线AB 与平面1MCA .20.解：（1）由题意及抛物线定义，||||||4AF EF AE ===，AEF 为边长为4的正三角形，设准线l 与x 轴交于点D ，11||||4222AD p AE ===⨯=. （2）设直线QR 的方程为x my t =+，点11(,)Q x y ，22(,)R x y . 由24x my t y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my t --=，则216160m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t ⋅=-. 又点P 在抛物线C 上，则11221144p P PQ P P y y y y k y y x x --==--11441P y y y ==+-，同理可得241PR k y =-. 因为1PQ PR k k +=-，所以124411y y +=--1212124()8()1y y y y y y +--++1681441m t m -==---+，解得734t m =-.由21616073417(1)344m t t m m m ⎧⎪∆=+>⎪⎪=-⎨⎪⎪≠⨯-+-⎪⎩，解得71(,)(,1)(1,)22m ∈-∞-⋃⋃+∞. 所以直线QR 的方程为7(3)4x m y =+-，则直线QR 过定点7(,3)4--. 21.解：（1）()xg x e m '=-，由()0g x '=得ln x m =. 由ln x m >得()0g x '>，ln x m <得()0g x '<，所以函数()g x 只有极小值(ln )(ln 1)ln g m m m m m m =-+=-.（2）不等式等价于3214cos 1x x x ax x x e++++>，由（1）得：1xe x ≥+，所以22(1)x e x ≥+，所以2111xx e x +<+，(0,1)x ∈， 321(4cos 1)x x x ax x x e ++++->31(4cos 1)1x ax x x x +++-+34cos 1x x ax x x x =++++21(4cos )1x x x a x =++++令21()4cos 1h x x x a x =++++，则21()24sin (1)h x x x x '=--+，令()24sin I x x x =-,则()24cos 2(12cos )I x x x '=-=-, 当(0,1)x ∈时，1cos cos1cos32x π>>=，所以12cos 0x -<，所以()0I x '<，所以()I x 在(0,1)上为减函数，所以()(0)0I x I <=，则()0h x '<，所以()h x 在(0,1)上为减函数，因此，3()(1)4cos12h x h a >=++，因为4cos14cos 23π>=，而72a ≥-，所以34cos102a ++>，所以()0h x >，而(0,1)x ∈，所以()1f x x >+. 22.解：（1）圆O 的参数方程为2cos 2cos x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），由2cos21ρθ=得：222(cossin )1ρθθ-=，即2222cos sin 1ρθρθ-=，所以曲线C 的直角坐标方程为221x y -=.（2）由（1）知(1,0)M -，(1,0)N ，可设(2cos ,2sin )P αα，所以22||||PM PN +=2222(2cos 1)(2sin )(2cos 1)(2sin )αααα+++-+54cos 54cos 10αα=++-=所以22||||PM PN +为定值10.23.解：（1）由(2)(4)6f x f x ++≥得：|21||3|6x x -++≥，当3x <-时，2136x x -+--≥，解得3x <-；当132x -≤≤时，2136x x -+++≥，解得32x -≤≤-；当12x >时，2136x x -++≥，解得43x ≥；综上，不等式的解集为4{|2}3x x ≤-≥或.（2）证明：()(1)|1||f ab f a b ab a b >-+⇔->-，因为||1a <，||1b <，即21a <，21b <，所以22|1|||ab a b ---=2222212a b ab a ab b -+-+-=22221a b a b --+=22(1)(1)0a b -->，所以22|1|||ab a b ->-，即|1|||ab a b ->-，所以原不等式成立.。

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)(＞0，|
|
＜
)在(
，2
)
上
单
调
递
减
，
且
f(x) 满足
2 63
f ( ) f (11 ) 0 ，则 f ( ) ( )
12
12
A. 3 2
B. 1 2
C. 1 2
D. 3 2
10. 已知 F 为抛物线 C： y2 2 px( p＞0) 的焦点，直线 y k(x p ) 与抛物线 C 相交于 A， 2
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三角形组成，则该几何体的表面积为( )
A. 13 B. 11 C. 12
D. 2 3
7.
已知函数
f
(
x)

x
2
e x，x 2x
0，若f 1，x＞0，
(a

1)

f (a) ，则实数 a 的取值范围是(
)
A. (，1 ] 2
(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为该市 20 岁至 60 岁市民的日
平均睡眠时间与年龄有关；
年龄在区间[20，40) 年龄在区间[40，60)
合计
日平均睡眠时间少于 7 小时
日平均睡眠时间不少于 7 小时
合计
(2)同一组数据用该区间的中点值作代表，经计算得，这 500 位市民日平均睡眠时间的样平平均数 t =6.78，样本方差 s2≈2.32，由频率分布直方图可认为，该市 20 岁至 60 岁市民的日
4 (2)若 C1 与 C2 相交于不同的两点 A，B，M 是线段 AB 的中点，当| PM |= 40 时，求 sin 的
9 值.
23. (本小题满分 10 分)选修 4- 5：不等式选讲已知函数 f (x) | x 1| | ax 1| . (1)当 a= 1 时，求不等式 f(x)≤x 的解集； (2)当 x 1 时， f (x) x2＞1 ，求 a 的取值范围.
的离心率为
.
16.
若数列{an}满足
a1

1 2
，an
an1
n2
2 2n
，则 a10=
.
三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 2ccosB=2a－b. (1)求 C； (2)若 AB=AC，D 是△ABC 外的一点，且 AD= 2，CD= 1，则当∠D 为多少时，平面四边形 ABCD 的面积 S 最大，并求 S 的最大值.
平均睡眠时间 T 服从正态分布 N( ， 2 )，其中近似为样本平均数 t ， 2 近似为样本方
差 s2.根据以上样本数据，估计该市 20 岁至 60 岁市民中，日平均睡眠时间不低于 5.26 小时
的市民在总体中所占的比例.
附：
P(K2≥k)
0.10
0.01
0.001
k
2.706
6.635
18.(本小题满分 12 分) 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB =AC=AA1=2，D，E 分别是 BC，CC1 的中点，B1D⊥DE. (1)证明：平面 ABB1A1⊥平面 ACC1A1； (2)求平面 AB1C1 与平面 ADE 所成锐二面角的余弦值.
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B 两点，若|FA|=3|FB|，则 k=( )
A. 3
B. 2 3 3
C. 3 4
D. 3 2
11. 设函数 f (x) e2x t 的图象与 g(x) aex a2 x(a＞0) 的图象有公共点，且在公共点处的
切线相同，则实数 t 的最大值是( )
1
A. e 2
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21. (1)当 a≤0 时，f(x)在 (0， ) 上是增函数，
当 a＞0 时，f(x)在 (0，a) 上是减函数，在 (a， ) 上是增函数.
(2)证明：由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，+ )上是增函数，
不存在 f (x1) f (x2 )(x1 x2 ) ，所以 a＞0，由(1)知当 a＞0 时，f(x)在(0，a)上是减函数，在 (a， ) 上是增函数，
显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“ ” 组成。已知在一个显示数字 8 的显示
池中随机取一点 A，点 A 落在深色区城内的概率为 1 。若在一个显示数字 0 的显示池中随 2
机取一点 B，则点 B 落在深色区域内的概率为( )
A. 3 8
C. 3 7
B. 3 4
D. 6 7
6. 一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都由三个边长为 2 的正
龄在区间[40，60]的有 200 人，现将调查数据统计整理后，得到如下频数分布表与频率分布
直方图：
年龄在区间[40，60]的市民日平均睡眠时间的频数分布表
日平均睡眠时间分组 [4，5)
[5，6)
[6，7) [7，8) [8，9) [9，10]
频数
13
28
49
56
42
12
年龄在区间[20，60]的市民日平均睡眠时间的额率分布直方图
B. [ 1 ， ) 2
C. [0，1 ] 2
D. [ 1 ，1] 2
8. 已知 | OA | 6，| OB | 2 3，AOB 30，若 tR，则 | OA t AB | 的最小值为( )
A. 6
B. 2 3
C. 3
D. 6 2 3
9. 已知函数
f
(x)

sin(x
数 a，b，m 的值依次为
.
14. (x y 2)6 展开式中 y4 的系数为
.
15.
已知双曲线
C:
x2 a2

y2 b2
1(a＞0，b＞0) 的左，右焦点分别为 F1，F2，点 A 为双曲线 C
虚轴的一个端点，若线段 AF2 与双曲线右支交于点 B，且|AF1|:|BF1|:| BF2|=3:4:1，则双曲线 C
；
2
16． 111 . 110
三、解答题

17．(1)C= . 3
(2)Smax= 5 3 2 . 4
18. (1)证明：设 BC= 2a，则 BD=CD= a，
易得 B1D= a2 4 ，DE = a2 1 ，B1E= 4a2 1 ，由 B1D⊥DE，所以 (a2 4) (a2 1) 4a2 1，
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，点 P(0，- 1)，曲线 C1:
x t cos

y

1

t
sin

(t 为参数)，其中 0 ＜，
在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2: cos 2 8sin. (1)若，求 C1 与 C2 公共点的直角坐标；
19.(本小题满分 12 分)
每年的 3 月 21 日被定为“世界睡眠日”，拥有良好睡眠对人的健康至关重要，一夜好眠成为
现代人的诉求，某市健康研究机构于 2018 年 3 月 14 日到 3 月 20 日持续一周，通过网络调
查该市 20 岁至 60 岁市民的日平均睡眠时间 T(单位：小时)，共有 500 人参加调查，其中年
存在 f (x1) f (x2 ) . 不妨设 0＜x1＜a＜x2 ，设 g(x) f (a x) f (a x)，x (0，a)，则 g'(x) f '(a x) f '(a x) ，又由(1)知 f '(x) (x 1)(x a) ，
x
可得
g'(x)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 已知复数 1+i 是关于 x 的方程 x2 mx 2 0 的一个根，则实数 m 的值为( )
A. －2
B. 2
C. －4
D. 4
3. 程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠。次第每人多十七，要
将第八数来言。务要分明依次弟，孝和休惹外人传。”意为：996 斤棉花，分别赠送给 8 个

f
'(a

x)
f
'(a
19. (1)有 99%的把握认为该市 20 岁至 60 岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关. (2)日平均睡眠时间不低于 5.26 小时的市民在总体中所占的比例约为 84.13%. 20. (1)点 P 的轨迹方程 E： x2 y2 1 .
4 (2)线段 MN 的垂直平分线方程为： 2x 2 y 3 0或2x 2 y 3 0 .

秘密★启用前
【考试时间：5月7日 15∶00—17∶00】
昆明市 2018 届高三复习适应性检测
理科数学试卷
第Ⅰ卷选择题(共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A={x | x2 4x 3 0} ，B={x∈N| 1＜x＜3 }，则 A∩B 中的元素个数为( )
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 ~23 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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13. 已知命题 p：“若 a，b，m 为任意正数，则 b m ＞ b ”，能够说明 p 是假命题的一组正 am a