概率的知识归纳与题型总结
概率知识点总结及题型汇总-统计概率知识点总结
概率知识点总结及题型汇总一、确定事件：包括必然事件和不可能事件1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。
必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。
2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。
不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0，如：太阳从西边出来。
这是不可能事件。
3、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0二、随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。
三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破；②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上；④某人买彩票，连续两次中奖；⑤今天天气不好，飞机会晚些到达．解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不可能事件是②．确定事件是①②三、概率1、一般地，对于一个随机事件A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A) ．（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = mn．（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．3、求概率的步骤：(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)；(2)找出其中事件A发生的结果(m个)；(3)运用公式求事件A的概率：P(A) = mn．5、在求概率时，一定要是发生的可能性是相等的，即等可能性事件等可能性事件的两种特征：（1）出现的结果有限多个; （2）各结果发生的可能性相等；例1：图1指针在转动过程中，转到各区域的可能性相等，图3中的第一个图，指针在转动过程中，转到各区域的可能性不相等，由上图可知，在求概率时，一定是出现的可能性相等，反映到图上来说，一定是等分的。
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结一、概率的定义在一定条件下，重复进行试验，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记作 P(A) ＝ p。
概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05。
二、概率的基本性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1：任何事件的概率都在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
2、P(Ω) ＝ 1：必然事件的概率为 1，其中Ω 表示样本空间，即所有可能结果的集合。
3、 P(∅）＝ 0：不可能事件的概率为 0，∅表示空集。
4、如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不能同时发生），那么P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
三、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型，具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
古典概型的概率计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件的总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），取出红球包含的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为 3/5。
四、例题解析例 1：掷一枚质地均匀的骰子，求点数为奇数的概率。
解：掷一枚骰子，出现的点数有 1、2、3、4、5、6 共 6 种可能，其中奇数有 1、3、5 共 3 种。
所以点数为奇数的概率为 3/6 ＝ 1/2。
例 2：从 1、2、3、4 这 4 个数字中，任意取出两个数字，求取出的两个数字都是奇数的概率。
解：从4 个数字中任意取出两个数字，共有6 种可能的结果：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）。
其中两个数字都是奇数的结果有（1，3），共 1 种。
所以取出的两个数字都是奇数的概率为 1/6。
概率与统计题型归纳总结
概率与统计题型归纳总结在学习概率与统计的过程中，我们不可避免地要接触到各种各样的题型。
在这些题型中，有的看似简单却需要一定思考，有的则需要我们具备一定的数学基础。
本文将围绕这些题型展开，帮助大家更好地总结归纳概率与统计中的题型。
一、基本概率基本概率是概率学习中最基础的部分，要求我们计算某一事件发生的可能性，其公式为：P(A)=n(A)/n(S)。
其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A出现的次数，n(S)表示总体出现的次数。
二、条件概率条件概率是建立在基本概率之上的，要求我们在已知某一事件发生的情况下，计算其他事件发生的概率。
其公式为：P(A|B)=P(B∩A)/P(B)。
其中，P(A|B)表示在B发生的前提下，A发生的概率，P(B∩A)表示A与B同时发生的概率，P(B)表示B发生的概率。
三、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种利用先验信息来更新后验概率的方法。
其公式为：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
其中，P(A)为先验概率，P(B|A)为A发生的情况下，B发生的概率，P(B)为后验概率。
四、独立事件独立事件是指两个或多个事件，其中任意一个事件的发生与其他事件的发生无关。
其公式为：P(A∩B)=P(A)P(B)。
其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B各自发生的概率，P(A∩B)表示A和B同时发生的概率。
五、全概率公式全概率公式是用来计算某一事件在多种情况下的概率的公式。
其公式为：P(A)=∑(i=1)^(n)P(A|B_i)P(B_i)。
其中，B_1,B_2...B_n是一组互不相交的事件，且它们包含了所有可能的情况。
P(A)表示事件A的概率，P(A|B_i)表示在B_i发生的前提下，A发生的概率，P(B_i)表示B_i 发生的概率。
六、随机变量随机变量是指某一随机事件在其过程中所反映的变量。
在统计学中，我们常常会用随机变量来描述概率分布。
常见的随机变量有离散随机变量和连续随机变量。
中考数学概率题型知识点归纳
中考数学概率题型知识点归纳概率是中考数学中的一个重要知识点，它与我们的日常生活息息相关，能够帮助我们理解和预测各种随机现象。
下面就为大家归纳一下中考数学中常见的概率题型及相关知识点。
一、概率的基本概念1、随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。
3、不可能事件在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件。
4、概率表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。
概率通常用 P（事件）来表示。
二、概率的计算1、古典概型如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么某个事件 A 发生的概率为 P（A）＝事件 A 包含的结果数÷所有可能的结果数。
例如：一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？总共有 8 个球，摸到红球的可能性有 5 种，所以摸到红球的概率为5÷8 ＝ 5/8 。
2、列表法和树状图法当一次试验要涉及两个或两个以上因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法或树状图法。
例如：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求出现“一正一反”的概率。
我们可以通过列表法：｜第一枚硬币｜正｜正｜反｜反｜｜｜｜｜｜｜｜第二枚硬币｜正｜反｜正｜反｜共有 4 种等可能的结果，其中“一正一反”的结果有 2 种，所以概率为 2÷4 ＝ 1/2 。
或者通过树状图法：｀｀｀第一枚硬币／＼正反／＼／＼正反正反｀｀｀同样可以得出“一正一反”的概率为 1/2 。
3、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
例如：在一个边长为 4 的正方形内随机取一点，求该点到正方形顶点的距离小于 2 的概率。
此时，点到正方形顶点的距离小于2 的区域是以正方形顶点为圆心，以 2 为半径的四分之一圆，其面积为π×2²×1/4 ＝π。
概率知识归纳与题型分类 带答案(印)
概率的知识归纳与题型总结一、概率知识点框架图二、考试内容分析概率重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；。
应用概率知识要解决的题型主要是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；三、题型分类、考点1 考查等可能．．．事件概率计算在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。
如果事件A包含的结果有m个，那么()mP An=。
这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。
求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可. 常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例1：(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。
测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答． （I ）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（110P =） （II ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望ξE . （35E ξ=） 解：（1）从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，抽法总数为1819110C C C ，只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为131416C C C1011819110131416==∴C C C C C C P …………………………………………………………………（4分）（2）抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2则157)0(1819110161718===C C C C C C P ξ157)1(181911017181213===C C C C C C C P ξ151)2(1819110121318===C C C C C C P ξ……………………………………………………………（8分）所以ξ的分布列为：……………………………………………………………………（10分）从而有5152151150=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………（12分）练习：A 、B 两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中，概率无处不在。
比如抽奖时中奖的可能性、明天是否会下雨的预测、体育比赛中获胜的概率等等。
概率是研究随机现象规律的数学分支，它能帮助我们更好地理解和应对不确定性。
接下来，让我们通过一些例题来深入了解概率的初步知识。
一、知识点回顾1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷一枚骰子，出现的点数就是一个随机事件。
2、概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小的数值度量。
通常用 0 到 1 之间的数来表示，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
3、古典概型如果一个随机试验具有以下两个特征：（1）试验的样本空间中样本点的总数是有限的；（2）每个样本点出现的可能性相等。
那么这样的随机试验称为古典概型。
在古典概型中，事件 A 的概率可以通过计算 A 包含的样本点个数与样本空间中样本点的总数之比得到。
4、概率的基本性质（1）对于任意事件 A，0 ≤ P(A) ≤ 1。
（2）必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0。
（3）如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不可能同时发生），则P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
二、例题解析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解：从 5 个球中取出 2 个球的组合数为 C(5, 2) ＝ 10。
取出 2 个红球的组合数为 C(3, 2) ＝ 3。
所以取出的 2 个球都是红球的概率为 3/10。
例 2：掷一枚均匀的骰子，求点数大于 4 的概率。
解：骰子的点数有 1、2、3、4、5、6，点数大于 4 的有 5、6 两种情况，所以点数大于 4 的概率为 2/6 ＝ 1/3。
例 3：同时掷两枚均匀的骰子，求点数之和为 7 的概率。
解：同时掷两枚骰子，所有可能的结果有 6×6 ＝ 36 种。
概率知识讲解+习题集
中考内容中考要求ABC事件了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义概率了解概率的意义；知道大量重复实验时，可以用频率估计概率会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩定义列表概率求法树状图用频率估算概率与频数的关系一、与概率有关的定义：1、必然事件：事先能肯定一定发生的事件称为必然事件.2、不可能事件：事先能肯定一定不发生的事件称为不可能事件.3、确定事件：事先能肯定它是否发生的事件称为确定事件，必然事件和不可能事件都是确定事件.4、不确定事件（随机事件）：事先不能肯定它会不会发生的事件称为不确定事件.5、概率：随机事件A 发生的可能性的大小.记为()P A .设n 为事件A 包含的可能结果数，m 为所有可能结果总数，则()nP A m=. 对于任何一个事件A ，它的概率()P A 满足0()1P A ≤≤，必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0.7、（补充）乘法原理：若一件事情需分m 个步骤完成，而且每个步骤的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =⋅⋅⋅.加法原理：若一件事情需分m 种方法完成，而且每种方法的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =+++二、求概率的方法：知识精讲中考大纲概率知识网络图1、列表2、画树状图3、用频率估计概率 列举法求概率如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为m n． 用树状图法求概率当一次试验涉及3个或更多因素（例如从3个口袋中取球）时，列举法就不方便了，可采用树状图法表示出所有可能的结果，再根据()mP A n=计算概率． 利用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn稳定于某个常数p ，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记作()()()01P A p P A =≤≤三、概率与频率的关系←⎧⎪↓⎨⎪⎩频率用试验的方法频率与概率（试验次数很多）理论概率1、当一次试验涉及多个因素（对象）时，常用列表法或树状图法求出事件发出的所有等可能的结果，然后找出要求事件发生的结果数，根据概率的意义求其概率．2、当完成事件的层次较多或事件发生的可能性不相等时，求相关事件的概率是困难的，转换视角，从问题的对立面：反面求解，常能化简求值．3、游戏的公平性是通过概率来判断的，在得分相等的前提下，若对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将概率乘相应得分，结果相等即公平，否则不公平．1、在审题时，看拿出来的东西是否放回．2、答题时需要注意步骤．易错点辨析解题方法技巧如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率（）．（2014北京中考）A．16B．14C．13D．12题型一事件【例1】下列事件中必然发生的是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3C．通常情况下，抛出的篮球会下落D．阴天就一定会下雨【例2】下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待免D. 瓮中捉鳖【例3】下列事件中是必然事件的是（）A．小菊上学一定乘坐公共汽车B．某种彩票中奖率为1％，买10000张该种票一定会中奖C．一年中，大、小月份数刚好一样多D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上【例4】下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C.射击运动员射击一次，命中十环D.若a是实数，则0a课堂练习真题链接概率习题集题型二简单概率计算【例5】从1~12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4倍数的概率是（）．（2014石景山期末）A．112B．14C．13D．12【例6】在12的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为__________．（2014昌平期末）【例7】下列说法正确的是（）．（2014朝阳期末）A．“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间降雨B．小明上次的体育测试成绩是“优秀”，这次测试成绩一定也是“优秀”C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖D．掷一枚质地均匀的骰子，“点数为奇数”的概率等于“点数为偶数”的概率【例8】不透明的袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，这些球除数字不同外，其它均相同．从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余2个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于20的概率为（）．（2014大兴期末）A．12B．13C．23D．16【例9】袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是（）．（2014东城期末）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【例10】小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数小于3的概率为（）．（2014房山期末）A．13B．12C．16D．23【例11】一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（）．（2014丰台期末）A．12B．13C．23D．16【例12】一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是__________．（2014丰台期末）【例13】汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B）的概率为12，则B与A的半径之比为．BA【例14】6张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形、圆．在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）A．16B．13C．12D．23【例15】在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类。
概率问题知识点总结
概率问题知识点总结1. 概率的基本概念概率是描述随机现象发生可能性大小的量。
在概率论中，事件A的概率一般用P(A)表示。
概率的基本性质包括：（1）非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0；（2）规范性：必然事件的概率为1，即P(S)=1；（3）可列可加性：对于两个不相容事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
2. 条件概率条件概率是指在给定另一事件发生的条件下，某一事件发生的概率。
条件概率常用P(A|B)表示，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)3. 独立事件如果事件A和事件B相互独立，那么P(A|B)=P(A)，P(B|A)=P(B)。
也就是说，事件A的发生并不影响事件B的发生，反之亦然。
两个事件相互独立的充分必要条件是P(A∩B)=P(A)P(B)。
4. 随机变量与概率分布随机变量是指对随机现象结果进行量化的变量。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值有限或者可数，而连续型随机变量的取值是连续的。
随机变量的概率分布是指它取各个可能值的概率。
5. 期望与方差随机变量的期望是对其取值进行加权平均的结果，反映了其平均水平。
期望用E(X)或μ表示。
随机变量的方差是对其取值与期望的偏离程度进行加权平均的结果，反映了其分散程度。
方差用Var(X)或σ²表示。
6. 参数估计参数估计是指在已知数据的情况下，对总体的某种特征（参数）进行估计的过程。
参数估计的方法包括点估计和区间估计。
点估计的目标是寻找一个能够最好地估计总体参数的数值，而区间估计给出的是总体参数的估计范围。
7. 假设检验假设检验是指根据样本信息对总体分布或参数提出的假设进行检验的过程。
在假设检验中，我们首先提出原假设和备择假设，然后计算一个检验统计量，最后根据检验统计量的大小来判断是否拒绝原假设。
8. 贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
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概率的知识归纳与题型总结一、概率知识点框架图二、考试内容分析概率重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；。
应用概率知识要解决的题型主要是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；三、题型分类、考点1 考查等可能．．．事件概率计算在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。
如果事件A包含的结果有m个，那么()mP An=。
这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。
求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可. 常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例1：(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。
测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．（I ）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（110P =） （II ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望ξE . （35E ξ=）练习：A 、B 两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。
先从中任取三条网线，设可通过的信息量为ξ，当可通过的信息量6≥ξ时，则保证信息畅通。
（1）求线路信息畅通的概率；（0.7P=）（2）求线路可通过信息量的数学期望.(6E ξ=)考点2 互斥事件有一个发生的概率不可能同时发生．．．．的两个事件A B 、叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A B+，用概率的加法公式()()()P A B P A P B +=+计算。
事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响．．．．，则A B 、叫做相互独立事件，它们同时发生．．．．的事件为B A ⋅。
用概率的法公式()()()B P A P B A P ⋅=⋅计算。
考试常结合考试竞赛、工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。
必有一个发生．．．．．．的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件。
即A B =或B A =。
至少、至多问题常使用“正难则反．．．．”的策略求解.用概率的减法公式()1(A)P A P =-计算其概率。
考试中常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。
例2 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；(125216P =) （Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. (2527P =)练习1:某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立） （1）求至少3人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于0.3。
练习2: 某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是4354和. 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.(1) 求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；61125P=(2) 求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；(27500P=) (3) 工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格 的概率. (364P =)考点3 考查相互独立事件．．．．．．同时发生的概率与独立重复试验概率．．．．．．．．计算 若在n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖．．．．其它各次试验的结果，则此试验叫做n 次独立重复试验。
若在1 次试验中事件A 发生的概率为P ，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()()k n k k n nP P C k P --=1。
考试结合实际应用问题考查n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
例3某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题。
规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰。
已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是311,,424，且各阶段通过与否相互独立。
（Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；38P=（Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的数学期望和方差。
178E ξ=例4(竞技型)甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平 相当，且已知甲先赢了前两局，求：（1）乙取胜的概率；(316P=) （2）比赛进行完七局的概率。
(14P=) （3）记比赛局数为ξ，求ξ的颁列为数学期望ξE .( 5.5E ξ=)练习1: （2013山东理）甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立. (Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.练习2:为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的12, 13, 16. 现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：(Ⅰ) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ) 至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.练习3：（2013大纲）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.(I)求第4局甲当裁判的概率;(II)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.考点4 考查随机变量概率分布与期望计算主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验以及随机变量的分布列、数学期望等概念。
解决此类问题解题思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“kξ=”所对应的具体随机试验的结果然后正确求出相应事件的概率。
例5 (2010大纲全国I)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3。
各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(0.4P=)(2)记ξ表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求ξ的分布列及期望．( 1.6Eξ=)例6 (2010山东) 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有,,,A B C D四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题,,,A B C D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；每位参加者按问题,,,A B C D顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题,,,A B C D回答正确的概率依次为3111,,,4234，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；(0.25P=)（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学的Eξ.(278Eξ=)例7 (2010北京) 某同学参加3门课程的考试。
假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。
练习：[2012·全国卷] 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．。